Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Задачи наилучшего выбора с разладкой

Диссертация: Задачи наилучшего выбора с разладкой
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Классической постановкой задачи наилучшего выбора является следующая «задача о секретаре» (также называемая «задачей выбора невесты»): в компании имее тся одно вакантное место секретаря, на которое пре тендует п соискателей, проранжированных по качеству — лучший претендент имее т (абсолютный) ранг 1, худший — ранг п. С претендентами последовательно в случайном порядке проводятся собеседования… Читать ещё >

Задачи наилучшего выбора с разладкой (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Байесовская модель задачи наилучшего выбора с разладкой
    • 1. 1. Постановка задачи
    • 1. 2. Байесовская модель наилучшего выбора с дисконтированием выигрыша
    • 1. 3. Байесовская модель наилучшего выбора с платой за наблюдения

Актуальность темы

При построении моделей в области биологии, менеджмента, социологии и других наук часто возникают задачи наилучшего выбора. Эти задачи отражают важные особенности реальных процессов принятия решений в условиях неопределенности. Поэтому актуальным является как рассмотрение новых постановок задач, так и разработка прикладных моделей на их основе. На практике также нередки ситуации, когда в процессе наблюдения вероятностный закон распределения характеристик случайного процесса изменяется, что влечет дополнительные трудности при принятии решений.

Задача наилучшего выбора. Важным направлением в теории вероятностей являются задачи оптимального управления случайными процессами. Наряду с традиционными вероятностно-статистическими задачами в середине XX века началось систематическое исследование задач, которые теперь относят к вероятностной теории оптимального управления. Одним из разделов этой теории является теория оптимальных правил остановки в задачах наилучшего выбора.

Проблемы наилучшего выбора впервые были представлены в 40-х годах в работах известного американского статистика А. Вальда в связи с задачами последовательного различения гипотез [3]. Основная особенность этих задач состоит в том, что наблюдатель последовательно обозревает независимые одинаково распределенные случайные величины с неизвестным законом распределения, и целью является определение типа распределения этих наблюдений. В отличие от классических методов ма тематической статистики, в которых число производимых наблюдений фиксируется заранее, методы последовательного анализа характеризуются тем, что момент прекращения наблюден ий (момент остановки) является случайным и определяется наблюдателем в зависимости от значений наблюдаемых случайных величин. Преимущество последовательных методов было продемонстрировано А. Вальдом на задаче различения двух простых гипотез по результатам независимых наблюдений. При этом было установлено, что подобные методы требуют в среднем меньшего числа наблюдений по сравнению с любым другим способом различения с фиксированным объемом выборки при тех же вероятностях ошибочных решений. Более того, А. Вальд указал и тот последовательный метод (названный критерием последовательных отношений вероятностей), который является оптимальным в классе всех последовательных методов [28].

Однако больший интерес использование последовательных методов представляет при изучении класса задач наилучшего выбора. Начиная с момента опубликования первой задачи этого класса («задачи о секретаре»), было рассмотрено большое количество различных постановок. Однако можно выделить общие свойства, присущие задачам наилучшего выбора [1, 45):

• выбор осуществляется в несколько этапов, то есть растянут во времени;

• на процесс выбора наложены стратегические и информационные огранычения, связанные с полной или частичной недоступностью для выбора пропущенных вариантов и статистической неопределенностью качества будущих объектов;

• эффект выбора (выигрыш) тем выше, чем лучше выбранные варианты.

Классической постановкой задачи наилучшего выбора является следующая «задача о секретаре» (также называемая «задачей выбора невесты») [1, 45, 50]: в компании имее тся одно вакантное место секретаря, на которое пре тендует п соискателей, проранжированных по качеству — лучший претендент имее т (абсолютный) ранг 1, худший — ранг п. С претендентами последовательно в случайном порядке проводятся собеседования (равновероятны все последовательности, в которой будут приглашаться на собеседование претенденты). Решение о принятии претендента или отказе в занятии вакансии основывается на относительном ранге — оценке качества текущего претендента относительно качеств предыдущих претендентов. Решение должно быть объявлено соискателю сразу же по окончании собеседования с ним, причем нельзя принять соискателя, которому ранее было отказано в занятии вакансии. Требуется с наибольшей вероятностью принять лучшего из всех претендентов (если принятый претендент лучший из всех, то выигрыш равен 1, в противном случае выигрыш равен 0).

Описанная задача была решена в 1961 г. независимо друг от друга Е. Б. Дынкиным (основываясь на теории марковских процессов [7]) и Д. Линдли (с помощью метода динамического программирования [61]). Оба решения приводят к неожиданному и красивому результату. Оказывается, необходимо пропустить (запоминая относительные ранги) примерно треть всех претендентов (п/е), а затем из оставшихся принять соискателя, который окажется лучше всех просмотренных ранее. При этом вероятность удачного выбора при п —" оо равна 1/е.

В последующие годы было изучено большое число новых постановок задачи наилучшего выбора (см. например, работы, содержащие исторические обзоры [35, 45, 47]). При этом было выделено два подкласса задач относительно информированности наблюдателя: задачи с полной и с отсутствием информации. Задачей с отсутствием информации называют вариант задачи наилучшего выбора, в котором распределение случайных величин неизвестно, а качество наблюдений может быть оценено лишь сравнением с предыдущими наблюдениями. В частности, к задачам с отсутствием информации относится и «задача о секретаре» (а также задачи, рассмотренные, например, в работах [21, 29, 38, 49, 87, 881).

В задачах с полной информацией лицу, принимающему решение, известен закон распределения наблюдаемых случайных величин. Классическая постановка задачи с полной информацией («задача о продаже недвижимости») выглядит следующим образом: наблюдателю последовательно одна за другой поступают на рассмотрение п независимых одинаково распределенных случайных величин с известным непрерывным законом распределения. При получении каждого из наблюдений необходимо решить: принять или отвергнуть случайную величину. К отвергнутому наблюдению нельзя вернуться позднее. Цель наблюдателя — максимизировать вероятность принятия максимального значения из последовательности случайных величин.

Эвристическое решение этой задачи было впервые представлено в работе [50], а в статье [34] дано строгое доказательство полученного результата. Оптимальным правилом остановки является многопороговая стратегия — на каждом шаге / (1 < г < п) наблюдатель устанавливает порог и принимает первое наблюдение Х^. Х{ > с^ (уравнение для вычисления значений оптимальных порогов можно найти, например, в [50]). Вероятность успешного выбора при большом числе наблюдений равна примерно 0.58. Различные постановки задач наилучшего выбора с полной информацией были рассмотрены авторами работ [36, 51, 52, 58, 68, 73, 74, 75] и другими.

Основное отличие задач «о секретаре» и 'о продаже недвижимости" заключается в доступной информации о наблюдениях, что приводит к изменению как оптимального правила выбора (в задаче с полной информацией уже не нужно пропускать наблюдения для «набора статистики», вместо этого используется многопороговая стратегия), так и вероятности удачного выбора.

Помимо четко разграниченных подклассов задач с полной и с отсутствием информации, рассматривают также задачи с различными ограничениями на доступную информацию о наблюдениях — задачи с частичной информацией, в которых, например, известен закон распределения, но неизвестны его параметры, либо неизвестны точные значения наблюдаемых случайных величин и т. д. (см., например, [70, 71, 72]).

Для каждого из подклассов было рассмотрено большое количество различных постановок задач наилучшего выбора. Интерес к этим задачам обусловлен следующими причинами. Во-первых, задачи наилучшего выбора отражают существенные особенности реальных процессов выбора в условиях неопределенностиво-вторых, они всегда имеют содержательную постановку и легко интерпретируемые решения в экологии, информационных технологиях, экономике и других науках (см. [13, 15, 77]).

Задача обнаружения разладки. В теории обнаружения и статистическом контроле часто приходится сталкиваться с задачами, в которых вероятностные характеристики наблюдаемых величин могут измениться в случайный момент времени (момент появления «разладки»). При этом возникает проблема скорейшего обнаружения момента изменения вероятностных характеристик последовательности случайных величин. Эта проблема описана в монографии А. Н. Ширяева (так называемая задача «о разладке» [28]), в которой, в частности, приводятся решения задачи о разладке винеровско-го процесса и задачи в байесовской постановке. Задача «о разладке», послужившая отправной точкой представленного диссертационного исследования, состоит в следующем: пусть 0 — случайная величина, принимающая значения 0,1,., а наблюдения Хх,^,. таковы, что при условии в = п величины Х: Х2:., Х&bdquo—1 независимы и одинаково распределены и имеют функцию распределенияо (аг), а ХП1 Хп^,. — также независимы и одинаково распределены, но имеют функцию распределения Р{х) ф То есть в момент в происходит изменение вероятностных характеристик у наблюдаемого процесса. Возникает задача, как, последовательно наблюдая величины Х2) ¦¦• решить вопрос о том, в какой момент следует сделать вывод о произошедшей «разладке» — изменении вероятностных характеристик, но так, чтобы с одной стороны избежать ошибки классификации (объявления о «разладке» в тот момент, когда она еще в действительности не произошла), а с другой стороны — минимизировать время между возникновением «разладки» и ее фактическим обнаружением.

Задача о «разладке» была решена А. Н. Ширяевым в 1971 году. Различным вариантам этой задачи было посвящено также большое количество работ других авторов (см., например, [24, 30, 54]).

Модели, связанные с обнаружением разладки, применяются, например, при статистическом анализе историчесЕсих текстов и установлении авторства [2], контроле качества технологических операций [26] и т. д.

Задача наилучшего выбора с разладкой. В данной диссертационной работе проводится исследование проблем, принадлежащих классу задач наилучшего выбора с разладкой. Этот класс составляют задачи, в которых необходимо осуществить наилучший выбор в условиях ожидаемого изменения характеристик базового случайного процесса.

В общем виде задачи наилучшего выбора с разладкой описываются следующим образом (в дальнейшем на эту базовую постановку мы будем ссылаться как на модель (А)): рассмотрим производящую систему, генерирующую последовательность из п независимых случайных величин Х, Х2, •¦•, Хо, Хо+1,., Хп. В случайный момент 9 происходит разладка и закон распределения случайных величин изменяется. Так, величины Хь Л'2,., Хв-1 описываются абсолютно непрерывной функцией распределения ^(х), а величины Хо, Хд+,., Хп — абсолютно непрерывной функцией распределения ^(.т). Будем считать, что до разладки система находится в состоянии ?>1, а после — в состоянии ?)2.

Момент разладки 9 имеет геометрическое распределение с параметром, а (0 < а < 1). То есть изначально система находится в состоянии ?>1, а перед генерацией каждой новой случайной величины состояние системы изменяется согласно следующей матрице переходов: а 1 — а.

2 0 1.

Наблюдателю известны функции распределения случайных величин в состояниях ?>1 и <5*2, а также вероятность разладки 1 — а, но истинное состояние системы остается неизвестным. После получения каждого из значений случайных величин наблюдателю требуется решить: принять значение случайной величины (и закончить процесс наблюдений) или отклонить. При этом нельзя ни отвергнуть все наблюдения, ни вернуться к наблюдению, которое было отвергнуто ранее. Задача наблюдателя заключается в том, чтобы принять максимальное значение из последовательности случайных величин.

В случае нескольких наблюдателей задачу необходимо исследовать теоретико-игровыми методами. Такую теоретико-игровую модель наилучшего выбора будет называть моделью (В).

Особенностью (и дополнительной сложностью) задач наилучшего выбора с разладкой является то, что на неопределенность, связанную со значениями будущих наблюдений, накладывается неопределенность, связанная с текущим состоянием системы (произошла разладка или нет). На основе моделей (А) и (В) в представленном диссертационном исследовании рассмотрен ряд постановок задач, отличающихся целями наблюдателей (максимизация либо вероятности выбора максимального значения, либо ожидаемого значения принятой случайной величины), наличием конкурентов при выборе (игровые постановки), возможностями варьирования порогов в процессе наблюдения (значения порогов могут быть зафиксированы до начала наблюдений или наоборот, наблюдатель может иметь возможность изменять значения порогов, учитывая оценку вероятности нахождения системы в определенном состоянии) и т. д.

В диссертационном исследовании рассматриваются два класса стратегий наблюдателя: однопороговые и многопороговые стратегии. Многопороговая стратегия — это такая стратегия, при которой наблюдатель на каждом шаге г (г = 1, ., п) устанавливает порог <7/ и принимает случайную величину Х^ в случае, если х1 > отвергая ее в противном случае. Однопорого-вая стратегия — это такая многопороговая стратегия, при которой ^ = д,.

I = 1, ., 77.

Впервые вариант задачи наилучшего выбора с разладкой был рассмотрен в работе [78], где в условиях модели (А) необходимо максимизировать ожидаемое принятое значение из последовательности случайных величин. При этом наблюдатель оценивает вероятность нахождения системы в одном из состояний, на основе чего модифицирует значения порогов.

Представленная диссертационная работа посвящена исследованию задач наилучшего выбора с разладкой, комбинирующих в себе основные особенности и классических проблем наилучшего выбора, и задач обнаружения разладки. Актуальность диссертационной работы подтверждает большое внимание, которое уделяется этим задачам при проведении как теоретических изысканий, так и внедрении математических моделей в технологические процессы.

Цель диссертационной работы заключается в построении решений задач наилучшего выбора с разладкой методами теории оптимальной остановки и некооперативной теории игр.

В работе исследуются следующие основные задачи:

Заключение

.

В работе представлены результаты исследования задач наилучшего выбора с полной информацией с разладкой.

Рассмотрена задача максимизации вероятности выбора наилучшего значения из последовательности случайных величин в условиях ожидаемой разладки. Получен аналитический вид формулы, определяющей оптимальное значение порога в зависимости от значений параметров задачи. Представлены результаты численного моделирования, которые демонстрируют характерные особенности задачи, связанные с выбором наблюдения до или после разладки. Рассмотрен случай большого числа наблюдений.

Исследована теоретико-игровая задача оптимальной остановки для т лиц. Рассмотрены три постановки задачи, отличающиеся параметром равномерного распределения наблюдаемых случайных величин. С помощью метода динамического программирования получены оптимальные пороги. Представлено обобщение модели на случай разладки. Проведено численное моделирование значений оптимальных порогов принятия наблюдений.

Рассмотрена многопороговая задача наилучшего выбора с полной информацией с разладкойцелью наблюдателя является максимизация ожидаемого значения принятой случайной величины с помощью многопороговой стратегии. Исследованы два варианта, изменения в результате разладки параметра равномерного распределения наблюдаемых случайных величин. Представлены результаты численного моделирования значений оптимальных порогов.

Рассмотрены две игровые постановки задачи наилучшего выбора с разладкой, в которых целью наблюдателей является максимизация ожидаемого значения принятой случайной величины. Для каждой из постановок построены функции выигрыша и найдены оптимальные однопороговые стратегиирассмотрен частный случай абсолютного приоритета одного из игроков и вариант большого числа наблюдений.

Рассмотрена байесовская модель задачи наилучшего выбора с разладкой, в которой наблюдатель имеет неполную информацию о наблюдаемых случайных величинах. Исследованы модели с дисконтированием и платой за наблюдения. Предложена байесовская стратегия порогового вида, в которой на каждом шаге учитывается апостериорная оценка вероятности разладки системы. Представлены результаты численного моделирования, на основании которых можно сделать вывод, что указанная стратегия дает больший выигрыш, чем использование однопороговых стратегий, не учитывающих поступающую информацию. На основе байесовской модели задачи наилучшего выбора с разладкой описана модель распределения вычислительных ресурсов в высокопроизводительных системах.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А., Гнедин А. В. Задача наилучшего выбора. — М.: Наука, 1984. — 196 с.
  2. . Е., Дарховский Б. С. Методы обнаружения ''разладки" случайных процессов и их применение для анализа исторических текстов. Из Фоменко А. Т. «Методы статистического анализа исторических текстов», в 2-х томах. М.: Крафт+Леап, 1999, — 832+908 с.
  3. Вач1ьд А. Последовательный анализ. Пер. с англ. М.: Наука, 1960, -328 е.-
  4. Н. Н. Теория игр. Лекции для экономистов-кибернетиков. -Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974. 160 с.
  5. А. В. Многокритериальная задача об оптимальной остановке процесса выбора // Автоматика и телемеханика. 1980. N 7. — С. 161 166.
  6. Гусейн-Заде А. А. Задача выбора и оптимальное правило остановки последовательности независимых испытаний // Теория вероятностей и ее применения. 1966. — Т. 11, N 3. — С. 534 537.
  7. Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967. — 232 с.
  8. Е. Е. Игровая задача наилучшего выбора с разладкой с вероятностными приоритетами // Сборник трудов ИПМИ. 2008. — Вып. 8. С. 44−52.
  9. Е. Е. Многопороговая задача наилучшего выбора с полной информацией с разладкой // Сборник трудов ИПМИ. 2007. — Вып. 7. -С. 11−15.
  10. Е. Е. Многопороговая модель определения оптимального объема запрашиваемых ресурсов при ожидаемой ''разладке" сервера // Информационные технологии моделирования и управления. 2009. — № 2(54) — С. 261−264.
  11. В. В., Винниченко С. В. Моменты остановки и управляемые случайные блуждания. Новосибирск: Наука, 1992. — 104 с.
  12. В. В., Домбровский Ю. А., Перрин Н. Теория оптимальной остановки: приложения к экологии поведения // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. — Т.1, Вып. 6. — С. 894−900.
  13. В. В., Ивашко Е. Е. Байесовская модель в задаче наилучшего выбора с «разладкой» // Вестник СПбГУ. Серия 10. 2009. — Вып. 4.1. С. 142−151.
  14. В. В., Ивашко Е. Е. Задача выбора оптимального объема запрашиваемых ресурсов в условиях ожидаемой «разладки» сервера // Системы управления и информационные технологии. 2009. — № 1.2(35). — С. 249−252.
  15. В. В., Ивашко Е. Е. Задача наилучшего выбора с неполной информацией с разладкой. Тезисы доклада // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. — Т. 15, Вып. 3. — С. 553.
  16. В. В., Ивашко Е. Е. Задача наилучшего выбора с полной информацией с разладкой // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14, вып. 2. — С. 215−224.
  17. В. В., Нейман П., Фалько И. А. Игровая задача оптимальной остановки наблюдений с неизвестными значениям // Дальневосточный математический сборник. 1998. — Вып. 6. — С. 74−86.
  18. Г. Теория игр. М.: Мир, 1971. — 230 с.
  19. Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998. — 300 с.
  20. Э. Л., Сонин И. М. Задача наилучшего выбора при случайном числе объектов // Теория вероятностей и ее применения. 1972. — Т. 20, Вып. 4. — С. 785−796.
  21. Пресман Э. JL, Сонин И. М. Последовательное управление по неполным данным. Байесовский подход. -М.: Наука, 1982, — 256 с.
  22. Г., Сигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки.- М.: Наука, 1977. 168 с.
  23. Ю. А. Случайные процессы (краткий курс). М.: Наука, 1971.- 288 с.
  24. И. М. Игровые задачи, связанные, с наилучшим выбором // Кибернетика. 1976. — Вып. 2. — С. 70−75.
  25. А. В., Снежной Г. В. Использование последовательного критерия Вальда для обнаружения «разладок» технологических операций // Ав1ацшно-косм1чна техшка i технолопя. 2008. — Вып. 10. — С. 222−226.
  26. А. Н Вероятность: В 2-х кн. 4-е изд., переработ, и доп. М.: МЦНМО, 2007. С. 552−416.
  27. А. Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976. — 272 с.
  28. Assaf D., Samuel-Cahn Е. The secretary problem- minimizing the expected rank with i.i.d. random variables // Adv. Appl. Prob. 1996. — Vol. 28. -P. 828−852.
  29. Bassevile M., Nikiforov I. Detection of Abrupt Changes: Theory and Applications. New York: Prentice Hall, 1993. 469 p.
  30. Baston V., Garnacv A. Competition for staff between two department // Game Theory and Applications. 2005. — X, edited by L. Petrosjan and V. Mazalov. — P. 13−26.
  31. Bearden J. N., Murphy R. O. On generalized secretary problems. Risk and uncertainty: Mental, formal and experimental representations. New York: Springer, 2007. P. 187−206.
  32. Berezovskiy B. A., Baryshnikov Yu. M., Gnegin A. V. On a class of best choice problems // Inform. Sci. 1986. — Vol. 39. — P. 111−127.
  33. Bojdecki T. On optimal stopping of a sequence of independent random variables Probability maximizing approach // Stoch. Proc. Appl. — 1978. — Vol. 6. — P. 153−163.
  34. Bruss F.T. What is known about Robbins' Problem? //J. Appl. Prob. -2005. Vol. 42. P. 108−120.
  35. Bruss F.T., Ferguson T.S. Minimizing the expected rank with full information // J. Appl. Prob. 1993. — Vol. 30. — P. 616−626.
  36. Campbell G. Optimal selection based on relative ranks of a sequence with ties // Adv. in Appl. Probab. 1984. — Vol. 16. — P. 136−146.
  37. Chow Y., Moriguti D., Robbins H., Samuels S. Optimal selection based on relative rank (the «Secretary problem») // Israel J. Math. -1964. Vol. 2. -P. 81−90.
  38. Cowan R., Zabczyk J. An optimal selection problem associated with the poisson process // Theory Probab. Appl. 1979. Vol. 23, issue 3. -P. 584−592.
  39. Domansky V. K. Dynkin’s stopping games with zero payoffs for separate stopping // Game Theory and Applications. 2006. — Vol. 2. — P. 33−47.
  40. Domansky V. K. Dynkin’s games with randomized optimal stopping rules// Annals of the International Society of Dynamic Games. 2004. — Vol. 7. -P. 247−262.
  41. Enns E. G. Selecting the maximum of a sequence with imperfect information // Journal of the American Statistical Association. 1975. — Vol. 70, N 351.- P. 640−643.
  42. Enns E. G. The Optimum Strategy for Choosing the Maximum of N Independent Random Variables // Unternehmensforsehung. 1970. Vol. 14.- P. 89−96.
  43. Expert Group Report. NEXT GENERATION GRIDS 2. Requirements and Options for European Grids. Research 2005−2010 and Beyond, 2004. http://www.semanticgrid.org/docs/ngg2egfinal.pdf.
  44. Ferguson F. Who solved the secretary problem? // Statistical Science. -1989. Vol. 4, N 3. — P. 282−296.
  45. Finch S. Optimal stopping constants // Mathematical Constants, Cambridge. Univ. Press. 2003. — P. 361−363.
  46. Freeman P. R. The secretary problem and its extensions: a review // Int. Statist. Rev. 1983. — Vol. 51. — P. 189−206.
  47. Fushimi M. The secretary problem in a competitive situation // J. Oper. Res. Soc. Japan. 1981. Vol. 24. — P. 350−359.
  48. Gianini J. P., Samuels S. M. The infinite secretary problem // Ann. Prob. -1976. Vol. 13. — P. 418−432.
  49. Gilbert J., Mosteller F. Recognizing the maximum of a sequence // Journal of the American Statistical Association. 1966. — Vol. 61. — P. 35−73.
  50. Gnedin A. V., Miretskiy D. I. Winning Rate in the Full-Information Best Choice Problem //J. Appl. Probab. 2007. — Vol. 44, N 2. P. 560−565.
  51. Gnedin A. V., Sakaguchi M. On a best-choice problem related to the Poisson process // Contemporary Math. 1992. — Vol. 125. P. 59−64.
  52. L. Han, D. Berry- Semantic-Supported and Agent-Based Decentralised Grid Resource, Elsevier Science, 2008.
  53. Hawkins D., Olwell D. Cumulative Sum Charts and Charting for Quality Improvement. New York: Springer Verlag, 1998. 282 p.
  54. Ivashko E. E. Random priority zero-sum best choice game with disorder /1 Networking games and management. Extended abstracts. Petrozavodsk: IAMR KRC RAS, 2009. — P. 26−27.
  55. Karlin S. Stochastic models and optimal policy for selling an asset ed. by K. Arrow, S. Karlin and W. Scarf // Studies in Applied Probability and Management Science, Stanford University Press. Chap. 9. — 1962.
  56. Kaynar B. Optimal stopping in a stochastic game // The American Statistician. 2009. — Vol. 23. — P. 51−60.
  57. Lindley D. V. Dynamic programming and decision theory // Applied Statistics. 1961. — Vol. 10. — P. 39−51.
  58. Lorenzen T. J. Generalizing the secretary problem // Adv. in Appl. Probab. 1979. — Vol. 11. — P. 384−396.
  59. Lorenzen T. J. Optimal stopping with sampling cost // Ann. Probab. 1981.1. Vol. 9. P. 167−172.
  60. Mazalov V. V., Ivashko E. E. Best-choice problem with disorder // Proceedings of V Moscow International Conference on Operations Research (ORM2007), dedicated to the outstanding Russian scientists Nikita N. Moiseev 90th birthday: Moscow, 2007. P. 174.
  61. Mazalov V. V., Ivashko E. E. Best-choice problem with disorder // Proceedings of Dynamic Games and Multicriteria Optimization (DGMO-2006): Petrozavodsk, 2006. P. 78.
  62. Moser L. On a problem of Cayley // Scripta Math. 1956. — Vol. 22, N 5. — P. 289−292.
  63. Mucci A. G. On a class of secretary problems // Ann. Probab. 1973. — Vol. 1. — P. 417−427.
  64. Neumann P., Porosinski Z., Szajowski K. On two person full-information best-choice problem with imperfect observation // Game theory and applications. -1996. Vol. II. — P. 47−56.
  65. Petruccelli J. On a best choice problem with partial information // The Annals of Statistics. 1980. — Vol. 8, N 5. — P. 1171−1174.
  66. Petruccelli J. D. Secretary Problem // Encyclopedia of Statistical Sciences. 1982. — Vol. 8. — P. 326−329.
  67. Porosinski Z. The full-information best choice problem with a random number of observations // Stochastic Processes and their Applications. -1987. Vol. 24. P. 293−307.
  68. Porosinski Z., Szajowski K. On Continuous-time Two Person Full-Information Best Choice Problem with Imperfect Observation // The Indian Journal of Statistics. 1996. — Vol. 58, ser. A — P. 186 493.
  69. Porosinski Z., Szajowski K. Random priority two-person full-information best choice problem with imperfect observation / / Applicationes Mathematicae. 2000. — Vol. 27(3). — P. 251 263.
  70. Robbins H. Remarks on the secretary problem // American Journal of Mathematical and Management Sciences. 1991. — Vol. 11. — P. 25−37.
  71. Ryan R., Lippman S. A. Optimal exit from a deteriorating project with noisy returns // Probability in the Engineering and Informational Sciences.- 2005. Vol. 19. — P. 237−343.
  72. Sakaguchi M. A best-choice problem for a production system which deteriorates at a disorder time // Scientiae Mathematicae Japonicae. 2001.- Vol. 54, N 1. P. 125 -134.
  73. Sakaguchi M. Bilateral sequential games related to the no-information secretary problem // Math. Japon. 1984. — Vol. 29. — P. 961−973.
  74. Sakaguchi M. Optimal stopping games. A review / / Math. Japonica/ 1995. — Vol. 42. — P. 343−351.
  75. Sakaguchi M., Mazalov V. A non-zero-sum no-information best-choice game // Mathematical Methods of Operation Research. 2004. — Vol. 60. P. 437−451.
  76. Sakaguchi M., Szajowski K. Single-level strategies for full-information best-choice problems. // Mathematica Japonica. 1997. — Vol. 45. — P. 183−495.
  77. Samuels S. M. Exact solutions for the full information best choice problem // Purdue Univ. Stat. Dept. Mimeo Ser. 1982. — Vol. 17.
  78. Samuels S. M. Why do these quite different best-choice problems have the same solutions? // Adv. Appl. Prob. 2004. — Vol. 36. — P. 398−416.
  79. Sofronov G., Keith J., Kroese D. An optimal sequential procedure for a buying-selling problem with independent observations // J. Appl. Prob. -2006. Vol. 43. — P. 454−462.
  80. Suchwalko A., Szajowski K. Non standard, no information secretary problems // Scientiae Mathematicae Japonicae. 2002. — Vol. 56. — P. 443 456.
  81. Tamaki M. Minimal expected ranks for the secretary problems with uncertain selection // Game Theory, Optimal Stopping, Probability and Statistics, ed. Bruss F.T. and Cam L. Le, Institute of Mathematical Statistics, 2000. P. 127−139.
  82. Yasuda M. Asymptotic results for the best-choice problem with a random number of objects // J. Appl. Prob. 1984. — Vol. 21. — P. 521−536.
  83. Yasuda M., Nakagami J., Kurano M. A multi-variate stopping problems with a monotone rule // Journal of the Operation Research, Society of Japan. -1982. Vol. 25, N 4. — P. 334−349.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!