Приближенное решение краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с сингулярной линией

Актуальность темы

Обозначим через Ь верхнюю полуокружность х2+у2=1, через / отрезок (-1,1) оси ох, тогда такой контур будет границей полукруга в верхней полуплоскости, который будем обозначать С. Полукруг и полуокружность симметричные с (7 и Ь относительно оси ох обозначим ф через О и Ь, а В=Си1и (.7, Г=ЬиЬ. В описанной области О будем рассматривать дифференциальное уравнение.

2 2 д и д и и ди.

А=с (0Л).

Это уравнение имеет фундаментальное значение в целом ряде разделов математической физики [2], гидродинамики и теории упругости [1,9] и в литературе известно под названием уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу [16,37] или уравнения обобщенной осесимметрической теории потенциала (GASPTGeneralizedAxially Symmetric Potential Theory) [38,39].

Но мы будем его называть уравнением обобщенной осесимметрической теории поля (уравнением ООСТП).

К дифференциальному уравнению (0.1) приводят многие пространственные (п>3) задачи с той или иной симметрией области задания или решения. Если в трехмерном уравнении Лапласа для тела вращения перейти к цилиндрическим координатам, то в меридиональной плоскости получим (0.1).

— 1 2.

Кстати, если в (0.1) положить ъ ~ Л ~~У, то из него получим дифференциальное уравнение д2и д2и ди 1 + и относящееся к тем вырождающимся уравнениям, которые были изучены М. В. Келдышем в 1951 г. [14], (см. так же [35]). Им впервые было показано, что на той части границы области, на которой происходит вырождение (для (0.2), это будет на линии 77 = 0 и для (0.1) — на отрезке /) значение искомой функции задавать некорректно.

Вместо задачи Дирихле для дифференциального уравнения (0.1) в области (7 корректной будет задача типа е введенная М. В. Келдышем [14], когда на отрезке / требуется только ограниченность искомой функции, а она сама не задается.

В работе швейцарского математика П. Генричи (Р. Неппс1) в 1953 г. [37] была дана формула представления аналитических по (х, у) решений (0.1) через голоморфные функции ф (г):

В работах Ю. П. Кривенкова за 1957;1960 гг. [16,17] доказано, что всякое решение уравнения (0.1) из класса С2(СТ), обязательно будет аналитическим по х, у (вне оси ох). Кроме того, им даны еще другие интегральные представления, подобные (0.3).

Прежде чем продолжать обзор, введем необходимые в дальнейшем обозначения классов функций. с2(с)-класс функций дважды непрерывно дифференцируемых внутри (7. Что же касается поведения решений (0.1) на границе области, то они будут особо оговариваться всякий раз когда это будет необходимо, отдельно на части границы Ь или /. В связи с этим, следуя Ю. П. Кривенкову [16,17] для (0.1) мы вводим подкласс из С2 © решений и (х, у), непрерывных в замкнутой области, т. е. включая и! и/и точки их стыка. — Будем обозначать его через 1 Н>0) (0.3).

С2(0), а его подкласс функций, которые дополнительно удовлет-воряют условию.

Ит и ди. уМ—= о.

0 ду будем обозначать м2(в)~класс функций, принадлежащих соответственно классам с2© и С2(0) и образующих в В единую непрерывную функцию вместе с выражением ум- —, 0<(1<1- ду на (ь) -класс функций удовлетворяющих на ь условию Гёльдера с показателем, а (0<а<1);

НаЬ) -класс функций производные порядка к которых принадлежать классу На (Ь);

РР^-кп&сс функций, где норма определяется как сумма максимумов модулей предельных значений изнутри области и извне.

С ]?(Ц)-класс функций = е, 6 е [0,2л-]), для которых.

Большую известность приобрели работы американского математика А. Вайнштейна, связанные с обобщениями уравнения (0.1) и с соответствующими вопросами теории потенциала и общей теории поля. По известным его работам [38,39] для данной области науки закрепилось наименование: уравнения ОА8РТ.

В 1963 г. у нас в Таджикистане (в изд. Академии наук) была опубликована монография Л. Г. Михайлова [22] «Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами». В ней впервые были рассмотрены уравнения где zd-= а (г)м? + в (г)м? + с (г), м? = и + IV, г — х + 1у, 2д~ = 9 «+ /5 у г х у» где.

2 п хАи+х ^ вЛх) дхи + с (х)и = /(х),.

1 = 1 к — 1 п которые в начале координат испытывают вырождение порядка до нулевого или, если их поделить на первые множители, то следуя Л. Г. Михайлову [2125], будем называть их: «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами».

В 1970 г. указанная монография Л. Г. Михайлова в переводе на английский язык была издана престижнейшими научными издательствами Голландии и Германии [24].

Начиная с 1959 года в Академии наук по дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами Л. Г. Михайловым была развернута большая работа по подготовке научных кадров. Одним из тех, кто к нему поступил на работу в самый первый начальный период, был Н. Раджабов, которому была предложена тема (заинтересовавшая его на многие годы): «Осесимметрическая теория поля и уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу». Ему было предложено рассмотреть различные граничные задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, методом отталкивающимся от формулы П. Генричи [37], и приводящим их к краевым задачам теории аналитических функций комплексного переменного [19,20].

Задача типа Е может показаться несколько необычной для математиков — вычислителей тем, что в задаче типа Е на той части границы, где дифференциальное уравнение вырождается, т. е. на /, требуется всего лишь ограниченность функции — но на это надо ответить, что в формулах, дающих решение задачи типа Е фактически, уже будет видна непрерывность решения на / - а потому постановка вопроса о приближенном решении, а также и о применении тех или иных методов, вполне корректна. При этом надо отметить, что как в самом дифференциальном уравнении, так и во всех интегральных представлениях и в формулах, дающих решения краевых задач, имеются сингулярности — и это, может быть, и представляет собой самое значительное затруднение. В основном мы использовали методы аппроксимации интерполяционными полиномами — хотя на сегодня уже имеется немало работ, в которых разрабатываются приближенные методы: для сингулярных интегралов, для сингулярных интегральных уравнений и соответственно для тех или иных краевых задач [5−7] (см., также [11−13]). При оценке погрешности приближенных решений нами использованы результаты, полученные в работах В. В. Иванова [13], Б. Б. Габдулхаева [5−7] и В. А. Золотаревского [12].

Насколько нам известно, (из реферативного журнала Математика, из обзора М. М. Смирнова [35] и т. д.) по существу не было работ, посвященных приближенным методам решения задачи типа Е и других краевых задач для (0.1).

Полученные нами формулы приближенных решений могут быть применены для решения прикладных задач гидродинамики, теплопроводности, теплообмена и теории упругости.

Цель работы. Получение приближенного решения краевых задач для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярной линией в виде конечной суммы и оценки погрешности полученных решений в различных классах.

Метод исследования. Он состоит в преобразовании тех или иных граничных задач для (0.1), (и некоторых других сингулярных уравнений) к краевым задачам для аналитических функций комплексного переменного, теория которых хорошо разработана в школах советских математиков Н. И. Мусхелишвили и Ф. Д. Гахова. Используются аппроксимации тригонометрическими интерполяционными полиномами, так что приближенное решение представляется конечной суммой, кроме того, даны простые оценки погрешностей.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Новизна работы состоит в том, что в ней впервые получены приближенные решения в виде конечных сумм для дифференциальных уравнений с сингулярной линией и даны оценки погрешности полученных решений в различных классах, а также для задачи смешанного типа впервые получено интегральное представление решения, а также и представление его приближенного решения в виде конечной суммы.

Наиболее существенные результаты, полученные в работе, состоят в следующем: а) для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией получены приближенные решения краевых задач в виде конечных сумм при различных допустимых значениях параметра у сингулярного члена уравненияб) применяя существующие оценки аппроксимации тригонометрическими интерполяционными полиномами в различных классах, получены оценки точности приближенных решений в зависимости от числа узлов интерполированияв) для краевой задачи смешанного типа впервые дано интегральное представление решения, а также его приближенное решение в виде конечной суммыг) для итерированного дифференциального уравнения ООСТП получены приближенные решения двух краевых задач типа Рикье в виде конечной суммы и даны оценки точности приближения.

Работа носит в основном теоретический характер, но полученные результаты устремлены к решениям прикладных задач из области гидродинамики, теплопроводности, теплообмена, теории упругости. На основе полученных формул легко можно составить алгоритм решения рассматриваемых задач на ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на республиканских научно-теоретических конференциях молодых ученых и специалистов (г. Душанбе, 1984, 1987, 1989), на семинаре кафедры «Теория функций и приближений» Казанского государственного университета под руководством профессора Габдулхаева Б. Г. (1987 г.), на апрельской научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава ТГУ (Душанбе, 1993), на научно-исследовательском семинаре кафедры математического анализа и теории функций «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными» под руководством профессора И. Раджабова (1989, 1994гг.), на объединеном заседании кафедр «Моделирование и информатики», «Механики и вычислительных методов» и «Прикладная математика» (10.05.1987г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Душанбе, 1998), на третьей международной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту (Душанбе, 2002).

Публикации. По теме диссертации опубликовано одиннадцать работ. Статья [41] написана в соавторстве с H.H. Юханоновым и ее результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти параграфов со сквозной нумерацией. Общий объём работы составляет 80 страниц. Библиография состоит из 50 наименований.

1. Александров А. Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругости, -М/. Наука, 1978. -462 с.

2. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, -М.: Наука, 1966. -Т. 1. -632 с.

3. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.-М.: Гостехиздат, 1948. -296 с.

4. Габдулхаев Б. Г. Об аппроксимации тригонометрическими полиномами и погрешности квадратурных формул для сингулярных интегралов. //Функциональный анализ и теория функций. -Казань: Казан. ун-т, 1967. -С.54−74.

5. Габдулхаев Б. Г., Онегов О. О квадратурных и кубатурных формулах для сингулярных интегралов. //Теория функций и функциональный анализ. -Казань: Казан. ун-т, 1976. -С. 22−46.

6. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. -Казань: Казан. ун-т, 1980.-231 с.

7. Гахов Ф. Г. Краевые задачи. -М.: Наука, 1977. 640 с.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. -М.: Наука, 1984. -832 с.

9. Кривенков Ю. П. О некотором представлении решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Докл. АН СССР, 1957. -Т. 116, № 3, -С.351−354.

10. Кривенков Ю. П. Представление решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу через аналитические функции. //Докл. АН СССР, 1957. -Т. 116, № 4, -С.545−548.

11. Крылов В. И., Лугин В. В., Янович Л. А. Таблицы для численного интегрирования функций со степенными особенностями. -Минск: 1963, -434с.

12. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1973. -736 с.

13. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. -М.: Наука, 1977. -408с.

14. Михайлов Л. Г. Эллиптические уравнения с сингулярными коэффициентами //Изв. АН СССР. Сер. мат., 1962, т. 26, № 2, -С. 293−312.

15. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. -Душанбе, 1963. -183с.

16. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1.-Душанбе, 1966.-50с.

17. Михайлов JI.Г. О некоторых дифференциальных уравнениях с частными производными. //Докл. АН СССР, 1991. -Т. 319, № 1, -С. 46−52.

18. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968.-511 с.

19. Никольский С. М. Квадратурные формулы. -М.: Наука, 1979. -254с.

20. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —М.: Наука, 1982.-332 с.

21. Раджабов Н. Р. Обращение одного интегрального уравнения осесим-метрической теории упругости. ДАН Тадж. ССР, t. IV,№ 6, 1963, -С.3−6.

22. Раджабов Н. Р. Некоторые краевые задачи для уравнения осесимметри-ческой теории поля. // Исследование по краевым задачам теории функций и дифференциальных уравнений, изд-во АН Тадж. ССР. -Душанбе, 1965.-С. 79−127.

23. Раджабов Н. Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией и сингулярными поверхностями: Учебное пособие по спецкурсу. -Душанбе. 1980;4.1. -127 е.- 1981.-Ч.2. -170 с.

24. Раджабов Н. Р. Граничные задачи типа Дирихле и Неймана для некоторых модельных уравнений эллиптического типа с сингулярной линией. // Изв. АН Тадж.ССР. Отд.физ.-мат. хим. и геолог, наук.-1973. -№ 4 (50). -С. 10−17.

25. Раджабов Н. Р. Некоторые граничные задачи типа Римана для обобщенной системы КошиРимана с сингулярной линией. //Исследования по краевым задачам и интегральным уравнениям. -Душанбе, Дониш, 1976, -С. 157.

26. Сеге Г. Ортогональные многочлены. -М.: Физматгиз, 1962. -500 с.

27. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. -М.: Наука, 1966. -292 с.

28. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Наука, 1969. -Т.2. -799 с.

29. Henrici R.P. Zur functionentheorie der Wellengleichungen. Comm. Math. Helv. 1953, v. 27, p. 235−293.

30. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory. -Trans. Amer. Math. Soc., -1948, v. 63, № 2, p. 342−354.

31. Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory. -Bull. Amer. Math. Soc., 1953, v. 59, № 1, p. 20−38.

32. Джумаев Э. Х. О приближенном решении краевой задачи Дирихле для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. // Тезисы респ. науч.-теор. конф. молод, учен, и спец. 4.1, Душанбе, 1984. -С. 60−61.

33. Джумаев Э. Х. О приближенном решении краевой задачи типа Дирихле для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Доклады АН Тадж.ССР. -1987. -Т. 30. № 1.-С. 14−18. (совм. с H.H. Юханонов).

34. Джумаев Э. Х. О приближенном решении задачи Неймана для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Тезисы респ. науч.-практ. конф. молод, учен, и спец. -Душанбе, ТГУ им. В. И. Ленина, 1987, -С.45.

35. Джумаев Э. Х. К приближенному решению некоторых краевых задач для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Деп. в ВИНИТИ 2409-В89 от 12−1У-89г. 23 с.

36. Джумаев Э. Х. О приближенном решении краевых задач типов Дирихле и Неймана для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Деп. в ВИНИТИ 2407-В89 от 12-IY-89r. 23 с.

37. Джумаев Э. Х. О приближенном решении некоторых краевых задач с высшими производными для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Тезисы респ. науч.-практ. конф. молод, учен, и спец. -Душанбе, ТГУ им. В. И. Ленина, 1989, -С. 27−29.

38. Джумаев Э. Х. Приближенное решение одной граничной задачи типа Рикье для уравнения высшего порядка с сингулярной линией. //Тезисы респ. науч.-практ. конф. молод, учен, и спец. -Душанбе, ТГУ им. В. И. Ленина, 1989,-С. 113−115.

39. Джумаев Э. Х. О точном и приближенном решении одной краевой задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Вестник Таджикского госуниверситета, 1990, серия математика, № 5. -С. 17−20.

40. Джумаев Э. Х. Решение одной краевой задачи для уравнения осесим-метрической теории поля. //Тезисы докладов апрельс. науч.-теор. конф. проф.-преп. состава ТГУ, -Душанбе, 1993, -С. 21.

41. Джумаев Э. Х. О методе получения приближенного решения краевых задач. // Труды межд. конф. по диффер. уравнениям и их приложения. -Душанбе, 1998,-С. 40.

42. Джумаев Э. Х. Некоторые обобщения алгоритмов приближенного решения основных краевых задач для дифференциальных уравнений с сингулярной линией. //Матер. 3-ой межд.конф. по матем. моделир. и выч. экспр., -Душанбе, 2002, с. 48−49.