Инвариантные упорядочения в однородных пространствах простых групп ЛИ

1.1 Исторический очерк и формулировка основных результатов.

Понятие инвариантного упорядочения встречается во многих областях современной науки. В хроногеометрии рассматриваются причинные структуры: на многообразии Лоренца в каждой точке непрерывным образом выбирается один конус из пары противоположных конусов времениподобных векторов. Возникает естественная задача: можно ли соединить две данные точки непрерывной причинной кривой (направленной в будущее), то есть кривой, касательный вектор к которой в каждой точке лежит в выбранном конусе.

В геометрической теории управления рассматривают систему, состоящую из точек дифференцируемого многообразия и множества управляющих векторных полей на нём. Основная проблема этой теории сотоит в описании множества достижимых состояний в будущем, стартуя с фиксированного состояния. В касательном пространстве каждой точки многообразия можно рассмотреть конус, являющийся выпуклой оболочкой всех векторов управляющих векторных полей. Получившееся поле конусов задаёт причинную структуру на многообразии и связанное с ней упорядочение.

Часто в вышеприведённых примерах бывает, что на многообразии действует некоторая непрерывная группа, тогда среди всех упорядочений естественно рассмотреть те, которые сохраняет данная группа. Так мы приходим к понятию инвариантного упорядочения. Пусть теперь группа Ли С действует на дифференцируемом многообразии X.

Возникает задача описания всех инвариантных упорядочений (причинных структур) на многообразии, а также связанного с ними множества Б = {д? С | дхо ^ хо, %о 6 X}. Это множество является полугруппой и однозначно определяет упорядочение. Поэтому теория полугрупп играет ключевую роль в решении задач связанных с причинными структурами и теорией управления.

Также как и для изучения групп Ли полезно отталкиваться от свойств касательных к ним алгебр Ли, для изучения структуры полугрупп хорошо ввести некоторый инфинитезимальный объект. С каждой подполугруппой 5 группы Ли можно связать касательный конус С (5) в касательной алгебре. Максимальное векторное пространство СП (—С), содержащееся в С, очевидно, является подалгеброй Ли, конус С инвариантен относительно Ас1ехр (С П (—С)). Полугруппы, которые можно однозначно восстановить по касательному конусу, называются полугруппами Ли. Отметим, что не каждому инвариантному конусу соотвествует нетривиальная полугруппа Ли.

Впервые полугруппы преобразований появились в классических работах С. Ли в приложениях, связанных с теорией дифференциальных уравнений. Систематическое изучение подобных объектов началось в работах Лёвнера [24]. Он рассматривал полугруппы отображений единичного диска в себя, как инструмент в геометрической теории функций. В конце 70-х подполугруппы групп Ли появились в задачах теории управления [22,23,28]. Винберг в работе [1] рассматривает подполугруппы эрмитовых групп Ли, которые топологически порождаются любой своей окрестностью единицы. В это же время появляются работы Ольшанского [10,11], в которых подполугруппы групп Ли используютсядля изучения унитарных представлений бесконечномерных классических групп, а также впервые вводится понятие полугруппы Ли. Теория полугрупп Ли подробно изложена в монографии Хофмана, Хилгерта и Лоусона [18], а также в книге Хилгерта и Нееба [17]. В 90-х годах прошёл ряд конференций по данной проблематике, труды этих конференций можно найти в [16,20,21].

Перейдём к конкретным определениям. Будем для краткости называть конусом в конечномерном вещественном векторном пространстве V замкнутый выпуклый конус С С У, отличный от 0 и V. Заметим, что конус С, инвариантный относительно неприводимой линейной группы (2, имеет непустую внутренность и является строго выпуклым, т. е.с п (-с) = {о}.

Далее пусть С СЬ (У) — связная неприводимая полупростая линейная группа, К — её максимальная компактная подгруппа. Для того, чтобы в пространстве V существовал выпуклый конус, инвариантный относительно С, необходимо и достаточно [1], чтобы в пространстве V существовал ненулевой вектор, инвариантный относительно К. Если такой вектор существует, то он единствен. И в этом случае в пространстве V существуют единственные с точностью до умножения на —1 минимальный инвариантный конус Сщш и максимальный инвариантный конус Стах [1]. Говоря об инвариантных конусах в алгебре Ли, мы будем иметь в виду инвариантность относительно присоединенной группы.

Пусть д — простая вещественная линейная алгебра Ли. Обозначим через? ее максимальную компактную подалгебру. В работе Винберга [1] доказано, что в алгебре д существует инвариантный конус тогда и только тогда, когда с1ш1з (|!) = 1.

С каждым непрерывным инвариантным упорядочением в группе Ли G связан инвариантный замкнутый острый выпуклый конус C (S) в касательной алгебре Ли g, состоящий из всех векторов, касательных' к кривым, лежащим в S. При этом ехр" С (5) С S, отображение ехр: C (S) S является открытым в нуле и полугруппаS алгебраически порождается множеством ехрС (б') [8]. Кусочно-дифференцируемую кривую g (t) на группе G назовём времениподобной, если g'{t)? g (t)C для любого t. Множество всех элементов д Е G, для которых существует времениподобная кривая, соединяющая ее д, совпадает с S [8].

Пусть теперь G — односвязная простая группа Ли. Назовем инвариантный конус С С Q допустимым, если существует такая инвариантная полугруппа S С G, что С = C (S). Взападной литературе допустимые конусы также называются глобальными. Ольшанский [8] доказал следующую теорему: для эрмитовых простых алгебр Ли трубчатого типа (т.е. для ви^п, 5рп (М), 5о|п, ЕУП) все инвариантные конусыдопустимыдля остальных эрмитовых простых алгебр Ли всегда существует наибольший допустимый инвариантный конус С С Стах, С ф Стах. Допустимые конусы для произвольных односвязных групп Ли описаны Гичевым в статье [15].

Винберг [1] доказал следующую теорему: для того чтобы в связной простой группе Ли существовало непрерывное инвариантное упорядочение, необходимо и достаточно, чтобы ее центр был бесконечен. Согласно этой теореме, непрерывное инвариантное упорядочение может существовать только в связной простой группе Ли, не допускающей точного линейного представления.

Пусть Н С С — связная подгруппа Ли, С/Н — соответствующее однородное пространство и у?: С —> С/Н — каноническое отображение. Инвариантным упорядочением на С/Я называется частичное упорядочение на множестве С/Н, инвариантное относительно действия группы С.

Определение. Инвариантное упорядочение в однородном пространстве С/Н называется непрерывным, если множество Ц = {х ^ С/Н х ^ еН} замкнуто и полугруппа порождается любой своей окрестностью единицы.

Обратно, любая замкнутая полугруппа Б С С, группа обратимых элементов которой совпадает с Н, задаёт инвариантное упорядочение на С/Н — ?)¦ Далее всеинвариантные упорядочения будут считаться непрерывными.

Каждому непрерывному инвариантному упорядочению на С/Н соответствует Ас1(#)-инвариантный конус У/ впространстве g/i). Этот конус состоит из всех векторов, касательных к кривым, лежащим в Q. Если Ad (iJ)-инвариантный конус W С получен описаннойконструкцией для некоторого непрерывного инвариантного упорядочения на G/H, то будем называть его допустимым. Непрерывное инвариантное упорядочение однозначно определяется своим конусом.

Определение. Нетривиальное инвариантноеупорядочение в однородном пространстве G/H называется групповым, если существует такое непрерывное инвариантное упорядочение на группе G с определяющей полугруппой S, что ip-Q)=l3H.

Будем называть группу Ad-компактной, если она компактна в присоединённом представлении. В диссертации получен следующий критерий существования группового инвариантного упорядочения в однородном пространстве.

Теорема 1 Пусть G — односвязная эрмитова простая группа JIu, а Н С G — такая связная подгруппа Ли, что Ad (Н) — редуктивиая линейная группа Ли. Следующее два условия эквивалентны:1) в однородном пространстве G/H существуетгрупповое непрерывное инвариантное упорядочение-2) максимальная Ad-компактная подгруппа L группы H сопряжена некоторой подгруппе коммутанта максимальной Ad-компактной подгруппы К группы G. При выполнении этих условий любое непрерывное инвариантное упорядочение на группе G индуцирует упорядочение на пространстве G/H.

Замечание. Двум различным непрерывныминвариантным упорядочениям на группе G могут соответствовать одинаковые упорядочения на G/H.

Ольшанский [8] описал все непрерывные инвариантные упорядочения в полупростых псевдоримановых симметрических пространствах, такие упорядочения существуют только в пространствах вида (G х G)/AG, Gc/G, G/Go, L/Go, где G, L и Go — такие, как описано выше.

Пусть и = i ® zm, a U — связная подгруппа группы Gc с касательной алгеброй и. Тогда пространстваИ = С/К и И* = и/К являются дуальными друг другу неприводимыми эрмитовыми симметрическими пространствами некомпактного и компактного типа соответственно. Имеем каноническое вложение Бореля И С ?)*, причём I) отождествляется с одной из открытых С-орбит в Б*. В работе [10] Ольшанский показал, что полугруппа {д Е Сс | Dg С И} сжатий комплексной области 2> является максимальной подполугруппой Ли группы Сс и тем самым задаёт упорядочение в пространстве Сс/^.

В диссертации доказана следующая теорема.

Теорема 2 Если алгебра I не эрмитова, то всякое непрерывное инвариантное упорядочение на СУ^о является групповым. Если алгебра Г эрмитова, то из двух пар противоположных непрерывных инвариантных упорядочений на СУ6? о ровно одна пара состоит из групповых упорядочений.

Интересен вопрос компактности порядковых интервалов, {'ж | Х ^ х ^ ^2} в описанных симметрических пространствах. Фаро в работе [13] доказал, что в случаях Ос/О и Ь/Со (X — неэрмитова) все порядковые интервалы компактны, в случае Ь/Оо (Ь — эрмитова) для одной из двух пар инвариантных упорядочений (не являющимися групповыми) все интервалы компактны, в остальных случаях всегда существует некомпактный порядковый интервал. Таким образом, групповые упорядочения отличаются от негрупповых наличием некомпактных порядковых интервалов.

Пусть (т — эрмитова простая группа Ли трубчатого типа. Граница Шилова симметрической области О/К имеет вид С/Р, где Р — такая связная максимальная параболическая подгруппа группы С, что её унипотентный радикал абелев. Рассмотрим вопрос существования инвариантного упорядочения на односвязном накрытии пространства С?/Р, индуцированного инвариантным упорядочением на односвязном накрытии группы С.

В простейшем случае 811(1,1)/8(и (1) х 11(1)) граница Шилова есть окружность, а ее односвязное накрытиепрямая с обычным упорядочением. В случае 811(2,2)/8(11(2) х и (2)) граница Шилова есть 4-мерная вещественная квадрика сигнатуры (4,2). Ее односвязное накрытие, диффеоморфное 53 х М, рассматривалось И. Сигалом [27] как модель вселенной. Односвязное накрытие группы С в этом случае есть не что иное, как группа конформных преобразований этой модели. Также И. Сигал [27] доказал существованиеинвариантного упорядочения на односвязном накрытии G/P для случая G = SU (n, п).

Используя результат Сигала, С. Пэнейц [25] доказал существование инвариантного упорядочения на односвязном накрытии G/P для произвольной эрмитовой класической простой группы Ли G трубчатого типа. Из этого факта он вывел существование инвариантного упорядочения на односвязной накрывающей группы G. В настоящей статье проделанно обратное: из существования инвариантного упорядочения на односвязной накрывающей группы G выведено существование инвариантного упорядочения на односвязном накрытии G/P. Приведённое ниже доказательство является общимв частности, оно пригодно для группы G типа Е7 (единственной особой эрмитовой простой группы Ли трубчатого типа).

В диссертации получены следующие результаты.

Теорема 3 Пусть G — односвязпая эрмитова простая группа Ли трубчатого типа, а Р — такая максимальная параболическая подгруппа группы G, что её унипотентный радикал абелев. Существует ровно одна пара противоположных непрерывных инвариантных упорядочений на однородном пространстве G/P. Эти упорядочения являются групповыми.

Следующая теорема обобщает результат на класс произвольных флаговых многообразий.

Теорема 4 Пусть Р — некоторая параболическая подгруппа группы G и пусть на G/P существует групповое инвариантное упорядочение. Тогда подгруппа Р сопряжена некоторой подгруппе группы Р.

Пусть С — простая вещественная группа Ли, Н С (2 — связная подгруппа Ли, которая действует в касательном пространстве однородного пространства С/Н неприводимо. Тогда пространство С/Н называется однородным пространством с неприводимой группой изотропии. Для краткости мы будем называть такие пространства неприводимыми.

Пусть С — произвольный Ас1(#)-инвариантный замкнутый острый выпуклый конус в пространстве Времениподобной кривой на однородном пространстве С/Н называется такая кривая что д'{Ь) Е С для любого По конусу С можно построить инвариантное упорядочение на С/Н тогда и только тогда, когда не существует замкнутой времениподобной кривой. Заметим, что конечнолистное накрытие не меняет свойство существования инвариантного упорядочения. Действительно, замкнутые времениподобные кривые в накрывающем пространстве отображаются в замкнутые времениподобные кривые в накрываемом, а прообраз некоторой степени замкнутойвремениподобной кривой в накрываемом пространстве будет замкнутой времениподобной кривой в накрывающем пространстве.

О.В.Мантуров в работе [6] классифицировал все неприводимые однородные пространства С/Н для случая компактной простой группы Ли С. Пользуясь теорией Ф. И. Карпелевича [2] о вложении вещественных форм, результаты Мантурова можно обобщить на однородные пространства С/Н (Н — связная редуктивная подгруппа Ли) произвольных простых вещественных групп Ли (2. В частности, из результатов Мантурова следует, что если С/Н — несимметрическое неприводимое однородное пространство, то группа Н полупроста. Для случая неэрмитовой группы Сполучена следующая классификация.

Теорема 5 Несимметрические неприводимые однородные пространства неэрмитовых простых вещественных групп Ли, допускающие инвариантные упорядочения, — это в точности однородные пространства, локально изоморфные следующим: 8Ьп (п+1) (М) /Р8ЬП (М) — ЗЬп2(М)/Р8ЬП (€)-ЗЬп (2гг1)(М)/Р8ЬП (11)7²⁷(М)/Е1V, ЕУ/Р8Ьз (М).

Так как группа неэрмитова, центр её односвязной накрывающей конечен. Поэтому достаточно доказать существование инвариантного упорядочения для одного пространства из каждого класса локально изоморфных.

Подобно тому, как у Ольшанского комплексные полугруппы являлись полугруппами сжатий комплексных областей, описанные в теореме упорядочения появляются из полугрупп сжатий инвариантных конусов относительно группы Н. Похожая конструкция достаточно распространена в теории полугрупп Ли. Предположим, что полугруппа Б является максимальной полугруппой, имеющей внутренние точки. Тогда существует [26] такая минимальная параболическая подгруппа Ртп группы С и такое замкнутое подмножество М С С/Рщш, что 5 = {д е С | дМ С М}.

В следующем разделе главы 1 представлены вспомогательные факты о строении эрмитовых простых алгебр Ли. В главе 2 доказан основной критерий существования группового упорядочения на однородном пространстве (теорема 1), а также исследовано в каких случаях упорядочения, введённые Ольшанским в работе [8], являются групповыми (теорема 2). Глава 3 посвящена инвариантным упорядочениям на флаговых многообразиях (теоремы 3,4). В главе 4 доказываетсятеорема классификации вещественных несимметрических неприводимых однородных пространств, допускающих инвариантные упорядочения (теорема 5). В качестве вспомогательного результата получена классификация всех вещественных несимметрических неприводимых однородных пространств.

Результаты диссертации опубликованы в статьях [3] (теоремы 1,2), [4] (теоремы 3,4) и [5] (теорема 5).

Автор благодарит Э. Б. Винберга за постановку задачи и руководство работой. Автор выражает благодарность А. Минченко за его помощь в составлении списка неприводимых однородных пространств исключительных групп Ли.

1. Винберг Э. Б., Инвариантные выпуклые конусы и упорядочения в группах Ли, Функц. анализ 14, вып.1 (1980), 1−13.

2. Карпелевич Ф. И., Простые подалгебры вещественных алгебр Ли, Тр. Моск. мат. о-ва, 1955, т.4, с.3−112.

3. Константинов А. Л., Инвариантные упорядочения в однородных пространствах простых групп Ли, Вести. Моск. ун-та, Сер.1, Математика. Механика. 2006. № 6, с.15−18.

4. Константинов А. Л., Инвариантное упорядочение на односвязном накрытии границы Шилова симметрической области, Функц. анализ, 2008, том 63, № 1, с.33−38.

5. Константинов А. Л., Инвариантные упорядочения на однородных пространствах с неприводимой группой изотропии, УМН, 2008, том 63, № 2(380), с.171−172.

6. Мантуров О. В., Однородные Римановы пространства с неприводимой группой вращения, Тр. семинара по векторы, и тензор, анализу при МГУ, 1966, вып. 13, с. 68 145.

7. Мисюрева Е. В., Выпуклые конусы, инвариантные относительно полупростых групп Ли, Вопросы теории групп и гомологической алгебры: Темат. межвуз. сб.-Ярославль, 8 (1988), с.70−79.

8. Ольшанский Г. И., Выпуклые конусы в симметрических алгебрах Ли, полугруппы Ли и инвариантные причинные структуры (упорядочения) на псевдоримановыхсимметрических пространствах, ДАН СССР, 1982, т.265, № 3, с.537−541.

9. Ольшанский Г. И., Инвариантные упорядочения в простых группах Ли. Решение задачи Э. Б. Винберга, Функц. анализ 16, вып.4 (1982), 80−81.

10. Ольшанский Г. И., Инвариантные конусы в алгебрах Ли, полугруппы Ли и голоморфная дискретная серия, Функц. анализ, 15, вып.4 (1981).

11. Ольшанский Г. И., Унитарные представления бесконечномерных классических групп SO°(p, оо), U (p, сю), Sp (p, оо) и соответствующих групп движений, Функц. анализ, 12, вып. З (1981), с.32−44.

12. Ольшанский Г. И., Конструкция унитарных представлений бесконечномерных классических групп, ДАН СССР, 1980, т.250.

13. Faraut, J., Algebres de Volterra et Transformation de Laplace Spherique sur certains espaces symetrique ordonnes, Symp. Math., 29, 1987, 183−196.

14. Faraut, J., A. Koranyi, «Analysis on Symmetric Cones», Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, 1994.

15. Victor M. Gichev, Invariant orders in simply connected Lie groups, Journal of Lie Theory, Volume 5 1995, 41−79.

16. Joachim Hilgert, Jimmie D. Lawson, Kari-Hermann Neeb, Ernest B. Vinberg (Eds.), Positivity in Lie Theory: Open Problems, De Gruyter Expositions in Mathematics 26, 1998.

17. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb, Lie Semigroups and their Applications, Lecture notes in Mathematics 1552, 1993.

18. J. Hilgert, K.H.Hofmann, J.D.Lawson, Lie groups Convex cones, and Semigroups, Oxford University Press, 1989.

19. K.H.Hofmann, J.D.Lawson, Foundation of Lie Semigroups, Springer Verlag, Lecture notes in Mathematics 998, 1983.

20. K.H.Hofmann, J.D.Lawson, E.B.Vinberg (Eds.), Semigroups in algebra, geometry and analysis, De Gruyter Expositions in Mathematics 20, 1995.

21. K.H.Hofmann, J.D.Lawson, J.S.Pym (Eds.), The Analytical and Topological Theory of Semigroups, De Gruyter Expositions in Mathematics 1, 1990.

22. V. Jurdjevicz, I. Kupka, Control systems on semisimple Lie groups and their homogeneous spaces, Ann. Inst. Fourier 31 (1981), 151−179.

23. V. Jurdjevicz, I. Kupka, Control systems subordinated to a group action: Accessibility, J. Diff. Eq. 39 (1981), 180−211.

24. Ch. Loewner, «Collected Papers», Contemporary Mth., Birkhauser, Berlin, 1988.

25. S. Paneitz, Invariant Convex Cones and Causality in Semisimple Lie Algebras and Groups, J.Funct.Anal, 43 (1981), 313−359.

26. Luiz A. B. San Martin, Pedro A. Tonelli, Semigroup actions on homogeneous spaces, Semigroup Forum, Vol. 50 (1995), p.59−88.

27. I.E.Segal, «Mathematical Cosmology and Extragalactic Astronomy», Academic Press, New York 1976.

28. H.J.Sussmann, The «Bang-bang» Problem for Certain Con' trol Systems in GLn®, SIAM J. Control 10 (1972), 470−476.