Распределение случайной величины. 
Эмпирические линии регрессии

Контрольная работа № 1

Задача 1

Рабочие обслуживают три станка, на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором — 0,3, на третьем — 0,4. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего — в два раза меньше чем второго. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.

Решение:

Событие, А — взятая деталь оказалась бракованной. Деталь может быть изготовлена на первом, втором или третьем станке, обозначим через В₁, В₂ и В₃. Соответственно Р (В₁) =, Р (В₂) =, Р (В₃) = .

Условная вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком Р_В1(А) = 0,02, аналогично Р_В2(А) = 0,03 и Р_В3(А) = 0,04.

По формуле полной вероятности Р (А) =

По формуле Бейеса

Ответ: Р_А(В₃) = 0,1818

Задача 2

Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.

Решение:

Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки Р = .

Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть — 3 пары, 4 пары, 5 пар.

Вычислим

Р₅(3) + Р₅(4) + Р₅(5).

P_n(k) = ,

где р = 0,3 и q = 0,7.

Р₅(3) = 0,1323

Р₅(4) = 0,0284

Р₅(5) = 0,0024

Искомая вероятность равна 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631

Ответ: 0,1631

Задача 3

Вероятность того, что договор страховой кампании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,1. Страховая кампания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 190 до 250 раз включительно.

Решение:

а) Используем локальную теорему Лапласа, где k = 210, р = 0,1 и q = 0,9.

P_n(k) =, где =

Р₂₀₀₀(210) =

б) Используем интегральную теорему Лапласа, где n = 2000, k₂ = 250, k₁ = 190.

P_n(k₁;k₂) = (x'') — (x'),

х'' = .

х' = .

(x'') = (3,73) = 0,4999.

(x') = (-0,75) = - 0,2764.

P₂₀₀₀(190;250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763/

Ответ: а) Р₂₀₀₀(210) = 0,0224, б) Р₂₀₀₀(190;250) = 0,7763

Задача 4

Законное распределение независимых случайных величин Х и У имеют вид:

Х:

Y:

Найти вероятность P (X = 1), P (Y = 2).

Составить закон распределения случайной величины

Z = X*Y.

Проверить выполнение свойства математического ожидания:

M (Z) = M (X)*M (Y)

Решение:

Р (Х = 1) = 1 — (0,3 + 0,2) = 0,5

Р (Y = 2) = 1 — 0,4 = 0,6

Составим закон распределения случайной величины Z = X*Y

p_i = 0,3 + 0,2 + 0,38 + 0,12 = 1

M (Z) = 0*0,3 + 1*0,2 + 2*0,38 + 4*0,12 = 1,44

M (X) = 0*0,3 + 1*0,5 + 2*0,2 = 0,9

M (Y) = 1*0,4 + 2*0,6 = 1,6

M (Z) = M (X)*M (Y) = 0,9*1,6 = 1,44.

Ответ:

Задача 5

Функции распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

0 при х -1,

F (x) = (х + 1)² при -1×0,

1 при х 0.

Найти математическое ожидание этой случайной величины и вероятность того, что при каждом из трех независимых наблюдений этой случайной величины будет выполнено условие .

Решение:

Найдем плотность распределения

0 при х -1,

f (x) = F'(x) = 2(x + 1) при -1×0,

1 при х 0.

М (х) =

— математическое ожидание.

Р (х) = Р (-1 х <) = F () — F (-1) =

Ответ: М (х) = и Р (х <) =

Контрольная работа № 4

Задача 1

При выборочном опросе ста телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту

Найти:

а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на два года (по абсолютной величине);

б) Границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;

в) Объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о доле нет.

Решение:

Вычислим среднюю арифметическую и дисперсию распределения. Величина интервала k = 10 и с = 45, середина пятого интервала. Вычислим новые варианты в рабочей таблице:

a) Найдем среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки Искомая доверительная вероятность б) Выборочная доля зрителей от 30 до 50 лет Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки для доли Из соотношения = Ф (t) = 0,97; t = 2,17

Предельная ошибка выборки для доли = 2,17*0,0376 = 0,8 156

Искомый доверительный интервал

0,4733 — 0,8 156 р 0,4733 + 0,8 156

0,3918 р 0,5549

в) Учитывая = Ф (t) = 0,3876; t = 2,5

человек.

Если о доле p = w ничего не известно, полагаем (pq)_max = 0,25

человек.

Ответ: а); б) 0,3918 р 0,5549; в) 190 человек

Задача 2

По данным задачи 1, используя критерий ² — Пирсона, при уровне значимости, а = 0,5 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х — количество телезрителей — распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Выдвигается гипотеза Н₀: случайная величина Х — количество телезрителей — распределена нормально. с параметрами, а = 44,6 и ² = 217,17.

Для расчета р_i используем функцию Лапласа Дальнейшие расчеты покажем в таблице

Фактическое значение ² = 0,6006 Соотносим критическое значение ²_0,05;4 = 9,49 k = m — r — 1 = 7 — 2 — 1 = 4.

Так как ^{2 2}_0,05;4, гипотеза Н₀ согласуется с опытными данными. Выполним построение:

Ответ: Гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе N (44,6; 217,17) согласуется с опытными данными.

Задача 3

Распределение 50 однотипных малых предприятий по основным фондам Х (млн., руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции. У (тыс., руб.) представлено в таблице:

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние x_j и y_i и построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнение прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости, а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующие уравнения регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс., руб.

Решение:

1) Составим корреляционную таблицу

Построим эмпирические линии регрессии

2) Предположим, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость;

а) Вычислим среднее значение Найдем уравнение

у_х = b_yx(x — x) + y,

где b_yx =

у_х = - 0,0036(х — 214) + 1,75

у_х = - 0,0036х + 2,5105

х_у — х = b_yx(у — у),

где b_ху =

х_у = - 157,14(х — 1,75) + 214

х_у = - 157,14х + 489

б) Коэффициент корреляции

связь обратная и тесная;

Статистика критерия При, а = 0,05 и k = 48; t_0,05;48 = 2,01, так как t t_0,05;48 коэффициент значительно отличается от 0.

в) Используя х_у = - 157,14у + 489

х = - 157,14*2,5 + 489 = 96,14

Ответ: а) у_х = - 0,0036х + 2,5105; х_у = - 157,14х + 489.

б) k = - 0,7473.

в) х = 96,14 при у = 2,5