Исследование бифуркационных диаграмм в задаче о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле

Задача о вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки является одной из краеугольных задач аналитической динамики. В классической постановке, при рассмотрении движения в поле силы тяжести, уравнения для описания вращения были предложены Леонардом Эйлером в 1749 году [66]. Для произвольных потенциальных силовых полей эта задача является примером гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, конфигурационное пространство которой является компактной группой Ли. Принципиальная неинтегрируемость этой задачи даже в поле силы тяжести и особый статус известных случаев интегрируемости постоянно являются объектом все новых исследований и обобщений, источником возникновения новых математических методов и теорий. Аналитические результаты, относящиеся к классической задаче, по состоянию на 1979 год, изложены в книге [13]. Имеется библиография того же периода [30], в которой приведено более 1200 монографий и статей по динамике твердого тела с неподвижной точкой. Новое, топологическое, направление в задачах механики открыто С. Смейлом [28] и проиллюстрировано на задачах небесной механики. Метод Смейла для пары интегралов энергии-момента был применен в динамике твердого тела в осе-симметричном силовом поле в работе С. Б. Каток [20] и цикле работ •Я.В. Татаринова [31−33]. Существенным для этого метода является цикличность (линейность по обобщенным скоростям) интегралов, дополнительных к интегралу энергии. Общие случаи интегрируемости в динамике твердого тела (движения тяжелого гиростата и тела в центральном ньютоновском поле) этим свойством не обладают. Для них методы исследования фазовой топологии были разработаны М. П. Харламовым [38, 39, 41, 42, 43]. В результате была установлена фазовая топология перечисленных интегрируемых систем, что позволило впоследствии явно найти все так называемые грубые топологические инварианты (графы Фоменко) слоений Лиувилля фазового пространства в этих случаях (А.Т. Фоменко [37], [35], А. А. Ошемков [73], [25], П. В. Морозов [24] и др.).

Однако, как с аналитической, так и с топологической точки зрения, эта задача ставит новые математические проблемы. Это — поиск аналогов известных решений в абстрактных задачах о «многомерных» телах, в задаче Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости (математически эквивалентной классу задач о вращении гиростата вокруг неподвижной точки в осесиммет-ричном поле), исследование их топологических инвариантов, поиск более утонченных характеристик классификации интегрируемых систем, что привело к ряду новых результатов ([44], [29], [27] и др.) и к новым теориям в топологии слоений (работы [64], [9] и др.).

Рассмотрим вполне интегрируемую гамильтонову систему с двумя свободы. Ее фазовое пространство — гладкое четырехмерное многообразие М4, на котором имеется симплектическая структура. В этой структуре динамика определяется гамильтонианом — функцией Я: М4 -" R (энергия). Энергия является первым интегралом. Для полной интегрируемости необходим еще один интеграл F: М4 -" R, независимый с Я почти всюду.

Зафиксируем значение энергии h и рассмотрим ограничение динамической системы на трехмерный изоэнергетический уровень.

El = {х е М4: Н (х) = h).

Допустим, что все они компактны. Уровни интеграла F на Е являются интегральными многообразиями исходной системы.

IhJ = {* е El: F (x) = f} = {xzM4: H (x) = h, F (x) = /}.

Если на Ih у нет точек зависимости Я и F, то это многообразие является объединением конечного числа двумерных торов Лиувилля. Если hрегулярное значение энергии, то последнее свойство имеет место, если / регулярное значение ограничения Fh =FI 3: El~> R. Если же значение h.

Ikff критическое, то для сохранения этого свойства из E3h необходимо дополнительно исключить те уровни {Fh = /}, на которых есть критические точки Я. Множество пар (h, f) е R2, для которых Ihf не является объединением двумерных торов с условно-периодическими траекториями, называется бифуркационной диаграммой и обозначается через 2 = ?(#, F).

Зафиксируем h и отождествим каждую связную компоненту множества Ih f в точку. Получится граф, вершинами которого считаются точки, полученные из компонент, содержащих критические точки пары функций H, F. При прохождении через эти вершины происходят бифуркации интегральных многообразий Ihf. В зависимости от типа бифуркации, вершина графа снабжается определенным значком [37]. Полученный таким образом объект (граф со значками в вершинах) называется инвариантом Фоменко динамической системы на изоэнергетическом уровне и обозначается W{El). Если в графе W{El) дополнительно отождествить все точки, отвечающие одному значению /, то получим некоторое подмножество прямой, составленное из отрезков, концы которых (образы вершин графа W (E])) составляют сечение бифуркационной диаграммы Е прямой на плоскости Ohf, параллельной оси Of и имеющей абсциссу h. В этом заложен путь построения инвариантов W (El), применявшийся при их построении в различных работах: находится бифуркационная диаграмма? и исследуются ее сечения 1Ав связных компонентах R2 Х или R? A (ячейках регулярности) указывается количество торов Лиувилля в составе Ih f, замыкание интервалов в R, для которых это число не равно нулю, обозначим через ДАопределяется характер бифуркации, происходящей при пересечении точки из 2А. После этого инвариант W{El) однозначно восстанавливается. Для классических задач динамики твердого тела (решения Эйлера — Жуковского, Ковалевской, Чаплыгина-Сретенского, Клебша), все этапы этого исследования, кроме последнего, выполнены М. П. Харламовым [43].

Граф W (E) считается грубым топологическим инвариантом, поскольку, как оказалось, две интегрируемые системы на трехмерных многообразиях, имеющие топологически неэквивалентные слоения Лиувилля, могут иметь одинаковые инварианты Фоменко. В связи с этим были разработаны более сложные инварианты (называемые инвариантами Фоменко-Цишанга) — меченые графы (или меченые молекулы) WE) [34], начато решение сформулированной А. Т. Фоменко задачи составления полного атласа молекул в интегрируемых системах с двумя степенями свободы [67].

В любом случае первым принципиальным этапом исследования является нахождение бифуркационных диаграмм £Л и множеств существования движений ДЛ, являющихся их оболочкой.

Для систем с тремя и более степенями свободы соответствующего аппарата пока еще не существует. Теория бифуркаций многомерных гамильто-новых систем [37], [36] рассматривает бифуркации общего положения (т.е. случаев, когда ранг интегрального отображения падает на одну единицу), какого-либо аналога меченых графов предложено еще не было. По-видимому, сказался и тот факт, что содержательных примеров интегрируемых систем с тремя степенями свободы с вычисленными нетривиальными бифуркационными диаграммами до последнего времени не было. Уравнения первой такой диаграммы получены М. П. Харламовым, анонсированы в [47], уравнения множества критических точек и вывод уравнений диаграммы приведены в [49]. В этих работах рассматривается случай интегрируемости Реймана-Семенова-Тян-Шанского задачи о вращении волчка типа Ковалевской в двойном силовом поле. В настоящей работе, на основе уравнений [49], найдена фактическая область существования движений в пространстве констант трех первых интегралов и, соответственно, фактическая бифуркацоннная диаграмма — та часть множества, заданного уравнениями работы [49], которая отвечает непустым интегральным многообразиям. Дана классификация сечений £а этой бифуркационной диаграммы.

Решение, найденное С. В. Ковалевской для тела в поле силы тяжести [72, 21], является наиболее сложным из всех классических случаев интегрируемости. Аналитические выражения основных переменных [72, 71] не позволяют непосредственно установить характер движения. Для отдельных частных случаев в работах [14, 59, 22, 56, 54, 12, 55] дано геометрическое истолкование движения, основанное на теореме Пуансо [74], кинематических уравнениях [57] и алгоритме [40]. Качественные свойства некоторых составляющих движения (средние изменения углов прецессии и собственного вращения, общий характер движения оси динамической симметрии) установлены в работах Г. Г. Аппельрота [14], В. В. Козлова [23]. Все случаи, когда задача интегрируется в эллиптических функциях, исследованы Г. Г. Аппельротом [1−4] и А. Ф. Ипатовым [19]. Фазовая топология случая Ковалевской описана в [41, 42, 43]. Изучены поверхности специального вида в пространствах переменных действия [65] и угловых скоростей [68].

Но и этого оказалось недостаточно для прояснения всей уникальности этого решения. Недавно опубликованы новые исследования, которые позволили дать описание задачи Ковалевской с точностью до топологической эквивалентности слоения фазового пространства на торы Лиувилля [10]. Одновременно не прекращался поиск обобщений случая Ковалевской. Первое из них для случая гиростата было получено еще в работе П. В. Харламова [59]. В середине 80-х гг. появился ряд близких между собой результатов. В 1984 году О. И. Богоявленский [7, 8] сформулировал задачу о вращении тяжелого намагниченного тела в двойном постоянном поле — гравитационном и магнитном и там же указал случай существования в дополнение к интегралу энергии Я интеграла типа Ковалевской К. Это решение было распространено на осесимметричный гиростат в работах [61, 77, 70]. Фазовая топология решения, найденного в работе [70], изучена в [44].

В 1988 году был опубликован наиболее общий результат — в работе [26] указаны условия, при которых задача о вращении гиростата в двойном силовом поле имеет еще один первый интеграл G, независимый с Н, К, и является поэтому вполне интегрируемой в смысле Лиувилля. Многомерные обобщения этого случая даны в [63].

Случай А. Г. Реймана — М.А.Семенова-Тян-Шанского содержит классическую задачу Ковалевской в качестве частного случая и дает два направления обобщений — наличие гиростатического момента и второго, независимого от гравитационного, силового поля с линейным потенциалом.

Основной объект данной работы — твердое тело (без гиростатического момента) с закрепленной точкой О и главными моментами инерции, подчиненными условиям Ковалевской. Предполагается, что тело помещено во внешнее силовое поле с потенциалом вида (u, x0) + (u2,y0), где u, u2 — векторы, фиксированные в плоскости тела, ортогональной оси динамической симметрии, так называемой экваториальной плоскости, а х0, у0 — произвольные векторы, неподвижные в инерциальном пространстве (направляющие, или характеристические, векторы силовых полей). Векторы u, u2 аналогичны радиус-вектору центра масс в классической задаче с гравитационным полем. Полная интегрируемость соответствующей системы уравнений Эйлера-Пуассона, которая с аналитической точки зрения представляет собой гамиль-тонову систему с тремя степенями свободы, доказана в [26], [63] в предположении u,*u2=0, |u,| = |u2| = 1. (B.l).

Х.Яхья в работе [77] отметил, что если одновременно с этим характеристические векторы полей взаимно ортогональны и равны по длине, то система имеет однопараметрическую группу симметрий SO (2) = S порождающую первый интеграл, линейный по обобщенным скоростям, и поэтому обычной процедурой понижения порядка по Раусу сводится к семейству интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Такой случай, называемый симметричным, ниже не рассматривается.

Таким образом, мы имеем дело с существенно трехчастотной задачей: почти все интегральные многообразия диффеоморфны объединению трехмерных торов, траектории на которых условно-периодические, а соответствующие частоты несоизмеримы также почти всюду в фазовом пространстве. Какого-либо способа понижения порядка системы Реймана — Семенова-Тян-Шанского пока не найдено. Метод интегрирования, основанный на алгебраических подходах [62, 76, 15, 9], анонсированный в [63], так и не был явно реализован. С другой стороны, даже формулы, полученные С. В. Ковалевской и Ф. Кёттером в классической задаче, выражающие зависимость фазовых переменных от вспомогательных переменных, в которых уравнения движения были разделены, не давали достаточной информации о характере движения.

Новый подход к исследованию интегрируемых систем с тремя степенями свободы был предложен М. П. Харламовым [46, 45, 51]. Он поставил задачу отыскания всех инвариантных подмногообразий фазового пространства, на которых индуцированная система интегрируема по Якоби [60], то есть ее фазовое пространство целиком состоит из двумерных торов Лиувилля. Знание всех таких подсистем, которые могут быть в принципе исследованы в рамках существующих направлений и программ, реализуемых в школах М. П. Харламова и А. Т. Фоменко, дает и информацию о бифуркациях интегральных многообразий системы в целом, так как все они реализуются на подмногообразиях, расслоенных на торы размерности меньше трех. Как отмечено в докладе [45], в окрестности точки общего положения (т.е. критической точки, в которой ранг интегрального отображения равен двум) подсистема такого вида должна быть гамильтоновой с двумя степенями свободы, а само несущее ее инвариантное подмножество критических точек — гладким четырехмерным многообразием. В частности, последнее должно задаваться системой двух инвариантных соотношений в смысле определения [58].

Одно из таких подмногообразий было указано в работах О. И. Богоявленского еще до открытия третьего интеграла системы РейманаСеменова-Тян-Шанского. О. И. Богоявленский рассмотрел множество нулевого уровня интеграла типа Ковалевской, который является суммой квадратов.

2 2 гладких функций K = ZX + Z2. Поэтому такое множество описывается системой инвариантных соотношений.

Z,=0, Z2 = 0. (В.2).

При этом Z, Z2 независимы на множестве (В.2). Индуцированная система подробно исследована в работах Д. Б. Зотьева [17, 78] с точки зрения ее га-мильтоновых свойств, получено полное описание фазовой топологии, гладкой структуры самого многообразия (В.2), вычислены инварианты ФоменкоЦишанга, полностью описывающие класс топологической эквивалентности интегрируемой системы с двумя степенями свободы. Особенности индуцированной симплектической структуры получили обобщения [16]. Случай Богоявленского обобщает так называемый 1-й класс Аппельрота классической задачи Ковалевской.

Второй класс движений в системе Реймана — Семенова-Тян-Шанского, интегрируемых по Якоби, был указан М. П. Харламовым [46]. Он обнаружил пару инвариантных соотношений вида.

F,=0, F2= 0, (В.З) где F], F2 ~ функции, заданные и гладкие почти всюду на шестимерном фазовом пространстве исходной системы и удовлетворяющие в своей области определения свойству F' F2 = с гладкими функциями Показано, что на множестве, определяемом двумя первыми уравнениями (В.З), в пределе при исчезновении второго поля константы классических интегралов оказываются связанными соотношениями, задающими так называемые особо замечательные движения 2-го и 3-го классов Аппельрота.

Наконец, в работе [49] было найдено последнее критическое многообразие, почти всюду четырехмерное, заданное уравнениями.

Я,= О, R2= О, (В .4) где функции R{, R2 определены на фазовом пространстве и удовлетворяют соотношениям вида RJ = XjJRJ (i, j = 1,2). Подстановка условий (В.2)-(В.4) в выражения для первых интегралов привела к уравнениям некоторого множества ScR3, содержащего бифуркационную диаграмму ЦЯ, СД) сК3. В той же работе и в сообщениях [50], [53] поставлена задача отыскания условий, определяющих 1(H, G, K) как подмножество в Ё, и классификации сечений в пространстве параметров задачи. Эти задачи решаются в настоящем исследовании.

Структура работы и основные результаты.

Работа состоит из четырех глав и приложения. В первой главе, согласно результату М. П. Харламова [49, 52], общие уравнения без ограничения (В.1) записаны как уравнения движения тела в поле сил с потенциалом е,*а + е2*р, (В.5) где векторы е, е2 — единичные орты главных осей инерции в экваториальной плоскости, а векторы а, р, играющие роль характеристических векторов силовых полей, неподвижны в инерциальном пространстве и взаимно ортогональны. Здесь также изложены результаты работы [49], необходимые в дальнейшем. Формулируется общая постановка задачи данного исследования.

Во второй главе решается задача нахождения всех случаев, когда ранг интегрального отображения меньше двух. Если рассматривать бифуркационную диаграмму I как двумерный клеточный комплекс, то границами двумерных клеток будут являться клетки размерности 0 и 1, которые являются образами траекторий, не лежащих на двумерных критических торах Лиувилля, — неподвижных точек и особых периодических решений. На таких траекториях ранг интегрального отображения меньше, чем в критической точке общего положения. В то же время именно клетки размерности 0 и 1 определяют фактическую границу диаграммы 2 в составе множества Ё, заданного уравнениями работы [49].

В третьей главе, на основе полученных результатов, исследуются области существования движений на листах множества Ё, которые определяются уравнениями, порожденными критическими многообразиями (В.2)-(В.4). В доказанных теоремах сформулированы необходимые и достаточные условия принадлежности точки (h, k, g)e R3 листу бифуркационной диаграммы 2 с? в виде систем неравенств для к и g при заданном h. В случае (В.4) записаны неравенства для значений s найденного в [49] частного интеграла при любых значениях h, в то время как k, g явно выражены через s, h уравнениями соответствующего листа Ё.

В четвертой главе исследуются сечения ЕЛ, то есть бифуркационные диаграммы ограничения интегрального отображения на изоэнергетический уровень (в данном случае, пятимерный, в отличие от классических задач динамики твердого тела): GxK 5 :??-«R2. В силу ортогонализации сил и.

IЬ/, приведения потенциала к виду (В.5), единственным существенным параметром задачи оказывается отношение напряженностей силовых полей А, = |р|/|а|е[0,1]. На плоскости (h, X) построено разделяющее множество множество всех таких точек, при переходе через которые меняется структура множества ZA =I, h (k). Оказалось, что это множество состоит из тринадцати кривых и делит плоскость (h, X) на девятнадцать открытых областей с различными типами непустых £л (^).

В приложение вынесены иллюстрации. Для одного из значений параметра X, то есть для определенной механической системы, приведены все диаграммы £А. Перестройки, происходящие на некоторых из разделяющих кривых, при изображении диаграммы в целом оказались неразличимы, приведен пример, когда соответствующая область в плоскости (g, k) в безразмерных величинах имеет порядок 10~12 -ПО" 11. Поэтому для каждой перестройки ее окрестность в плоскости (g, k) изображена в увеличенном масштабе. Все иллюстрации являются точными в том смысле, что получены в результате компьютерных расчетов по полученным ранее формулам в CAB Mathematica 4.1, на всех их них приведены фактические значения по осям g, k.

Апробация работы.

Результаты исследования докладывались на Воронежской зимней математической школе — 2004, Международной конференции «Классические задачи динамики твердого тела» (Донецк, 2004), Пятом Международном симпозиуме по классической и небесной механике (ССМЕСН5, 2004, Великие Луки), Воронежской весенней математической школе — 2005 (Понтрягинские чтения XVI), Международной конференции «Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения» (Воронеж, 2005), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005), IX Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Донецк, 2005).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов. Бифуркационное множество в одной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской // Механика твердого тела. — 2003. — Вып. 33. — С. 10−19.

2. Е. Г. Шведов. Исследование структуры бифуркационного множества задачи о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле // Классические задачи динамики твердого тела. Тезисы докл. межд. конф. — Донецк. -2004. С. 59−60.

3. М.Р. Kharlamov, E.G.Shvedov. Bifurcation set in the problem of motion of the Kowalewski top in two constant fields // V Межд. симпозиум по классической и небесной механике (ССМЕСН5). Тезисы докл. — Великие Луки. — 2004. С. 210−211.

4. М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов. Обобщенный волчок Ковалевской: аналитика, топология, геометрия // Труды Воронежской зимней математической школы. — Воронеж. -2004. — С. 173−191.

5. М. П. Харламов, Е. Г. Шведов. Особенности алгебраической кривой, ассоциированной с задачей о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле// Научный вестник ВАГС — 2004. — Вып. 4.-141−152.

6. М. П. Харламов, Е. Г. Шведов. Бифуркационные диаграммы на изо-энергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле// Механика твердого тела. — 2004. — Вып. 34. — С. 59−65.

7. Е. Г. Шведов. Допустимые значения первых интегралов и бифуркационные диаграммы обобщенного волчка Ковалевской // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней матем. школы «Понтрягинские чтения XVI». — Воронеж. — 2005. С. 174−175.

8 .Е. Г. Шведов. К исследованию областей существования движений обобщенного волчка Ковалевской // Сб. научных работ аспирантов и студентов ВАГС. — Волгоград. — 2005. С. 82−88.

9. Е. Г. Шведов. Случаи сильного вырождения интегрального отображения волчка Ковалевской в двойном силовом поле // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Материалы межд. конф. — Воронеж. — 2005. С. 242.

10. Е. Г. Шведов. Область существования и устойчивость критических многообразий волчка Ковалевской в двойном поле // Устойчивость, управление и динамика твердого тела. Тезисы докладов IX Международной конференции. — Донецк. — 2005. С. 95−96.

11 .Е. Г. Шведов. Область существования движений в обобщении IV класса Аппельрота волчка Ковалевской в двойном поле // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы межд. конф.-Воронеж.-2005. С. 110−111.

12. М.Р. Kharlamov, E.G. Shvedov On the existence of motions in the generalized 4th Appelrot class// Регулярная и хаотическая динамика. — 2006.-11,№ 3,-С. 337−342.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору М. П. Харламову за постановку задачи и помощь в работе.

1. Аппельрот, Г. Г. Не вполне симметричные тяжелые гироскопы Текст. / Г. Г. Аппельрот // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. — M.-JL: Изд-во АН СССР, 1940. — С. 61−156.

2. Аппельрот, Г. Г. По поводу § 1 мемуара С. В. Ковалевской «Sur le probleme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe» Текст. / Г. Г. Аппельрот // Ma-тем. сборник. -1891.-16, вып. 1. С. 592−596.

3. Аппельрот, Г. Г. Простейшие случаи движения тяжелого несимметричного гироскопа С. В. Ковалевской (статья 1) Текст. / Г. Г. Аппельрот // Матем. сборник. 1910. — 27, вып. 3. — С. 262−334.

4. Аппельрот, Г. Г. Простейшие случаи движения тяжелого несимметричного гироскопа С. В. Ковалевской (статья 2) Текст. / Г. Г. Аппельрот // Матем. сборник. 1911. — 27, вып. 4. — С. 477−561.

5. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики Текст. / В. И. Арнольд. М.: Наука, 1989. — 472 с.

6. Арнольд, В. И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики Текст. / В. И. Арнольд // Сиб. матем. журнал. 1963. — 4, № 2. -С. 471−474.

7. Богоявленский, О. И. Два интегрируемых случая динамики твердого тела в силовом поле Текст. / О. И. Богоявленский // Докл. АН СССР. 1984. 275, № 6. С. 1359−1363.

8. Богоявленский, О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики Текст. / О. И. Богоявленский // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1984. 48, № 5, — С. 883−938.

9. Болсинов, А. В. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация Текст.: в 2 т. / А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко Ижевск: Удмуртский университет, 1999.

10. Болсинов, А. В. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской Текст. / А. В. Болсинов, П. Рихтер, А. Т. Фоменко // Матем. сб. 2000 — 191, № 2.-С. 3−42.

11. Борисов, А. В. Динамика твердого тела Текст. / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. -Ижевск: РХД, 2001.-С. 384.

12. Гашененко, И. Н. Движение гироскопа Ковалевской при нулевой постоянной интеграла площадей Текст. / И. Н. Гашененко // Механика твердого тела. -1973.-Вып. 25.-С. 7−16.

13. Горр, Г. В. Классические задачи динамики твердого тела Текст. / Г. В. Горр, Л. В Кудряшова, Л. А Степанова. Киев: Наукова думка, 1978. — 295 с.

14. Делоне, Н. Б. К вопросу о геометрическом истолковании интегралов движения твердого тела около неподвижной точки, данных С. В. Ковалевской Текст. / Н. Б. Делоне // Матем. сборник. 1891. -16, вып. 1. — С. 346−351.

15. Дубровин, Б. А. Интегрируемые системы Текст. / Б. А. Дубровин, И. М. Кри-чевер, С. П. Новиков // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». 1986. — Вып. 4. — С. 179−288.

16. Зотьев, Д. Б. Гамильтоновы системы на многообразиях с особенностью формы Текст. / Д. Б. Зотьев // Восьмая Межд. конф. «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». Донецк, 4−11 сентября 2002 г.: Тез. докл. — С. 65 — 66.

17. Зотьев, Д. Б. Фазовая топология задачи о движении тяжелого магнита при нулевом значении интеграла типа С. В. Ковалевской Текст. / Д. Б. Зотьев. 2000. Деп. в ВИНИТИ. № 1986 В 00.

18. Зотьев, Д. Б. Фазовая топология первого класса Аппельрота волчка Ковалевской в магнитном поле Текст. / Д. Б. Зотьев // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. -12, № 1. — С. 95 — 128.

19. Ипатов, А. Ф. Движение гироскопа С. В. Ковалевской на границе области ультраэллиптичности Текст. / А. Ф. Ипатов // Уч. зап. Петрозаводск, ун-та. -1970.-18,вып. 2.-С. 6−93.

20. Каток, С. Б. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела Текст. / С. Б. Каток // Успехи мат. наук.- 1972. 27, вып. 2(164). — С. 126−132.

21. Ковалевская, С. В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки Текст. / С. В. Ковалевская // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1940. — С. 11−49.

22. Коваль, В. И. О годографах угловой скорости гироскопа Ковалевской в случае Делоне Текст. / В. И. Коваль, П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1979. -Вып. П.-С. 3−17.

23. Козлов, В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела Текст. / В. В. Козлов. М.: Изд-во МГУ, 1980. — 230 с.

24. Морозов, П. В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша Текст. / П. В. Морозов // Матем. сборник. 2002. -193, № 10. — С. 113 138.

25. Ошемков, А. А. Инварианты Фоменко основных интегрируемых случаев уравнений движения твердого тела Текст. / А. А. Ошемков // Матем. сборник. -1997.-188, № 7.-С. 139−160.

26. Рейман, А. Г. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений Текст. / А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский // Функц. анализ и его приложения. 1988. — 22, № 2. — С. 87−88.

27. Рябов, П. Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова Текст. / П. Е. Рябов // Теор. и матем. физика. 2003. -134, № 2. — С. 207−226.

28. Смейл, С. Топология и механика Текст. / С. Смейл // Успехи математических наук. 1972. — 27, вып. 2(164). — С. 77−134.

29. Соколов, В. А. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа Текст. / В. А. Соколов // Теор. и матем. физика. 2001. — 129, № 1. — С. 31−37.

30. Степанова, JI. А. Динамика твердого тела с одной неподвижной точкой. Библиографический указатель литературы (1749−1979) Текст. / Л. А. Степанова. -Донецк: Изд-во ДЛИ, 1980. 133 с.

31. Татаринов, Я. В. Геометрическая теория симметрии и топологический анализ интегралов в динамике твердого тела Текст.: автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.02.01 / Татаринов Ярослав Всеволодович. М. — 1979. — 12 с.

32. Татаринов, Я. В. К исследованию фазовой топологии компактных конфигураций с симметрией Текст. / Я. В. Татаринов // Вестн. Моск. ун-та. 1973; Вып. 5.-С. 70−77.

33. Татаринов, Я. В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Я. В. Татаринов // Вестн. Моск. ун-та. 1974. Вып. 6. — С. 99−105.

34. Фоменко, А. Т. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы Текст. / А. Т. Фоменко, X. Цишанг // Изв. АН СССР, сер. мат. 1990. — 54, № 3. — 546−575.

35. Фоменко, А. Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы Текст. / А. В. Болсинов, С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко // Успехи мат. наук. 1990. — 45, вып. 2. — С. 49−77.

36. Фоменко, А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений Текст. / В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко М: Факториал, 1995.-С. 448.

37. Фоменко, А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения Текст. / А. Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 1988. — С. 414.

38. Харламов, М. П. О некоторых применениях дифференциальной геометрии в теории механических систем Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела.-1979.-Вып. П.-С. 37−49.

39. Харламов, М. П. Фазовая топология одного интегрируемого случая движения твердого тела Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела. 1979. -Вып. П.-С. 50−64.

40. Харламов, М. П. О построении годографов угловой скорости тела, имеющего неподвижную точку Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела. 1981. -Вып. 13.-С. 10−14.

41. Харламов, М. П. Бифуркации совместных уровней первых интегралов в случае Ковалевской Текст. / М. П. Харламов // Прикл. матем. и механика-1983; 47, вып. 6. С. 922−930.

42. Харламов, М. П. Топологический анализ классических интегрируемых систем в динамике твердого тела Текст. / М. П. Харламов // Докл. АН СССР.- 1983.273, № 6.-С. 1322−1325.

43. Харламов, М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела Текст. / М. П. Харламов JL: Изд-во ЛГУ, 1988, — 200 с.

44. Харламов, М. П. Бифуркации первых интегралов в случае Ковалевской-Яхьи Текст. / М. П. Харламов, П. Е. Рябов // Регулярная и хаотическая динамика. -1997.-№ 2.-С. 25−40.

45. Харламов, М. П. Инвариантные соотношения и функции Ботта Текст. / М. П. Харламов // Восьмая Межд. конф. «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». Донецк, 4−11 сентября 2002 г.: Тез. докл. — С. 69−70.

46. Харламов, М. П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела. 2002. — Вып. 32 — С. 32−38.

47. Харламов, М. П. Бифуркационное множество в одной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской Текст. / М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов // Механика твердого тела. 2003. — Вып. 33 — С. 10−19.

48. Харламов, М. П. Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской Текст. / М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин // Украинский математический вестник. -2004.-1, N4,-С. 564−582.

49. Харламов, М. П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела. 2004. — Вып. 34 — С. 47−58.

50. Харламов, М. П. Общий подход к исследованию особых движений обобщенного волчка Ковалевской Текст. / М. П. Харламов // Пятый Межд. симп. по класс, и небесной механике. Вел. Луки, 25−29 августа 2004 г.: Тез. докл. — С.

51. Харламов, М. П. Грубый топологический инвариант неприводимых задач динамики твердого тела Текст. / М. П. Харламов // Воронежская весенняя математическая школа, Воронеж, 3−9 мая 2005 г.: Тез. докл. ВЗМШ-2005. — С.

52. Харламов, П. В. Геометрическое истолкование некоторых движений гироскопа С. В. Ковалевской Текст. / П. В. Харламов, Г. В. Мозалевская // Механика твердого тела. 1973. — Вып. 5- С. 5−24.

53. Харламов, П. В. Движение гироскопа Ковалевской в случае Делоне Текст. / П. В. Харламов, В. И. Коваль // Механика твердого тела. 1982. — Вып. 14 — С. 38−54.

54. Харламов, П. В. Движение гироскопа С. В. Ковалевской в случае Б. К. Млодзеевского Текст. / П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1974. -Вып. 7,-С. 9−17.

55. Харламов, П. В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку Текст. / П. В. Харламов // Прикл. матем. и мех. 1964. — 28, № 3. — С. 502−507.

56. Харламов, П. В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений Текст. / П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1974. — Вып. 6.-С. 15−24.

57. Харламов, П. В. Один случай интегрируемости уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку Текст. / П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1971. — Вып. 3 — С. 57−64.

58. Якоби, К. Лекции по динамике Текст. / К. Якоби, — 1936. M.-JL- 272 с.

59. Яхья, Х.-М. Новые интегрируемые случаи движения гиростата Текст. / Х.-М. Яхья // Вести. Моск. ун-та. 1987,-Сер. 1, № 4. С. 88−90.

60. Adler. М. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves Текст. / M. Adler, P. van Moerbeke // Adv. Math. 1980. — 38. — P. 267−317.

61. Bobenko, A. I. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions Текст. / A. I. Bobenko, A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky // Commun. Math. Phys. 1989. -122, N 2. — P. 321−354.

62. Bolsinov, A.V. Methods of calculation of the Fomenko-Zieschang invariant / A.V. Bolsinov Текст. // Advances in Soviet Math. 1991. — 6. — P. 147−183.

63. Dullin, H. R. Action integrals and energy surfaces of the Kovalevskaya top /H. R. Dullin, M. Juhnke, P. H. Richter Текст. // Bifurcation and Chaos. 1994. 4. -P. 1535−1562.

64. Euler, L. Recherches sur la precession des equinoxes, et sur ia nutation de l’axe de la Terre Текст. / L. Euler // Memoires de l’Academie des Sciences de Berlin. 1749. -N5.-P. 289−325.

65. Fomenko, A.T. Molecular table of all integrable systems with two degrees of freedom Текст. / A. T. Fomenko // Advances in Soviet Math. 1991. — 6. — P. 1−36.

66. Gashenenko, I.N. Angular velocity of the Kovalevskaya top Текст. /.

67. N. Gashenenko // Regular and Chaotic Dynamics. 5, № 1. — P. 107−116.

68. Kharlamov, M. P. Non-degenerate energy surfaces of rigid body in two constant fields Текст. / M. P. Kharlamov, D. B. Zotev // Regular and Chaotic Dynamics. -2005.-201,N l.-P. 15−19.

69. Komarov, I. V. A generalization of the Kovalevskaya top Текст. /1. V. Komarov // Phys. Letters. 1987. -123, N 1. P. 14−15.

70. Kotter, F. Sur le cas traite par Mme Kowalevski de rotation d’un corps solide pesant autor d’un point fixe Текст. / F. Kotter // Acta Mathematica. -1893.-17, 1−2. P. 209−263.

71. Kowalevski, S. Sur le probleme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe Текст. / S. Kowalevski // Acta Mathematica. 1889. — 2. — P. 177−232.

72. Oshemkov, A. A. Fomenko invariants for the main integrable cases of the rigid body motion equations Текст. / A. A. Oshemkov // Advances in Soviet Math. 1991. — 6. -P. 67−176.

73. Poinsot, L. Theorie nouvelle de la rotation des corps Текст. / L. Poinsot // Journ. Math. Pures Appl. 1851. -1, N 16. — P. 289−336.

74. Richter, P. H. Kovalevskaya top Текст. / P. H. Richter, H. R. Dullin, A. Wittek. -Gottingen, 1997.-96 p.

75. Van Moerbeke, P. The algebraic complete integrability of Hamiltonian systems Текст. / P. van Moerbeke // Proc. of IUTAM-ISIMM Symp. on Modern developments in analytical mechanics, Torino. 1983. — l.-P. 443−456.

76. Yehia, H. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies Текст. / H. Yehia // Mech. Res. Commun. 1986. 13, N 3. P. 169−172.

77. Zotev, D. B. Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case Текст. / D. B. Zotev // Regular and Chaotic Dynamics. 2000. — 5, N 4. — P. 437−458.