Двумерные задачи теории упругости прямолинейно-анизотропной среды с вырезами и включениями

В современной промышленности широкое применение находят композиционные материалы, используемые для изготовления различных элементов несущих конструкций, содержащих вырезы (цилиндрические полости), инородные включения. В результате силовых воздействий в таких элементах конструкций возникают неравномерные поля напряжений, без детального изучения которых невозможно обеспечить прочность и надежность работы всей конструкции.

Первые исследования в этом направлении связаны с именами С. Г. Лехницкого, Г. Н. Савина, С. Г. Михлина, Д. И. Шермана [46−47, 75, 94, II3-II4] и другими. С. Г. Лехницкий получил общие решения уравнений плоской задачи теории упругости анизотропной среды и изгиба тонких анизотропных пластин, представив их через комплексные потенциалы обобщенных комплексных переменных. Д. Й. Шерман свел плоскую задачу теории упругости анизотропного тела к системе интегральных уравнений Фредгольма.

Подробный обзор ранних результатов по теории упругости анизотропного тела, полученных советскими учеными, приводится в работе М. М. Фридмана [ПО].

В ряде последующих работ С. Г. Лехницкого [44], Г. Н. Савина [96 ] и других исследователей [18, 51−52, 103] рассматривались конкретные задачи определения напряженного состояния в ортотроп-ной пластине с круговым и эллиптическим отверстием. Воздействие сосредоточенных сил и пар на анизотропную пластину с эллиптическим отверстием и таким же изотропным (жестким) включением рассмотрено в [16−17, 971. Влияние упругого анизотропного эллиптического включения на распределения напряжений в анизотропной пластине изучено в [49].

Дальнейшее исследование концентрации напряжений в неограниченных анизотропных пластинах преимущественно возле эллиптических (круговых) отверстий приводится в работах [8−9, 77−78, 81, 91, 98].

Определение напряженного состояния в анизотропной пластине возле отверстия, отличного от кругового и эллиптического, представляет значительные трудности. Для таких задач С. Г. Лехницкий [45, 48] разработал метод малого параметра, позволяющий в случае плоской задачи привести ее к решению ряда задач для пластины с эллиптическим (круговым) отверстием. Этот метод успешно применен Б. И. Ермолаевым [19] к задачам об изгибе анизотропной плиты.

А.С.Космодамианский [34] предложил приближенный метод, основывающийся на получении приближенных значений функций, конформно отображающих внешность единичной окружности на внешность криволинейных контуров в рассматриваемых областях.

В настоящее время известно много публикаций в отечественных и зарубежных журналах [1−2, 4−5, 7, 14−15, 22−25, 29, 32, 37, 54−58, 67−70, 73, 80, 83, 93, 101, 108, 119, 123−125, 127 129, 134] посвященных различным вопросам теории упругости и термоупругости анизотропного тела, задачи изгиба тонких анизотропных плит, разработке новых методик их решения, изучению влияния анизотропии материала на напряженное состояние. Многочисленные результаты систематизированы в монографиях [3, б, 13, 30−31, 33, 42, 50, 82, 85, 89, 95, 99, 106, III, 115].

Плоская задача для многосвязных анизотропных пластин рассмотрена А. С. Космодамианским и Н. М. Нескородевым [40−41]. Такого рода задачи В. Е. Кацом и Л. А. Филыптинским [28], путем использования интегральных представлений для комплексных потенциалов, приводятся к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.

В монографии [Зб] изложены методы определения температурных напряжений в многосвязных средах, основанные на успешном применении полиномов Фабера.

В работах [12, 26, 39, 71, 74, 79, 84, 87, 112, II6-II8, 120−122, 126, 130, 132−133] исследовано влияние упругих (жестких) включений на распределения напряжений в ортотропной (изотропной) плоскости и в полуплоскости. Задача изгиба конечной анизотропной пластины с криволинейным упругим включением рассмотрена в [38].

И.А.Прусов [88−90] обобщил метод линейного сопряжения на основные граничные задачи о нахождении напряжений и температурных полей в анизотропной полуплоскости, в плоскости, разрезанной на отрезках прямой, в круге и в плоскости с эллиптическим отверстием.

Л.А.Фильштинский [109] методами теории функций комплексного переменного свел задачу о продольном сдвиге анизотропной среды с разрезами к сингулярным интегральным уравнениям.

Исследованию поля напряжений в анизотропных телах (кручение, плоская задача, изгиб пластин) посвящена монография В. С. Саркисяна [100].

Температурные напряжения в анизотропных пластинах возле некруговых отверстий с помощью метода малого параметра исследованы в работе А. И. Уздалева [107].

Ввиду значительных математических трудностей, возникающих при решении задач о напряженном состоянии анизотропной пластины (тела) с криволинейным вырезом, отличным от кругового и эллиптического, такие задачи, как видно из приведенного обзора, решались в основном приближенными методами, в частности, методом малого параметра. Поэтому проблема построения эффективного аналитического решения задач о концентрации напряжений возле отверстий и упругих включений сложного очертания сохраняет свою актуальность и представляет теоретический и прикладной интерес. Этой теме посвящена настоящая работа.

В диссертационной работе предлагается аналитический алгоритм решения двумерных задач теории упругости однородного прямолинейно-анизотропного тела с криволинейным вырезом (плоская задача, продольный сдвиг, изгиб пластин) и аналогичных задач для тела с упругим анизотропным включением. Предполагается, что возмущение поля напряжений, вызванное наличием выреза (включения), не достигает внешней поверхности тела. Применение аппарата аналитических функций обобщенного комплексного переменного позволило свести рассматриваемые задачи к конечным системам линейных алгебраических уравнений, порядок которых зависит от наибольшей отрицательной степени в разложении отображающей функции.

Данная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения.

В первой главе диссертации приведены основные соотношения и уравнения антиплоской задачи для прямолинейно-анизотропного тела. Исследуется разрешимость основных краевых задач о продольном сдвиге анизотропного тела и структура функций напряжений для конечной и бесконечной многосвязных областей.

Решены задачи о продольном сдвиге анизотропного тела, содержащего цилиндрическую полость, и аналогичные задачи для тела сплошного поперечного сечения. Рассмотрен продольный сдвиг анизотропного тела с упругим анизотропным цилиндрическим включением. Задачи сведены к системам линейных алгебраических уравнений. Дан численный анализ напряженного состояния в ортотропной среде вблизи цилиндрической полости (включения) трапецеидального и прямоугольных (с различным отношением сторон прямоугольника) поперечных сечений. Исследуется напряженное состояние цилиндрического ортотропного тела сплошного квадратного поперечного сечения.

Во второй главе задачи о продольном сдвиге на основе применения теории потенциала сведены к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода с регулярными ядрами. При этом решение первой основной задачи продольного сдвига ищется в виде логарифмического потенциала простого слоя с непрерывной плотностью, а решение второй основной задачи — в виде потенциала двойного слоя. На ряде конкретных примеров для ортотропной среды с квадратной цилиндрической полостью (абсолютно жестким включением) и ортотропной среды сплошного квадратного поперечного сечения приведено сравнение численных результатов, полученных с помощью теории потенциала и теории функций комплексного переменного. Кривые распределения напряжений, полученные двумя разными методами, практически (в пределах точности решения интегрального уравнения) совпали.

В третьей главе диссертации методика, примененная для решения задач о продольном сдвиге, обобщена на плоские задачи для анизотропного тела с полостями и упругими включениями. Получен общий вид комплексных потенциалов напряженно-деформированного состояния для конечной и бесконечной многосвязных областей. Все коэффициенты, входящие в главные части представлений комплексных потенциалов, выражены явными формулами.

Граничные задачи сформулированы в виде интегральных соотношений, содержащих произвольную функцию, голоморфную в рассматриваемых областях.

Общие решения первой и второй основных задач иллюстрируются численными примерами о растяжении ортотропной пластины с треугольным, трапецеидальным и прямоугольными отверстиями. Исследуется влияние анизотропии материала, величины закругления углов, наличия упругого (жесткого) включения на концентрацию напряженийв пластине с отверстием.

Проведено исследование упругого равновесия многосвязной прямолинейно-анизотропной пластины при действии элементарных видов нагрузки (всестороннее ратяжение, чистый сдвиг, растяжение-сжатие).

Четвертая глава работы посвящена решению задач изгиба тонких анизотропных пластин с криволинейным вырезом и упругим анизотропным включением. Рассмотрены первая основная задача, когда на контуре отверстия в пластине заданы изгибающие моменты и перерезывающие силы, и вторая основная задача при заданных прогибах и углах наклона изогнутой поверхности пластины. Задачи сведены к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений.

Решена задача изгиба анизотропной пластины с упругим анизотропным включением в предположении, что главные направления упругости пластины. и включения составляют между собой произвольный угол. Ряд задач, об изгибе ортотропной пластины, ослабленной треугольным, трапецеидальным и прямоугольными отверстиями (упругими ортотропными включениями) доведены до числа и графиков.

Общий анализ полученных в работе результатов дан в выводах. Работа сопровождается 54 рисунками. В приложении приведены 3 таблицы, содержащие числовой материал, используемый при решении конкретньк задач.

Предложенная методика и результаты проведенных исследований используются при расчетах и проектировании конструкций в КТБ г. Хотьково, что подтверждается приложенным актом.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И КРАТКИЕ ВЫВОДЫ.

1. В диссертационной работе предложена методика решения двумерных задач теории упругости однородного прямолинейно-анизотропного тела с вырезами и упругими анизотропными включениями (плоская задача, изгиб пластин, продольный сдвиг).

2. Получены общие представления комплексных потенциалов напряженно-деформированного состояния для конечной и бесконечной многосвязных областей. Определены функции напряжений для многосвязной прямолинейно-анизотропной пластины при действии элементарных видов нагрузки (всестороннее растяжение, чистый сдвиг, растяжение-сжатие).

3. Решены задачи о продольном сдвиге однородного прямолинейно-анизотропного цилиндрического тела для случаев:

— анизотропного тела с цилиндрической полостью криволинейного поперечного сечения;

— анизотроцного тела сплошного конечного сечения;

— тела, содержащего цилиндрическое упругое анизотропное включение.

4. С целью обоснования предложенной методики аналогичные задачи о продольном сдвиге однородного анизотропного тела решены с использованием методов теории потенциала. Численные результаты, полученные методами теории функций комплексного переменного и методами теории потенциала, практически (в пределах точности решения интегрального уравнения) совпали.

5. Разработан аналитический алгоритм, решения плоской задачи для анизотропного тела с вырезом и задачи изгиба тонкой анизотропной пластины с криволинейным отверстием.

6. Решена задача о растяжении (изгибе) анизотропной пластины с упругим анизотропным включением в предположении, что главные направления упругости пластины и включения составляют произвольный угол.

7. Численный анализ напряженного состояния в ортотропной пластине Стеле) возле треугольного, трапецеидального, прямоугольных отверстий и таких же ортотропных включений (плоская задача, изгиб, продольный сдвиг) позволяет сделать следующие выводы:

— напряжения бв, (моменты Мв) в анизотропной (ортотропной) пластине вдоль контура отверстия распределены более неравномерно по сравнению с напряжениями в такой же изотропной пластине. На концентрацию напряжений существенно влияет отношение главных модулей Е/Е2{ Q/G2) (рис. 1.8−1.10, 3.7−3.8, 4.1−4.4);

— наибольшая концентрация напряжений имеет место вблизи угловых точек криволинейных отверстий и с. уменьшением радиуса закругления углов растет (рис. З. б, а, б, в);

— при растяжении ортотропной пластины в направлении малой оси прямоугольного отверстия (с большим отношением сторон) максимальные напряжения. возникают посредине малых сторон прямоугольника (рис. 3.3, 3. II);

— на характер распределения напряжений на контуре отверстия в ортотропной пластине влияет ориентация главных направлений упругости. Максимальные растягивающие напряжения, возникающие при растяжении ортотропной пластины с прямоугольным отверстием, в основном для всех случаев ориентации главных направлений упругости значительно превышают величины наибольших сжимающих напряжений (рис. 3.2−3.5);

— наличие упругого (жесткого) включения значительно снижает концентрацию напряжений и приводит к количественному и качественному перераспределению напряжений в пластине с отверстием. Случай упругого включения является промежуточным между абсолютно жестким ядром и свободным отверстием.

включением.

Рассмотрим изгиб тонкой прямолинейно-анизотропной пластины толщиной h с криволинейным отверстием, в которое впаяно упругое ядро из другого анизотропного материала. Предположим, что в каждой точке пластины и включения имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости, принятой за координатную плоскость xOlj. Линия L, разграничивающая в плоскости эсОу области {5(?) и /SC2), соответствующие различным анизотропным материалам, описывается параметрическим уравнением (1.59). Главные направления упругости пластины и включения составляют менузу собой произвольный угол <�р (рис. 4.7).

Вдоль линии раздела должны выполняться условия сопряжения п ;

L областей р&trade- (ct = l, 2 п дв а) п ml ds .М-, J*) W- = № } дп dn.

4.54).

Рис. 4.7 n, т — нормаль и касательная к линии L), а в удаленных от включения частях пластины изгибающие и скручивающие моменты ограничены: МХ=М{, М^=М2, Н™у —H4Z. Внешние сосредоточенные силовые факторы и нормальная (к срединной плоскости) распределенная нагрузка в областях j5Cet) (&=i}2) отсутствуют.

Здесь все величины с индексом I вверху относятся к пластине, а с индексом 2 — к включению.

При аналитическом решении задачи область f>Ci) принимаем бесконечной (возмущение упругого состояния пластины, вызванное наличием включения, не достигает внешней границы пластины).

Определение напряжений в кусочно-однородной пластине сводится к нахождению аналитических функций Ф^Xz&trade-) ~ pf^CZf*1) в областях () из следующих интегральных соотношений, вытекающих из условий на L (4.54),.

F (t)dVw=^F (t)dV (2) + iC^F (t)dt,.

F (t)dVa) =^V (t)dV (Q} +tC^F (t)dt,.

L L I.

4.55) F (t) dUw=j F (t)dU (2 j F (t)dU (i) = j F (t)dU (2 где dV («}=?l дМ / ДО rJ Л Л.

2. Г j=i I.

4.56).

Ф = рГ> с постоянные, определяющиеся по формулам (4.II) — F (Z) — произвольная функция, голоморфная в области j$Ci} (или $(2>) — С= Си>~ С (2) — вещественная постоянная.

Функции при больших I zj111 и функции Ф®Щ2)) при достаточно малых (j=l, 2) имеют представления).

Ф%!г))=А? * B? z? + o (z-)2), (4.57).

J J J J J J 7.

С помощью функции (1.63) конформно отобразим внешность единичной окружности? (|?| >1) на внешность линии раздела сред L.

Уравнения контуров llf областей запишутся в виде (3.95) N у?6″) (!?> de/' JP-W). (4.58).

K=i.

Величины 9f*J), () определяются по формулам.

3.96).

Функции (4.57) в преобразованных областях вне и внутри единичной окружности имеют вид (3.104).

N-2 оо а)-к ' ' L> vrtr-X^).

K—i оо А/.

K=i.

Ip/'l*l, IГ/'И-О.

4.59).

Внесем выражения (1.67), (4.56), (4.58) и (4.59) в условия (4.55) и выполним интегрирования с учетом произвольности функции F (z) (1.67), получим (t (p ,).

2 2 j=i ot=I.

4.60) о.

2 2. j=l a=i.

Величины, определяются по формулам (3.102), а постоянные А (?} (<*, j=i}2) — через моментные усилия, заданные на V бесконечности, согласно формул (4.32).

При свободном от внешней нагрузки включении из условия однозначности перемещений (4.21) находим.

6^=0 Q, a=l, 2). (4.61).

К уравнениям (4.60) необходимо присоединить условия (3.105), выполнение которых обеспечивает ограниченность функций Ф1″ }(%?°) v J =) (4.59) вне и внутри единичной окружности. Соотношения (4.60) и (3.105) в совокупности составляют конечную систему линейных алгебраических уравнений порядка I2N относительно неизвестных коэффициентов, ., q!®?, ., ,.

•••" > •••" «-ф ») в представлении функций (4.59).

Вещественная постоянная С = С — С, входящая в условия сопряжения (4.55), определяется из условия однозначности прогибов пластины и включения lVr<*J (4.23).

2Re.

У" i ^(tpdtp.

0 (<*=!, 2).

4.62).

При N-l получаем решение для пластины с эллиптическим включением. В этом случае, как следует из (3.105), (4.60), В?=0, 6⁰, 6™= О (т>2) и функции (j, с (= 1,2) (4.59) принимают вид.

3.107).

4.6. Ортотропная пластина с упругим ортотропным включением.

Исследуем напряженное состояние кусочно-однородной ортотропной пластины, состоящей в срединной плоскости из областей P>Ci) и $(2>, соответствующих различным ортотропным материалам. Главные направления упругости пластины и включения составляют угол (р (рис. 4.7). На линии спая L (1.59) выполняются условия (4.54), а в бесконечно удаленных частях пластины действуют постоянные изгибающие моменты M™=Mi, (Н&trade- = 0).

В областях пластины и включения внешние сосредоточенные силовые факторы отсутствуют.

Перед тем как воспользоваться решением, приведенным в предыдущем параграфе, следует сделать переход от системы координат x’ij’z', связанной с включением, к системе xyz путем поворота вокруг оси на угол (р (рис. 4.7). При этом надо пересчитать жесткости включения Щ при переходе к новым осям по формулам, которые для ортотропного материала принимают вид [44].

D® cos* (р +2D (fsw2(pcos2(p + D²)sin" (f, B^=B^sin*(p +2D*sin2(pcos2(p + D? cos?

4.63).

D™ = D^^-f (D (i2)+D'2)-2D^))sin2(p cos2cp;

— D? cos2.

Пересчет комплексных параметров изгиба juj2) (j^t-, 2) при переходе к новым осям производится по формулам (3.74) [44, 50]. Здесь D?, If, If, If = +flf — главные жесткости (4.2) включения в системе координат oc’ij’Z' (рис. 4.7).

Для численного расчета выбраны ортотропные материалы с упругими характеристиками (4.47), (4.48).

Пример I. Рассмотрим изгиб ортотропной пластины с прямоугольным ортотропным включением. Отображающую функцию (1.63) выберем в виде (1.89). В данном случае N=3, R = R, СК = СК, Я^-0, уи^>=0 (n=N-l, n>Nj, a=i, 2).

Аналитические функции (4.59) принимают вид afC^zV³'.

3%ftfB * Х’ЧТ-^Ч'Г.

4.64).

1, |Г/W } j-1,2).

Неизвестные коэффициенты CL (*J), , Aj2) в представлении (4.64) определяются из системы алгебраических уравнений (3.105), (4.60), а постоянные () выражаются через изгибающие моменты на бесконечности по формулам (4.34).

П≅0) (Da)м:-(ц,+ ъ/4,) мAj ~ оо тлг-Ф^-Ю j= 1,2). (4.65).

Выражения функций (4.64) на границах LCj} областей при.

9 () представляются в виде.

3.109).

На рис. 4.8″ изображены распределения моментов (о (= 1,2) в пластине с упругими характеристиками (4.47) вдоль линии спая с прямоугольным (Я = 5, см. табл. I приложения) включением (4.48) для (f)=0. Линия, обозначенная индексом I, характеризует изгибающие моменты Мд} в пластине с отверстием, 2 -в пластине с упругим ядром (4.48), 3 — в пластине с жестким ядром, 4 — изгибающие моменты Мд2) в ядре, 5 — изгибающие моменты, когда пластина и ядро из одного материала. На рис. 4.9 показаны графики распределения М^ (ск=1,2) в такой же пластине и включении на линии спая для (р=к/3 (сплошная линия). В верхней части рис. 4.9 изображены изменения изгибающих моментов Мд} в пластине, а в нижней части рисунка — изменения М (д2) в ядре. Штриховая линия характеризует случай (рО.

Пример 2. Исследуем изгиб ортотропной пластины с треугольным с закругленными углами ортотропным включением. Главные направления упругости пластины и включения совпадают ((р= 0).

Воспользуемся представлением отображающей функции (1.63) в виде (3.III) (N=2, R=R, Сг=0.25, Ст-0, т*Я). Аналитические функции (4.59) на Uf (j, a = iy2) в рассматриваемом случае принимают вид (3.II2).

На рис. 4.10,а показаны распределения моментов (c (=J}2) 1 2 3 4 5 свободное отверстие упругое ядро жесткое ядро изгибающие моменты в ядре q пластина и ядро из одного материала У.

Рис. 4.8.

Рис. 4.9.

Нг у.

V2.

1 — свободное отверстие.

2 — упругое ядро.

3 — жесткое ядро X.

4 — изгибающие моменты в ядре.

5 — пластина и ядро из одного материала У.

1 — свободное отверстие.

2 — упругое ядро.

3 — жесткое ядро.

4 — изгибающие моменты в ядре.

5 — пластина и ядро из одного материала.

Рис. 4. II в пластине с упругими характеристиками (4.48) и треугольном включении (4.47) вдоль их линии спая. Графики, приведенные на рис. 4.10,6 характеризуют то же в пластине (4.47) с включением (4.48).

Пример 3. Рассмотрим упругое равновесие ортотропной пластины с трапецеидальным ортотропным включением под действием постоянных на бесконечности изгибающих моментов M^=Mi, М™=М2. Отображающую функцию со (£) (1.63) выберем согласно (I.150) -(1.151) (А1=3).

Из решения системы линейных алгебраических уравнений (3.105), (4.60) определяем неизвестные коэффициенты в представлении функций Ф^Х^р) (4.59), принимающих в данном случае на границах Lf областей (j,"=l, 2) вид (3.II3).

На рис. 4. II, а приведены кривые распределения моментов Мд} и М (д2) в пластине (4.47) с трапецеидальным включением (4.48) вдоль их линии спая. Кривые, изображенные на рис. 4.11,6 характеризуют изменения М^ () вдоль линии спая в пластине (4.48) и включении (4.47).