Пирамида с треугольником в основании

В пирамиде SАBC: треугольник АBС — основание пирамиды, точка S — ее вершина. Даны координаты точек А, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:

1). длину ребра АB;

2). угол между ребрами АB и АS;

3). угол наклона ребра АS к основанию пирамиды;

4). площадь основания пирамиды;

5). объем пирамиды;

6). уравнение прямой АB;

7). уравнение плоскости АBC;

8). проекцию вершины S на плоскость АBC;

9). длину высоты пирамиды.

Задание 14.

A (3;2.0); B (1;2;0); C (0;4;2); S (1;-2;4)

• Сделаем чертеж
• 1. Длина ребра АB
• Длина ребра АB равна длине вектора АB.
• Найдем координаты вектора
• ;
• Тогда длина вектора равна:
• 2. Угол между ребрами АB и АS
• Угол между ребрами АB и АS равен углу между векторами и. Угол между векторами находим по формуле:
• Тогда
• Следовательно
• 3. Угол наклона ребра АS к основанию пирамиды.
• Угол наклона ребра АS к основанию пирамиды является углом между прямой AS и ее проекцией на плоскость. Это угол между нормалью к плоскости АBC и прямой АS. В качестве нормали возьмем векторное произведение и .
• Следовательно,
• Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты
• Тогда угол между ребром АS и гранью АBC равен:
• 4. Площадь основания пирамиды
• Площадь основания пирамиды равна площади грани АBC и равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и. Площадь же параллелограмма равна векторному произведению векторов и. Произведение векторов численно равно модулю нормального вектора. Т.о.
• Следовательно,
• 5. Объем пирамиды
• Объем пирамиды построенной на векторах найдем по формуле
• где
• Учитывая, что
• Следовательно
• 6. Уравнение прямой АB.
• Уравнение прямой АB найдем как уравнение прямой с направляющим вектором. Т. е.
• пирамида ребро угол основание
• или
• Т.е. искомая прямая лежит в плоскости .
• 7. уравнение плоскости АBC.
• Уравнение плоскости АBC будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
• или
• Окончательно получаем
• 8. Проекцию вершины S на плоскость АBC
• Проекция вершины S на плоскость АBC — это точка пересечения плоскости ABC и прямой SD, перпендикулярной плоскости ABC.
• Уравнение высоты может быть найдено как уравнение прямой, проходящей через заданную точку A с направляющим вектором. В качестве направляющего вектора используем нормальный вектор плоскости АBC.
• Нормальный вектор плоскости получим из ее уравнения (пункт 7).
• Таким образом уравнение искомой прямой имеет вид
• или
• Найдем точку пересечения плоскости и прямой. Для этого решим систему полученных уравнений
• Следовательно, точка D (1,1,1).
• 9. Длину высоты пирамиды
• Длину высоты пирамиды найдем по формуле расстояния от точки до плоскости
• где, координаты точки S,
• A, B, C, D — коэффициенты уравнения плоскости основания пирамиды.
• Следовательно