Инварианты и представления классических супералгебр ли и их приложения к квантовым интегрируемым системам

Связь между классической теорией инвариантов и теорией представлений групп Ли впервые была открыта в первой половине 20-го века в фундаментальных работах И. Шура, Р. Брауэра и Г. Вейля и оказала огромное влияние на развитие как теории инвариантов, так и теории представлений. Итог первого этапа развития этой теории был подведен в основополагающей книге Г. Вейля «Классические группы их инварианты и представления» [61]. В этой книге были описаны инварианты, зависящие от произвольного числа векторов и ковекторов, а также централиза-торные алгебры классических серий простых групп Ли и, вычислены характеры неприводимых представлений. Дальнейшее развитие теория инвариантов и терия централизаторных алгебр получили в работах Дж. Бирмана, Ч. Венцля, А. Рэма, Дж. Мураками, П. Ханлона Д. Валеса, Т. Аракавы, И. Макдональда, М. Назарова, К. Прочези, К. Кончини, Ж. Дьедоне и Р. Хау др. Особенно следует отметить работы Р. Хау [63]. Его обобщение двойственности Шура-Вейля получило название метода дуальных пар. Открытием в 80-х годах прошлого века квантовых групп ознаменовало новый этап в развитии этой теории, существенно расширив список централизаторных алгебр и дуальных пар. Примерно в это же время возникает и теория супемногообразий, что приводит к естественным попыткам обобщения двойственности Шура-Вейля и метода дуальных пар на «суперслучай». В работах автора теория двойственности была обобщена на случай как общей линейной супералгебры Ли, так и на случай ее нечетного аналога, что позволило сделать существенный прогресс в теории проективных представлений симметрических групп. Важный шаг в развитии этой теории был сделан в работе А. Вершика и автора [159], на основе обобщения понятия алгебры и базиса Гельфанда-Цетлина. Возникающие при этом естественные нечетные аналоги элементов Юнга-Юцнса-Мерфи были использованы для более простого вывода ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп и постоения [143] проективных аналогов сим-метризаторов Юнга. В работе [100] проективный вариант двойственности Шура-Вейля был использован для доказательства гипотезы Г. Ольшанского о возможности централизаторной конструкции Янгиапа супералгебр Ли серии ц.

Заметим, что в случае простых классических алгебр Ли двойственность Шура-Вейля равносильна описанию инвариантов зависящих от конечного числа векторов и ковекторов, т. е. так называемой классической теории инвариантов. Аналог такой теории для супералгебр Ли был развит в работах автора [140], [141], [144], [145]. Оказалось, что описание алгебр инвариантов в этом случае выглядит достаточно просто, что являются довольно неожиданными, так как в отличии от полупростых алгебр Ли, конечномерные представления простых супералгебр Ли не являются вполне приводимыми. Как и в случае полупростых групп Ли классическая теория инвариантов может быть рассмотрена как начало общей теории инвариантов для супералгебр Ли. В качестве известных примеров применения классической теории инвариантов для супералгебр Ли отметим описание сферических функций связанных с модулями Вей-ля и описание централизаторных алгебр. Централизаторные алгебры и дуальные пары Хау классических супералгебр Ли изучались в работах А. Рэма, Д. Муна, М. Ямагучи [169, 170], С. Ченг и В. Ванг [29, 30] и др. Доказательство того, что эти алгебры являются действительно дентрализаторными легко следует из супераналога классической теории инвариантов.

Следующей центральной темой диссертации является исследование связей между теорией представлений супералгебр Ли и теорий квантовых интегрируемых систем. Впервые наличие таких связей было открыто в работах [146] и [147]. Эти работы послужили началом ситематического исследования квантовых интегрирыемых систем с точки зрения суперал-герб Ли и наоборот, использованию методов квантовых иитегрируемых систем в теории представлений супералгебр Ли. В частности в диссертации строится теория супераналогов полиномов Макдональда и исследуются ее связи с теорией представлений классических супералгебр Ли. Впервые предельные случаи таких аналогов (суперфупкции Шура) появились в работах А. Вершика и С. Керова [164] по асимтотической теории представлений симметрической группы и в более общем виде (суперполиномы Джека) в работе С. Керова, А. Окунькова и Г. Ольшанского [65]. Связь этих полиномов с теорией представлений была найдена в работах [146] и [147], где было показано, что при определенных значениях параметра суперполиномы Джека являются сферическими функциями на некоторых симметрических суперпространствах, а так же, что суперполиномы Джека являются собственными функциями некоторого дифференциального оператора второго порядка. Оказалось также, что некоторые частные случаи этого оператора были рассмотрены ранее в работах А. Веселова, М. Фейгина и О. Чалых [166] ,[165],[23] под названием деформированных квантовых систем Калоджеро-Мозера-Са-зерленда. Аналогично, в работе [148] классические проективные функции Шура были интерпретированы как сферические и бисферические функции на определенных симметрических суперпространствах.

Следующим естественным шагом было построение общей теории деформированных квантовых интегрируемых систем связянных с системами корней простых супералгебр Ли. Соответствующее обобщение понятия системы корней было введено В. Сергановой под названием обобщенной системы корней. В работе [149] было показано, что по каждой обобщенной системе корней можно естественным образом построить квантовую интегрируемую систему. Высшие интегралы в этой работе были построены с помощью явной индуктивной процедуры. Другой способ построения интегралов был предложен в работах [138], [136]. В этих работах было показано, что деформированная квантовая интегрируемая система Калоджеро-Мозера типа, А (включая и разностный аналог) может быть получена ках< ограничение соответствующей бесконечномерной системы. Естественной областью действия интегралов этих квантовых систем, является некоторое кольцо, которое является естественной деформацией кольца конечномерных представления соответствующей супералгебры Ли. Это последнее кольцо было описано в работе [137] (в качестве следствия получено описание кольца инвариантных полиномов [142]). При общем значении параметров структура деформированного кольца Гротендика как модуля над алгеброй интегралов допускает явное описание. Тем самым возникает естественнй базис в этом кольце, различные специализации которого могут быть связаны с важными классами конечномерных представлений супералгебр Ли. Опишем теперь содержание дисертации по главам.

Первая глава посвящена построению «супераналога» классической теории инвариантов. Предметом классической теории инвариантов является описание инвариантных (относительно заданной группы) полиномиальных функций зависящих от заданного числа векторов и ковекторов из некоторого фиксированного представления. Для супералгебр Ли естественной является следующая постановка задачи.

Пусть V будет конечномерным суперпространством над С и д произвольная матричная супералгебра Ли, т. е., подсупералгебра Ли в д[(У). Под классической теорией инвариантов для д мы подразумеваем описание д-инвариантных элементов алгебры.

21™ = ф П (У)4 © Ук © ЩК)*1), где для д модуля Ь, 1? обозначает прямую сумму р копий Ь. На алгебре 21естественным образом действует супералгебра Ли д[(£/) (c)д[(Ж) и ее обертывающая алгебра © = ?/(д1(?0(c)д[(И0), гдесНтС/ = (р,(]), сНтЖ = (к, I). Элементы из 03 коммутируют с естественным действием д[(У). Они будут называться операторами поляризации. Следовательно алгебра инвариантов (21^)° является модулем над алгеброй 03. Так как алгебра 21является полупростым 93 модулем, то и алгебра инвариантов также является полупростым 03 модулем. В каждом случае мы явно описываем разложение алгебры инвариантов на простые 03 модули, и оказывается, что это разложение всегда имеет простой спектр. Мы также описываем минимальное множество образующих. Для классических серий простых алгебр Ли минимальное множество образующих М обладает тем свойством, что его линейная оболочка является модулем над 03. В случае супералгебр Ли, не всегда удается описать в простом виде минимальное множество образующих. Поэтому, в случае супералгебр Ли мы даем описание минимальных 93 подмодулей порождающих алгебру инвариантов. Оказывается, что в качестве минимального множества образующих можно взять любой базис этого модуля. Таким образом в каждом случае вместо описания множества образующих мы описываем некоторый модуль на алгеброй операторов поляризации, который порождает алгебру инвариантов. Явное описание образующих основанное на симметризато-рах Юнга приведено в работах [141],[145]. Но это описание выглядит все еще недостаточно простым. Интересной представляется задача описания инвариантов в полном кольце частных алгебры Заглавный результат второй главы состоит в перенесении индуктивного метода построения теории представлений, — метода алгебр Гельфанда-Цетлина, — развитого в работах А. Вершика и А. Окунькова на случай^{-градуированных} алгебр, и-в частности, позволяет использовать этот метод для построения полунормальной и ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп. Проективные представления симметрических групп изучались многими авторамимы используем этот пример для иллюстрации нового подхода к задаче о представлениях Хг-градуированных цепочек алгебр. Прежде всего, определяются условия простоты ветвления представлений цепи полупростых йг-градуированных алгебр. Наиболее существенную роль играет обобщение понятия алгебры Гельфанда-Цетлина, для цепи 21 = А (1) С, А (2) С ¦ • • С А (п) полупростых 22-градуированных алгебр. Прежде всего, следует обобщить понятие центра и определить, так называемый, суперцентр^{-градуированной} алгебры.

Понятие алгебры Гельфанда—Цетлина цепи расслаивается для градуированных алгебр на несколько понятий, поскольку в отличие от неградуированного случая алгебра порожденная суперцентрализаторами последовательных подалгебр цепи, называемая далее супералгеброй Гельфанда-Цетлина не совпадает с алгеброй порожденной суперцентрами алгебр А (к). Алгебры SGZ (%)), вообще говоря, не коммутативны даже в случае простого ветвления, но их структура оказывается стандартной: это есть тензорное произведение коммутативной алгебры и алгебры Клиффорда. Между алгебрами? УС-З^Й)) и ?'^(2)) находится место для обычной алгебры Гельфанда-Цетлина — (3^(2)) -четной части цепи 2). Анализ представлений и характеров этих алгебр составляет суть метода. В пятой секции строятся аналоги симметризато-ров Юнга для проективных представлений симметрических групп. Заметим, что аналоги симметризаторов Юнга для алгебры Н^ были построены в работе М. Назарова, следуя идеям И. Чередника в случае обычных симметризаторов Юнга. Здесь предлагается другая конструкция таких аналогов основанная на предыдущих результатах. Оставшаяся часть второй главы посвящена централизаторной конструкции Янгиана, для супералгебр Ли серии q. Это возможно наиболее интересный супераналог общей линейной супералгебры. Мы описываем обратный предел последовательности централизаторных алгебр в терминах Янгиана .

В третьей главе дается описание колец конечномерных представлений. Мы предполагаем, что знание структуры кольца представлений поможет пролить дополнительный свет на проблему вычисления характеров конечномерных представлений, которая до сих пор остается не полностью решенной. Определим кольцо экспоненциальных суперинвариантов J (в), заменяющее кольцо инвариантов группы Вейля в случае классических алгебр Ли:

J (g) = {/ g Ъ[Ро]ху°: Daf g (еа—1) для любого изотропного корня а} где (са — 1) обозначает главный идеал в 7,[Pq]w° порожденный еа — 1 и производная Da определяется свойством Da (e^) — (а, /3)еР. Это кольцо является вариантом кольца инвариантных полиномов для супералгебр Ли расмотренном в работах Ф. Березина, автора и В. Каца. Для специального случая супералгебры Л (1,1) необходимо слегка изменить определение, так как в этом случае изотропные корни имеют кратность 2.

Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 0.1. Кольцо Гротендика К (д) конечномерных представлений основной классической супералгебры Ли g изоморфно кольцу J (g). Изоморфизм задается отображением суперхарактера Sch: K (q) —>

•7(0).

Как следствие мы получаем описание кольца инвариантных полиномов [142] для классических простых конечномерных супералгебр Ли и, следовательно описание центров обертывающих алгебр для основных классических супералгебр Ли. Заметим, что В. Кацем был предложен совершенно другой метод описание центров обертывающих алгебр основных классических супералгебр Ли (полное докзазательство справедливости этого метода для супералгебр Ли было недавно дано М. Горелик [57|). Следует также отметить, что кольца Гротендика основных классических супералгебр Ли допускают естественную деформацию с точки зрения квантовых интегрируемых систем. Инересным представляется вопрос о примененимости такой деформации к методу В. Каца.

В четвертой главе строится общая теория деформированных квантовых операторов Калоджеро-Мозера-Сазерленда (KMC), обобщающая классические результаты Олыпанецкого и Переломова. Оказывается что существуют несимметричные обобщения классической квантовой KMC задачи. Первая серия таких «деформированных» обобщений Ап (т) была найдена А. Веселовым, М. Фейгином и О. Чалых. Позже теми же авторами была найдена другая серия Сп (т, I). Хотя эти деформации появились также в контексте WDW уравнения, их алгебраическая природа оставалась неясной. Принципиальный шаг в выяснении природы этих деформаций был сделан автором в работах [146, 147]. В этих работах было доказано, что деформированный квантовый оператор KMC типа Ап{т) для специальных значений параметра может быть интерпретирован как радиальная часть оператора Лапласа-Бельтрами на определенном симметрическом суперпространстве. В четвертой главе систематически развивается теория деформированных квантовых операторов KMC связанных с системами корней простых конечномерных супералгебр Ли обладающих матрицей Картана. Описание основано на понятии обобщенной системы корней, которое было введено В. Сергановой. Согласно классификации В. Сергановой имеется две бесконечные серии таких операторов связанных с обобщенными системами корней R типа А (п, тп) и ВС (п, т), и три исключительных случая, соответствующих исключительным системам корней G (l, 2), АВ (1,3) и D (2,1, А). Система типа А (п, т) может быть рассмотрена как взаимодействие двух типов частиц с массами 1 и ^ соответственно и параметром взаимодействия зависящим от к. Когда тп — 1 (т.е. когда вторая группа частиц состоит только из одной частицы) такая система была впервые рассмотрена А. Веселовым, М. Фейгиным и О. Чалых. В случае общих пит соответствующий оператор был впервые введен в [146] но рациональный предел этого оператора был рассмотрен ранее Ю. Берестом и А. Якимовым, когда они искали преобразования типа Дарбу для систем Калоджеро-Мозера. Система ВС (п, т) может быть интерпретирована подобным же путем с предположением симметрии системы относительно начала координат. Хотя она зависит от 5 параметров только три из них независимы. Система ВС (п, т) с т = 1 и р = 0 была впервые рассмотрена в А. Веселовым М. Фейгиным и О. Чалых. Случай тп — 1 является специальным, так как только в этом случае все параметры могут быть целыми. Оператор ВС (п, т) для общих in, п так же как и деформированные системы относящиеся к исключительным системам G (l, 2), АВ{1,3) и .0(2,1, А) прежде не рассматривались. Далее в этой главе дается интерпретация общей теории в случае симметрических суперпространств. В настоящее время не существует развитой теории такого типа несмотря на то, что классификация симметрических суперпространств была получена В. Сергановой около 20 лет назад. Работы [146] и [147] можно рассматривать как первый этап в построении такой теории. В этих работах были рассмотрены некоторые суперпространства связанные с супералгеброй Ли gl. Методы этих работ являются естественным развитием методов работ П. Этингофа и А. Кириллова (мл.), в которых дана интерпретация полиномов Джека и Мак-дональда с точки зрения теории представлений алгебр Ли. В работах [146], [147] были вычислены также сферические функции связянные с модулями Вейля и показано, что они являются собственными функциями для алгебры радиальных частей операторов Лапласа. Оказалось, что оператор второго порядка совпадает с деформированным оператором.

Калоджеро-Мозера при значениях параметра к — 1,½. Кроме того доказывается, что супераналоги полиномов Джека введенные С. Керо-вым, А. Окуньковым и Г. Ольшанским являются собственными функциями этого оператора. Показано также, что при значениях параметра к = 1,½ эти полиномы можно интерпретировать как сферические функции связанные с модулями Вейля.

В оставшейся части главы рассматриваются симметрические суперпространства связанные с супералгеброй я. В работе [148] рассмотрены два таких суперпространства и построены две алгебры радиальных частей операторов Лапласа. Доказывается, что эти алгебры изоморфны и минимальный порядок дифференциального оператора входящего в эти алгебры равен трем. Полиномиальные общие собственные фукции этих операторов совпадают с проективными функциями Шура. Эти функции также интерпретируются как бисферические и сферические функции для неприводимых представлений появляющихся в разложении тензорной алгебры тождественного представления. Как следствие мы получаем есстественную интерпретацию результатов полученных ранее Р. Стем-бриджем в контексте алгебр Гекке.

Главный результат пятой главы состоит в том, что мы интерпретируем деформированные квантовые системы Калоджеро-Мозера типа, А как ограничения недеформированных бесконечномерных систем того же типа. В частности, это позволяет получить более концептуальное доказательство интегрируемости квантовых деформируемых систем Калоджеро-Мозера типа А (п, т). Первая половина главы основана на разульта-тах работы [138]. В этой работе было показано, что оператор типа А (п, т) может быть описан как ограничение обычного оператора Калоджеро-Мозера от бесконечного числа переменных на определенное подмногообразие.

Для доказательства используется теория полиномов Джека и теория сдвинутых полиномов Джека развитая в недавних работах А. Окунько-ва, Г. Ольшанского, Ф. Кноппа и С. Сахи. Доказывается также, что квантовые интегралы построенные в работе [149] могут быть получены как ограничение определенных интегралов обычной задачи Калоджеро-Мозера от бесконечного числа переменных. Рассматривается также более общая задача об описании идеалов в алгебре симметрических функций инвариантных относительно всех квантовых интегралов. Оказывается, что прямоугольные диаграммы выделяются тем свойством, что соответствующая фактор алгебра не имеет делителей нуля. Приводятся также комбинаторные формулы для суперполиномов Джека и их сдвинутых аналогов. В общем случае доказывается, что инвариантные идеалы находятся в биекции с фильтрами в множестве диаграмм Юнга. Понятие фильтра было введено А. Регевом в связи с исследованием идеалов в тензорной алгебре. Следующий параграф основан на результатах работы [136], которая является естественным обобщение результатов работы.

138]. Показывается, что деформированный оператор Макдональда-Ру-дженариса может быть описан как ограничение обычного оператора Макдональда-Рудженариса от бесконечного числа переменных на определенное подмногообразие.

1. М. Atiyah, 1.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969.

2. M. Atiyah, Mathematics: Art and Science. Bull, of AMS, 2005, Vol. 43, Number 1, pp.87−88.

3. Ф. А. Борезин, Г. П. Похил, B.M. Финкельберг Уравнение Шрсдингера для системы одномерных частиц с точечным взаимодействием. Вестник МГУ, в.1, 1964, 21−28.

4. Ф. А. Березин Операторы Лапласа на полупростых группах Ли. Труды Московского Мат. Общества 6, 1971, 371−463.

5. Ф. А. Березин, Лапласа-Казимира операторы (Общая теория). Препринт ITEP-66, Reprinted in: F.A. Berezin Introduction to Superanalysis. Springer, 1987, 279 311.

6. Ф. А. Березин, Представления супергруппы U (p, q), Функц. анализ и его приложения, т. 10 (1976), 70−71.

7. Bernstein J., Leites D., The superalgebra Q (n), the odd trace and the odd determinant. C.R. do l’acad. bulg. de Sci. v. 35, n.3, 1982, 285−286.

8. Bourbaki, N. Algebre cornmutatif. Ch. V-VII, Masson, Paris, 1985.

9. R. Brown, From groups to groupoids: a brief survey. Bull. LMS, 19 (1987) 113−134.

10. Bernstein J., Finite dimensional representations of semisimple Lie algebras. (Ver-ma module approach). In: Leites D. (cd.) Seminar on Supermanifolds, Reports of Stockholm University, n. 10, 1987;92.

11. N. Bourbaki, Groupes et algebres de Lie. Chap. VI, Hermann, Paris, 1968.

12. N. Bourbaki, Groupes et algebres de Lie. Chap. VII-VIII, Hermann, Paris, 1975.

13. R. Brown, From groups to groupoids: a brief survey. Bull. LMS, 19 (1987) 113−134.

14. J. Brundan, Kazhdan-Lusztig polynomials and character formulae for the Lie superalgebra 0l (m|n). J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), no. 1, 185−231.

15. Brundan, JonathanKleshchev, Alexander, Projective representations of symmetric groups via Sergeev duality. Math. Z. 239 (2002), no. 1, 27−68.

16. Brundan, JonathanKleshchev, Alexander, Representation theory of symmetric groups and their double covers. Groups, combinatorics and geometry (Durham, 2001), 31−53, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2003.

17. Brundan, JonathanKleshchev, Alexander, Hecke-Clifford superalgebras, crystals of type Affi and modular branching rules for Sn. Represent. Theory 5 (2001), 317−403 (electronic).

18. Barcclo, HeleneRam, Arun, Combinatorial representation theory. New perspectives in algebraic combinatorics (Berkeley, CA, 1996;97), 23−90, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 38, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999.

19. A. Khodarinova, On quantum elliptic Calogero-Moser problem. Vestnik MGU, Ser. I Math. Mech., 1998, n.5, 16−19.

20. M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov, Quantum integrable systems related to Lie algebras. Phys. Rep. 94, 1983, 313−404.

21. M.A.Olshanetsky, A.M.Perelomov Quantum systems related to root systems and radial parts of Laplace operators. Funct. Anal. Appl. 12, 1978, 121—128.

22. E. Opdam, Lectures on Dunkl operators. math. RT/9 812 007.

23. T. Oshima, Completely integrable systems with asymmmetry in coordinates. Asian .T. Math. 2., 1998, 935−955.

24. R.C. Orellana, M. Zabrocki, Some remarks on the characters of the general Lie superalgebra. math.CO/8 152.

25. Orellana, R. C.- Wenzl, H. G., q-centralizer algebras for spin groups. J. Algebra 253 (2002), no. 2, 237−275.

26. I. Penkov, Characters of typical irreducible finite-dimensional q (n)-modules, Funct. Anal. Appl. 20 (1986), 30−37.92 93 [94 [95 [96 [97 [98 [99 [100 101 102 103 104 105 106 112 512.

27. Penkov, IvanSerganova, Vera, Representations of classical Lie superalgebras of type I. Indag. Math. (N.S.) 3 (1992), no. 4, 419−466.

28. Penkov, IvanSerganova, Vera, Generic irreducible representations of finite-dimensional Lie superalgebras. Internat. J. Math. 5 (1994), no. 3, 389−419.

29. Pragacz P., Algebro-geometric applications of Schur Sand Q-polynomials. Lect. Notes Math., v. 1478, 1991, 130−191.

30. Ram A., Seminormal representations of Weyl groups and Iwahori-Hecke algebras, Proc. London Math. Soc. (3), 75, 1997, 99−133.

31. A. Regev, On a class of algebras defined by partitions. Adv. in Appl. Math. 31 (2003), no. 3, 544−561.

32. S.N.M. Ruijsenaars, Complete integrability of relativistic Calogero-Moser systems and elliptic function identities. Comm. Math. Phys. 110 (1987), no. 2, 191−213.

33. S. Sahi, Interpolation, integrality, and a generalization of Macdonald’s polynomials. Internat. Math. Res. Notices (1996), no. 10, 457−471.

34. J.-P. Serre, Algebres de Lie semi-simples complexes. W. A. Benjamin, inc., New York-Amsterdam 1966. English translation: J.-P. Serre Complex semisimple Lie algebras. Springer-Verlag, New York, 1987.

35. J.-P. Serre, Representations lineaires des groupes finis. Hermann, Paris, 1967. English translation: J.-P. Serre Linear representations of finite groups. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

36. V. Serganova, On generalization of root system. Commun. in Algebra 24(13), 1996, 4281−4299.

37. V. Serganova, Kazhdan-Lusztig polynomials and character formula for the Lie superalgebra g (m|n). Selecta Math. (N.S.) 2 (1996), no. 4, 607−651.

38. V. Serganova, Characters of irreducible representations of simple Lie superalgebras. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 583−593.

39. Serganova, V. V., Classification of simple real Lie superalgebras and symmetric superspaces. Funktsional. Anal, i Prilozhen. 17, 1983, no. 3, 46−54.

40. Scheunert M., Invariant supersymmetric multilinear forms and the Casimir elements of P-type Lie superalgebras. J. Math. Phys. 28, no. 5, 1987, 1180−1191.

41. Schur I., Uber die darstellung der symmetrischen und der alternierden Grouppe durch gebrochene lineare Substitutionen. J. Rein. Angew. Math., v. 139, 1911, 155 250.

42. Sahi S., A new scalar product for nonsymmetric Jack polynomials. Internat. Math.Res.Notices, 20, 1996, 997−1004.

43. R. Stanley, Some combinatorial properties of Jack symmetric functions. Advances in Math., 77, 1989, 76−115.

44. S. Sahi, The spectrum of certain invariant differential operators associated to a Hermitian symmetric space. Progress in Math., 123, 1994, 569−576.

45. A.N. Sergeev, A.P. Veselov, Deformed quantum Calogero-Moser problems and Lie superalgebras. Comm. Math. Phys. 245 (2004), no. 2, 249−278.

46. Sergeev, A. N.- Veselov, A. P., Deformed Macdonald-Ruijsernaars operator and super Macdonald polynomials arXive: 0707.3129.

47. A.N.Sergeev, A.P. Veselov, Grothendieck rings of basic classical Lie superalgebras. arXive: 0704.2250.

48. Vershik, A.M. Vsemirnov, M.V., The local stationary presentation of the alternating groups and normal form. J. Algebra 319 (2008), no. 10, 4222−4229.

49. A.M. Vershik, S.V. Kerov, Asymptotic theory of characters of the symmetric group. Funct. Anal. Appl. 19, 1985, 21−31.

50. Veselov A., Feigin M., Chalykh O., New integrable deformations of the quantum Calogero-Moser problem. Uspehi Mat. Nauk, 51, 1996, no. 3, 185−186.

51. A.P. Veselov, M.V. Feigin, O.A. Chalykh, New integrable deformations of quantum Calogero Moser problem. Russian Math. Surveys 51, no.3, 1996, 185−186.

52. A.P. Veselov, Deformations of the root systems and new solutions to generalized WDVV equations. Phys. Lett. A 261, 1999, 297−302.

53. A.P. Veselov, On generalisations of the Calogero-Moser-Sutherland quantum problem and WDW equations. J. Math. Phys. 43, 2002, no. 11, 5675−5682.

54. Yamaguchi M., A duality of the twisted group algebra of the symmetric group and a Lie superalgebra, J. Algebra 222 (1999), 301−327.

55. Yamaguchi M., A duality of the twisted group algebra of the hyperoctaedral group and the queer Lie superalgebra, Combinatorial methods in representation theory (Kyoto, 1998), 401−422, Adv. Stud. Pure Math., 28, Kinokuniya, Tokyo, 2000.

56. Wang, Weiqiang, Spin Hecke algebras of finite and affine types. Adv. Math. 212 (2007), no. 2, 723−748.

57. A. Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry. Notices Ainer. Math. Soc. 43 (1996), 744−752.1173. T. Wall, Graded Brauer groups, .1.Heine Angew.Matli. 213 (1964), 187−199.

58. Weyl H., Classical groups, their invariants and representations, Princeton Univ. Press, Princeton, 1946.

59. J. Weyman, The equations of strata for binary forms. J. Algebra 122, 1989, 244−249.