Принцип ограниченности для мер

Содержание

• Классическая теорема Никодима о равномерной ограниченности мер СН. Данфорд, Дж.Т.Шварц Е5]гл.1У

§ 9, теорема 8) утверждает, что, если Ж — семейство конечных счётно аддитивных скалярных мер, определённых на «г-кольце множеств, поточечно ограниченное, то семейство JM, равномерно ограниченное. То есть из того, что для любого эс. € Я

6 LLQ I /и. (ОС) I < Чju. е JH J следует

Sup IJUCOC) l

В литературе имеется немало работ, в которых она подвергается усилению в различных направлениях.

В самостоятельное направление выделились теоремы, в которых меры определены на борелевских &--алгебрах топологических пространств, причём, поточечная ограниченность семейства мер требуется не на всей С-алгебре, а лишь на части — на открытых множествах. Отправной точкой этого направления явилась

ТЕОРЕМА Дьедонне [III]. Пусть X — компактное хаусдор-фовое топологическое пространство, — борелевская (Г'-алге-бра подмножеств X, Л1 — семейство регулярных счётно аддитивных скалярных борелевских мер. Тогда, если для любого открытого множества Ы

6 Up I (И (U) < +, JU 6 'JU V

Su, p I M (6)1 <+ <=><=>

J4& JU, В e ?0 u

В диссертации эти теоремы изучаются для конечно аддитивных исчерпывающих мер со значениями в топологических абелевых группах. Исчерпываемость — это сходимость к нулю значений меры на любой дизъюнктивной последовательности множеств. В диссертации рассматриваются только, а б е л е в ы группы.

При рассмотрении групповых мер возникает вопрос об определении самого понятия ограниченности. Для нормированных групп этот вопрос решается естественно: ограниченные множества -это множества ограниченные по норме. В работах, исследующих принцип равномерной ограниченности для мер со значениями в произвольной топологической группе, наиболее часто употребляется следующее определение ограниченности

ОПРВДЕЛЕНЙЕ I. Подмножество, А топологической группы G называется ограниченным, если для любой окрестности V нуля в Gr существует натуральное число п, такое, что

А С V+.. .+ V.

--------'

Будем называть такие множества I-ограниченными. В дальнейшем для обозначений множеств У *. .. V будем использовать символ ¦+¦ V, введённый Н. Бурбаки ?4 Л

Для мер со значениями в нормированной группе теорема Ни-кодима доказана Л. Древновским [ 12J :

ТЕОРМА. Пусть (ff,////) — нормированная группа, -(Г-кольцо множеств, JU — семейство конечно аддитивных исчерпывающих мер на 01. Тогда, если для любого ос & Я

8>ир II JU Сэс) Ц < + j4 е JU.

Sup Ц м (ос.)!! < -ь сх=>

Для произвольных топологических групп аналогичная теорема доказана Р. Дарстом [9] :

ТЕОРЕМА. Пусть Gr — топологическая группа, 0{ - б*-кольцо множеств, JU — семейство конечно аддитивных исчерпывающих мер ju: 0i^>G. Тогда, если для любого сс & &L множество? ju foe) — ju е JU} - I-ограниченное, то множество {ju (x.): jueJU у осе Я,}- I-ограниченное. То есть поточечная I-ограниченность влечёт равномерную I-ограниченность

Для произвольных колец множеств, то есть, когда не является^{-кольцом,} приведённые выше теоремы, вообще говоря, не выполняются.

Взаимосвязь теоремы Никодима с классическими теоремами теории меры — Витали-Хана-Сакса, Орлича-Петтиса, Розенталя, Гротендика — изучается в работе [20 J

В ряде работ ?13,18,19 J найдены достаточные условия на кольца множеств, при которых теоремы типа теоремы Никодима справедливы для нормированных групп или произвольных топологических групп с определением I-ограниченности.

Определение I-ограниченности обладает существенным недостатком — одноточечные множества могут оказаться неограниченными. Определение ограниченности, предложенное Н. Бурбаки ([3J стр.252), указанного недостатка не имеет.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Подмножество, А топологической группы Gr называется ограниченным, если для любой окрестности V нуля в £г существуют натуральное число п> и конечный набор элементов группы д. 1,. .. у такие, что

А с U С + (*VO).

L ST i U

В дальнейшем это свойство называем 2-ограниченностью.

Целью диссертации является получение теорем Никодима и

Дьедонне для определения 2-ограниченности, распространение теоремы Никодима на кольца множеств, для которых теорема Никоди-ма справедлива для мер со значениями в нормированных группах и произвольных топологических группах с определением I-ограниченности, а так же ослабление требований на X в теореме Дьедонне.

Доказательства теорем для мер со значениями в произвольной топологической группе проводятся, как правило, от противного, поэтому фиксируется некоторая окрестность V и рассуждения проводятся относительно неё. Так, если в формулировке теоремы Дарста заменить исчерпываемость и I-ограниченность на V-исчерпываемость и V-I-ограниченность, то доказательство полностью сохраняется.

-исчерпываемость означает, что для любой дизъюнктивной последовательности f начинаянекоторого номера' JU (0Сп)? V.

V- 1-о граниченность множества, А означает выполнение включения, А ^ J для некоторого натурального числа П,

Сформулируем этот факт.

ТЕОРЕМА. Пусть Gr — топологическая группа, V — произвольная окрестность нуля в Gr, А — (Г-кольцо множеств, JU — семейство конечно аддитивных^{-исчерпывающих} мер. Тогда, если для любого ос е Л множество {J^C^O: ju е. X/} V-I-ограничено, то множество [j^^30^ - J1* & JU> ос }

V-I-ограничено.

Справедливость этой теоремы, следует из работы В.Н.Алек-сюка ([2 2 гл.

§ 6, теорема I), где получена общая теорема типа теоремы Никодима для неаддитивных мер со значениями во множестве не наделённом алгебраическими операциями.

V-2- ограниченность ' определяется аналогично определению V-1-ограниченности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть л- кольцо множеств. Будем говорить, что кольцо ZR, обладает свойством Никодима для V-1-ограниченности (V-2-ограниченности), если для любой топологической группы G, любой окрестности V нуля в G, любого семейства м аддитивных v -исчерпывающих мер ju: >6гиз V -I-ограниченности (соответственно, V-2-ограниченности) множеств j^W fx) .-yue-^/j при каждом ж следует V-I-ограниченность (соответственно, V-2-ограничен-ность) множества {ju (х): ju ^ JU t х &

Краткая запись: Л € Jf (V, 1) (соответственно, 4leJf (V, 2))

Заметим сразу, что, если 3{. —^{-кольцо,} то

Основными результатами диссертации являются

ТЕОРЕМА. Пусть & - топологическая группа, iJL -кольцо тожеств, JU — семейство конечно аддитивных исчерпывающих мер ju: Q-. Тогда, если для любого ос е-множество

2-ограниченное.

ТЕОРЕМА. Свойства Л. bjfc V, 1) и 3{ G К С Ц Z) эквивалентны.

ТЕОРЕМА. Пусть X — хаусдорфовое топологическое пространство, Gr — топологическая группа, — борелевская алгебра подмножеств X > <М — семейство регулярных аддитивных мер ja: % —Gr Тогда, если для любого открытого множества 11 множество {J* (U)jugJU-] - I-ограниченное

2-ограниченное), то множество J4& JU, В

I-ограниченное (2-ограниченное)

Цель работы. Целью работы является изучение принципа равномерной ограниченности мер со значениями в топологической абелевой группе для общего определения ограниченности.