Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

Исследование краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому типу уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в газовой динамике, теории околозвуковых течений, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях науки.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми [77] и С. Геллерстедта [88].

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явилась работа Ф. И. Франкля [78], в которой он обнаружил важные приложения теории уравнений смешанного типа к проблемам трансзвуковой газовой динамики.

Дальнейшим развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль [79],[80], A.B. Бицадзе [8, И], К. И. Бабенко [3], C.S. Morawetz [89], M.N. Protter [90, 91], Л. Берс [5], В. Ф. Волкодавов [14], В. Н. Врагов [15, 16], Т. Д. Джураев [18],.

B.И. Жегалов [19, 20], А. Н. Зарубин [21], И. Л. Кароль [30], Н. Ю. Капустин [29], Ю. М. Крикунов [35], А. Г. Кузьмин [36], O.A. Ладыженская [40], Е. И. Моисеев [44], A.M. Нахушев [46], Н. Б. Плещинский [48],.

C.П. Пулькин [51], O.A. Репин [54], К. Б. Сабитов [57], М. С. Салахитдинов [67], М. М. Смирнов [72], А. П. Солдатов [74, 75], P.C. Хайруллин [81], М. М. Хачев [82, 83] и другие. В работах этих авторов помимо задач Трикоми и Геллерстедта поставлены и исследованы новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, одним из примеров которых являются нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. Это связано с тем, что математическими моделями различных физических, химических и биологических процессов часто являются задачи, в которых вместо классических краевых условий задается определенная связь значений искомой функции или её производных на границе области.

Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф. И. Франкля [79], A.B. Бицадзе [6, 7], В. И. Жегалова [19, 20], J.R. Cannon [85, 86], Л. И. Камынина [28],.

A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [9], A.B. Бицадзе [10], A.M. Нахушева [46], А. П. Солдатова [73], В. А. Ильина [24], Н. И. Ионкина [25, 26], Н. И. Ионкина и Е.И. Моисеева[27], A.A. Самарского [68], A.JI. Скубачевского [71], М. Е. Лернера и O.A. Репина [41] - [43], Е. И. Моисеева [45], JI.C. Пулькиной [52], [53], А. И. Кожанова [33], К. Б. Сабитова [58] и других.

В трансзвуковой газовой динамике Ф. И. Франкль [79] впервые для уравнения Чаплыгина К (у)ихх + иуу — 0, где A" (0) — 0, К'(у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия и (0, у) — и{0, —у) — f (y), 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. A.B. Бицадзе [6] доказал существование и единственность решения задачи Франкля для уравнения Лаврентьева д2и, чд2и л = (1) а также единственность решения этой задачи для уравнения Чаплыгина.

Pi.

В.И. Жегалов [19] рассмотрел в области D, ограниченной при у > 0 простой кривой Жордана Г с концами в точках А (0,0) и В (1,0), а при у < 0 — характеристиками х + у — 0 и х — у — 1 уравнения (1), задачу о нахождении решения и (х, у) уравнения (1), удовлетворяющего условиям.

11 1 и = <�р (х, у), (х, у) е Г, а (х)и (х, -х)+Ь (х)и (х±, х—) = с (х), 0 < х < кроме того на отрезке задаются обобщенные условия склеивания. Им доказано существование и единственность решения данной задачи.

В работе A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [9] изучена задача о нахождении в прямоугольнике {(х, у) — I < х < 1,0 < у < 1} гармонической функции и (х, у), удовлетворяющей условиям и (х, 0) =.

Н, у) — <Рз {у), и (0, у) = и (1, у), 0<у<1.

Единственность решения доказывается на основании принципа экстремума. Существование решения вытекает из разрешимости интегрального уравнения, эквивалентного поставленной задаче.

Исследованию нелокальных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического и смешанного типов посвящено большое количество работ A.M. Нахушева [46], [47].

Н.И. Ионкин [25] рассмотрел в прямоугольнике {(ж,£)[0 < х < 1, 0 < t <Т} задачу для уравнения теплопроводности об отыскании его решения удовлетворяющего нелокальному интегральному условию, а также граничному и начальному условиям: v{0>t) = 0 < t <

Т, 0) = г>о (ж), 0 < х < 1. Им получены априорные оценки для решения задачи по начальной функции и правой части в нормах L/2 и С. Идея доказательства существования решения основывается на возможности разложения начальной функции в биортогональный ряд по системе корневых функций несамосопряженной одномерной задачи на собственные значения.

Краевые задачи с нелокальными интегральными условиями для гиперболических дифференциальных уравнений изучены в работах А. И. Кожанова и Л. С. Пулькиной [33], [52], [53].

М.Е. Лернер, O.A. Репин [42] в полуполосе G = {(я, г/)|0 < х < 1, у > 0} исследовали задачу, в которой требуется найти функцию и{х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у)? C (G) П CG U {х = 0}) П C2(G) — ymuxx + иуу = 0, (х, у) € G, m> -1- и (х, у) —0 при у —> +оо равномерно по х G [0,1]- и (0, у) — и (1, у) = tpi (y), их (0, у) — ср2(у), у > 0- и (х, 0) = т (х), 0<х<1, где т{х), (р1(у), <�Р2(у) ~ заданные достаточно гладкие функции, причем т (х) ортогональна к системе функций 1, соз (2тг 4−1)7гж, п = 0,1,2,. .

Е.И. Моисеев [45] исследовал нелокальную задачу в полуполосе С для вырождающегося на границе эллиптического уравнения:

2).

Утихх + иуу = 0, т > -2- w (0, у) = и (1, у), их{0, у) = 0, з/ > 0, и (х, 0) = /(ж), 0 < ж < 1, н классе функций и € C (G) П C~{G) в предположении, что и (х, у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Решение задачи построено в виде суммы биортогонального ряда. Единственность и существование решения доказаны методом спектрального анализа.

К.Б. Сабитов [57] рассмотрел задачу Дирихле для уравнения смешанного типа.

Lu = signt • |tmuxx Hb utt — b2signt ¦ tmu = 0, (3) где m — const >0,6 = const > 0, в прямоугольной области D = {(ж,£)|0 < x < 1, —a +);

Lu (x, t) = 0, (x, t) € DU D+, u (0,t) = u (l, t) — 0, -a< х < 1, здесь / и дзаданные достаточно гладкие функции, D+ = D П {-?/ > 0}, ?) = D П {у < 0}. Установлен критерий единственности. Существование решения поставленной задачи доказано на основе спектрального метода решения краевых задач.

К.Б. Сабитовым и О. Г. Сидоренко [62] для уравнения (3) в прямоугольной области D также установлен критерий единственности и найдены достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи с условиями периодичности w (0, t) = u (l, t), ux (0, t) = ux (1, t), —a < x < 1.

В работе Сабитова К. Б. [58] поставлена краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием (2) доказаны теоремы единственности, существования и устойчивости решения.

В работах Ю. К. Сабитовой [64] - [66] изучены задачи для уравнения (3) в прямоугольной области D со следующими нелокальными условиями: w (0,t) = w (l, t) или их (0, t) = ux (l, t), —a.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных обратных задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе.

Обратные задачи возникают во многих разделах науки: квантовой теории рассеяния, электродинамике, акустике, геофизике (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областях естествознания. Это связано с тем, что значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных, а именно свойства среды на практике часто бывают неизвестны.

Различные обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались во многих работах. Отметим здесь прежде всего работы Тихонова А. Н. [76], Лаврентьева М. М. [37] - [39], Романова В. Г. [55], [56], Cannon J.R. [87], Иванова В. К., Васина В. В., Танана В. П. [23], Прилепко А. И. [49], [50], Денисова A.M. [17], Алексеева A.C., Бубнова Б. А. [1], [12], Баева A.B. [4], Кожанова А. И. [32], [34] и другие.

Сабитовым К.Б. и Сафиным Э. М. [59] - [61], [69], [70] изучены краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа lu=f ut — + b2u = fi (x), y> 0, 1 utt — uxx + b2u = f2(x), у < 0, в прямоугольной области D — {(х, у) 0 < х < 1, — a < у < ?}, где неизвестными являются функции и (х, у) и fi (x), i = 1,2. Установлены критерии единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости решений рассматриваемых задач. Такие задачи относятся к классу обратных задач с неизвестным источником [39, с.20], [17, с. 123].

Начато также исследование краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, связанных с поиском правой части. В работе Сабитова К. Б. и Хаджи И. А. [63] для уравнения Лаврентьева-Бицадзе рассмотрена краевая задача с локальными граничными данными и неизвестной одинаковой правой частью, зависящей только от одной переменной, установлен критерий единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости.

В отличие от этих исследований в данной работе рассматриваются нелокальные обратные задачи для уравнений эллиптико-гиперболического типа. Отличительной особенностью нелокальных задач для данного класса уравнений является то, что система собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи не полна. В связи с этим при решении таких задач спектральным методом необходимо рассматривать присоединенные функции. Это усложняет построение решения и доказательство корректности задачи. Решения задач строятся в виде сумм биортогональных рядов. При этом возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость этих рядов. А в связи с тем, что рассматриваемое уравнение есть уравнение эллиптико-гиперболического типа, для доказательства сходимости построенных рядов требуется установить более сильные оценки, чем в работах [59] - [61], [68], [ТО].

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений обратных задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа.

Lu = ихх + sgny • иуу — b2u = f (x, у) = j j' ^ ^ jj' (4) в прямоугольной области.

В главе 1 исследуются обратные задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа, связанные с поиском одинаковых правых частей. Методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Рассмотрим уравнение эллиптико-гиперболического типа (4) при fi (x) = /2(ж) = f (x), т. е. уравнение.

Lu = ихх + sgny • иуу — b2u = /(ж), (5) в прямоугольной области D = {(ж, у) 0 < х < 1, ~а < у < /3}, где, а > О, ?3 > 0, 6 > 0 — заданные действительные числа. Для уравнения (5) в этой области поставлены и решены следующие обратные задачи.

Задача 1.1. Найти в области D функции и (х, у) и f{x), удовлетворяющие условиям: и е Cl{D) П CD U D+) — f (x) € С (0,1) П L[0,1]- (6).

Lu = /(s),(®, y)€ 0-UD± (7) и (х,(3) = <�р (х), и (х, —а) = ф (х), иу{х, —а) = g (x), 0 < х < 1- (8).

О, у) = и{ 1, у), их (0, у) = 0, —а <у<{3, (9) где (р (х), ф (х) и д (х) — заданные достаточно гладкие функции, (р (0) = <�р (1), ф (0) = ф{1), 0}, Г> = Df){y < 0}.

Задача 1.2. Найти в области D функции и (х, у) и f (x), удовлетворяющие условиям (6) — (8) и их{0,у)=их (1,у), «(1, у) = 0, -а<�у<0- (10) здесь (р (х), ф (х) и д (х) — заданные достаточно гладкие функции, ^'(0) =.

При решении задач 1.1 и 1.2 применяются системы корневых функций одномерной спектральной задачи для уравнения.

X" (x) + AX{x) = 0, 0 < ж < 1, с соответствующими граничными условиями хт = х (1), Х'(0) = 0 и Х'(0)=Х'(1), Х'(1) = 0:

1, {cos 2тгкх}^ь {ж sin 2irkx}f=1-, (11).

2(1-ж), {4(l-?)cos27rfor}?Lb {4 sin 27^}^, (12) которые построены в работах [24], [25], [45]. Они являются биортонормированными системами, полны и образуют базис в пространстве 1²(0,1).

Решение задачи 1.1 построено в виде сумм рядов по системе функций (11):

ОО 00 и (х, у) = То (у) + ^2т2к-(у) cos2якх + T2k (y)xsm2vkx, (13) к=1 к=1 f (x) = /о + f'2к~1 cos 27гкх + ?2кХ sin (14) к= 1 а коэффициенты рядов (13) и (14) определяются по системе функций (12): i Л1.

2о (у) = 2 / и (аг, 2/)(1 — Т2*(з/) = 4 / «(ж, г/) sin27rb-d?, Jo Jo.

Т2к-{у) = 4 I и (х, у)(1 — ж) cos 2wkxdx, Jo о = 2 I f (x)(l — x) dx, f2k — 4 I f (x)sm2ivkxdx, ' Jo Jo.

2k-i = 4 I /(#)(1 — x) c. os2'Kkxdx Jo и находятся единственным образом при выполнении условий:

Да/ю (0) = Д"0й (*)|fc=a,*=0 = ~ 2"/? + /?2 ^ 0, (15) sin Afeush. Afc/3 — cos Afcor ch А^/З + 1⁰, (16) где Ак = у/(27тк)2 + б2. Причем условия (16) должны быть выполнены при всех к € N (в случае 6 = 0) и & е М0 = N и {0} (в случае 6 > 0).

При, а = (л/2 — 1)(3 выражение Аа/?о (0) = 0, тогда однородная задача (6) — (9), где ip (x) = ф{х) = д (х) = 0, имеет ненулевое решение щ (х, у) = Т0(у), fo (x) — /о, (17) где о — произвольная отличная от нуля постоянная.

Если при некоторых а, (3, b и к = р Е N (No) нарушены условия (16), то задача (6) — (9), где tp (x) — ф (х) = д (х) = 0, имеет ненулевое решение ир (х, у) = Тр (у) cos 27грх, fp (x) — fp cos 2icpx, (18) где тР (у).

Л-2 f / cos Ара sh Лру+sin Лра ch АРз/—sh Хр (у—/3) ~.

ЛР h I cos ра sh Лр/3+sin Хра ch pj3 1) ' У U' л—2 f (sin Xp (a+y)+cos Xpy sh Apj3-sin Xpy ch Apj3 ^.

ЛР JP cosXpasbXp/3+smXpachXp0 L) ' ^ ' ф 0 — произвольная постоянная.

Условия (16) нарушаются только в том случае, когда ф (—1)" п агсзт (1/х/сЬ2Л^) + —, п = 0,1,2,. Лр Л" 2р где = агс8т (сЬЛр/?/у/сЕ2ЛрД) —> тг/4 при р —> +оо.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1.1. Если существует решение задачи (6) — то гари 6 > 0 око единственно только тогда, когда при всех к Е N0 выполнены условия (16) — при Ь = 0 оио единственно только тогда, когда при всех к Е N выполнены условия (16) и (15).

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций (12) в пространстве Ь2 [0,1].

Поскольку а, (3 и 6 — любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение Аарь{к), которое входит в знаменатели коэффициентов рядов (13) и (14), может стать достаточно малым, то есть возникает проблема «малых знаменателей» [2], [58]. В связи с этим, для обоснования существования решения надо показать существование чисел а, /3 и 6 таких, что при достаточно больших к выражение Аарь (к) отделено от нуля.

Справедлива следующая.

Лемма 0.1.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р — натуральное- 2) а = p/q? N, p, q G N, (p, q) = 1, (q, 4) = 1, mo существуют положительные постоянные Co, ко? N, вообще зависящие от а, (3, Ь такие, что при всех к > ко и любом фиксированном ?3 > О справедлива оценка.

A"M?)I > Сое2^ > 0. (19).

Если для указанных, а при некоторых k = I = к, к2, ¦ ¦., кр < ко, где О < к < к2 < • • • < к{, i — 1, р и р — заданные натуральные числа, выражение Аарь{1) = U, то для разрешимости задачи (б) — (9) достаточно, чтобы выполнялись условия.

P? = Фз = 9j = 0, (20) j z= 2к, 2к 1, к = I == к, к2, • • •, кр, где (pj, ijjj, g? — коэффиценты разложения в биортогональный ряд по ситемам функций (11) и (12) функций <�р (х), ф (х), д (х) соответственно.

Тогда решение задачи (б) — (9) определяется в виде fci-l к2−1 кр-1 +оо и (х, у) = 8дпк1-Т0(у)+ (]Г + +•••+ Е + Е х.

1 k=h+l k-kp-t+l k=kp+lj х [T2jfei (y) COS27Tkx + T2k{y)xSm27ckx] + (21) i ki-l k2−1 kp-l +oo f (x) = sgnh-fo+? +•••+ E + E x yk=1 fc=A-i+l к=кр-i+l k-kp+lj x [/2fe-l eos27ткх + f2kXsill2-ккх] + Qfl (x)> (22) l где щ{х, у) и fi (x) определяются по формулам (17), (18), С/ -произвольные постоянные, в сумме У индекс I принимает значения ki, к2,. •, кр, sgnk = 0 при к = 0 и sgnk = 1 при к > 1. В случае, когда ki+1 — 1 < ki + 1, г — 1, р, соответствующую сумму X^+i" 1 следует считать равной нулю.

Теорема 0.1.2. Пусть <�р{х) е С3[0,1], <р (0) = (р (1), <р'(0) = О, ^•" (0) = ^'(1), ф (х) е с3[о, i], ф (о) = ф{1), ф'(0) = о, Ф" (0) = Ф" (1), д{х) € С2[0,1], #(0) = #(1), </(0) = 0 и выполнены условия (15) и (19) при всех к > ко. Тогда если Аарь (к) ф 0 при всех к < ко, то существует единственное решение задачи (6) — (9), где функции и (х, у) и f (x) определяются соответствующими рядами (13) и (14)',.

— он. Аадь (к) = 0 при некоторых к = I = к1, К2,.кр < ко, то задача (6) — (9) разрешима тогда, когда выполнены условия (20) и решение в этом случае определяется рядами (21) и (22).

При обосновании устойчивости построенного решения (13) и (14) вводятся следующие нормы:) х ½.

I/WII"? = (/ (? 1/(Ч WI2) dx), п 6 No.

0 ^^ / / Теорема 0.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.1.2 и Ааръ{к) ф О при всех к < ко. Тогда для решения (13), (14) задачи (6) — (9) имеют место оценки: N01 (ЦИЬг + \Ф\ь<2 + 1Ы|?з) 5.

И/МНъ < N02 (мщ2 +\ф\щ + Мщ),.

Ф>у)\с (р) ^⁰³ (Mwi + Wwi + 1Ы1ж°),.

11/М11с[0,1] <⁰⁴ (Мк + Wwi + \9Wwi), где постоянные N01 не зависят от <�р (х), ф (х), д (х).

Решение задачи 1.2 построено в виде сумм биортогональных рядов.

00 оо.

— ас) cos 2nkx,.

Ь=1 k-1.

00 00 f (x) = /0(1 — x) + /2jfc-1 sin 2nkx + hk (1 — x) cos 2wkx, k-1 fc=l где теперь коэффициенты Tk (y) и, к = 0,1,2,., определяются в отличие от задачи 1.1 по системе (11). Здесь также установлен критерий единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости решения.

Глава 2 посвящена изучению обратных задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с различными правыми частями. Методом спектральных разложений установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений поставленных обратных задач.

Для уравнения (4) при /] (х) ф /2 (ж) поставлены и исследованы следующие обратные задачи.

Задача 2.1. Найти в области Б функции и{х, у) и /(х, у), удовлетворяющие условиям: и е Cl{D) П C2(?L U D+) — (23) jix) G С (0,1) П L[0,1],? = 1,2- (24).

Lu = f (x, y),(x, y) eDUD± (25) и (х,(3) — <�р{х), и (х, —а) = ^(¡-с), 0 < х < 1- (26) иу (ху (3) = х (ж), = 0 < х < 1- (27).

О, у) = ti (l, у), их (0, ?/) = 0, —а <у<(3, (28) где (р (х), ф (х), х (ж) и д (х) — заданные достаточно гладкие функции, (0) = (1), ^(0) = ф (1), 0}, D- = ПП{у< 0} .

Задача 2.2. Найти в области D функции и (х, у) и f (x, y), удовлетворяющие условиям (23) — (27) и.

О, у) = их{ 1, у), и (1, у) = 0, —а <у<(3, (29) где, ф{х), х (х) и д (х) ~ заданные достаточно гладкие функции, /(0) = у/(1), ^(0) = ^(1), tp (l) = ^(1) = 0, ?>+ = D п {у > 0}, = i>n {2/ < 0} .

Решение задачи 2.1 аналогично задаче 1.1 построено в виде сумм биортогональнальных рядов по системам функций (11) и (12): оо оо и (х, у) = То (у) + T2k-i (y) cos 2-ккх + ^ Т2к (у)х sin 2тгкх, (30) к= 1 fc= 1.

ОО 00 fi, 2k—l COS lllkx + fi, 2kx sin? = 1,2, (31) коэффициенты которых определяются единственным образом, если при всех к € No (в случае & > 0) и fc 6 N (в случае 6 = 0) выполнены условия а/зь (к) = sh ф — sin Afea + sin A^a ch — eos sh Аф Ф 0. (32).

Если при некоторых а, 0, b и к = р Е N (No) нарушены условия (32), то однородная обратная задача (23) — (28) (где ср (х) = 0, ф (х) = 0, д (х) = 0, х{х) = 0) имеет ненулевое решение ир (х, у) = ир (у) cos 2жрх, (33) uP (y) = { [ f {1-cosAparcaAp{y-P)-L) > a.

JP (eos Apa ch Ap/3+sin Apa sh Ap/3—eos Apa)' «' f (ch Ap/?-l) cos Xpy+sh Ap/3 sin Ap (^+a)-sh Ap/? sin ^.

A? ' JP AS icos A.

1 ПГQ fiP (x) = fP-7-, х д ^ -— cos 27Грх, (34) сов лра ch ЛрР + sm Лра sh лрр — cos лра.

2Р (х) = fpcos2npx, (35) где fp — произвольная отличная от нуля постоянная.

При фиксированных к = р Е No, 6 > О (р G N, 6 = 0) и 0 > О выражение Да/%(р) = 0 только в том случае, когда о- = ——, те N, (36).

Лр или.

2-кп 2 (рр. р0, а — ——-г, (рр = arcsm (sh -4— /д/chApp), п G N.

Ар Ар 2.

Теорема 0.2.1. Если существует решение задачи (23) — (28), то оно единственно только тогда, когда при всех k G No (при всех к G N в случае, когда Ъ — 0) выполнены условия (32).

Выражение Аа0ъ (к) входит в знаменатели коэффициентов рядов (30) и (31), определяющих решение задачи. В связи с этим необходимо ответить на вопрос при каких а, 0, Ь выражение Аарь{к) отделено от нуля. Отметим, что при 6 = 0 выражение (36) принимает вид, а = т/к. Поэтому, когда, а принимает рациональные значения, Ааро (к) — 0. Следовательно, для таких, а нарушается единственность решения задачи 2.1.

Лемма 0.2.1. Если, а > 0 является любым алгебраическим числом степени п > 2 и Ь = 0, то существуют положительные постоянные 00 и Со, вообще говоря, зависящие от а, такие, что при всех 0 > 0q и k G N справедливы оценки.

A⁰(fc)| > е2^^, п > 2, (37).

Aa^W|>e2^, п = 2, (38) где е > 0 — заданное достаточно малое число.

Отметим, что каждое иррациональное число, а единственным образом разлагается в бесконечную цепную дробь, а = ["о, «ь a2i ат •••], при этом целые числа ao, ai, a,2,. называются элементами числа а. Как известно [84], элементы всякой квадратической иррациональности ограничены.

Лемма 0.2.2. Пусть, а — положительное иррациональное число с неограниченными элементами и Ь = 0. Тогда для любого е > О существует бесконечное множество целых чисел к > 0, таких, что кет, (Зу) где С — положительное число.

Из доказанной оценки (39) следует, что для таких, а > 0, выражение Ааро (к), которое является знаменателем коэффициентов ряда, определяющего решение задачи, может быть сделанным сколь угодно малым. Поэтому в этом случае решение задачи 2.1 в виде сумм рядов (30) — (31) не существует.

Лемма 0.2.3. Если Ь — положительное действительное число и выполнено одно из условий: 1) а = р — натуральное- 2) а = р/д, р/д? М, 6 М, (р, д) = 1, то существуют положительные постоянные ко и Со, вообще говоря, зависящие от а, ?3 и Ь, такие, что при всех к > ко справедлива оценка.

Аа/зь (к) > (40).

Лемма 0.2.4. Если, а является любым алгебраическим числом степени п = 2 и Ь — положительное действительное число, то существуют положительные постоянные ко, &-о и Со, вообще говоря, зависящие от а, (3 и Ь, такие, что при всех к > ко и Ь <Ьо справедлива оценка.

Ьарь (к) > (41).

Если для, а и 6, удовлетворяющих условиям лемм 0.2.3, 0.2.4, при некоторых к = I = к, •., кр < ко, где 0 < к < <. < кр, кг, г = 1, р и р — заданные натуральные числа, выражение Да/%(/) — 0, то для разрешимости задачи (23) — (28) достаточно, чтобы выполнялись условия.

Фз = Ч>3 = 9з = Xj = 0, (42).

2 ¿-к, Ик 1, к — I — к~[, ., кр, где (р!, фj, <7?-, х? коэффициенты разложения в биортогональный ряд функций (р (х), ф (х), д (х), %(ж) соответственно.

Тогда решение задачи (23) — (28) определяется в виде.

1−1 к2−1 кр-1 +оо и (х, у) = здпк1. Т0(у)+ I] +•••+ I] Iх.

А-=1 к=кг+1 к=кр-1+1 к=кр+1/.

X p2jfci (y) cos 2irkx + T2k{y)x sin 2irkx] + Qui (x, y), (43) i кгк2−1 V-1 +00 fi{x) = sgnki • fL0 + (J] + J2 + ••• + + zl I X x [/ii2fc-i COS 2irkx + fi, 2kX sin 2nkx] + Qfi, i (®) > (44) i где щ (х, у) и fij (x) определяются соответственно по формулам (33) — (35), C? — произвольные постоянные, в сумме ^ индекс I принимает значения къ к2,. •, кр. В случае, когда — 1 < -f 1, г = 1, р, соответствующую сумму 2Jjfc-+i будем считать равной нулю.

Будем считать, что граничные функции удовлетворяют условиям (А): если ф), ф (х) € С5[0,1], ?>(0) = (1), ^(0) = 0, F (0) = 0, ^(0) — фУ1(1), G С6[0,1], х^(0) = x/y (i), XF (0) — О, д1у (0) = д1у (1), ду (0) = 0. .

.

Тогда доказаны следующие утверждения.

Теорема 0.2.2. Пусть граничные функции удовлетворяют условиям.

A) и выполнена оценка (40) при к > ко. Тогда если Аарь (к) ф 0 при всех к < ко, то существует единственное решение задачи (23) — (28), которое определяется рядами (30) и (31) — если Аарь{к) = 0 при некоторых к =.

• • • кр < ко, то задача (23) — (28) разрешима тогда, когда выполнены условия (42) и решение определяется рядами (43) и (44).

Теорема 0.2.3. Пусть граничные функции удовлетворяют условиям.

B) и выполнена оценка (41) при к > ко. Тогда если Аа/зъ{к) ф 0 при всех к < ко, то существует единственное решение задачи (23) — (28), которое определяется рядами (30) — (31) — если Аа0ь (к) — 0 при некоторых к = к2,.кр<�ко, то задача (23) — (28) разрешима тогда, когда выполнены условия (42) и решение определяется рядами (43) и (44).

Теорема 0.2.4. Пусть граничные функции удовлетворяют условиям (В) и выполнена оценка (38). Тогда существует единственное решение задачи (23) — (28), где функции и (х, у) и f (x, y) определяются рядами (30) и (31).

Теорема 0.2.5. Пусть граничные функции удовлетворяют условиям (В), кроме того <�р (х), ф (х) <Е С7+6[ 0,1], x (x), g (x) € С6+<*[0,1]- 2 е <6 < 1, и выполнена оценка (37). Тогда существует единственное решение задачи (23) ~ (28), где функции и (х, у) и f (x, y) определяются рядами (30) и (31).

Теорема 0.2.6. Пусть выполнены условия теоремы 0.2.2 и выражение Aa? b (k) ф 0 при всех k < к о. Тогда для решения (30) — (31) задачи (23) -(28) имеют место оценки:

IN®, У)\ь2 < K01 (|Мк| + U\w* + \g\wi + ||*|k), fi (x)\L2 < К02 (|Мк + Мк + Mw? + И*М, * = 1,2,.

Нх>У)\с (В) <^оз (|Мк| + Mwi + h\wi + llxlk), ||/г-М||с[0,1] <⁰⁴ (II.

Теорема 0.2.7. Пусть выполнены условия теоремы 0.2.3 и выражение Aa? b (k) ф 0 при всех к < ко или выполнены условия теоремы 0.2.4• Тогда для решения (30) — (31) задачи (23) — (28) имеют место оценки:

Ф, у)\ь < Коъ (IMк + Mwi + 1Ык + Ix\wi), \fi (x)\L2 < к06 (|Мк6 + UWwi + \g\wi + llxllw|), * = 1,2, Mx, y)\c (D) < к07 (IMk| + IMk25 + \9\wj + llxlk) «г (ж)11с[0Д] < #08 (lMk + Ми? + ll^llW* + llxlkl), i = 1, 2, где постоянные Koi не зависят от ip (x), ф{х), g (x), х{х) ¦

Теорема 0.2.8. Пусть выполнены условия теоремы 0.2.5. Тогда для решения (30) — (31) задачи (23) — (28) имеют место оценки:

Ф, У)\1* < Код (|Мк + Wwi + 1Ык24 + llxlk24) ,.

Mx)\l2 < Кою (IMк + Wwl + 1Ык| + llxlkl), «= 1,2,.

Ф, у)\c (d) < Kon (IMк + IMk + 1Ык + llxiki), ll/iMllc[0,i] <⁰¹² (IMk + Wwz + Ыk| + llxlk). г = 1,2, где постоянные Koi не зависят от <�р (х), ф{х), д{х), .

Для задачи 2.2 получены аналогичные результаты, а именно, установлен критерий единственности, решение построено в виде сумм биортогональнальных рядов, обоснована сходимость рядов в классах функций (23), (24) и доказана устойчивость решения.

Таким образом на защиту выносятся следующие результаты.

1. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с неизвестной одинаковой правой частью, зависящей только от одной переменной, в прямоугольной области с нелокальными граничными условиями первого и второго родов. Для каждой из поставленных задач установлен критерий единственности, решение построено в виде сумм биортогональных рядов с обоснованием сходимости в соответствующем классе функций, доказана устойчивость решения по граничным данным.

2. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с неизвестными разными правыми частями, каждая из которых зависит от одной переменной, в прямоугольной области с нелокальными граничными условиями первого и второго родов. Для каждой из поставленных задач установлен критерий единственности, решение построено в виде сумм биортогональных рядов с обоснованием сходимости в соответствующем классе функций, доказана устойчивость решения по граничным данным.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах по теории дифференциальных уравнений имени С. П. Пулькина при Поволжской государственной социально-гуманитарной академии и Институте прикладных исследований АН РБ (научный руководитель — д.ф.-м.н., профессор К. Б. Сабитов, 2009.

— 2011 гг.), на семинарах: кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (научный руководитель.

— д.ф.-м.н., профессор Л. С. Пулькина, 2010 — 2011 гг.), кафедры дифференциальных уравнений Казанского федерального университета (научный руководитель — д.ф.-м.н., профессор В. И. Жегалов, 2011 г.) и НИУ БелГУ (научный руководитель — д.ф.-м.н., профессор А. П. Солдатов, 2011 г.), а также на следующих всероссийских и международных конференциях: 1. Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (г. Москва, 30 марта — 2 апреля 2009 г.). 2. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и её приложения в естествознании», посвященная 100-летию БашГУ (г. Уфа, 2−6 октября 2009 г.). 3. Вторая всероссийская научно-практическая конференция «Интегративный характер современного математического образования», посвященная памяти заслуженного деятеля науки РФ, члена-корреспондента РАЕ, доктора физико-математических наук, профессора В. Ф. Волкодавова (г. Самара, 26 — 28 октября 2009 г.). 4. Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 3−6 июня 2010 г.). 5. Вторая Международная конференция «Математическая физика и ее приложения «(г. Самара, 29 августа — 4 сентября 2010 г.). 6. Девятая молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2010» (г. Казань, 1−6 октября 2010 г.). 7. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И. Г. Петровского (г. Москва, 30 мая — 4 июня 2011 г.). 8. Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения «(г. Самара, 26 — 30 июня 2011 г.). 9. Всероссийскя конференция с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения «(г. Стерлитамак, 27 -30 июня 2011 г.). 10. Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел «(г. Белгород, 17 — 21 октября 2011 г.). 11. Десятая молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2011 «(г. Казань, 31 октября -4 ноября 2011 г.).

1. Алексеев, A.C.: Устойчивость решения совмещенной обратной задачи гравики и сейсмики / A.C. Алексеев, Б.А. Бубнов// Докл. АН СССР. — 275(2). — С. 332 — 335 (1984).

2. Арнольд, В.И.: Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В. И. Арнольд // УМН. 163. — T.XVIII. — Вып. 6 (114). — С. 91 — 192.

3. Бабенко, К.И.: О задаче Трикоми / К. И. Бабенко // ДАН СССР. -291(1). С. 14 — 19 (1986).

4. Баев, A.B.: Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача /A.B. Баев // Матем. заметки. 47(2). — С. 149 — 151 (1990).

5. Берс, Л.: Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ. — 1961. — 208 с.

6. Бицадзе, A.B.: Об одной задаче Франкля / A.B. Бицадзе// Докл. АН СССР. 109(6). — С. 1091 — 1094 (1956).

7. Бицадзе, A.B.: О единственности задачи Франкля для уравнения Чаплыгина / A.B. Бицадзе// Докл. АН СССР. 112(3). — С. 375 -376 (1957).

8. Бицадзе, A.B.: Уравнения смешанного типа / A.B. Бицадзе. М.: Изд-во АН СССР. — 1959. — 164 с.

9. Бицадзе, A.B.: О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // Докл. АН СССР. 185(4). — С. 739 — 740 (1969).

10. Бицадзе, A.B.: К теории нелокальных краевых задач / A.B. Бицадзе // Докл. АН СССР. 27.7(1). — С. 17 — 19 (1981).

11. Бицадзе, A.B.: Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе М.: Наука. — 1981. — 448с.

12. Бубнов, Б.А.: К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений / Б. А. Бубнов Новосибирск. — 1989. (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, № 87−714).13.