Теоретико-групповые методы исследования плоских деревьев

Традиционно теоретико-групповые методы применяются для изучения комбинаторных объектов — здесь уместно упомянуть теорию графов, комбинаторную топологию. Обширные исследования связаны с различными классами графов на поверхностях, часто называемых картами, эскизами. В настоящей работе развивается теоретико-групповой подход к изучению плоских деревьев — частного случая эскизов.

В работе Александра Гротендика «Esquisse d’un programme» [28], написанной в 1984 г., указано вытекающее из теоремы Г. В. Белого [4] соответствие между комбинаторными объектами — детскими рисунками — и алгебраическими кривыми над числоыми полями с заданной рациональной функцией. Идеи Гротендика, высказанные в «Esquise d’un programme», положили начало новому направлению исследований, иногда называемому «программой Гротендика». Среди основных работ, посвященных данной тематике, можно назвать сборники [29],[26],[27], статьи [40],[41],[39].

Целью настоящей диссертации является рассматрение некоторых аспектов вышеупомянутого соответсвия Гротендика, а именно сопоставления связного одноклеточного детского рисунка на € (плоского дерева) и полинома Шабата — многочлена из С[z] с не более чем двумя критическими значениями.

Один из способов описать детский рисунок — задать на нем действие картографической группы. В настоящей работе такой подход применяется к плоским деревьям — они рассматриваются как конечные множества (ребер) с заданным действием универсальной группы вращений ребер ?1Z ~ Z * Z.

Изучается круг вопросов, связанный с группой вращений ребер плоских деревьев (см. [Щ3],[2],[8], [9]). Группа вращений ребер представляет особый интерес, поскольку она инвариантна относительно действия группы Галуа на множестве плоских двукрашенных деревьев (см. [31]).

В ряде случаев группа вращений ребер позволяет разделять орбиты Галуа. Так, для выделенных четырех деревьев с группой вращения ребер, изоморфной группе Матье М23, Ю. В. Ма-тиясевич вычислил полиномы Шабата, определенные над биква-дратичным расширением <0>.

Сейчас уже известны все деревья с примитивной группой вращений ребер (см. [3]). Естественно встает вопрос об им-примитивных группах вращений ребер, соответствующих приводимым деревьям. Работа является продвижением в этом направлении. Исследуются различные аспекты приводимости деревьев, в частности, операция композиции деревьев.

Используются различные методы и результаты теории групп и их представлений, теории когомологии групп, теории графов, теории римановых поверхностей.

Основные результаты работы:

1)Построение трех эквивалентных категорий плоских деревьев.

2)Построение деревьев с группой вращений ребер М23 и РВЬ5(2).

3)Теоремы о группе вращений ребер плоских двукрашенных деревьев с нетривиальной группой автоморфизмов.

4) Применение классических результатов Ритта о разложимых полиномах к задаче определения порядка группы вращений ребер композиции плоских двукрашенных деревьев.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на па.

1. Н. М. Адрианов, Ю. Ю. Кочетков, А. Д. Суворов, Г. Б. Шабат, Группы Матъе и плоские деревья, Фундаментальная и прикладная математика, т.1, № 2, 377−384, 1995.

2. Н. М. Адрианов, Классификация примитивных групп вращений ребер плоских деревьев, Фундаментальная и прикладная математика, т. З, № 4, 1075−1089, 1997.

3. Н. М. Адрианов, Ю. Ю. Кочетков, А. Д. Суворов, Плоские деревья с исключительными примитивными группами вращений ребер, Фундаментальная и прикладная математика, т. З, № 4, 1091−1098, 1997.

4. Г. В. Белый, О расширениях Галуа максимального кругового поля, Изв. Акад. Наук СССР, 43 (1979), 269−276.

5. К. С. Браун, «Когомологии групп», М., «Наука», 1987.

6. В. Н. Земляченко, Н. М. Корниенко, Р. И. Тышкевич. Проблема изоморфизма графов Записки научных семинаров ЛОМИ, Вып. 118, 1982, «Теория сложности вычислений I», стр. 83−159.

7. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп М, Наука, 1982.

8. Ю. Ю. Кочетков, Картографические группы и обобщенные полиномы Чебышева, Успехи Матем. Наук, т.49, № 6, 1994, с.203−204.

9. Ю. Ю. Кочетков, Плоские деревья и их группы монодро-мии, Успехи Матем. Наук, т.50, № 6, 1995, с. 163−164.10. «Лекции по теории графов», М., «Наука», 1990.

10. С. Маклейн, «Гомология», М., «Мир», 1966.

11. Ю. В. Матиясевич, Вычисление обобщенных многочленов Чебышева на компьютере, Вестник Московского Ун-та, 6 (1996), 59−61.

12. А. Д. Суворов, О приводимых деревьях, Kurosh Algebraic Conference'98, Москва, 1998, 214−215.

13. С. А. Степанов, «Арифметика алгебраических кривых», М., Наука, 1991.

14. О. Форстер, «Римановы поверхности», М., Мир, 1980.

15. Ф. Харари, Э. Палмер «Перечисление графов», М., Мир, 1977.

16. Ф. Харари Теория графов, М, Мир, 1973.

17. N. М. Adrianov, G. В. Shabat, Plane trees and classical math, Contemporary Mathematics and its Applications, v.21, Algebra-3, (ed. R.V.Gamkrelidze), Moscow, 1995, 8−16.

18. N. M. Adrianov, G. B. Shabat, Unicellular cartography and Galois orbits of plane trees, «Geometric Galois Action II», eds. L. Schneps and P. Lochak, London Mathematical Society Lecture Notes Series 243, 13−24.21.