Исследование локальных и нелокальных бифуркаций в системе уравнений Лоренца

Наиболее универсальной математической моделью природных процессов служат динамические системы. Предположим, что состояние исследуемого объекта в каждый момент времени можно задать с помощью числовых значений параметров, совокупность которых обозначим через р = {p, pi, •••) и будем называть состоянием. Множество всех возможных (допустимых) состояний р—{р} образует фазовое пространство. В случае, если изменение состояния системы в последующие моменты времени можно вычислить, исходя из следующего эволюционного уравнения p=.

Присутствие хаоса является неотъемлемой частью большинства нелинейных динамических систем, описывающих достаточно сложные физические, химические, биологические и социальные процессы и явления. Впервые «необычное» поведение нелинейной динамической системы было открыто в связи с задачей прогноза погоды крупнейшим американским метеорологом-теоретиком Э. Н. Лоренцом. Появившиеся в середине 50-х годов первые численные схемы гидродинамического краткосрочного (несколько суток) прогноза погоды оказались малоэффективными, что заставило многих исследователей обратиться к статистическим методам прогноза, основанным на представлении о линейной регрессии. В немалой степени это направление стимулировалось появившимися примерно в то же время работами Н. Винера [1], посвященным предсказанию стационарных случайных процессов. Казалось, что использование большого числа предикторов может заменить гидродинамические схемы прогноза, несмотря на существенную нелинейность атмосферных явлений. Лоренц скептически отнесся к идее статистического прогноза и решил проверить ее путем численного эксперимента на какой-либо динамической модели. В результате непростых поисков, связанных с желанием получить апериодические движения (понятно, что предсказание периодических или близких к ним движений по наблюдениям прошлых состояний системы легко осуществить, не прибегая даже к какому-либо более или менее сложному математическому аппарату), Лоренц остановился на двухуровневой модели атмосферы, которая методом Галеркина с удержанием только наиболее крупномасштабных мод была сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для найденной таким образом системы 12-го порядка действительно удалось показать полную несостоятельность статистического прогноза в рамках линейной модели. Однако попутно было сделано куда более значительное открытие. Исследуя одно из численных решений системы, Лоренц вывел промежуточные значения фазовых переменных на печать по формату «три знака после десятичной запятой» в памяти машины. Использовав эти значения в качестве начальных данных для последующего счета, Лоренц обнаружил, что после расчета на время около 2-х месяцев результаты резко отличались от тех, которые были получены путем интегрирования без промежуточного вывода значений переменных на печать, т. е. без отбрасывания трех последних знаков в промежуточных результатах. Вначале он даже заподозрил машинный сбой, однако тщательная последующая проверка убедила его в том, что невинное на первый взгляд округление начальных данных действительно приводит к драматическим последствиям для конечных результатов счета. Подробный анализ показал, что начальный шум порядка 10″ 3, удваиваясь каждые четыре модельных дня, увеличился, таким образом, за два месяца в 215 3.3 * 104 раз, достигнув десятков единиц [2]. В дальнейшем изучаемая модель была существенно упрощена, в ней осталось всего лишь три независимые переменные, и получилась известная система Лоренца (система обыкновенных дифференциальных уравнений) [3, 4]: х = сг{у — х) < у — гх — у — xz (2) z—xy — bz.

Смысл переменных заключается в следующем: х характеризует интенсивность конвективных движений, у — разница температур восходящих и нисходящих конвективных струй, z — отклонение вертикального профиля температуры от линейногофиксированные параметры: г — относительное число Рэлея, а — число Прандтля, Ьчисло, характеризующее геометрию вертикального сечения конвективных валов..

Лоренц не ограничился констатацией неустойчивости решений системы (2), при более тщательном анализе поведения решений он обнаружил притягивающее множество (аттрактор) — подмножество фазового пространства, на котором фазовые траектории сочетают в себе глобальную устойчивость (остаются со временем в ограниченном объеме) с их локальной неустойчивостью (чувствительная зависимость к начальным данным, которая характеризуется экспоненциальным разбеганием траекторий)..

До последнего времени совершенно естественным представлялся единый геометрический подход к изучению нелинейных динамических систем, позволяющий рассматривать с общих позиций нелинейные системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных [5−10]. Согласно геометрической точке зрения динамической системой называется однопараметрическая непрерывная или дискретная группа (полугруппа)) преобразований метрического фазового пространства М в себя. Непрерывные группы также часто называют потоками, а дискретные — отображениями или каскадами [11]. Интенсивное применение геометрического подхода к анализу динамических систем началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла, предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило название подкова Смейла [6]. Было показано, что устойчивым предельным множеством (аттрактором) дискретной динамической системы может быть вовсе не гладкое многообразие целой размерности, какими являются, например, устойчивый предельный цикл или тор, а всюду дырявое, самоподобное фрактальное множество дробной размерности. Кроме того, было показано, что поведение траекторий динамической системы на таком странном в терминологии Д. Рюэля и Ф. Такенса [7] аттракторе является довольно сложным, сочетая в себе глобальную устойчивость (траектория не уходит из некоторой области фазового пространства) с локальной неустойчивостью отдельных близких траекторий, экспоненциально разбегающихся со временем, что характеризуется наличием на аттракторе как отрицательного, так и положительного показателей Ляпунова..

Так как анализ свойств непрерывных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, может быть сведен к анализу свойств некоторого отображения — отображения Пуанкаре, то обнаруженное в непрерывных динамических системах нерегулярное, хаотическое поведение траекторий, стали связывать с наличием в системе странного аттрактора. Однако доказательство этого факта непосредственно для знаменитой системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца столкнулось со значительными трудностями. Многочисленные попытки в течение длительного времени обосновать методами геометрической теории динамических систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились неудачей [12−20]. Более того, задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора Лоренца была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI века [21]. А результаты недавних работ авторов [22−24] позволили определенно утверждать, что геометрический подход, развитый для дискретных отображений и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, является не совсем адекватным применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями. В работе [22] авторами было показано, что на самом деле в системе Лоренца реализуется совершенно иной переход к хаосу — через двойной гомоклинический каскад бифуркаций..

Известно, что наличие в системе сепаратрисных контуров особых точек, приводит к усложнению динамики системы и рождению хаотических аттракторов. Поэтому основной задачей данной диссертации был анализ как локальных бифуркаций стационарных точек и циклов, так и нелокальных бифуркаций, к которым относятся различные бифуркации гомоклинических и гетероклинических контуров, ведущих к качественному изменению поведения системы в целом. В диссертации показано существование в системе Лоренца различных сепаратрисных контуров, таких как гомоклиническая бабочка, гомоклинические петли сепаратрис седло-фокусов 0 и Q, гетероклинические траектории Гг, соединяющие седло-фокусы 0 и О2, и контуры Г3, соединяющие седло-узел О с седло-фокусами 0 и 6*2. Так же применяя алгоритм поиска всех этих контуров, произведено построение полной диаграммы нелокальных бифуркаций в пространстве параметров системы Лоренца (сг, д, г). Впервые в мировой науке для каждого сепаратрисного контура построена бифуркационная поверхность (кривая) его существования в пространстве параметров системы. В общем случае для гладкого семейства нелинейных систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений: х = F{x,/J), х€Шп, /л е R*, (3) зависящего от вектора параметров /л доказаны 2 теоремы. Первая — о том, что в (3) гетероклинический контур Г2 сепаратрисы седло-фокусов имеет в пространстве параметров коразмерность 1, а его бифуркационная поверхность является частью к — 1 — мерной гиперповерхностью. Вторая теорема о том, что в случае общего положения система (3) не имеет в пространстве параметров значений соответствующих гетероклиническо-му контуру Гз, соединяющему 3 особые точки, связывающих их одномерные многообразия при к < 2п — 2. Было обнаружено, что в системе Лоренца из-за ее симметрии относительно оси z существуют контуры Гз. Так же разработан метод, позволяющий находить кривые и поверхности в пространстве параметров существования контуров Гг и Гз с любой заданной точностью. Помимо этого, в диссертации изложен сценарий перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца, при котором полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций реализуется при стремлении значений параметра г как сверху, так и снизу к точке г* существования в системе гомоклинических контуров (петель сепаратрис) седло-фокусов. Подтверждено так же, что существование в системе структуры «точка-цикл», описанной в работах [22, 23], никак не связано с хаотическим аттрактором системы. Помимо всего, показано, что система Лоренца наряду с двумя устойчивыми состояниями равновесия может иметь не только хаотический аттрактор, но также и простой или сложный устойчивый предельный цикл. Более того, доказано существование в системе седло-вых циклов, путем их нахождения и стабилизации..

Таким образом, в диссертации доказана некорректность некоторых положений классического сценария перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца, найдены коразмерности и построены бифуркационные поверхности и кривые всех контуров особых точек, разработан метод нахождения и стабилизации существующих в системе неустойчивых циклов. Доказанные теоремы носят общий характер, поэтому подход, применимый в диссертации для исследования системы Лоренца, может быть использован для построения диаграмм нелокальных бифуркаций и стабилизации неустойчивых циклов, в широком классе других нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты диссертации опубликованы в работах [24, 45, 47, 50, 51, 52]..

Благодарности.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, академику РАЕН Магницкому Николаю Александровичу за постановку задач, полезные замечания и постоянное внимание к работе..

1. Wiener N., Mazani P. The prediction theory of multivariate stochastic process — Acta Math., 1957, vol. 98, p. 111−150.

2. МонинА. С., Питербарг Л. И. Предсказуемость погоды и климата Сб. Пределы предсказуемости, под ред. Ю. А. Кравцова. — М.: ЦентрКом, 1997, с. 15−19.

3. Lorenz Е. N. Deterministic Nonperiodic Flow J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, p. 130−141.

4. Сонечкин Д. M. Стохастичность в моделях общей циркуляции атмосферы Л.: Гидрометеоиздат, 1984, с.277.

5. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с..

6. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы Успехи мат. наук, 1970, т. 25, № 1, с. 113−185.

7. Рюэль Д. Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные аттракторы. М.: Мир, 1981, с. 117−151.

8. Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. N.-Y.:Springer, 1983, 453 p..

9. Hirsch M. and Smale S. Differential equations, dynamical systems and linear algebra. Academic Press, N.-Y., 1974, 358 p..

10. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986, 302 с..

11. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: У PC С, 2002, 360 с..

12. Guckenheimer J. and Williams R. F. Structural stability of Lorenz attractors Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 59−72.

13. Гукенхеймер Дж. Странный, странный аттрактор. Кн.: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Гл. 12 М.: Мир, 1980, с. 284−293.

14. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Кн.: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Добавление II. М.: Мир, 1980, с. 317−335.

15. Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус Матем. сб., 1970, 81(123), № 1, с. 92−103.

16. Williams R. F. The structure of the Lorenz attractors Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 321−347.

17. Yorke J. A. and Yorke E. D. Metastable chaos: the transition to sustained chaotic oscillations in a model of Lorenz J. Stat. Phys., 1979, 21, p. 263−267.

18. Sparrow C. The Lorenz equations: Bifurcations, chaos and strange attractors. Springer Verlag, N. — Y. 1982.

19. Rychlik M. Lorenz attractors through a Shilnikov-type bufurcation, Part 1. Ergodic theory dynamical systems, 1989, 10, p. 793−821.

20. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem Found. Comput. Math., 2002, 2, p. 53−117.

21. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия. Кн.: Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск: ИКИ, 2002, с. 280−303.

22. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, Ко И, с. 1494 -1506.

23. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Переход к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина — М.: Физматлит, 2002, с. 179−194.

24. Калошин Д. А., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О некоторых особенностях перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 3: под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина — М.: Физматлит, 2003, с. 99−106.

25. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О нахождении гомоклиниче-ских и гетероклинических контуров особых точек нелинейных си-тем обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, № 11, с. 1511−1520.

26. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем.- Саратов, 1999, 368 с..

27. Eckman J. P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors Rev. Mod. Phys., 1985, 57, N3, p. 617−656.

28. Кузнецов С. Я. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001, 296 с..

29. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987, 424 с..

30. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильншов Л. П. Теория бифуркаций. Кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1986, т. 5, с. 5−218..

31. Shilnikov A. L., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Normal forms and Lorenz attractors Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3, № 5, p. 1123−1139.

32. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М.: Мир, 1988, 240 с..

33. Верже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Меркурий Пресс, 2000, 366 с..

34. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С.

Введение

в синергетику. М.: Наука, 1990, 272 с..

35. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: УРСС, 2004, 112 с..

36. Магницкий Н. А. О природе хаотических аттракторов нелинейных диссипативеных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 4: под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. — М.: Физматлит, 2004.

37. Feigenbaum М. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformation. J. Stat. Phys., 1978, v.19, p. 25−52.

38. ШарковскийА.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. Украинский математический журнал, 1964, т.26 № 1, с. 61−71..

39. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем. УФН, 1983, т. 141, в.2, с. 343−374..

40. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. А., Романенко Ю. Е. Разностные уравнения и их приложения.- Киев: Наукова думка, 1986, 280 с..

41. Li Т. Y., Yorke J. A. Period thee implies chaos Amer. Math. Monthly, 1975, v.82, № 10, p. 982−985.

42. Collet P., Eckmann J. P., Lanford О. E. Universal properies of maps of an interval. Comm. Math. Phys., 1980, v.76, p. 211−254.

43. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. M.: Наука, 1989, с. 218−230..

44. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Управление хаосом в нелинейных динамических системах. Дифференциальные уравнения, 1998, т.34, № 11. с. 1501−1509.

45. Калошин Д. А. Поиск и стабилизация неустойчивых седловых циклов в системе Лоренца. Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, № 11, с. 1559−1561.

46. Грибов А. Ф., Крищенко А. П. Аналитические условия существования гомоклинической петли в цепях Чу а. Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина — М.: Физматлит, 2001, с. 233−268..

47. Калошин Д. А. О построении бифуркационной поверхности гомоклинической бабочки в системе Лоренца. Дифференциальные уравнения, 2003, том 39, № 11, с. 1564−1565.

48. Леонов Г. А. Об оценке параметров бифуркации петли сепаратрисы седла системы Лоренца. Дифференциальные уравнения, 1988, том 24, № 6, с. 972−977.

49. Chen X. Lorenz equation parti: existance and nonexistence of homoclinic orbits, SIAM J.Math. Analysis, 1996 vol.27, № 4, p. 10 571 069.

50. Калошин Д. А. О построении бифуркационной поверхности существования гетероклинических контуров седло-фокусов в системе Лоренца. Дифференциальные уравнения, 2004, том 40, Jvlb 12, с. 1705−1707.