ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ²
ΠΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ»ΡΡΡΠΈΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π΄ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x256 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Evaluate Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ; Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ 255 ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠΠΠΠ‘Π’ΠΠ Π‘Π’ΠΠ ΠΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠΠ― Π ΠΠΠ£ΠΠ Π£ΠΠ ΠΠΠΠ« Π‘Π£ΠΠ‘ΠΠΠ ΠΠΠ‘Π£ΠΠΠ Π‘Π’ΠΠΠΠΠ«Π Π£ΠΠΠΠΠ Π‘ΠΠ’ΠΠ’ ΠΠΠ€ΠΠΠ Π ΠΠΠ€ΠΠ ΠΠΠ’ΠΠΠ.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°.
ΠΠ Π§ΠΠ‘ΠΠΠΠΠ«Π ΠΠΠ’ΠΠΠΠ.
Π½Π° ΡΠ΅ΠΌΡ:.
«ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ²».
Π‘ΡΠΌΡ — 2007 Π³.
ΠΠ»Π°Π½.
1 ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ().
2 Π‘Ρ Π΅ΠΌΠ° ΠΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ°.
3 Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°.
4 ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ².
Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
1 ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ().
ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ x ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π² ΡΡΠ΄ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0 Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ x — ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡΡ. ΠΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΡΡΠΎΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎ, Π΄ΠΎ ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡ, ΡΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ°. ΠΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎΠ΅ k-Π΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²ΡΠΈΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ, ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° Π΅ΡΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ . ΠΠ°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΈ Π½Π΅Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ: ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π° Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π³Π°Ρ , Π ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡ (secant method). ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ°Π³ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π° Π²ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ — Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ. ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΡΠ° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ° ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π° Π² ΠΏΠ°ΠΊΠ΅ΡΠ΅ Mathcad. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡ , ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π³Π°ΡΠ°Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π°, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ ΠΎΡΠ΄ (false position method).
ΠΠ΄Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅ ΠΡΠ»Π»Π΅ΡΠ°. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ, Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π Π°ΡΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°, ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ .:
ΠΠ½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅, ΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ 0,0001. Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡΡΡΡ ΠΎΡ Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ, Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ, ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡ ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ°. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΠ°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΡ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ «ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΌΠ½Π΅ΠΉ» ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΠΊΠ΅ΡΠ°, ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ.
Π ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π», Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
Π ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅ Π ΠΈΠ΄Π΄Π΅ΡΠ° (Ridder's method) Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π°. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Ρ ΠΎΡΠ΄, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΠ΅Π½ΡΠ° (Brent method) ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ Π±ΡΡΡΡΠΎΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π ΠΈΠ΄Π΄Π΅ΡΠ° ΠΈ Π³Π°ΡΠ°Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΈΡΠ΅Ρ x ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y. ΠΠ° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΌΡ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ.
ΠΡΠΎΠ±ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ. ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½, ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΆΠ΅Π½Π°, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠΎΠ±Π°ΡΠ΅Π²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ (ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ) ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π° Π±Π΅Π»ΡΠ³ΠΈΠΉΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ Π. ΠΠ°Π½Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ, ΡΡΡΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ Π. Π. ΠΠΎΠ±Π°ΡΠ΅Π²ΡΠΊΠΈΠΌ (Π² 1834 Π² Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅) ΠΈ ΡΠ²Π΅ΠΉΡΠ°ΡΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ Π. ΠΡΠ΅ΡΡΠ΅. Π‘ΡΡΡ Π. ΠΌ. ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ f1(x) = 0, ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ f (x) = 0. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠΎΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ f2(x) = 0, ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ f1(x) = 0. ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π·, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½Ρ ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π. ΠΌ. Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡΠ½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π. ΠΌ. ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ°Π³Π΅ΡΡΠ° (Laguerre's method) ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ².
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ x1 Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ a ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ b:. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°.
.
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π°.
ΠΠ½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ.
ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ², — ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ (companion matrix). ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°.
.
- Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΡΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°. ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ?, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
- 2 Π‘Ρ Π΅ΠΌΠ° ΠΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ°
- ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅ ΠΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ° ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΡΠ° ΡΡ Π΅ΠΌΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°:
- p (x) = ((… ((anx + an-1)x + an-2)x + … + a2) x + a1) x + a0.
- ΠΠ°ΠΉΠΌΠ΅ΠΌΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π°:
- p (x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0.
- ΠΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ an, …, a0 ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Ρ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Ρ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ². ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π²Ρ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x, Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x.
Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅Π΅Π½:
Evaluate (x).
xΡΠΎΡΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°.
result = a[0] + a[1]*x.
xPower = x.
for i = 2 to n do.
xPower = xPower*x.
result = result + a[i]*xPower.
end for.
return result.
ΠΡΠΎΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ·ΡΠ°ΡΠ΅Π½ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½. Π ΡΠΈΠΊΠ»Π΅ for ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ n — 1 ΡΠ°Π·. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2n — 1. Π ΡΠΈΠΊΠ»Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ n.
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½, ΡΡΠΎ ΠΈ Π²ΡΡΠ΅. Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ:
HornersMethod (x).
xΡΠΎΡΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°.
for i = n — 1 down to 0 do.
result = result*x.
result = result + a[i].
end for.
return result.
Π¦ΠΈΠΊΠ» Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ n ΡΠ°Π·, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΡΠΈΠΊΠ»Π° Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅ ΠΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ n ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ n ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ — Π΄Π²ΡΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ.
ΠΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ»ΡΡΡΠΈΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π΄ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x256 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Evaluate Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ; Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ 255 ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ result = x*x, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π· Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ result = result*result. ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ result Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ x4, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ x8, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ x16, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ x32, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΡΡΠΎΠ³ΠΎ x64, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ x128, ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ΅Π΄ΡΠΌΠΎΠ³ΠΎ x256.
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π», Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π±ΡΠ» ΡΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ an Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ 1), Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ (n = 2k — 1 Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ k > 1). Π ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
p (x) = (xj + b) q (x) + r (x), Π³Π΄Π΅ j = 2k-1. (1).
Π ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°Ρ q ΠΈ r Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ², ΡΠ΅ΠΌ Π² p. ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ° ΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ q (x) ΠΈ r (x), Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ b, ΡΠΎ ΠΎΠ±Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° q ΠΈ r ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΡΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ. ΠΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΡ ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ ΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½:
p (x) = x7 + 4×6 — 8×4 + 6×3 + 9×2 + 2x — 3.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ xj + b Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ (1). Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° p ΡΠ°Π²Π½Π° 7, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ 23 — 1, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ k = 3. ΠΡΡΡΠ΄Π° Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ j = 22 = 4. ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ b ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ±Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° q ΠΈ r Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ aj-1 Π² p ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ b = aj-1 — 1. Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ b = a3 — 1 = 5. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ q ΠΈ r, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
x7 + 4×6 — 8×4 + 6×3 + 9×2 + 2x — 3 = (x4 + 5) q (x) + r (x).
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ q ΠΈ r ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΠΎΡΡΠ°ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΎΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ p Π½Π° x4 + 5. ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΎΡΡΠ°ΡΠΊΠΎΠΌ Π΄Π°Π΅Ρ:
p (x) = (x4 + 5)(x3 + 4×2 + 0x + 8) + (x3 — 11×2 + 2x — 37).
ΠΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² q ΠΈ r:
q (x) = (x2 — 1)(x + 4) + (x + 12), r (x) = (x2 + 1)(x — 11) + (x — 26).
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
p (x) = (x4 + 5)((x2 — 1)(x + 4) + (x + 12)) + ((x2 + 1)(x — 11) + (x — 26)).
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π² Π½Π° ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ x2 ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅; Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΡΠ° x4 = x2*x2. ΠΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ°ΡΡΠ²ΡΡΡ Π΅ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ 10 ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ 1 ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡ Π½Π΅ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ. ΠΠ±ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ, Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΠ² ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π² ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π΅ (1) ΡΡΠ°ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ M = M (k) ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ A = A (k) ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΡΠ΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ:
M (1) = 0. | A (1) = 0. | |
M (k) = 2M (k — 1) + 1 ΠΏΡΠΈ k > 1. | A (k) = 2A (k — 1) + 2 ΠΏΡΠΈ k > 1. | |
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 1. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 7.
Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±. | Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. | Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. | |
Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ. | |||
Π‘Ρ Π΅ΠΌΠ° ΠΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ°. | |||
ΠΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ°. | |||
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΡΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ N/2, Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ (3N — 1)/2. ΠΠ΅ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΎΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ x2, x4, x8, …, x2k-1; Π½Π° ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ k — 1 ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ N/2 + log2N.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 2. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ N.
Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±. | Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. | Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. | |
Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ. | 2N — 1. | N. | |
Π‘Ρ Π΅ΠΌΠ° ΠΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ°. | N. | N. | |
ΠΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ°. | N/2 + log2N. | (3N — 1)/2. | |
Π ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ 2 ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ° ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ ΡΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ ΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡ N/2 — log2N ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ Π·Π° ΡΡΠ΅Ρ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ (N — 1)/2 ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ²ΡΡΠ°Π΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ.
3 Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π½ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ x=[-2,7], ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Mathcad.
ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.
ΠΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π½ΠΎΠ»Ρ. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ root (f (x), x). ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π½ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ — ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Π°ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ. (ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ, ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΡ ΠΈΡΠ΅ΠΌ Π½ΡΠ»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.) ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ°. Π’ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ TOL. ΠΠΎ ΡΠΌΠΎΠ»ΡΠ°Π½ΠΈΡ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 0,001. ΠΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΌΠ΅Π½Ρ Math/Built-In Variables ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π² ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°:
ΠΠ°Π΄Π°Π΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ:
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅, ΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ:
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ r (x) Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ Π±Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡΠ΅Π΅ ΠΊ x Π ΡΠΎΠΆΠ°Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ°ΠΊ. ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½ΠΎ Π½Π΅ΡΠ΄Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ, Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π΅ Π±Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡΠΈΠΌ ΠΊ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π²ΡΠ±ΡΠ°Π² Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊ. Π§Π΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΈΠΉ ΠΎΡ 0 ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡ., ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ°Π΄Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ x ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ X:
ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ. ΠΠ½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ ??/2???/2 ΠΈ??? ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎ ΠΈ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°. ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° a.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ z Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°, Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ — Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° 1 ΠΈ 2.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ, ΡΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ:
4 ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ².
ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ polyroots (a). ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄.
ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΡΠΎ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ 0. ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°.
ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
1. Coppersmith D., Odlyzko A. M., Schroeppel R. Descrete logarithms in GF (p) // Algorithmica. V. 1,1986. P. 1−15.
2. Lenstra A. K, Lenstra H. W. (jr.) The Development of the Number Field Siev. Lect. Notes in Math. V. 1554. Springer, 1993.
3. McCarthy D. P. «The optimal algorithm to evaluate xn using elementary multiplication methods», Math. Comp., vol. 31, no 137, 1977, pp. 251 — 256.