Неравенства

1) Основное понятие неравенства

2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.

3) Графическое решение неравенств второй степени

4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

5) Решение рациональных неравенств методом интервалов

6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

1. Основное понятие неравенства

Неравенство [inequality] — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида

a₁x₁+ a₂x₂ +… + a_nx_n * b,

где a₁,…, a_n, b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ?, <, ?.

В матричной алгебре знак? означает что все элементы матрицы, расположенной слева, не меньше (а хотя бы часть из них больше) соответствующих элементов матрицы, расположенной справа. В отличие от этого знак? означает, что все элементы левой матрицы не меньше соответствующих элементов правой матрицы; в частности, все соответствующие элементы могут быть попарно равны. (Иногда применяются и другие обозначения.)

Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:^[1]

· алгебраические

· трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство — алгебраическое, второй степени.

Неравенство — трансцендентное.

2. Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную

1) Если a>b, b

2) Если a>b b>c a>c;

3) Если a>b a+c>b+c;

4) Если a+b>c a> c-b;

5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;

6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство;

7) Множество всех х, при которых имеют смысл выражения f (x) и g (x), называется областью определения неравенства f (x) >g (x);

8) Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если они имеют общее множество решений (множество решений этих неравенств совпадают);

9) Если к обеим частям неравенства прибавить (или вычесть) любую функцию J (x). область определения которой содержит область определения неравенств, то получится новое неравенств, равносильное данному;

10) Если обе части неравенства f (x) >g (x) умножить (или разделить) на любую функцию J (x), определенную для всех значений переменной х из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при J (x)>0 получится неравенство, равносильное данном, а при J (x)<0 равносильным данному является неравенство противоположного знака.

Неравенства с одной переменной. Пусть дано неравенство f (x) >g (x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

3. Графическое решение неравенств второй степени

1) Графиком квадратичной функции y = ах² +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0 (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а < 0). При этом возможны три случая:

2) Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а<0 то решением неравенства является множество [x1;x2].

y = ах² +bх + с a>0 D>0 y = ах² +bх + с a<0 D>0,

Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах² + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a<0 единственная точка х1, являющаяся единственным корнем квадратного трехчлена ах² + х + с

y = ах² +bх + с a>0 D=0 y = ах² +bх + с a<0 D=0,

3) Если d<0 то график квадратного трехчлена f (x) = ах² +bх + с не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a>0 и ниже ее при a<0 В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым.

4)

y = ах² +bх + с a>0 D<0 y = ах² +bх + с a<0 D<0,

4) Решить неравенство графическим способом

1) 3х² -4х ;

3х²-4х.

1. Пусть f (x) = 3х² -4х — 7 тогда найдем такие х при которых f (x) ;

2. Найдем нули функции.

3х²-4х-7=0,

D=100,

Х=-1 Х=73.

f (x) при х .

Ответ f (x) при х .

2) х² >-4x-5;

x² +4x +5>0;

Пусть f (x)=х² +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f (x)>0,

X²+4x+5=0,

D=-4 Нет нулей.

Ответ .

4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

2) Множество решений неравенства f (х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f (х;у)=0, разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М (х0;у0), не лежащей на линии f (х;у)=0, в неравенство. Если f (х0;у0) > 0, то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f (х0;у0)<0, то другая часть плоскости.

3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:

.

Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второгополуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т. е. полукруг.

4) Пример. Решить систему неравенств:

Решением 1-го неравенства служит множество, 2-го множество (2;7) и третьего — множество .

Пересечением указанных множеств является промежуток (2;3], который и есть множество решений системы неравенств.

5. Решение рациональных неравенств методом интервалов

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а): точка х=? делит числовую ось на две части — справа от точки ? двучлен (х_?)>0, а слева от точки ? (х-?)<0.

Пусть требуется решить неравенство (x-?₁)(x-?₂)…(x-?_n)>0, где ?₁, ?₂???_n-1, ?_n — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что ?₁ < ?₂ <…< ?_n-1 < ?_n. Для решения неравенства (x-?₁)(x-?₂)…(x_?_n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа ?₁, ?₂???_n-1, ?_n; в промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа ?_n, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т. д. Тогда множество всех решений неравенства (x-?₁)(x_?₂)…(x-?_n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-?₁)(x-?₂)…(x_?_n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P (x) Q (x) где — многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках (х1;х2) функция сохраняет свой знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f (x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f (x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f (x) непрерывна и не обращается в нуль, т. е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.

2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т. е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.

Решение неравенств методом интервалов

3. < 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств:

.

Для функции f (x) = - 20. Находим f (x):

откуда x = 29 и x = 13.

f(30) = - 20 = 0,3 > 0,

f(5) = - 1 — 20 = - 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

х²+х-2

Пусть f (x)=х²+х-2 тогда найдем такие х при которых f (x)<0.

Найдем нули х=1, х=-2.

х³-4х<0

x (x²-4)<0

x (x-2)(x+2)<0

x=0 x=2 x=-2

6. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Решение неравенства, содержащего выражение, приводит к рассмотрению двух случаев:

Можно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой |a| означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а |a-b| означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме. Если выражения f (x) и g (x) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f (x)>g (x) и (f (x))²>(g (x))² равносильны.

Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

Решить неравенство:

.

Объединяя результаты получим .