Краевые задачи для пространственных аналогов уравнения Эйлера-Дарбу

В теории уравнений с частными производными уделяется большое внимание изучению вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений, важных как в теоретическом плане, так и с точки зрения практического приложения их в современной физике и технике.

Первые работы по постановке краевых задач для пространственных уравнений смешанного типа второго порядка были опубликованы в 1956 году [1, 33].

В работе A.B. Бицадзе [1] для уравнения AU + sgnt ¦ Utt -0, где А.

— оператор Лапласа по пространственным координатам х, х2)., хп, решается задача Трикоми в п +1 -мерной области, ограниченной полусферой и двумя характеристическими конусами, в классе осесиммет-ричных функций.

В работе С. П. Пулькина [33] рассматривалась краевая задача для уравнения U хх + Uw + sgn z • Uzz = 0 в области вращения. Задача решалась методом тригонометрических рядов, при этом, отыскание коэффициентов ряда сводилось к решению краевых задач для плоского уравнения Uхх + sgn у Uw + Ux (2 т + 1)/х = 0 (т=0, 1, 2, .), которое теперь называют уравнением С. П. Пулькина.

В работе [2], опубликованной в 1962 году, A.B. Бицадзе впервые исследовал задачу Трикоми для трёхмерного уравнения в неограниченной цилиндрической области. Задача решена методом интеграла Фурье. Таким образом, наметились две постановки краевых задач для пространственного уравнения: в области вращения и в бесконечной цилиндрической области.

Заметим, что и A.B. Бицадзе и С. П. Пулькин обосновывали существование и единственность решения краевых задач для модельных уравнений смешанного типа второго порядка с тремя независимыми переменными.

В работе А. М. Нахушева [32] аналог задачи Трикоми решен в п-мерном пространстве, где доказано существование слабого решения в пространстве C.JI. Соболева и единственность сильного решения.

Эти работы вызвали интерес математиков к исследованию краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений от п переменных и для более высоких порядков.

Исследованию вырождающихся уравнений с более чем двумя независимыми переменными посвящено сравнительно немного работ. В основном изучение таких уравнений проводилось с помощью метода разделения переменных или методами функционального анализа. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа третьего порядка в трехмерном пространстве изучены недостаточно.

В последние годы получены интересные результаты в теории краевых задач для уравнений третьего порядка в трехмерном евклидовом пространстве в работах В. И. Жегалова [21,22], В. Ф. Волкодавова [513], В. Н. Захарова [25−27], И. Н. Родионовой [9,12], Н. Я. Николаева [10,13], А. М. Ежова [18,19]. В трехмерном пространстве возможен более широкий круг краевых задач, что приводит к постановке новых краевых задач и поиску методов обоснования существования и единственности их решения.

При решении краевых задач для уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, как и для уравнений третьего порядка специального класса с тремя независимыми переменными существенную роль играют специальные решения уравнений, в частности, функции Римана и Римана-Адамара.

В этом направлении можно отметить работу Волкодавова В. Ф., Захарова В. Н. [6], где для уравнений третьего порядка с тремя независимыми переменными с сингулярными коэффициентами на плоскости или в одной точке построены специальные решения.

Жегаловым В.И. в работе [24] определение функции Римана в трехмерном пространстве дается как решение интегрального уравнения, а Волкодавов В. Ф. и Захаров В. Н. определяют функцию Римана через дифференциальные свойства.

В работе [38] Сабитовым К. Б. и Дорофеевым А. В. доказывается эквивалентность двух подходов в определении функции Римана, которые были даны Волкодавовым В. Ф., Захаровым В. Н. и Жегаловым В.И.

За последние десять лет математики, изучающие краевые задачи в пространствах Яп, п> 3, в основном занимались доказательством существования и единственности решения следующих задач: Гурса, Коши, А, (задача Гурса, но с условиями сопряжения на линии вырождения уравнения), Дарбу (с заданием искомого решения на плоскости вырождения уравнения и двух характеристических плоскостях), Коши-Гурса (с заданием исходного решения и конормальной производной на плоскости вырождения, а также заданием искомого решения на одной из характеристических плоскостейс заданием искомого решения и конормальной производной второго порядка на плоскости вырождения, а также заданием искомого решения на одной характеристической плоскостис заданием конормальных производных первого и второго порядков на плоскости вырождения, а также заданием искомого решения на одной из характеристических плоскостей) и т. п.

В работе [23] Жегаловым В. И. и Мироновым А. Н. для уравнения и т + аи ху + Ьиу2 + с11 а + (Шх + у + Юг + в11 = О рассматриваются характеристические задачи, получающиеся из задачи Гурса заменой хотя бы в одном из граничных условий значения II значением её нормальной производной первого порядка.

В работе Волкодавова В. Ф., Родионовой И. Н., Салтуганова Н. М. [12] доказано существование и единственность решения краевых задач для двух пространственных аналогов уравнения Эйлера — Дарбу третьего порядка в Я3. В частности, для уравнения.

Р тт. а ихуг и2у = 0, 0<�р<�а, а + р<1, (А) ху- г ху- г в области Ц, которая представляет собой характеристическую пирамиду, ограниченную плоскостями х = Ъ, у = 0, z = 0, х-у-z = О, решается задача Дарбу. А для уравнения Р, а и^ + иу2 =0, а, р>0, а + р<1, (В) ху — г ху — г в той же области ?1 в специальном классе решаются задачи Дарбу.

Дорофеев А.В. в диссертации [17] исследует краевые задачи для вырождающегося гиперболического уравнения.

2 + у~хрху,+рихг-аиу2 =0,0<�а, р<1,а + р<1. ©.

Настоящая работа состоит из трех глав. В первых двух главах диссертации решаются задачи для уравнения х-у-г'рук+аиуг =0. (1).

В первой главе приводится постановка, доказательство существования и единственности решения задачи Дарбу для уравнения (1) на множестве Д которое представляет собой прямую треугольную призму, ограниченную плоскостями у = 0, х = Ъ, у = х, г = 0, г = И.

Плоскость вырождения уравнения (1) делит множество П на две области: = И п {г > х — у}, = В п{г < х — у}. 1.

Пусть, А = {(х, г) < х < z < А}, В = {{х, г) 0 < г < х < 1г},.

Е = {(х, у) < у < х < Ь}.

Задача Дарбу. Найти функцию и (х, у, г), удовлетворяющую условиям:

1) и{х, у, г)е с (р), все смешанные производные третьего порядка непрерывны в.

2) ?(?/) = 0, {х, у^)еП+1)В;

3) и (х, у, г^ху=т (х, у),(х, у) ь Ё- (2).

4) и (х, 0, г) = (лг, (3).

5) ¿-УМ, = 4 (яг, 4 6^- (4).

6) Uz z=x~y+0 &zz=x-y-0 >

5).

7) v+(x, y) = Uzy{z + y-x)az=xy+0=-U2y (x-y-z)az=xy0 = (6) = -v (x, y), где x{x, y\f{x, zy{x, z) — заданные достаточно гладкие функции, U lim, Uz, v+{x, y)= lim U (z + у — xf, v (x, y) = lim U (x — у — zf. z^x-y-0 J.

Задача Дарбу исследуется в каждом из четырех случаев:

О < а < 1- -1 <а <0 -а = п, пе iV- -а = п + у, п е N, 0 < у < 1.

7).

8) (9).

10).

Сначала в областях и строятся общие решения для уравнения (1) и решаются вспомогательные задачи. Так в области П+ решается задача с данными (2), (3) и II2 2=ху+0= со (х, у), а в области.

D — задача с данными (2), (4), и Uzz=xy0= со{х, у). При доказательстве существования и единственности решения вспомогательных задач в случаях (7), (8) получены формулы обращения для интегральных уравнений Абеля с параметром, например, уравнения.

Z-X.

1 С J (- p, zz — х — р)~а dp = у/г (ж, z) — ю{х, x-z). о.

Доказательство существования и единственности решения задачи Дарбу в этих же случаях параметра, а обосновывается на основании следующей теоремы.

Теорема 1.3. Если f{x, y)<= С (Е fx (x, y fy{x, у) е C (E)f].

П L{e), 0 < р < 1, f (x, 0) = 0, то единственное решение уравнения g (?, x-yx=f (x, y) х-у определяется формулой g (x, x-y) =.

1 yflf (x + t-y, tb-ty~]dt.

B (l-p, p) idt.

Существование и единственность решения задачи Дарбу сформулированы в виде теорем для каждого случая из (7)-(10). Приведем, например, теоремы для случаев (7) и (9).

Теорема 1.4. Пусть 0<а<1. Если т (х, у) е с (е тху (х, у) е.

Wxxy ' У^хуу > У ууу е С (A), q>(x, у) е с{в), tp (рх (х, х) = 0, (- J) a =1, то существует единственное решение задачи Дарбу.

Теорема 1.10. Пустьа = п = 2к, к е N. Если т (х, у) е с{е), ?)2к+] С{Е), ср{х, у) е С (В), тху е С{Е), у (х>у)е С{Б),.

Эк.

2к+1 ps (s + y, s)> с (в)пф),.

2к+1 э 7.

2к+1 х, у) Е С (а),.

Ъу.

2к+1 1 I ^ /.

— ГТФз^ + У’Ч = + = (р (х, х) = —у^О + У,^ ^ (<* + = У Сг, х) = =0,1 = 777к, то существует единственное решение задачи Дарбу.

Случай (10) после пкратного дифференцирования сводится к случаю (8). Отметим при этом, что здесь, как и в случае (9) задача Дарбу в указанной постановке имеет единственное решение лишь тогда, когда п = 2к, к е N. Но если условие сопряжения (6) заменить на следующее и2у (7 + у-х)а г=х-у+0 ^ гу игЛх-У~гТ г=х-у-0 '.

6') то и при нечетных значениях п можно получить аналогичные теоремы о существовании и единственности решения задачи Дарбу для случаев (9) и (10).

Во второй главе рассмотрена задача Л2 для уравнения (1) на множестве Я, которое представляет собой прямую треугольную призму, ограниченную плоскостями х = Щ2, у = Щ2, у — хЬ/2, г — О, г = Ь/2, а плоскость вырождения г + у — х = 0 делит ее на две области: = $ п {г > х — у}, = 5 п {г < х — у].

Пусть.

ЛГ/1 =.

N1=?[(x, z).

Ь и Ь А] х < п, х — < У < —г, 2 2 2 ь и Ь х < п, х—< г < — .

2 2 21.

Задача Л2. Найти функцию 11{х, у, г), удовлетворяющую условиям: ю.

1) и{х, у, г) е все смешанные производные третьего порядка непрерывны в и.

2).

3) и (х, Ь12, г) = у1(х, г (х, г)*7*1 (11).

4) и (х, у/)) = у2(х, у),(х, у) еТ1о (12).

5) и{х, у, Ь12)=(?1{х, у),{х, у)^ N0- (13).

6) выполняются условия (5), (6), где (р](х, у), у/- (х, г), у/2 (х, у) — заданные достаточно гладкие функции.

При решении задачи Л2 также рассматриваются 4 случая (7)-(10) значений параметра а. Поскольку общие решения для уравнения (1) известны, то сначала решены вспомогательные задачи для уравнения.

1) с данными (11) и (13) и игу (г + у — х) а2=ху= у+(х, у) в области и с данными (2), иг2=ху0= Ь (х, у), и2у{х — у — г) а^ху0= (х, у) в области .

Разрешимость задачи Л2 во всех случаях, кроме случая (9), сводится к однозначной разрешимости обобщенного интегрального уравнения Абеля, зависящего от параметра. Например, для случая (8) это уравнение имеет вид: х, У+Л12 ,.

У X ^ [у2ух (х> у) — 91 ух у).

14) где у = -а, 0 < у < 1, решение которого определяется единственным образом [16]: V х = 1ё (тиу/2) й | у№ (ш {п7/2)Л хМ-у)-2{у + 1112−1) К, У) 2п (1х]у{х-1)г [я Л (Х-1У 2 X X д (у г У+'2.

И^-т)^ I (з — уУ!2 {у + А/2 — - г) У л.

15) где /(л, у) — правая часть уравнения (14).

Пусть.

Ьух (X, у) = уС1 (ух — у)11 {у + Ы 2 — х)8>, ¥-2у* (х, У) = УС2 (ух — уУ2 (у + Ц2 — х)82, где т1гт2 > 0, 81г82 >1 + у/2, С7(уХ С2(у)е С[0,Ь/2 С1 (у), С2(у) -заданные функции.

Теорема 2.3. Пусть -1<а<0. Если (р](х, у), у/2(х, у)<�Е е С (Ж7), Ц>1ху, у2ху е С{И0)Ь у/1(х, г) е С (д^) <�р1(х, А/2) = = у/1(х)Ь?2), функции (р1ху, у2ху имеют вид (15), то существует единственное решение задачи Л2.

При рассмотрении случая (7) приходим к обобщенному интегральному уравнению Абеля с параметром у, которое не имеет единственного решения. Однако, если условие сопряжения (6) заменить на условие (6'), то полученное интегральное уравнение однозначно разрешается относительно функции у (х, у). Но при этом надо потребовать у (х + у, у), —у (х + у, у) е е С (М0)Г)). Последнее утвер

Эу Л ждение справедливо при условиях: р1у{х, у) = С1{у1х-у)г1×1г2у{х, у)=С2(ух^у)^ 9 — ос где г7 г2 > 0, 8]82 > ——, С ¡-{у), С2(у) — заданные функции.

52 у Л—-X 2.

Для случая (9) справедлива следующая.

Теорема 2.6. Если (р1{х,/), у), у) е е), у/1(х, г) е С (ТУ7), то существует единственное решение задачи ^ (где условие (6) заменено на условие (6')).

Случай (10) аналогично, как в случае задачи Дарбу, сводится к случаю (8). Но единственное решение задача Л2 имеет лишь при четных значениях п. При нечетных я единственное решение имеет место при замене условия сопряжения (6) на условие (6').

Третья глава диссертации посвящена решению видоизмененной задачи Коши для уравнения х-у-грху2-уиху =0 в области, ограниченной плоскостями у = 0, х = Ь, г = 0, г = = х-у, методом Римана.

Задача Коши. Найти функцию и (х, у, г), удовлетворяющую условиям:

1)и (х, у, г)е с (р все смешанные производные 3-го порядка непрерывны в ;

2)Ь (и)^0,(х, у,2)еВ-Ъ)и{х, у, г)[2=ху0=т{х, у{х, у)& Е.

4) II у г=х-у-0 со{х, у{х, у)6 Е;

5) и ух (х — у — 2=хуо = v (лr, у), (х, у) с Е, где х (х, у), со (х, у), у (х, у) — заданные достаточно гладкие функции. Поставленная задача исследуется в каждом из двух случаев:

0<у <1, -1 <у <0.

Теорема 3.1. Пусть 0 <1. Если т{х, у), oj (x, у), ых (х, у) е с (в тху> Юу е ^(^Oj v (x, y) e С (Е)п l (e vxy е С (В), то существует единственное решение задачи Коши, и оно определяется формулой.

U (x, y, z) = x{x, x-z)~ ](u{z + t, t) dt-X]Z ]v{t, st-s~z)~ydtds. y y s+z.

Аналогично получается решение задачи Коши в случае -1 < у < 0.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [45−55]. В работах [45−47,51,55] соавторам В. Ф. Волкодавову и И. Н. Родионовой принадлежат постановки задач.

В данной диссертации автором на защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Постановка, доказательство существования и единственности решения задачи Дарбу для уравнения (1) для значений параметра, а < 1.

2. Получение формул обращения интегральных уравнений типа Абеля с параметром.

3. Доказательство существования и единственности решения задачи А2 для уравнения (1) для значений параметра, а < 1.

4. Построение в явном виде решения видоизмененной задачи Коши для уравнения (16).

Пользуясь возможностью, выражаю искреннюю благодарность научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Виктору Филипповичу Волкодавову и доктору физикоматематических наук, профессору Камилю Басыровичу Сабитову за постоянное внимание к работе и ценные советы. Также выражаю благодарность кандидату физико-математических наук, доценту Ро-дионовой Ирине Николаевне за ценные советы при получении результатов третьей главы.

В диссертации использовался следующий порядок нумерации: номер 1.2 означает формулу (теорему, лемму) первой главы.

1. Бицадзе А. В. Об одном трёхмерном анализе задачи Трикоми // Сиб. мат. журнал. -1962. -т.3.5. -с.642−644.

2. Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа в многомерных областях // ДАН СССР, т. 110, 6, 1956, с.90−92.

3. Бицадзе А. В. Об уравнениях смешанного типа в трёхмерных областях // ДАН СССР, т.143, № 5, 1962, с.1017−1019.

4. Бейтмен Г. и Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука. -1965. -296с.

5. Волкодавов В. Ф., Захаров В. Н. Функции Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трёхмерном евклидовом пространстве и её применения. Самара. 1996.-52с.

6. Волкодавов В. Ф., Захаров В. Н. Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в п-мерных евклидовых пространствах. Самара.: Изд. Самарский университет, 1994, 31с.

7. Волкодавов В. Ф., Дорофеев А. В. Задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика, -1993.ll.-c.6−8.

8. Волкодавов В. Ф., Родионова И. Н. Видоизменённая задача Коши для одного вырождающегося уравнения третьего порядка // 1нте-гральш перетворення та к застусовання до крайових задач. Кшв -1995.10.,-с.19−25.

9. Волкодавов В. Ф., Родионова И. Н. Основные краевые задачи для одного уравнения третьего порядка в трёхмерной области специального вида // Диффер. ур-ния. -1993. -Т.29,8. -с.1459−1461.

10. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я., Быстрова O.K., Захаров В. Н. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в п-мерном евклидовом пространстве и их применение. -Самара.: Изд. Самарский университет. -1995, -76с.

11. Волкодавов В. Ф., Родионова И. Н., Салтуганов Н. М. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с параметрами и их приложения // Йошкар-Ола, 1997. -с.29−69.

12. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с некоторыми специальными функциями в ядрах и их приложения. Самара: Изд. Сам. ун-т. -1992. -с.5−7.

13. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит. 1963. -1100с.

14. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука. -1977. -640с.

15. Дорофеев A.B. Краевые задачи для некоторых гиперболических уравнений третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // Диссертация на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук. Самара, 1994, -84с.

16. Ежов А. М. Об одном трёхмерном аналоге задачи Коши Гурса для уравнения третьего порядка // Дифференциальные и интегральные уравнения, мат. физика и специальные функции. Междунар. научн. конференция. Тезисы докл., Самара, 1993. -с.91−92.

17. Ежов А. М. К вопросу о корректной постановке задачи Коши для уравнения третьего порядка // Дифференциальные уравнения. Том XXX, Минск. 1994. -с.526−528.

18. Ежов А. М. Аналог задачи Коши для уравнения третьего порядка // Междунар. конф. по мат. моделированию. Тезисы докл. / Якутск: Изд. ЯГУ, 1994. -с.28.

19. Жегалов В. И. Трёхмерный аналог задачи Гурса // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. -Новосибирск. 1990. -с.94−98.

20. Жегалов В. И. Представление решений одного уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Мат. моделирование и краевые задачи. Труды шестой межвуз. конференции, 29−31 мая 1996 г., Самара. 1996. -с.34.

21. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Трехмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях // Дифференциальные уравнения. 2000, т.36, № 6, -с.833−836.

22. Жегалов В. И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. -Новосибирск, -с.94−98.

23. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики //М.: Физматгиз, 1962;767С.

24. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа // М.: Наука. -1989. -734с.

25. Лазаренко Л. А. Задача Гурса для одного вырождающегося уравнения третьего порядка в трёхмерном пространстве // Диф. ур-ния.: Межвузовский сборник научн. трудов / Орск.: Изд. Орского пед. инс-та, 1992, -с.42.

26. Невоструева И. Л. Задача Коши Гурса для одного уравнения третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // Совр. групповой анализ и задачи мат. моделирования. XI Российский Коллоквиум. Тезисы докл. -Самара: Сам. унив.-т, 1993, -с.98.

27. Нахушев А. М., Пашковский В. И. О задаче A.B. Бицадзе для уравнения смешанного типа в многомерных областях // Дифференциальные уравнения, т.7, № 1, 1971, с.57−63.

28. Пулькин С. П. Сингулярная задача Трикоми в пространстве // Уч. зап. Куйб. пед. ин-та., вып. 14, 1956, с.63−77.

29. Раджабова JI.K. теории одного уравнения третьего порядка со сверхсингулярной точкой // Вырождающиеся уравнения и ур-ния смешанного типа / Междунар. научн. конф. Тезисы докладов. Ташкент.: ФАН, 1993, -с.145.

30. Раджабова JI. О некоторых случаях для одного линейного дифференциального уравнения третьего порядка со сингулярной точкой // Междунар. конф. по мат. моделированию. Тезисы докл. Якутск.: ЯГУ, 1994., -с.53.

31. Сабитов К. Б., Дорофеев A.B. О функции Римана одного класса гиперболических уравнений третьего порядка // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Труды междунар. конф., т.З. Ин-т Мат-ки с ВЦ УНЦ РАН. -Уфа. 2000, -с.148−152.

32. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т.2 // М.: Наука. -1968. -463с.

33. Чиханов Х. А. Применение рядов Лауречеллы к решению одного многомерного гиперболического уравнения// Вестник Самарского госуниверситета, № 2, 1996. Самара. — 1996. с.55−59.

34. Энбом Е. А. Аналог задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения третьего порядка// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 8-ой Межвузовской конференции. 26−28 мая 1998 г, часть 3. Самара. — 1998. — с.105−107.

35. Юсупов Д. К теории одного трёхмерного уравнения третьего порядка с одной сингулярной плоскостью // Междунар. конф. по мат. моделированию. Тезисы докл. Якутск.: Изд. ЯГУ, 1994, -с.66.

36. Волкодавов В. Ф., Бушков C.B. Задача л2 для одного дифференциального уравнения третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // Международный семинар. Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов. -Самара, СамГУ, 1995, -с.37.

37. Волкодавов В. Ф., Бушков C.B. Задача с интегральными и неинтегральными условиями для одного вырождающегося уравнения третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // П’ята Мжнародна наукова конференщя mtm академгка М. Кравчука, Кшв, 96, -с.77.

38. Бушков C.B. Задача Н3 для одного вырождающегося уравнениятретьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // Доклады 51-ой научной конференции СГПУ, апрель, 1997. -Самара. 1997. -с.8−13.

39. Бушков C.B. Задача для уравнения третьего порядка с интегральными и локальными условиями // Российская научно-техническая конференция. Тезисы докладов. Март 1997 г. Самара: Изд. ПИ-ИРС. 1997. -с.91.

40. Родионова И. Н., Бушков C.B. Решение видоизменённой задачи Коши для одного трёхмерного аналога уравнения Эйлера-Дарбу методом Римана // Доклады 52-ой научной конференции СГПУ. Самара, май 1998 г. Сборник научных трудов, -с.83−89.

41. Бушков C.B., Родионова И. Н. Применение метода Римана при решении задачи Коши для одного уравнения // Крайов! задач! для ди-ференщальных ргвиянь. 36. наук. пр. -Кшв. -1н-т математики НАЛ Украши. -1999. -вып.З. -с.40−46.

42. Бушков C.B. Формулы обращения одного управления Вольтер-ра первого рода с параметром и его применения // Дифференциальные уранения и их приложения в физике. Сборник научных трудов. Стер-литамакский филиал АН РБ. -Стерлитамак. 1999. -с.9−12.

43. Бушков C.B. Задача для одного трехмерного аналога уравнения Эйлера-Дарбу // Доклады 54-ой научной конференции СГПУ —Самара, 2000. -с.11−16.

44. Волкодавов В. Ф., Родинова И. Н., Бушков C.B. Решение видоизмененной задачи Коши методом Римана для одного пространственного аналога уравнения Эйлера-Дарбу с отрицательными параметром // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, № 4, с.552−554.