Обобщенные теоремы о неявной функции

Напомним формулировку классической теоремы о неявной функции.

Пусть отображение непрерывно, непрерывно дифференцируемо по Фреше по и Ф (Сс©Д0) в О. Если при этом оператор Ф^СзсоДо) взаимно однозначно отображает X на У «то в некоторой окрестности Л.0 точки / определено непрерывное отображение (неявная функция) х (Х) -Ду.0 -з>» 1 Г, для которого хСХо) — ^ и ФСэ&00)Х)-°. В частности, если Ф (хД> -Р (эс.)-А «^(.Х) есть обратное к Р отображение (классическая теорема о локальной обратимости).

Хорошо известна фундаментальная роль теоремы о неявной функо ции. В то же время для ряда важных классов уравнении условия классической теоремы нарушаются. Одно из возможных нарушений здесь — вырождение оператора (- Ф^С^оДо). Это означает, что оператор /| не имеет обратного в обычном смысле С, А X + У), но при этом образ Ц плотен в У. Другими словами, уравнение АЛ ведет себя подобно уравнению Фредгольма первого рода. Классический пример нарушения такого типа связан с известной проблемой малых знаменателей в небесной механике. Большое количество примеров вырожденных в этом смысле уравнений изучено в работах ?1−6, 21, 22]. Приведем простой пример отображения с вырожденными производными.

Функция X. порождает оператор суперпозиции.

—, действущий из ЬрО^] Б «р^ Ъ .Так как функция 4 строго возрастает и, следовательно, обратима, то оператор суперпозиции -??», очевидно, непрерывно обратим. Оператор суперпозиции 4 непрерывно дифференцируем по Фреше и см. § 1.2). Операторы (эь) не обратимы в обычном смысле ни при одном осв 1р. Это следует из того факта, что для любого оператор ^'(х) действует из Ьр в 1-р^ Ьр/3. В то же время, как нетрудно видеть, операторы 4/Сх) при всех накрывают |р «то есть их образы плотны в 1р/з. Исследование оператора суперпозиции ^ в данном случае не представляет труда. В случае произвольной измеримой по ¦?, непрерывно дифференцируемой по х функции исследование соответствующего оператора суперпозиции усложняется (см. § 1.5). Кроме того, вырожденные свойства оператора порождают аналогичные вырождения ряда нелинейных уравнений. Так, в естественных условиях вырожденным оказывается эллиптическое уравнение с точки зрения обобщенных решений К (х)? л/ р. Частный случай и=1 этого уравнения рассмотрен нами в § 1.6.

Кроме эллиптических уравнений существует целый ряд классов вырожденных уравнений в частных производных (см. [6]). В качестве примера возникновения вырождения рассмотрим линейный оператор

Ц Ц — + +, где Ц (ОС/)) Хг.) € VIг («Т) ¿-ТГ — периодические по обоим аргументам функции (здесь 7г"К.М2г), 9 &-ФО л очевидно, Д л/г) * В § 3.5 показано, что МТ^^Т*-В то же время Д не накрывает V/*. Действительно, предположим сначала, что <�х=К1/К2 рационально. Пусть ЭгШ — 2В» — периодическая функция и такая, что Б>, 2. Тг1, но и и, СОй^Хг^аьСКчХп-КгХг). .Очеви.дно, д/^СТ2″), л к / К±1 л л, но и^ф И/2. Нетрудно видеть, что ^х^^и/^-о, то есть.

1 (1= 8 и. Поэтому уравнение Дц = V, где V — 8 и-, имеет решение ?1 класса V*, не принадлежащее классу VI^. Легко цроверить (см. § 3.5), что = ^ .Поэтому уравнение ^ решений класса VI^^, не имеет, то есть оператор Я в обычном смысле не обратим. Так как множество невырожденных операторов открыто, вырожденность, А при рациональных Си влечет вырожденность Н при всех йу ек .

По тем же причинам вырожден, например, класс нелинейных отображений + сь иХг + 4<-Ъ, и (.Х)) .

Настоящая работа посвящена, в основном, исследованию уравнения.

Фс*, А) = о (1) более точно, уравнения ФСх? А")=1|) в случае, когда Ф имеет вырожденные производные по X .

Локальная разрешимость уравнений типа (I) с вырожденными отображениями Ф систематически изучается начиная с известных работ Колмогорова, Арнольда, Нэша и Мозера [I —. В этих и последующих работах советских и зарубежных авторов ([" 7−11, 22) — небольшая их часть) были развиты специальные методы последовательных, приближений, основанные на ускоренной сходимости и сглаживании. Для этих методов, отметим, характерны требования дополнительной гладкости ф (например, существование второй производной по х) и существования оператора сглаживания с определенными свойствами. В настоящей работе локальная разрешимость уравнения (I) исследуется без предположения дополнительной гладкости (более того, производная по X допускается разрывной) и без специального постулирования оператора сглаживания. При этом наши требования о разрешимости линеаризованного уравнения в определенном отношении сильнее. Основными результатами работы в этом направлении являются теоремы о слабом решении и о свойствах неявной функции (см. ниже).

Кроме вырождения производных, характерным нарушением является также отсутствие требуемой в классической теореме о неявной функции гладкости Ф. Для ряда теоретически и практически важных уравнений условие непрерывной дифференцируемости по Фреше оказывается чрезмерно ограничительным (уравнения, возникающие в. прикладных задачах — эллиптические уравнения ([ 18], с. 194)). Требование гладкости ф ослаблялось в различных направлениях (?12, 13, 23−25]). Так в работах ?13,24^ получено обобщение теоремы о неявной функции для липпшцевых отображений. В основных результатах диссертации требование гладкости ф также ослабляется.

Суммируя сказанное, определим цель настоящей работы как исследование разрешимости уравнения Ф (оь, Х) вЦ для определенных классов отображений ФСхД) пониженной гладкости и с вырожденными в указанном выше смысле производными по Зс .

Кратко.остановимся на структуре и основных результатах диссертации.

Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава делится на параграфы, каждый параграф — на пункты. Параграфы обозначаются, двойным номером (например, 2.3 — третий параграф второй главы), пункты тройным (например, 1.4.2 — второй пункт параграфа 1.4). Каждый пункт содержит не более одного утверждения или определения.

Основной материал содержит первая глава. Вторая глава посвящена доказательству основных результатов. Третья глава содержит доказательства вспомогательных утверждений.

Центральным в работе является § 1.3, содержащий формулировки всех основных результатов. Это теоремы о слабом решении, о свойствах неявной функции, о гомотопии отображений и их следствия. Возможности приложений основных результатов иллюстрируют примеры из параграфов 1.4 — 1.7.

Не приводя точных формулировок, дадим представление о характере некоторых теорем. Пусть Xi «У>| «причем указанные вложения непрерывны и Yz плотно в У, — В — Xi Л Пусть непрерывное отображение всюду имеет производную Гато d (Ос,) — Ф^), уравнение разрешимо в следующем смысле: при всех ^^ имеет решение € Xt, удовлетворяющее неравенствам.

IZJo^ ?0И3И1 — KBIU^ ?iu+icxm)li^iu .

Взаимосвязь операторов fl (x) и fl^Cx) отражает следующая коммутативная диаграмма.

В этих условиях из теоремы о слабом решении вытекает, что .для любого ^? Ву^о, «где Ф (Яо), уравнение имеет слабое решение оБв Ь^СсСо^Ъ.) • Определение слабого решения. Точка хбХ0 называется слабым решением уравнения, если существует последовательность ОСу,€В такая, что ос, к 5с. и Фсо^-^г» ^ .

Отметим, что в сформулированных условиях уравнение с точки зрения сильных решений разрешимо плохо: известны примеры (см.ниже), когда в любой У, -окрестности существует^, для которого уравнение решений ССб^ не имеет. В этой ситуации естественно изучать решения в ослабленном сглысле.

Понятие слабого решения в том же смысле неоднократно использовалось раньше (^14,26]). Известно, что общее определение слабого решения може. т приводить к появлению паразитных слабых решений, не интересных для приложений ([14], с. 66−67). Это явление связано с возможной неединственностью слабых решений. В общей ситуации накладывать условия, гарантирующие единственность слабого решения, по-видимому, нецелесообразно. В конкретных ситуациях единственность вытекает из различных специфических свойств отображения Ф, например, типа монотонности ([26^) или определенного. поведения запаздывания в уравнениях нейтрального типа ([14], с. 66−67).

Для доказательства теоремы о слабом решении (§ 2.2) по методу касательных Ньютона строится трансфинитная последовательность приближений. Важным моментом при этом является сочетание метода касательных со сглаживанием в образах. В данном случае под оператором сглаживания понимается непрерывное отображение (УЛН>М ~>Уг, ДЛЯ которого Цу-. Имеет место.

Лемма 2.1.4. Если плотно и непрерывно вложено в У,, то оператор сглаживания существует.

В прежних условиях предположим, что задано непрерывное отображение «причем ФСэ, X) удовлетворяет условиям теоремы о слабом решении при всех, А. Предположим, что при всех уравнение имеет не более одного слабого решения. Тогда из теоремы о слабом решении вытекает, что для всех С^Д) из некоторой окрестности V/ множества фС^^ это уравнение имеет ровно одно слабое решение, У)&euroВ этих условиях теорема о свойствах неявной функции утверждает, что отображение? X): V/ -Р Х0 непрерывно и удовлетворяет по и условию Липшица. При дополнительных ограничениях в этой теореме изучается также дифференцируемость отображения Э^С^Д) .

Существенной при исследовании примеров из параграфов 1.4, 1.5 является.

Теорема о глобальной разрешимости. Пусть непрерывное отображение Ф X^Y, всюду имеет производную Гато фЬс.), и уравнение fleoc.)^ — ^ для любых jje-Yz, ^^ Xi имеет решение 2 = Xi «удовлетворяющее оценкам 1, где ?<>,?1 -константы. Тогда для любого^бУ, уравнение фф}-^ имеет хотя бы одно слабое решение Хо •.

Параграфы 1.4 — 1.7 посвящены приложениям основных результатов. Остановимся подробней на содержании параграфов 1.4, 1.6. В § 1.4 исследуется разрешимость уравнения.

21 Ч Htc, l + u) — V. (2).

Подобные уравнения возникают в теории управления ([27]), а также при исследовании возмущений инвариалтных поверхностей векторных полей ([б]). Отображение JE1 O-iUti + ~f (Цг> и) в общем случае имеет вырожденные производные, поэтому для исследования (2) классическая теорема о неявной функции не применима.

Пусть i R R R, V fC-+ R, причемJo*, и), V (x) 2ЛГпериодичны по Хч,.,^ и тем самым определены на.

Тв-А7а2и. поло&tradeХ&bdquo- = 7<=исти), Х,=Уг = УгЧГ).

Полагая тгеУ,, мы ищем слабое решение и € л 0 «В работе доказана.

Теорема 1.4.2. Пусть функция 4 дважды непрерывно дифференцируема и выполнены оценки.

6 с1г (1+ lui), U h .

Пусть и e Ц. Тогда для любого vg Li-lT*) (2) имеет единственное слабое решение 1(Д V) бЦ. СТН), и отображение UC]^): непрерывно дифференцируемо по.Фреше.

При этом показано (замечание 1.4.3), что слабое решение в общем случае не является сильным.

В § 1.6 исследуется разрешимость двухточечной задачи.

— e -, о).

Х (0) = ХСО = О (4) с точки зрения обобщенных решений х0£) € W р. Здесь вектор-функцииC и ^ зависят от параметра А^Л и в об1Дем случае. имеют по разрывы. Функция предполагается эллиптичной по i-, Для исследования задачи (3), (4) классическая теорема о неявной функции также не применима. На примере задачи (3), (4) в § 1.6 предлагается общая методика приложения теорем о слабом решении и о свойствах неявной функции. Отображение, соответствующее задаче (3), (4) расщепляется в сумму отображений где Ф монотонно по X, a F вполне непрерывно по ос.. Сначала с помощью названных теорем для уравнения ищется (слабая) неявная функция. Это позволяет от уравнения F (x, X) = О перейти к уравнению '• ij + Р0х<�рО|7А)Д)= О. Последнее уравнение легко исследуется с помощью теоремы о гомотопии отображений. В данном случае этот метод позволяет показать, что в окрестности регулярной точки (РСо-À-o)£ Vp XA. для задачи (3),(4) определена неявная функция 0£(Д) .

Автор глубоко благодарен Борису Николаевичу Садовскому за постоянное внимание и большую помощь в работе. Автор искренне благодарен Ю. И. Сапронову, советы которого во многом повлияли на тематику настоящей работы.

1. Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических .движений при малом изменении функции Гамильтона. — Докл. АН СССР, 1954, т. 98, вып. 4, с. 527−530.

2. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. Успехи мат. наук, 1963, т.18, вып. 5, с. 13−40.

3. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике. Успехи мат. наук, 1963, т.18, вып.6, с. 91−192.

4. Арнольд В. И. 0 неустойчивости динамических систем со многими степенями. Докл. АН СССР, 1964, т.156, вып. I, с.9−12.

5. Нэш Дж. Проблема вложения для римановых многообразий. -Успехи мат. наук, 1971, т.26, вып. 4, с. 86−135.

6. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дафференциальные уравнения.-Успехи мат. наук, 1968, т. 23, вып.4, с. 179−238.

7. Бондаренко В. А., Забрейко П. П. Об одной теореме Ю. Мозе-ра.- Вестник Ярославского университета, 1974, вып. 8, с. 3−7.

8. Кругляк Н. Я. Об одной модификации теоремы Ю.Мозера.-Вестник Ярославского университета, 1975, вып. 12, с. 77−86.

9. Лазуткин В. Ф. Выпуклый биллиард и собственные функции оператора Лапласа. Л.: ЛГУ, 1981. 196 с.

10. Нехорошев H.H. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. Успехи мат. наук, 1977, т.32, вып. 6, с. 5−66.

11. Цендер Э. Обобщенная теорема о неявной функции. В кн.: Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977, с. 155−202.

12. Аппель Ю., Забрейко П. П. Уплотняющие операторы в теории неявных функций. В кн.: Качественные и приближенные методы операторных уравнений. Ярославль, 1980, с. 3−14.

13. Магарил-Ильяев Г. Г. Теорема о неявной функции для лип-шицевых отображений. Успехи мат. наук, 1978, т. 33, вып. I, с. 221−222.

14. Ахмеров Р. Р., Каменский М. И., Потапов A.C., Родкина А. Е., Садовский Б. Н. Теория уравнений нейтрального типа. В кн.: Итоги науки и техники, 1982, математический анализ, т.10, с.55−126.

15. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 197I. 392 с.

16. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 542 с.

17. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 499 с.

18. Скрыпник И. В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев: Наукова Думка, 1973. 219 с.

19. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. 232 с.

20. Голубицкий М., Гийемин. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977. 290 с. 21. IIIotvo X Qn ivw/cvtlosni axh/Vtb o-f соггль— p7za&iA/uncj mct/pptKc^i oi ом (ьтьСил. — МсюКЧ/ AКаЛ. Mû-dhкг., Wi } i-LO.

21. WaM^a J. ?Ik ?mp&a-/- i (junctionIhtoent AJixhoui cfiii&vwlIcuil&Li^. Pttfc. Ame^. ftlaih. Wg, i/o6.69, iff, p. 65- €S.26. Bxe^zid H. OpWloncrione^ ei ^ennl^^ttpi CDnihxcctioncuu ta> eb^a-cM, ?k, Witivd. -Lotion, Netf-Yo^k,. 482) p.

22. F^tedfecta K. 0. ??mme^'uc H^p.

& i^iAoAioni. Comm. Pa^te. App€. Waih., 4354, , p. 332.

23. MichatlE. Coh" tmaoit6? eiextioH^ I.Ann. oi 1356, N|o3, p. 361−362.

24. Шварцман Е. А. Открытость’и сюръективность нелинейных операторов.- В сб.: Качественные и приближённые методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1977, с. 208−213.

25. Шварцман Е. А. О разрешимости нелинейных уравнений.-УМН, 1978, т. 33, вып. 203, с. 165−166.

26. Шварцман Е. А. О разрешимости нелинейных уравнений.-В сб.: Методы решения операторных уравнений. Воронеж, 1978, с. 151−154.

27. Шварцман Е. А. Обобщение теоремы о неявной функции. В сб.: Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тез. докл., Шнек, 1982, с. 203−204.

28. Шварцман Е. А. Обобщение теоремы о неявной функции.-Воронеж, 1983. 8 с. — Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 5.Х.82, гё 5068−82 ДЕП.