Предельные циклы векторных полей на плоскости и релаксационные колебания

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Настоящая диссертация относится к качественной теории дифференциальных уравнений. Она посвящена исследованию цикличности предельных множеств периодических траекторий векторных полей на вещественной плоскости, а также релаксационным колебаниям.

В 1900 г. в своем докладе на Н-м Международном конгрессе математиков Гильберт сформулировал знаменитые 23 проблемы (см. [15] и [26]). Вторая часть 16-й проблемы была посвящена предельным циклам векторных полей на плоскости. Именно, рассмотрим полиномиальное векторное поле на плоскости, т. е. систему дифференциальных уравнений вида х = Рп (х, у), у = С}п{х, у), (1) где (х, у) е К2, а Рп (х, у) и С}п{х, у) — многочлены степени не более п. Предельным циклом системы (1) называется её изолированная замкнутая траектория, гомеоморфная окружности.

Проблема состоит из двух вопросов:

1. существует ли такая величина Н{п), зависящая только от п, что число предельных циклов любой полиномиальной системы вида (1) не превосходит Н (п)?

2. если ответ на первый вопрос положителен, найти оценку сверху на выражение Н (п).

Эти вопросы до сих пор остаются открытыми, несмотря на многочисленные исследования. Известен только один общий результат о числе предельных циклов в данной задаче: каждое фиксированное полиномиальное векторное поле имеет лишь конечное число предельных циклов. Этот результат был получен независимо Ильяшенко [24] и Экалем [20] в начале 1990;х годов (аналогичное утверждение для квадратичных векторных полей было доказано Бамоном [18] несколькими годами ранее),.

С 16-й проблемой Гильберта тесно связана проблема Гильберта- ¦ Арнольда. В. И. Арнольд предложил [3] рассматривать не полиномиальные семейства, а произвольные типичные (типичность понимается здесь в топологическом смысле) конечно-параметрические семейства гладких дифференциальных уравнений на двумерной сфере с компактной базой параметров, и сформулировал ряд гипотез. Одна из них, хоть и оказалась сама неверной, подвела Ю. С. Ильяшенко [25] к формулировке следующей проблемы: показать, что для всякого такого семейства число предельных циклов допускает равномерную оценку по всем значениям параметра. Пользуясь соображениями компактности, восходящими к Р. Руссари [33], можно показать, что эта проблема сводится к оценке числа циклов, рождающихся при бифуркациях так называемых полициклов, т. е. сепаратрисных многоугольников. Эта задача и называется (локальной) проблемой Гильберта-Арнольда (см. формулировку проблемы 1).

Более подробно, полициклом 7 векторного поля на сфере § 2 называется циклически пронумерованный набор вершин, т. е. особых точек рг,., рп (возможно, с повторениями), и дуг траекторий 71,., 7П (без повторений), соединяющих вершины в следующем порядке: дуга соединяет вершину с вершиной pj+1, где у = 1,., п и рп+1 := р.

Полицикл называется нетривиальным, если он содержит хотя бы одну особую точку. Максимальное число циклов, которые могут родиться при возмущении данного полицикла, называется его цикличностью.

Бифуркационным числом В (к) называется максимальная цикличность нетривиального полицикла в типичном^{-параметрическом} семействе С°°-гладких векторных полей. Заметим, что число В (к) зависит только от числа параметров семейства.

Проблема 1 (Гильберта-Арнольда). Доказать, что для любого'-'конеч-ного к бифуркационное число В (к) конечно, и найти для него верхнюю оценку.

В общем случае данная проблема остаётся открытой. В случае элементарного полицикла, т. е. полицикла, в каждой вершине которого линеаризация соответствующего векторного поля имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение, проблема Гильберта-Арнольда была решена. Конечность была доказана Ю. Ильяшенко и С. Яковенко [28] путём применения теории малочленов Хованского [16]:

Теорема 1 (Ю. Ильяшенко, С. Яковенко). Пусть Е (к) есть максимальная цикличность нетривиального элементарного полицикла в типичном к-параметрическом семействе С00-гладких векторных полей. Тогда для любого натурального к число Е{к) конечно.

С помощью техники, разработанной Ю. Ильяшенко и С. Яковенко, В. Калошиным была получена [30] и верхняя оценка на число Е (к): Теорема 2 (В.Калошин). Для любого натурального к.

Е (к) < 2Ш (2).

Теорема 2 даёт первую явную оценку на цикличность полицикла в семействе с произвольным числом параметров. Однако, оценка (2), экспоненциальная по числу параметров, выглядит сильно завышенной, поскольку в известных примерах (например, в случае тривиального полицикла и нетривиального полицикла коразмерности 1 или 2- см. [30] и цитированные там работы) оценка линейна.

Первым из трёх основных результатов данной диссертации является теорема, которая даёт оценку, полиномиальную по числу параметров. Полученная оценка учитывает зависимость от числа вершин полицикла:

Теорема 3. Максимальная цикличность нетривиального элементарного полицикла с п вершинами в типичном к-параметрическом семействе ограничена числом.

Е (п, к) < С (п)к3п, где С{п) = 25п2+20п.

Теоремы 2 и 3 дают оценку для элементарного полицикла. Для индивидуального уравнения к любой неэлементарной особой точке можно применить метод разрешения особенностей, получить конечное число элементарных особых точек и свести, таким образом, задачу к элементарному случаю. Это соображение мотивирует попытку использовать аналогичный метод для исследования цикличности неэлементарных полициклов. Однако, С. Трифонов разработал (см. работы [34] и [35]) метод разрешения особенностей в семействах и показал, что даже в случае однопара-метрического аналитического семейства дифференциальных уравнений при разрешении особенностей рождаются целые кривые особых точек. Таким образом, возникает необходимость исследования быстро-медленых систем, а также их естественного обобщения, предложенного в этой работе, — сингулярных систем. Второй и третий результаты относятся именно к теории релаксационных колебаний.

Явление релаксационных колебаний хорошо известно (см., например, работу [14] и обзор [3]) механикам, физикам, химикам, экологам (например, эти колебания возникают в модели тормозного устройства в механике, мультивибратора в радиофизике, реакции Белоусова-Жаботинского в химии, функционирования нервных клеток в биологии).

Впервые релаксационные колебания были обнаружены в двадцатые годы прошлого столетия Б. Ван-дер-Полем [32]. В последующие годы этому явлению было посвящено много исследований, в том числе Андроновым, Виттом и Хайкиным [1], Железцовым [7] и Родыгиньш [6] и другими.

Традиционно при изучении релаксационных колебаний исследуются системы вида еа/ = F{x, y, e), у' = G (®, y, e), х G Rn, у 6 Мт, (3) или, после перехода к быстрому времени (замена t := т/е), х = F (x, y, e), у = eG (x, y, e), (4) где s — малый параметр. Такие системы называются быстро-медленными: координата х — быстраякоордината у — медленная.

Фазовые портреты систем (3) и (4) при е ф О совпадают, но предельное поведение при е —> 0 различно. Предел системы (3) называется медленной системойее траектории целиком лежат на медленной поверхности, т. е. множестве М := {f (x, y, 0) = 0}. Предел системы (4) называется быстрой системойее траектории «вертикальны» (или «горизонтальны»), т. е. лежат на плоскостях у = const, а медленная поверхность состоит из особых точек быстрой системы.

Медленная система адекватно описывает поведение реальной (т.е. возмущенной: е Ф 0) системы, пока движение происходит вблизи участков медленной поверхности, состоящих из устойчивых особых точек быстрой системы. Если же траектория медленной системы достигнет точки срыва, т. е. границы притягивающего участка, то траектория реальной системы может претерпеть срыв, т. е. уйти из окрестности медленной поверхности. Далее поведение траектории описывается быстрой системой, т.к. вне окрестности медленной кривой при малом значении параметра е вкладом возмущения можно пренебречь. Траектория будет следовать быстрой динамике, пока снова не попадет в окрестность медленной кривой, и так далее. При этом скорость релаксации («скачка») в медленном масштабе времени т = стремится к бесконечности при е —" 0.

В конце прошедшего десятилетия, работая над ограниченной 16-й проблемой Гильберта для квадратичных векторных полей, Ю. С. Ильяшенко обнаружил [27] схожее поведение в семействе квадратичных векторных полей, в котором уже не было разделения на быстрые и медленные переменные, но сохранялась кривая особых точек при нулевом значении параметра.

Вторая часть данной диссертации посвящена дальнейшей разработке этого наблюдения. В ней рассматривается новый класс систем с релаксационными колебаниями — сингулярные системы, т. е. семейства систем дифференциальных уравнений на плоскости, которые при нулевом значе- -нии параметра имеют кривую особых точек. Этот класс является обобщением класса быстро-медленных систем. Для него сохраняется локальная, теория быстро-медленных систем, но возникают и новые глобальные явления. Вторым основным результатом данной диссертации является полное описание нового глобального явления в теории релаксационных колебаний, а именно, бифуркации быстро-медленной петли сепаратрисы.

Третий основной результат данной диссертации также относится к теории релаксационных колебаний. Как уже было сказано, переход от медленного движения к быстрому в быстро-медленной системе (4) называется срывом. Анализ динамики при е —> 0 в окрестности точки срыва, где происходит переключение с медленного движения на быстрое, вызывал существенные трудности.

Эта задача была решена Л. С. Понтрягиным и Е. Ф. Мищенко (см. работы [12] и [13]) и получила название теоремы о срыве. Доказанная более 50 лет назад, теорема о срыве является одним из фундаментальных результатов теории релаксационных колебаний. Для плоского случая более простое доказательство этой теоремы было позже получено М. Крупой и П. Смольяном [31] при помощи техники, разработанной Ф. Дюмортье и Р. Руссари [19].

Теорема о срыве описывает отображение Пуанкаре вдоль траекторий с трансверсали «до срыва» на трансверсаль «после срыва». Это отображение является экспоненциально сжимающим, и его отклонение от точки срыва по медленной координате имеет порядок ?2/3, где е — малый параметр в быстро-медленной системе. Эти оценки (экспоненциальное сжатие и порядок отклонения) носят чисто асимптотический характер. Третьим основным результатом данной диссертации является количественная теорема о срыве для плоской быстро-медленной системы, которая утверждает следующее. Если нормализовать систему при помощи выбора масштаба, указанные выше оценки выполняются при всех е из интервала (0, е-8), отклонение отображения Пуанкаре при таких е принадлежит отрезку е2/3[е6, е3], а само отображение сжимает с коэффициентом, который не превосходит е~к^е где к (е) > ^ —1000. Основным инструменом исследования является метод раздутия, изложенный в работе М. Крупы и П. Смольяна [31].

Актуальность основных результатов диссертации следует из вышесказанного.

Цель работы.

Целью работы является изучение предельных множеств периодических траекторий и нахождение количественных оценок для траекторий быстро-медленной системы на плоскости. Первый результат работы посвящен уточнению оценки В. Калошина на цикличность нетривиального элементарного полицикла в типичном конечнопараметрическом семействе векторных полей на плоскостивторой результат посвящен исследованию бифуркации быстро-медленной петли сепаратрисы в однопара-метрическом семействе сингулярных системтретий результат посвящен нахождению явных количественных оценок траекторий, проходящих через окрестность точки срыва.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории конечно-гладких нормальных форм локальных семейств векторных полей, теории малочленов Хованского, методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и геометрической теории сингулярно-возмущенных систем.

Научная новизна работы.

В диссертации получены следующие результаты:

— доказана теорема об оценке цикличности нетривиального элементарного полицикла в типичном^{-параметрическом} семействе векторных полей с учетом числа вершин;

— дано полное описание бифуркации быстро-медленной петли сепаратрисы в аналитическом семействе сингулярных систем;

— доказана количественная теорема о срыве. Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть полезны специалистам для решения задач по 16-й проблеме Гильберта и релаксационным колебаниям.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и конференциях:

1. на семинаре «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2006 г. и 2010 г.;

2. на Международной конференции «The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications» (Dresden University of Technology, Dresden, Germany, 25−28 мая, 2010 г.).

3. на летней школе «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, при поддержке РФФИ и Laboratoire J.-V.Poncelet) в 2010 г;

4. на Международной конференции «Ломоносов-2010» (г. Москва, МГУ, 12−15 апреля 2010 г.).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 4-х работах ([9], [10], [11] и [29]), из них две ([9] и [10]) работы опубликованы в журналах из перечня ВАК.

Структура и объём работы.

Диссертация содержит введение, три главы и список литературы. Все три главы разделены на параграфыпервая глава состоит из трёх параграфов, вторая — из двух, третья — из шести.

Список литературы

содержит 35 наименований. Объём диссертации — 105 страниц.

1. Андронов A.A., ВиттА.А., ХайкинС.Э. Теория колебаний. ~ 2-е издание. — 1959. — С. 727−855.

2. О. Д. Аносова, Инвариантные многообразия в сингулярно возмущенных системах, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 236, Наука, М., 2002, 27−32.

3. В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций. //В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. Динамические системы V. — М.: ВИНИТИ, 1986. С. 5−218.

4. Ван Д., Ли Ч., Чоу Ш.-Н, Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости, Москва, МЦНМО, 2005.

5. Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс, Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей, Москва-Ижевск, Институт компыютерныйх исследований, 2002.

6. Железцов Н. А., Родыгин Л. В. К теории симметричного мультивибратора. ~ Докл. АН СССР, 81:3 (1951), 391−392,.

7. Железцов Н. А., К теории разрывных колебаний в системах второго порядка. Изв. высших учебных заведений. Радиофизика 1:11 958), 67−78.

8. Ю. Ильяшенко, С. Яковенко, Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей, УМН, 1991, 46:1(277), 3−39.

9. П. И. Каледа, И. В. Щуров, Цикличность элементарных полициклов с фиксированным числом особых точек в типичных к-параметрических семействах, Алгебра и анализ, том 22 (2010), № 4, стр. 57−75.

10. П. И. Каледа, Бифуркация быстро-медленной петли сепаратрисы, Доклады Академии Наук, 2010, том 434, № 2, стр. 158−160.

11. П. И. Каледа, Количественная теорема о срыве, Депонировано в ВИНИТИ, 10.09.2010, № 520-В2010, стр.1−30.

12. Е. Ф. Мищенко, Л. С. Понтрягин, Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, Изв. АН СССР. Сер. матем., 23:51 959), с.643−660,.

13. Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов, Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. Наука, Москва, 1975.

14. Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Колесов, А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов, Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. Москва, «Физико-математическая литература», 1995.

15. Проблемы Гильберта, Сб. под общ. ред. П. С. Александрова. М., Наука, 1969.

16. А. Г. Хованский, Малочлены, М.: ФАЗИС, 1996.

17. O. Anosova, On invariant manifolds in singularly perturbed systems, J. Dyn. Control Syst., 1999, vol. 5, no 4. pp. 501−507.

18. R. Bamon, Quadratic vector fields in the plane have a finite number of limit cycles, Publ. I.H.E.S 64 (1986), pp. 111−142.

19. F. Dumortier, R. Roussarie, Canard cycles and center manifolds, Mem. Amer. Math. Soc. 577, Providence, 1996.

20. J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.

21. N. Fenichel, Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equation, J. of Diff. Eq., vol. 31 (1979), pp. 53−98.

22. J. Guckenheimer, Yu.Ilyashenko. The duck and the devil: canards on the staircase, Moscow Mathematical Journal, vol. 1, no. 1, pp. 27−47.

23. J. Habbard, Parametrizing unstable and very unstable manifolds, MMJ, vol. 5, no. 1, pp. 105−124.

24. Yu. Ilyashenko, Finitness theorems for limit cycles, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991.

25. Yu. Ilyashenko, Normal forms for local families and nonlocal bifurcations, Asterisque, vol. 222 (1994), pp. 233−258.

26. Yu. Ilyashenko, Centennial history of Hilbert’s 16th problem, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39, no. 3, pp. 301−354.

27. Yu. Ilyashenko, Limit cycles of singularly perturbed quadratic vector fields, T.U. Dresden, 8th AIMS Conference, Abstracts, p. 223.

28. Y. Ilyashenko, S. Yakovenko, Finite cyclicity of elementary polycycles in generic families, Concerning the Hilbert 16th problem, — Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, vol. 165, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 21−96.

29. P. Kaleda, The bifurcation of slow-fast separatrix loop in singular systems family, T.U. Dresden, 8th AIMS Conference, Abstracts, p. 224.

30. V. Kaloshin, The existential Hilbert 16-th problem and an estimate for cyclicity of elementary polycycles, Invent, math, 151, pp. 451−512 (2003).

31. M. Krupa, P. Szmolyan, Extending geometric singular perturbation theory to nonhyperbolic points — fold and canard points in two dimensions. SIAM Journal of Math. Anal., vol. 33 (2001), no 2. pp. 286−314.

32. Van der Pol B., On relaxation-oscillations, The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. and J. of Sci., 2:7 (1927), pp. 978−992.

33. R. Roussarie, Cyclicite finie et le 16 problem d’Hilbert, Dynamical systems (Volparasio 1986), R. Bamon, R. Lavarca, J. Palis (eds.). Lecture Notes in Mathematics 1331. Springer-Verlag, Berlin, New York 1988, pp. 161−188.

34. S. Trifonov, Resolution of singularities in one-parameter analytic families of differential equations, Amer. Math. Soc. Transi. (2) Vol. 151, 1992, pp. 135−145.

35. S. Trifonov, Desingularisation in families of analytic differential equations, Adv. Math. Sci. 1995, vol. 23, pp. 97−129 (AMS TYansl. Ser. 2- vol. 165).