Теория общего регулярного пучка обыкновенных дифференциальных операторов и ее приложения

Теория обыкновенного регулярного линейного дифференциального оператора п-го порядка на конечном отрезке была разработана в классических работах Г. Биркгофа [43], [44]. .Широкое обобщение она нашла в работах Я. Д. Тамаркина [31], [51]. Хотя Я. Д. Тамаркин стал фактически рассматривать пучки обыкновенных дифференциальных операторов, он ограничился лишь простыми, однократными разложениями функций в ряды по элементам пучка. Это упущение было наверстано в широко известных работах М. В. Келдыша [21], [22], посвященных пучкам операторов, чуть позже в работах И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна [6], М. Л. Расулова [30] и многих других.

Для широких классов дифференциальных операторов, в том числе в частных производных, оригинальные и завершенные исследования даны в работах В. А. Ильина и его учеников [13]-[20].

С другой стороны, начиная с работ Гопкинса, Джексона, Уор-да [49], [50], [52], [53], М. В Келдыша, В. Б. Лидского [26], [27], А. П. Хромова [34]—[37], А. Г. Костюченко, А. А. Шкаликова [24], [38]—[40], Эбегарда [45], А. И. Вагабова [3]-[5], Фрейлинга [47], [48] изучены некоторые более широкие классы дифференциальных операторов — нерегулярные дифференциальные операторы и пучок обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Много работ посвящено линейным самосопряженным «сингулярным» операторам.

Подспорьем теории пучков линейных дифференциальных операторов (в частности регулярных) является теория смешанных задач уравнений математической физики, в том числе теория обобщенных рядов Фурье для решения этих задач.

В этом отношении отметим, что традиционный метод Фурье приложим лишь в случае задач, для которых ее «пространственный оператор» является самосопряженным [2], [7], [23], [25], [26].

Следует, однако, подчеркнуть, что на сегодняшний день отсутствует законченная теория регулярных пучков обыкновенных дифференциальных операторов общего вида (см. ниже формулы (3)-(4)). Особенно это относится к трём пунктам:

1. Не были выяснены окончательные условия гладкости коэффициентов пучка.

2. Понятие регулярности удачно сформулированное Г. Бирк-гофом для частного случая, не нашло ясного продолжения. Это трудное понятие приводилось в запутаной форме, связанной с массой параметров и индексов, и недоступной с практической стороны, что являлось причиной частых заблуждений.

3. Строго говоря, нет ни одной работы конкретно посвященной именно пучку (3)-(4), являющемуся важнейшим обобщением случая, рассмотренного Г. Биркгофом.

Нами предложены новые асимптотические по параметру формулы решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, даже в случае кратных корней характеристического уравнения. При этом найдены предельно слабые условия гладкости коэффициентов уравнения.

Удалось найти ясное геометрическое определение регулярности краевых условий, хорошо включающее в себя определение Г. Бирк-гофа и другие известные частные случаи. Установлена теорема об п, — кратном разложении в ряды Фурье, п функций по цепочкам для собственных и присоединенных функций пучка (3)-(4).

На основании построенной теории обоснована обобщенная теория рядов Фурье в приложении к широкому классу (не рассматривавшемуся ранее) смешанных задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типов в плоском случае.

Дадим краткий обзор содержания нашей диссертационной работы и ее существенных сторон, изложенных в трех главах.

В § 1 главы 1 при минимальных требованиях гладкости коэффициентов доказана теорема об асимптотическом по параметру виде фундаментальной матрицы решений системы дифференциальных уравнений у' - АА (х, Х) у = 0, а <х <6, (1) где оо з=о.

Предполагается, что:

1) А,(ж), ] > 0 — непрерывные на [а, Ь] п х п матрицы.

2) Характеристические корни <�р1(х),., ц>п{х) различны при всех х, их аргументы и аргументы их разностей не зависят от ж. В случае же кратных характеристических корней считаем, что их кратность не зависит от ж, а также, что существует постоянная матрица М, трансформирующая Ао (х) к жордановой форме.

М~1А0(х)М = J{x), J (x) = [Л (я),., Л (я)],.

Зх (х),. ^(х) — клетки Жордана размеров ., к$.

Предполагается, что А^{х) = 0, при ] — 1, 2,., 2 г — 1, где г = тах (&1,., к3).

Л-плоскость разбиваем на конечное число секторов $ с вершинами в О, для которых при определенной нумерации (?з-корней справедливы неравенства.

КеАс/^ж) ^ НеАс^ж) ^ • • • ^ ЫеА^ х), Лей1.

Доказана.

Теорема 1. При условиях 1), 2) существует матричное решение системы (1), имеющее асимптотическое в секторе 5* (где 5 — любой из секторов) представление вида.

А Г?>(Ш? у (х,) = {М (х)+Е (х,)}е —, где ?>(?) = diag (^pl (x),., (рп (х)) (случай простых (р-корпей), Е (х, А) —оо при, А —* со, Л е 6*. В случае кратных (р-корней.

2/(Ж, А) = {м + о (У}еЛ^КЖ, (2).

М — матрица, трансформирующая Ао (х) к жордановой форме.

Подобная же теорема 3 доказана для фундаментальной системы решений уравнения Р1(х, Х) у («-1) + • • • + ЛпРп (х, Х) у = О, где оо.

Рг (х,) = ^Р^МА-', г = !,., п, |Л| «1- ?=0 р^оО^Рг.?'^) —непрерывные на [а, 6] функции.

Доказанные теоремы в частных случаях и при больших ограничениях встречались в [3], [4], [28], [32], но в такой общности и краткости изложены впервые.

§ 3 главы 1 посвящен понятию регулярности для пучка обыкновенных дифференциальных операторов вида:

1{у)= коА (к°'к1х)-^ -ПУ, а < х <Ъ (3) ко<�п с комплексным параметром Л, с граничными условиями вида ко+к<�Сп кг<�п к v.

Лхк1 0, (4) х=ь) где Л⁰'^1), V — комплекснозначные непрерывные функции, а⁰^, — п-мерные столбцы констант. С помощью естественной процедуры предлагается из линейных комбинаций аЛ строить «определяющую» матрицу граничных условий (ск, /3) размеров п х 2п.

Пучок (3)-(4) мы называем регулярным, если выполнены условия а), б), в): а) —-при ко + к = п и А⁰'*1)^) при + к < п непресиь рывны на [а, Ь]. б) Корни </?1(сс), • •., 1рп (х) характеристического уравнения.

А (°>пх)<�рп + А¹, п~1х)срп~1 + • • • + А^п-1^1х)ч> - 1 — 0 различны при всех ж, отличны от нуля, их аргументы и аргументы их разностей не зависят от ж.

Пусть ¿-¿-о — некоторая прямая, проходящая через начало координат и не содержащая точек ь.

Прямой ¿-о сопоставим два набора из чисел — уох,., ъип набор {гУ1,., и) т} точек, содержащихся внутри одной из полуплоскостей, на которые ¿-¿-о делит комплексную плоскость (предполагается со-ответсвующая нумерация этих точек) и дополнительный набор — {гУ1,., и! п}{гиь., нот}, содержащийся в смежной полуплоскости. в) Отличны от нуля определители.

Ф T (a,?) = п п j=1 j=l J=1 j=l n n n n^2anjip3T-l (a) Yj? nj.

Подчеркнем широту данного определения регулярности, относящегося к пучку (3)-(4) самого общего вида, а также геометрическую ясность.

Случай, известный в литературе и рассмотренный Г. Биркгофом, относится к весьма узкой ситуации пучка (3)-(4) и регулярность по Г. Биркгофу моментально следует из нашего общего понятия регулярности.

В § 4 главы 1 дан анализ нашего определения регулярности и доказано 5 предложений просто и глубоко раскрывающих понятие регулярности в пункте в):

1. Необходимым условием регулярности пучка (3)-(4) является условие г* ^ min (rank a, rank ?).

2. Условие min (rank а, rank ?) также необходимое условие регулярности пучка (3)-(4).

3. В случае, когда все (/?-корни вещественны и.

4>(х) < • • • < <�рт (х) < 0 < <�рт+1(х) < ¦ ¦ • < <�Рп{х), условие регулярности в) заключается в отличии от нуля двух определителей Фт (а,(3) и Фп-т (а,(3).

4. Необходимыми условиями регулярности пучка (3)-(4) с распадающимися граничными условиями являются четность числа п и равенства для всех т из условия в).

5. В случае постоянных (^-корней периодические граничные условия определяют регулярную краевую задачу (при выполнении также условий а), б)).

Глава 2 посвящена проблеме п-кратных разложений в ряды Фурье по собственным элементам регулярной краевой задачи (3)-(4).

В первых трех параграфах дано исследование асимптотики и полюсов функции Грина регулярной задачи (3)-(4). При этом приходится вносить существенные изменения в традиционные леммы и рассуждения, вызванные изменениями в виде асимптотики фундаментальных решений уравнения 1(у) =0 при больших Л. Доказана.

Теорема 6. Для функции Грина регулярного пучка, (3)-(4) справедливы асимптотические оценки гапк, а — гапк (3 = т п 2 X д (х, Л) = при? < х.

6) X при X ^ ?

Л? X (для главной, разрывной части функции Грина А)), и далее ys (x, X) A'(g, A) Л.

Д (Л) Z-W.

5 = 1 к, 1=1 ы{х, А).

ЛП-1 X.

С1.

Л / Л / yk (t)dt х[Ц (0}е € е, AGS.

7) для остальной слагаемой части С.

У] означает величину, стремящуюся к К при, А оо, А €? — один из секторов (любой), на которые прямые КеХ (р{ = 0, ИеА ( г — (ру) = 0 делят А-плоскость. Доказаны важные леммы.

Лемма 1. Определитель.

1 1. 1.

Ч> <Р2. ¦ • • •. <Аг.

— 1) п-1.

Ч> 1.

Ч>2.

Ч>1 • ?2 ¦ ¦ ¦ • • Уп-1.

Ц>2-Ч>3 — • <Рп Ч>'Ч>Ъ • ¦¦¦¦Уп равен определителю Вадермонда У (991,.,.

Лемма 2. Пусть Е (£, А) — непрерывная функция, определенная в полуплоскости RecX ^ 0, с = const 0, 0 ^? ^ 1, такая, что равномерно А)| In |А| —> 0 при X —у оо, тогда X.

A)^->0, я > 0, при m —> оо.

О Гт для контура Гт из полуплоскости Re сХ ^ 0, кратчайшее растояние которого от начала координат стремится к оо при mУ оо.

Эта лемма существенно обобщает соответствующую лемму из [51, стр. 43].

ЛЕММА 3. Если тригонометрические коэффициенты Фурье ат и.

Ът функции /(ж), а ^ х ^ Ъ убывают как —, а Ых)? С1а, Ь),.

1п т то коэффициенты Фурье произведения / (ж) Н (х) также убывают как 1.

1п 171.

Опираясь на сформулированные леммы в § 4, установлена теорема об п-кратном разложении.

ТЕОРЕМА 9. Пусть тригонометрические коэффициенты Фурье функций ^-А^ко, кхх) при к0 + к — п и А (-к°'к1Цх) при к0 + к < п ах ^ убывают как —. Тогда справедлива формула п-кратного разло.

1п т жения функций Уь^х), % — 0, п — 1 в ряды Фурье по производным цепочкам для собственных и присоединенных функций регулярного пучка (3)-(4). Полагается при этом, что /го, • • •, /¿-п-2 — функции из области определения пучка (3)-(4), /гпх? С1 [а, Ь].

Отметим, что доказательство теоремы 9 в литературе дано непосредственно лишь в случае частного пучка типа Г. Биркгофа, где речь идет об однократном разложении [29, с. 91].

Глава 3 посвящена приложению изложенной теории к решению обобщенным методом Фурье смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов.

В части первой главы 3 рассматривается следующая гиперболическая смешанная задача.

Яп ^Яко+к!" у п. + а<�х<�ъ, (8) ко+кг^-п к0<�п дки дьк Ьк{х), к = 0, п — 1. (10) t=o.

Задаче (8)—(10) сопоставляется пучок (3)-(4) с более частным видом граничных условий (4'), определенных граничными условиями (9).

Пусть выполняются условия.

А{коМ)(х а) Функции -¿-хт+1 — е ^[(1, Ч ПРИ «I» = ТП, ш = 0, п. б) Корни^х (ж),. характеристического уравнения А^пх)фп + А¹^" 1^®-)^-1 + • • • + ~ 1 — 0 вещественны, различны при всех х и отличны от нуля. в) Два определителя ФТ (а,(3) и Фпт (а,/3) отличны от нуля (см. выше случай вещественных ^-корней). г) ко,., Нп-2 — функции из области определения пучка (3)-(4'),.

К-Лх) е С[а, ь], л 0, г = 0, п — 1, 7 = 0, п — г. х=а, о д) f (t, x) непрерывна на [0, Т] х [а, Ь].

Теорема 11. При условиях а)-д) задача (8)-(10) имеет единственное классическое решение. Оно может быть представлено в виде ряда Фурье по корневым функциям пучка (3)-(4'): ъ я) = Нт У* ехЧ I)<Ц

ГI а.

Ъ Ь.

1аХ! ^М^ПОГЧ I ех^/(т,()с1т, (11) гг, а 0 где п-1 к0=О ко+кг^-п 1^к0<�п.

ГI — последовательность замкнутых расширяющихся в Х-плоскости контуров с центром в О, таких, что между Г/ и Грасположен хотя бы один полюс функции Грина Л). Сами Гпроходят вне 8-окрестности полюсов.

Доказано также, что решение (11) допускает представление ъ.

ЯеХ=Н>>0 а ъ г.

1 (М'-^Дт^т, ?>0.

2тгг у.

ИеЛ=Я, а 0.

12).

Формулы (11), (12) в частных случаях дают возможность эффектного выражения для решения.

Так в случае задачи о колебании конечной струны д 2 и д2и дг2 «дх2' их=0,1 = 0 дки дгк — г=о.

13).

Кк (х), А- = 0,1 составляется функция Грина соответсвующего пучка е-А|®-?| еА (1-х-0 е-А (1+х-0 + е-Л (1-®-0 е-Л (1+?-а0.

2А 2А (ел-е-л) и по формуле (11) подсчитывая вычеты в полюсах Л = /стгг, к Е Ъ для функции G, находим решение в виде тригонометрического ряда Фурье: оо и х) = ^^ 2 / /г-о (О ^ к7г? с1? сое ктгЬ эт &7гж4с=1 оо ^^ —— / /г1 вт ктт^^Бт кжЬ вт ктсх, ктт, к=1 «0.

М Е С2[0,1], /11 € Сх[0,1], 4Я|од = 0, 3 = 0,1, /ц|0>1 = 0. В случае другой задачи.

Лд2и д2и д2и ¦ Я+7) Я 2 = ' 0<ж<1, ?>0, о¥дъох ох2 и=од =0, Л дьк.

4>к (х), к = 0,1,.

4=0 С2[0,1], ^еС^ОД], <�рох=ол1 = 0, с использованием формулы (12) и выполнением интегрирований по Л, получено представление и ч 2 / А 1 ^ Г /г '.

3 (® +2) + +3+ - х — АЛ «' ': Л, А + 2х — к — 3 -2<А) -7Г— -(^о (^ + 3-?-2ж)+2^о —;

2 / А 1 °° Г Ф1(®—*) + -Ф1 (з+.з) ~ з { 2ф1(^ + 3 + ж — ?) + о.

2Ф1 (1 I М — 2Ф + 3 — г — 2х) — 2Ф1 + я: где Ф.!(ж) = у о.

При этом (ро и Ф1 надо считать равными нулю вне [0,1], а Фг (1) Фх (1) полагать равным —-—. л.

Часть вторая главы 3 посвящена смешанной задаче для параболического уравнения. дти.

2т-1 Е кх= О и ко<�т, а кг) ^ дхкх дгк°дхк1 дк1 /(?, ж), а < х < Ь,? > О, х=а ^1) ^ дхкг.

О, и дЬк° Кко (х), к0 = 0, т-1.

14).

15).

16) о.

Пучок, который ставится в соответствие задаче (14)—(16) имеет вид: дк].

2 т.

2т—1 Е.

V кг= о ск.

0 ^ дхкг х=а дхкг.

17) 0. х=Ь ¦

Предполагается, что.

А (2коМ) (х а) Функции —-— при 2ко + к = 2 т, и АЛ2*0'**) (ж) при ах.

2ко + к < 2 т непрерывны на [а, 6].. б) (^-корни характеристического уравнения.

А (0,2т)(фт + А (2,2т-2)(ж^т-1 +. .. + ?(2*1−2,2)^ Х = 0 имеют вид.

7 Г щ{х) = г = 1,771, д (ж) > 0, ж € [а, 6], < с" ф с^ при г ф в) Граничные условия пучка (17) регулярны в смысле отличия от нуля определителей Фт (ск,/3), указанных выше в пункте в), относящемуся пучку к (3)-(4). г) Ък (х) к = 0,., га — 2, принадлежат области определения задачи (14)—(16), то есть имеют 2га непрерывных производных и удовлетворяют краевым условиям (15) д) f{t, x) непрерывна на [О, Т] х [а, Ц.

Доказана ь х) = Нт [ ехНа [ А.

I—юо 27гг у у.

Теорема 14. При условиях а)-д) формула ъ ч —1 А А2*.

00 27гг.

Тг, а ъ г 1 о /.

Тг, а О.

— Нт Л, ЛI I.

18) при одном из условий еС ([а, 6]х[0,Т]), /(О.ЯОЕЕО, либо еС ([а, 6] х[0,Т]), /|х=а>ь = 0. определяет единственное классическое решение задачи (14)-(16). Здесь Т1 — замкнутые контуры с центром в 0 изплоскости, проходящие вне 6-окрестности полюсов С (х, Л), причем наименьшее расстояние Т от начала координат стремится к оо при I —> сю.

Решение (18) допускает также представление вида о ^ I ех2Ч I 0(х, /г, А) с??и.

4 ' 7гг ь о г.

-¿-У Асгл I /ел2(*-г)/(т,^т, (19).

Ь, а О г > о, где? = и ?2,¦ = {А, |А| = 1, |аг?Л| < а0}, {А, |А| > 1, aгgA = ±-О!0}, ао = ^ + ^ ~ тахад#<�р"). В формулах (18), (19).

ГП — 1 к0=0 лк 1.

Отметим, что в конструктивной форме теоремы существования и единственности для задач (8)—(10) и (14)—(16) в столь общей постановке не решались ранее в литературе (см. [25], [30]).

В заключительном § 3 главы 3 в качестве иллюстраций теоремы 15 рассмотрена задача распространения тепла в ограниченном стержне: ди д2и ' ¦ од = о, (20) и.

4=0,= Цх), Н (0) = Н (1) = 0- Н (х) <Е С1[а, Ъ].

Находя решение этой задачи соответственно по формулам (18), (19), придем к двум представлениям решения задачи: оо и (г, х) = / /г (£) 8тктг? с1?е~к27т2* вткттх, о.

— е + «сЬ ^ у /.

Первое — ряд Фурье по тригонометрической системе, второе — интеграл от экспоненциального ряда.

Связующим логическим звеном всей работы является теория пучка (8)-(9).

Текст диссертации разбит на три главы, носящих в определенной степени самостоятельный характер. Мы сочли целесообразным вести единую нумерацию формул всего текста, а также единую нумерацию всех теорем и лемм. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8]-[12] и докладывались на VII международной конференции в Абрау-Дюрсо, на семинарах математического факультета ДГУ и ДГПУ, на городском семинаре по математике в г. Махачкале. В совместной работе [9] Вагабову А. И. принадлежит постановка проблемы регулярности пучка (3)-(4).

1. Абдусаламов X. А. Решение смешанных задач для квазилинейных параболических систем // Диссертация кандидата физико-математических наук. 2000. Махачкала. 71с.

2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев, 1965. 798 с.

3. Вагабов А. И.

Введение

в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов-на Дону. Изд-во РГУ, 1994. -160 с.

4. Вагабов А. И. Об уточнении асимптотической теоремы Тамар-кина // ДУ. Т. 29, № 1. 1993. С. 41−49.

5. Вагабов А. И. Об условиях гладкости коэффициентов регулярных дифференциальных операторов // Докл. РАН. Т. 363, № 5. 1998. С. 583−585.

6. Гохберг И. Д., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов. М., 1965. 448 с.

7. Жданович В. Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости // Матем. сборник. Т.47(89), № 3. 1959. С. 307−354- Т. 48(90), № 4. 1959. С. 447−498- Т. 49(91), ЖЗ. 1959. С. 223−266.

8. Ибрагимов М. Г., Вагабов А. И. Краевая задача с диссипа-тивным операторным коэффициентом // Сб. «Материалы VII международной конференции», Ростов-на-Дону. 1999. С. 14.

9. Ибрагимов М. ГВагабов А. И. Теория общего регулярного пучка обыкновенных дифференциальных операторов // Деп. в ВИНИТИ. № 3386-В99, 1999. 45 с.

10. Ибрагимов М. Г. Смешанная задача для гиперболического уравнения // Сб. «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения», Махачкала, Изд-во ДГУ. 2000. С. 55−58.

11. Ибрагимов М. Г. О нахождении решений смешанных задач посредством начальных функций // «Вестник ДГУ-2000», Махачкала, Изд-воДГУ. 2000.

12. Ибрагимов М. Г. Теорема единственности решения смешанной задачи для общего линейного гиперболического уравнения на плоскости // «Вестник ДНЦ РАН», Махачкала, Изд-во ДНЦ РАН. № 8.2000.

13. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // УМН. Т. 15., № 2(92). 1960. С. 98−154.

14. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа // УМН. Т. 13., № 1. 1958. С. 87−180.

15. Ильин В. А. Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа // УМН. Т. 23., № 2. 1968. С. 61−120.

16. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I, II //ДУ. 1980. Т. 16., № 5. С. 771−794- Т. 16, № 6. С. 981−1009.

17. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности в ½ и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент // ДАН СССР. Т. 273., № 4. 1983. С. 789−792.

18. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. Т. 273., № 5. 1983. С. 1048−1053.

19. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // ДУ. Т. 22., № 12. 1986. С. 2059;2071.

20. Ильин В. А., Йо И. Оценка разности частичных сумм разложений, отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух операторов типа Штурма-Лиувилля для абсолютно непрерывной функции // ДУ. Т. 15., № 7.1979.0.1175−1193.

21. Келдыш М. В. О собственных функциях и собственных значениях некоторых классов несамосопряженных линейных уравнений //ДАН СССР. Т. 77., № 1. 1951. С. 11−14.

22. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. Т. 26., № 4. 1971. С. 15−41.

23. Коробейник Ю. Ф., Дедушев А. В. Решение смешанной задачи методом Фурье // Изв. СКНЦ ВШ. Ест. науки. № 1. 1980. С. 1116.

24. Костючепко А. Г., Шкаликов А. А. О суммируемости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов и операторов свертки // Функц. анализ. Т. 12., № 4. 1978. С. 24−40.

25. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.307 с.

26. Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов // Труды Моск. матем. общества. Т. 11. 1962. С. 3−35.

27. Лидский В. Б. О разложении в ряд Фурье по главным функциям несамосопряженного эллиптического оператора // Матем. сборник. Т. 57., № 2.1962. С. 137−150.

28. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.

29. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука. 1969. ^.

30. Расулов М. Л. Метод контурного интеграла. М.: Наука, 1964.462с.

31. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды. Петроград, тип. М. П. Фроловой, 1917. 308с.

32. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1983. 352 с.

33. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2,М.: Наука, 1966.500с.

34. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Матем. сборник. Т. 70, № 3. 1966. С. 310−329.

35. Хромов А. П. О порождающих функциях вольтерровых операторов // Матем. сборник. Т. 102(144), № 3. 1977. С. 457−472.

36. Шкаликов А. А. О полноте и базисности собственных и присоединенных функций краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Дис. канд. физ.-мат. наук. 1977.121с.

37. Шкаликов А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями // Функц. анализ. Т. 10, № 4. 1976. С.69−80.

38. Шкаликов А. А/Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. Вып. 9. 1983. С. 190−229.

39. Эйдельман С. Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

40. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general alliptic boundary value problems // Comm. Appl. Math. V. 15. 1962. P. 119−147.

41. Eberhard W. Zur Vollstanddigkeit des Biortogonalsystems von Eigenfunktionen irregularer Eigenwertprobleme // Math. Z. № 146. 1976. S. 213−221.

42. Flax A. H. Aeroelastic problems at Supersonic Speed // Second Internat. Aeronautical Conference. New York. 1949. P. 322−360.

43. Freiling G. Zur Vollstanddigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregularer Operatorbuschel // Math. Z. Bd. 1 881 984. S. 55−68.

44. Freiling G. Uber die mehrfache Vollstanddigkeit des Systems die Eigenfunktionen und assoziierten Funktionen in ?2(0, l) // Z. Angew. Math. u. Mech. Bd. 65, № 5. 1985. S. 336−338.

45. Hopkins J. W. Some convergent developments associated with irregular boundary conditions // Trans. Amer. Math. Soc. V. 20. 1919. P. 245 259. 86.

46. Jacksen D. Expansion problem with irregular boudary conditions // Proc. Amer. Acad. Y. 51. 1916. P. 383−417.

47. Tamarkin J. Some general problems of theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions // Math. Zs. V. 27. 1927. P. 1−54.

48. Ward L. An irregular bounded value and expansion problem // Ann. Math. V. 26. 1925. P. 21−36.

49. Ward L. A third-order irregular boundedary value problem and the associated series // Amer. J. of Math. V. 57. 1935. P. 345−362.