Моделирование вихревых течений и ламинарно-турбулентного перехода системой дискретных вихрей

С вихревыми течениями сталкиваются при изучении широкого круга практически важных задач, например, закрученные и отрывные течения. Закрученные потоки жидкости часто встречаются в природе — это атмосферные и океанические течения (торнадо, циклоны), в технике эти течения научились использовать в вихревых камерах, сепараторах и т. д. (см., например, работы [Gupta 1984, Алексеенко 1996, Ахмедов 1977]). Вместе с тем было показано, что закрученные течения, при определенных обстоятельствах, могут терять устойчивость по отношению к внутренним или внешним возмущениям, что в свою очередь сказывается на характеристиках потока, а вместе с тем и на режимы вихревых установок. Существующие работы теоретического и экспериментального характера (например [Пиралишвили 1992, Loffer 1991, Ярцев 1991, Kitamura 1994]) рассматривают закрученные течения в конкретных вихревых камерах.

С отрывными течениями имеют дело во всех задачах обтекания тел. С этими течениями встречаются при движении летательных аппаратов, судов, в различных технологических процессах, например, в аппаратах химической технологии. Отрывные течения сами по себе мало изучены и, вообще говоря, являются нестационарными. Также недостаточно изучены вопросы зарождения и развития неустойчивости отрывных течений, что проявляется в переходе из ламинарного режима обтекания в турбулентный.

Для моделирования вихревых течений широко используется вычислительная техника. Это требует совершенствования методов численного моделирования вихревых течений, в том числе отрывных. В частности, появляется все больше работ, в которых задачи о течении вязкой жидкости и газа исследуются путем прямого численного решения уравнений Навье-Стокса. Прямое численное моделирование течений с большим числом Рейнольдса Re встречает, однако, определенные трудности. Во-первых, из-за наличия в уравнениях малого коэффициента пропорционального Re" 1 при старшей производной появляются узкие области с большими локальными градиентами функций, что приводит к потере точности и устойчивости решения. Во-вторых, решение нестационарных задач требует больших вычислительных затрат. Поэтому в последние несколько десятилетий все более широко используются более экономные и удобные в применении вихревые методы, основанные на ла-гранжевом подходе к описанию жидкости.

Идея вихревых методов состоит в моделировании изучаемого поля завихренности системой вихревых частиц, движение которых задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Впервые метод точечных вихрей был применен Розенхедом [Rosenhead 1931] для исследования эволюции вихревой пелены. Точечные вихри основаны на представлении поля завихренности системой прямолинейных вихревых нитей с 6-образной завихренностью. Метод точечных вихрей достаточно эффективен для задач, в которых требуется найти некие общие интегральные характеристики течений, например, силы, действующие на тело, а в ряде случаев позволяют получать правильную качественную информацию о течении. Применяют метод точечных вихрей и в задачах с образованием пограничных слоев как составную часть пригодную для описания течений в зонах, где вязкие эффекты несущественны [Горячев 1898]. Однако для расчета более тонких характеристик течений связанных с пульсационным характером течения, с развитием неустойчивости, исследованием отрывных зон, метод точечных вихрей применить не удается. Для моделирования таких эффектов приходится увеличивать число точечных вихрей, при этом наблюдается стохастизация их траекторий [Kuwahara 1973, Birkhoff 1959], что связано с неограниченным ростом скоростей точечных вихрей при их взаимном сближении. По этой же причине погрешность в определении поля скорости может быть очень значительной даже, если движение точечных вихрей является регулярным [Beale 1985].

В связи с этим за три последних десятилетия были развиты методы моделирования течений жидкости набором вихревых частиц, имеющих в отличии от 5-образных точечных вихрей, конечные размеры [Leonard 1980, Chorin 1973, 1973, Kuwahara 1973, Белоцерковский 1978, 1995]. Однако эти методы, как правило, имеют большое число дополнительных параметров, которые не имеют физического обоснования, что вносит произвол в выбор значений этих параметров. В работах Веретенцева, Рудяка и Яненко [Веретенцев 1982, 1985, 1989] предложен вариационный принцип построения вихревых моделей, который лишен перечисленных недостатков. К преимуществам построенных моделей можно отнести еще их консервативность, то есть в них выполняются законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. Было показано, что на практике удобно использовать систему гауссовских вихрей. Гауссов-ские вихри — модель, построенная на основе вариационного принципа, выбором в качестве функции формы завихренности" функции Гаусса. Данная функция формы удовлетворяет условиям сходимости метода и позволяет легко найти явный вид уравнений движения и аналитически вычислить интегралы движения.

В работах Рудяка, Веретнцева и Савченко [Веретенцев 1988, Рудяк 2002] были показаны большие возможности моделирования полей завихренности и реальных физических задач с помощью метода дискретных вихрей, однако, работ по изучению точности моделирования поля завихренности все еще нет. Мало изучен также вопрос оптимального выбора численной схемы интегрирования уравнений движения вихревых частиц. Поэтому исследования в данном направлении актуальны.

Несмотря на то, что методы дискретных вихрей нашли широкое применение в практически важных задачах, работ по исследованию их динамических и стохастических свойств не много. На сегодняшний день построены решения для систем двух и трех вихрей [Grobli 1877]. В работах [Новиков 1975, 1978] показано, что система уже четырех вихрей является неинтегри-руемой и указывалось, что такие системы имеют стохастические свойства. В то же время стоит отметить, что течения, которые изучаются с помощью систем дискретных вихрей, в том числе, вышеуказанные, зачастую сами плохо изучены и, как правило, являются неустойчивыми. Поэтому, при моделировании таких течений системами дискретных вихрей очень важно различать неустойчивость моделируемого течения от неустойчивости системы дискретных вихрей. В связи с этим, изучение динамических и стохастических свойств систем дискретных вихрей также оказывается весьма актуальным.

Аэродинамические характеристики крыльев, используемых при низких числах Рейнольдса, в большой мере определяются двумя возможными взаимосвязанными явлениями: отрывом потока и ламинарно-турбулентным переходом в пристенной зоне течения. Отрыв ламинарного пограничного слоя, как правило, сопровождается его турбулизацией. Последующее присоединение потока к поверхности крыла приводит к образованию местной отрывной зоны (отрывного пузыря), располагающейся в средней части крыла или вблизи его передней кромки. Ключевую роль в формировании подобных течений играет переход к турбулентности, завершающийся в пределах области отрыва.

Обзор экспериментальных результатов, относящихся к исследованию образования местной отрывной зоны в окрестности передней кромки стреловидного и прямого профиля при дозвуковом и сверхзвуквом обтекании, содержится в [Чжен 1991, гл. IX]. Здесь приводятся различные эмпирические критерии для формпараметра, коэффициента восстановления давления, полного давления, позволяющие определить положение точек ламинарного отрыва и последующего присоединения потока на профиле. Последовательное изучение и классификация отрывных пузырей на основании экспериментальных данных, по-видимому, впервые представлены в [Ward 1963]. В этой работе также используются критерии, построенные по формпараметру и коэффициенту восстановления давления для определения положения ламинарного отрыва и присоединения течения. В работе [Briley 1975] численно исследуется течение в отрывной зоне в среднем положении хорды относительно тонкого профиля крыла. В работе [Roberts 1980] предложена полуэмпирическая модель развития течения, вызванного появлением местной отрывной зоны, допускающая продолжение ее в область присоединенного турбулизованного течения.

Следующим шагом в моделировании задач обтекания крыла явилось применение линейной теории гидродинамической устойчивости для расчета развития малых возмущений ламинарного течения. В этом случае положение перехода к турбулентности за точкой отрыва определяется по «е^-методу», предложенному для пограничного слоя в работах [Smith 1956, Van Ingen 1956]. Такой подход к определению характеристик отрывных течений, возникающих в различных условиях, включая обтекание аэродинамических профилей и крыльев, использован рядом авторов [Dini 1992, Drela 1987, Van Ingen 1991, Cebeci 1989, Masad 1994]. В его основе лежит возможность применения линейной теории устойчивости для описания начальной стадии развития волновых возмущений в локальных областях отрыва ламинарного потока, установленная в итоге многочисленных исследований последнего времени. Сопоставление экспериментальных, теоретических и численных результатов указывает на то, что в двумерных течениях основные характеристики малых колебаний, нарастающих за точкой отрыва, удовлетворительно предсказываются теорией устойчивости в приближении параллельности потока.

Одним из главных ресурсов управления отрывом потока и улучшения аэродинамических качеств летательных аппаратов является модификация их несущей поверхности. В работе [Зверков 2003] экспериментально изучен новый тип крылового профиля — профиль с волнистой поверхностью. Было показано, что этот профиль имеет ряд преимуществ по сравнению с гладким. Перспективы использования такого крылового профиля на практике, при проектировании летательных аппаратов, требуют, однако, его теоретического исследования. В частности, необходимо изучить свойства устойчивости течения в пограничном слое профиля. Внедрение в практику требует скорейшего решения этой задачи, что делает ее актуальной.

Цель данной диссертационной работы заключается в разработке и реализации численного инструментария для моделирования вихревых течений и изучения ламинарно-турбулентного перехода. Были решены следующие конкретные задачи:

1. Исследованы динамические и стохастические свойства систем дискретных вихрей.

2. Разработан пакет программ для моделирования динамики вихревых течений.

3. Изучена линейная устойчивость течений в пограничном слое гладкого крыла и профиля с волнистой поверхностью.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Изучены динамические и стохастические свойства полигональной системы точечных и гауссовских вихрей, найдены время обратимости, инкременты нарастания возмущений, построены корреляционные функции. Показано, что в рассматриваемых системах дискретных вихрей, начиная с некоторого N (число вихрей) наблюдается динамический хаос. Изучены его свойства.

2. Численно изучена введенная Рудяком [Rudyak 2004] обобщенная энтропия Колмогорова-Синая (ОК-энтропия). Установлено, что ее эволюция позволяет детектировать различные стационарные состояния системы, в которых она последовательно оказывается в процессе развития неустойчивости. Показано, что производство энтропии ведет себя при этом не монотонно. Установлена связь ОК-энтропии с энтропией Гиббса и дан алгоритм ее расчета.

3. Аналитически и численно впервые изучены характеристики устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей.

4. Построен алгоритм решения задач вихревой динамики методом вихревых частиц. При этом исходные поля завихренности могут быть смоделированы сколь угодно точно. Точность решения задачи растет с увеличением N.

5. Исследован ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое над гладким и волнистым крылом. Выявлены основные этапы развития волновых возмущений ламинарного течения. Установлено соответствие экспериментальных и теоретических результатов, полученных для течения по оси симметрии крыла. Выявлены особенности развития неустойчивых возмущений ламинарного течения на волнистом крыле. Практическая ценность работы состоит в создании пакета программ для решения широкого класса гидродинамических задач. Данные расчета устойчивости течений над гладким и волнистым крылом могут быть использованы при проектировании новых видов летательных аппаратов. Алгоритм расчета энтропии Гиббса можно использовать при исследованиях любых систем частиц, в том числе молекулярных.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается сопоставлением с экспериментальными результатами, многочисленным тестированием используемых программ и алгоритмов, сравнением с известными аналитическими результатами и данными других авторов. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты изучения динамических и стохастических свойств полигональных систем дискретных вихрей.

2. Данные аналитического исследования устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей.

3. Численное изучение обобщенной энтропии Колмогорова-Синая.

4. Алгоритм расчета энтропии Гиббса для системы вихрей.

5. Пакет программ для моделирования вихревых течений с помощью системы дискретных вихрей и для изучения ламинарно-турбулентного перехода.

6. Результаты исследования линейной неустойчивости пограничного слоя над гладким и волнистым крылом.

Личный вклад автора состоит в разработке комплекса программ для моделирования вихревых течений системой дискретных вихрей и исследования ламинарно-турбулентного перехода, а также в проведении аналитических и численных исследований и анализе всех полученных результатов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников (93 наименований). Работа изложена на 136 страницах, включая 68 иллюстраций и 9 таблиц.

Основные результаты данной диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработан пакет программ для моделирования вихревых течений и ламинарно-турбулентного перехода системой дискретных вихрей. Пакет программ содержит объектно-ориентированную библиотеку классов счетных алгоритмов, классы построения аналитических функций и гидродинамических полей, содержит модуль визуализации результатов расчета, а также имеет единый пользовательский интерфейс.

2. Разработан алгоритм моделирования вихревых течений методом дискретных вихрей. Алгоритм позволяет аппроксимировать с любой наперед заданной точностью произвольные поля завихренности и изучать их последующую динамику.

3. Исследованы динамические и стохастические свойства полигональных систем точечных и гауссовских вихрей. Установлены зависимости инкрементов неустойчивости от параметров системы. Показано, что в данных системах, в общем случае, при N >7 имеет место динамический хаос. Численно показано, что система гауссовских вихрей стабилизируется при увеличении значения дисперсии вихревых частиц. Результаты численного исследования согласуются с аналитическими результатами линейной теории устойчивости.

4. Исследована обобщенная энтропия Колмогорова-Синая. Показано, с ее помощью можно детектировать переходы стационарных состояний в вихревой системе. Установлена связь этой энтропии с энтропией Гиббса и предложен алгоритм ее численного расчета. Данный алгоритм пригоден для вычисления энтропии Гиббса любых дискретных систем частиц, в частности систем молекул.

5. Аналитически решена задача линейной устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей. Получена аналитическая зависимость инкремента нарастания возмущений в зависимости от дисперсии частиц.

Показано, что имеется конечное значение дисперсии, при котором стабилизируются все моды возмущений. 6. Выполнены численные расчеты линейной устойчивости течения с местной зоной отрыва потока на поверхности гладкого и волнистого крыла. Результаты численного расчета согласуются с экспериментальными данными. Установлено, что придание поперечного профилирования обтекаемой поверхности модели крыла позволяют управлять трехмерной отрывной зоной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.