Задачи динамической реконструкции входа при измерении части координат

В исследованиях различных динамических процессов и явлений возникают задачи восстановления неизвестных характеристик изучаемых объектов по доступной, зачастую не полной информации. Подобные задачи вкладываются в класс обратных задач динамики управляемых систем, состоящих в нахождении неизвестного входа системы по измерениям ее выхода. Система может описываться обыкновенным дифференциальным уравнением, дифференциальным уравнением в частных производных, дифференциально-функциональным уравнением и т. д. Уравнение, задающее динамику системы, предполагается известным. Входом являются факторы однозначно определяющие движение системы, им может служить либо управление (как функция времени), подаваемое на систему, либо начальное состояние системы, либо в общем случае пара: управление и начальное состояние. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, часто (это соответствует практической ситуации) такой информацией является некоторый сигнал о текущей траектории системы. В настоящее время интерес к разработке и развитию теории, методов и алгоритмов динамического восстановления входных сигналов в динамических системах устойчиво растет, и расширяется область их практического использования.

Первые публикации, посвященные динамическим задачам, появились в середине 60-ых годов. В работах Р. Брокетта, М. Месаровича [64], JI. Силвер-мана [84] и других авторов [66, 83, 85] для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладкости управлений, были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач. В монографической литературе, вышедшей в 90-е годы, вопросам динамического восстановления входных воздействий посвящены монографии [41, 51, 65, 75, 80]. Если информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики, вообще говоря, становятся некорректными, и вопрос построения их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов (алгоритмов). Для линейных идеально наблюдаемых систем регуляризирующий алгоритм, восстанавливающий начальное состояние, был предложен в [45]. В [13, 14], при условии слабой замкнутости оператора «вход — выход», указаны регуляризирующие алгоритмы аппроксимации (в метрике Хаусдорфа) компактного образа множества всех решений задачи.

Существенный вклад в развитие теории некорректных и обратных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, А. Б. Куржанский, М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусько, В. В. Васин, В. И. Агошков, Ф. П. Васильев, В. Я. Арсенин и др. [1−4, 7, 8, 10, 14−17, 25, 33−36, 42−44, 54, 57−59 62, 71]. Отмеченные исследования по регуляризации относятся к программной постановке задачи: регуляризирующие алгоритмы обрабатывают историю измерений выхода целиком (имеют апостериорный характер). Вопрос о построении позиционных (вольтерровых) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работах Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского [28, 47]. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в «реальном времени «полного вектора состояния аффинной по управлению системы. В основу алгоритма положено сочетание некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитой Н. Н. Красовским и его школой [22−24] и идей теории некорректных задач [10, 16, 60]. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. Разрешающий алгоритм строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, учитывающих поступающую информацию в конечном числе временных узлов. Для случая измерения части координат вектора состояния, при определенных предположениях на систему, подобные алгоритмы сконструированы в [5, 19, 20, 29, 31, 40, 50, 55, 68, 72, 76, 80]. Вопрос об устойчивой позиционной аппроксимации множества всех допустимых входов изучался в [32]. Ряд постановок и решений обратных задач динамики в классах динамических регуляризирующих алгоритмов исследовался в работах а) [11, 29, 37, 48−50, 67−69] — для систем обыкновенных дифференциальных уравненийб) [26, 41, 77] — для систем с последействиемв) [18, 27, 38, 41, 51, 73, 78, 79] — для уравнений математической физики. Общая постановка задачи о динамической регуляризации в конечномерных системах (включающая, в частности, вопрос о регуляризации обратной задачи динамики), а также метод ее решения, основанный на привлечении функций Ляпунова, рассматривались в [48, 69].

Выделим общие для всех алгоритмов принципы выбора вспомогательной управляемой модели. Во-первых, конструируется некоторый оценочный функционал, из малости значений которого на движении модели следует близость модельного управления к искомому входу в смысле подходящей метрики. Во-вторых, управление в модели выбирается так, чтобы стабилизировать упомянутый функционал. Отметим, что работа выполнена в рамках указанного подхода к постановке и решению обратных задач динамики.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, двух глав, списка литературы. Система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый из них — номер главы, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 105 страниц машинописного текста.

1. Агошков В. И. Обощенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

2. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

3. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, 1978.

4. Арсенин В. Я., Гончарский А. В. Некорректно поставленные задачи и обратные задачи математической физики // Вестник МГУ. Сер. Вы-числ. математ. и кибернет. 1981. № 3. С. 13−17.

5. Близорукова М. С., Максимов В. И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998, № 2, с. 56−61.

6. Бочкарев А. Ф., Андреевский В. В., Белоконов В. М. Аэромеханика самолета: Динамика полета: Учебник для авиационных вузов/2-е изд. — М.: Машиностроение 1985.

7. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

8. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1981.

9. Васильева Е. В. Нижние оценки скорости сходимости алгоритмов динамической реконструкции для систем с распределенными параметрами // Мат. заметки. 2004. Т. 76. вып. 5. С. 675−678.

10. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

11. Вдовин А. Ю. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления. Сборник научных трудов «Задачи позиционного мо-' делирования». Свердловск. 1986. С. 3−11.

12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

13. Гусев М. И. Об одном классе обратных задач динамики управляемых систем // Стохастическая оптимизация. Международная конференция. Киев. Тезисы докладов. Ч. 1. 1984. С. 72−74.

14. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем. В кн.: Механика и научно-технический прогресс. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187−195.

15. Жевнин А. А., Колесников К. С., Криценко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1985. № 4. С. 29−35.

16. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

17. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы для определения коэффициентов в гиперболических уравнениях. Новосибирск: Наука, 1988.

18. Ким А. В., Короткий А. И. Динамическое моделирование возмущений в параболических системах // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика.1989. № 6. С. 35−41.

19. Короткий А. И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. выс. учеб. заведений. 1998. № 11 (438). С. 109−120.

20. Короткий А. И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. № 1. С. 21−24.

21. Короткий А. И., Цепелев И. А. Верхняя и нижняя оценки точности в задаче динамического определения операторов // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург. Т. 4. С. 227−238.

22. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

23. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

24. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1984.

25. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

26. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. математ. и мех. 1983. Т. 47. № 6. С. 815−825.

27. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журнал выч. мат. и мат. физики. 1997. Т. 37. № 3. С. 119−125.

28. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1983. № 2. С. 29−41.

29. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1987. Т. 1. С. 196−211.

30. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О методах позиционного моделирования управления в динамических системах. / в кн.: Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений и управляемы систем. Свердловск: УрО АН СССР, 1988.

31. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Об устойчивом позиционном восстановлении управления по измерениям части координат. -Сб. науч. трудов. Свердловск: УрО АН СССР. 1989. С. 33−47.

32. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Устойчивое решение обратных задачIдинамики управляемых систем. Оптимальное управление и дифференциальные игры // Тр. Математ. института им. В. А. Стеклова. Москва, 1988. Т. 185. С. 126−146.

33. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

34. Куржанский А. Б., Сивергина И. Ф. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем // ДАН. 1998. Т. 1. № 2. С. 31−36.

35. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

36. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. СО, 1980.

37. Максимов В. И. Позиционное моделирование неограниченных управлений для нелинейных систем с диссипацией // Автоматика и телемеханика. 1988. № 4. С. 22−30.

38. Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем. // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2059;2067, II // 1991. Т. 27. № 4. С. 597−603.

39. Максимов В. И., Пандолфи Л. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах. // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. № 3.

40. Максимов В. И. Реконструкция входных воздействий при измерении части координат //В кн. «Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения», М.:ВИНИТИ, 2002. С. 137−171.

41. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН. 2000.

42. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973.

43. Марчук Г. И., Агошков В. И., Шутяев В. П., Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М: Наука, 1993.

44. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

45. Никольский М. С. Об идеально наблюдаемых системах // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 7. № 4. С. 631−638.

46. Овсеевич А. И., Трущенков B. JL, Черноусько Ф. Л. Управления непрерывного гарантированного оценивания состояния динамических систем // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика, 1984, JVM.

47. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод позиционной регуляризации в задаче о построении движения // Аннотации докл. 5-го Всесоюзн. съезда по теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата: Наука Каз.ССР. 1981. С. 214.

48. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 552−556.

49. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О моделировании параметров динамической системы // Задачи управления и моделирования в динамических системах. Свердловск, 1984. С. 47−68.

50. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения. Новосибирск, 1989. С. 53−56.

51. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Препринт ИММ УрО АН СССР. 1991. 104 С.

52. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Динамические обратные задачи для параболических систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 5. С. 579−597.

53. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. Изд-во МГУ, 1999.

54. Петров Б. Н., Крутько П. Д., Попов Е. П. Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики // ДАН СССР. 1979. Т. 247. № 5. С. 1078−1081.

55. Розенберг В. Л. Об одном алгоритме решения обратной задачи с неполной информацией // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР, 1991.

56. Розенберг В. Л. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 183−202.

57. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

58. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501−504.

59. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики. Бюлл. Московского гос. унив-та. (А). Т. I. М.: ГОНТИ. 1939. 25 С.

60. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

61. Черноусько Ф. JI. Гарантированные оценки неопределенных величин при помощи эллипсоидов // ДАН СССР. 1980. Т. 252. № 1. С. 198−207.

62. Черноусько Ф. JI. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

63. Baras J. S., Kurzhanskii А. В. Nonlinear filtering: the set-membership (bounding) and H^ approaches // Proceedings of the IFAC NOLCOS conference. Tahoe. CA. Plenum Press. 1995.

64. Brockett R. W., Mesarovich M. P. The reproducivility of multivariable control systems // J. Math. Anal, and Appl. 1965. Vol. 11. N. 1−3. P. 548−563.

65. Isakov V. Inverse source problems. Providence, R.I.: AMS, 1990.

66. Hirshorn R. M. Invertibility of nonlinear control systems // SIAM J. Contr. and Optim. 1979. Vol. 17. N. 2. P. 289−297.

67. Kryazhimskii A. V. Optimization of the ensured result for the dynamical systems // Proceedings of the Internat. Congress of Mathematics. Berkley. 1986. P. 1171−1179.

68. Kryazhimskii A. V., Osipov Yu. S. On positional calculation of normal controls in dynamical systems // Probl. Control and Inform. Theory. 1984. Vol. 13. N. 6. P. 425−436.

69. Kryazhimskii A.V., Maksimov V. I., Osipov Yu.S. Reconstruction of boundary-sources through sensor observations. IIASA Working Paper. Lax-enburg. Austria. WP-96−97. 1996.

70. Kurzhanskii А. В., Khapalov A. Yu. On the state estimation problem for distributed systems. Analysis and Optimization of systems // Lecture Notes in Control and Informational Sci. Springer-Verlag. 1986. Vol. 83.

71. Maksimov V. I. On the reconstruction of a control through results of observations // Proceedings of the Third European Control Conference. Rome, Italy. 1995. P. 3766−3771.

72. Maksimov V. I., Pandolfi L. Dynamical identification of inputs for linear retarded systems and partial observations, Proceedings of IFAC Workshop on Linear Time-Delay Systems, Ancona, Italy, 11−13 September 2000, P. 4147.

73. Mendel J. M. Maximum-likelihood deconvolution: a journey into model-based signal processing. N.Y. Springer Verlag, 1990.

74. Osipov Yu. S. Control problems under insufficient information // Proceeding of 13th IFIP Conference «System modelling and Optimization». Tokyo. Japan. 1987. Springer. 1988.

75. Osipov Yu. S. On reconstruction of a parameter of dynamical system // Proceeding of the International Symposium «Functional-Dif. Equations». Kyoto. Japan. 1990. P. 309−317.

76. Osipov Yu. S. On the reconstruction of a parameter for hyperbolic system. IIASA Working Paper. Laxenburg. Austria. WP-91−54. 1991. 32 P.

77. Osipov Yu. S., Korotkii A. I. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems. Ill-posed Problems in Natural Sciences. VSP-TVP. Tokyo. Japan-Moscow. Russia. 1992. P. 108−117.

78. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Gordon and Breach. London. 1995.

79. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I. Dynamical inverse problems for systems with distributed parameters // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1996. Vol. 4. No. 4. P. 267−282.

80. Pandolfi L., Maksimov V. I. Dynamical Reconstruction of Unbounded Controls in Nonlinear Dynamical Systems // CD Proc. Fourteenth Internat. Symposium «Math. Theory of Networks and Systems». Perpignan, France, June 19−23, 2000.

81. Sain M. K., Massey J. L. Invertibility of linear time-invariant dynamical systems//IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 141−149.

82. Silverman L. M. Inversion of multivariable linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1965. Vol. AC-14. P. 270−276.

83. Willsky A. S. On the invertibility of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. Vol. AC-19. P. 272−274.

84. Мартьянов А. С. О реконструкции управлений по измерению части координат // Известия РАН. Теория и системы управления, 2004, 4, с. 52−60.

85. Мартьянов А. С. Динамический метод невязки в задаче реконструкции входов при неполной информации // Журнал вычислительной мат. и мат. физики, 2005, том 45, № 2, с. 224−232.

86. Мартьянов А. С. Об одном алгоритме восстановления управления // Тезисы VIII конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи». Москва. 2003. С. 44.

87. Мартьянов А. С. Реконструкция управления и траектории летательного аппарата // Нелинейная динамика и управление под ред. С.В. Емилья-нова и С. К. Коровина. М. Физматлит, 2005, № 5, с. 254−261.

88. Мартьянов А. С. Реконструкция в реальном времени управления и траектории летательного аппарата // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». Екатеринбург, 2−6 февраля, 2004 г. С. 193−194.

89. Мартьянов А. С. О моделировании неизвестных характеристик летательного аппарата // Тезисы докладов VI Международной конгресса по математическому моделированию. Нижний Новгород, 20−26 сентября, 2004 г. С. 102.

90. Мартьянов А. С. О реконструкции управления нелинейной динамической системы // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург, 2630 января, 2004 г. С. 250−255.