Элементы нестандартного анализа как эффективное дидактическое средство дальнейшего совершенствования развивающего обучения математике

Роль математических знаний в общем образовании человека трудно переоценить. Формирование мышления, точности мысли и речи, развитие интеллекта, как известно, даёт математическое образование. Очевидно, что вооружение учащихся знаниями математики всегда было, есть и будет одной из задач общеобразовательной школы.

Однако, освоение математики в школе даётся нелегко. Каждый практикующий учитель скажет, что при традиционной методике преподавания предмета процент успешно осваивающих эту трудную науку не высок. Знание математических законов и методов исследования часто является формальным, неполным и быстро забывается после изучения того или иного раздела. У многих выпускников отсутствует умение самостоятельно рассуждать, делать заключения, выводы, формулировать свои мысли.

Каждый уважающий себя преподаватель должен искать новые методы преподавания, новые пути совершенствования учебно-воспитательного процесса, должен знакомиться с передовыми педагогическими технологиями и пытаться применить их в своей профессиональной деятельности. Это становится особенно актуальным в связи с постоянным уменьшением времени, отводимого в учебных планах на изучение математики, особенно в старших классах. Очень жаль, что эта тенденция игнорирует то положительное влияние математического образования на формирование общей культуры учащихся, о котором так хорошо говорилось на XIX Международной конференции по народному образованию (Женева, 1956 г.): «.Упражнения в математике содействуют приобретению рациональных качеств мысли и её выражения: порядок, точность, ясность, сжатость. Оно требует воображения и интуиции. Оно даёт чутьё объективности, интеллектуальную честность, вкус к исследованию и тем самым содействует образованию научного ума.

Изучение математики требует постоянного напряжения, внимания, способности сосредоточитьсяоно требует настойчивости и закрепляет хорошие навыки работы.

Таким образом, математика выполняет важную роль как в развитии интеллекта, так и в формировании характера ([63], стр.69)>>.

Формирование личности происходит в основном в школьном возрасте, Задача школы развивать мышление ребёнка, творческую фантазию, навыки самостоятельной работы в процессе его учебно-познавательной деятельности. Ученик в школе должен научиться самостоятельно творить, должен приобрести устойчивые навыки самообразования. Учебно-познавательная деятельность школьника носит развивающий характер только в том случае, если она несёт в себе элементы субъективной новизны как способа деятельности, так и результата. Обучение любому школьному предмету должно опираться на активную индивидуальную работу каждого учащегося, должно содействовать развитию его познавательных возможностей. Развитие в процессе обучения — одна из главных задач школы.

Развитие ребёнка это не только и не столько приобретение новых знаний. Как отмечал один из ведущих отечественных психологов А. А. Смирнов «Умственное развитие немыслимо без самостоятельности мышления» [105]. Из высказываний этого психолога следует, что умственное развитие характеризуется не умением выполнять алгоритмические действия, а эвристической, творческой способностью, проявляющейся в решении новых задач, в нахождении новых путей решения.

В настоящее время продолжаются поиски новых путей дальнейшего совершенствования развивающего обучения математике. Учителю дано право на самостоятельный выбор организационных форм и дидактических приёмов обучения, способствующих решению задач общего образования подрастающего поколения.

Традиционный для нашей страны школьный урок и вузовская лекция не потеряли своей актуальности и остаются доминирующими среди других форм обучения. При этом в исследованиях Зотова Ю. Б., Махмутова М. И., Онищука В. А., Яковлева Н. М. и др., наряду с дальнейшим развитием педагогических идей корифеев педагогической науки Коменского Я. А., Герберта И. Ф., Ушин-ского К.Д., Лернера И .Я., Блонского П. П., Скаткина М. Н., Щукиной Г. И. и др., отчётливо просматриваются тенденция установления вариативности урока в форме урока-семинара, урока-дискуссии, интегрированного урока, урока-закрепления изученного материала на базе укрупнённых дидактических единиц (УДЕ) Эрдниева П.М.

Среди дополнительных форм обучения математике в учебном плане средней школы особое значение имеют факультативные занятия по математике. На таких занятиях учитель имеет право выйти за рамки школьной программы, может применить нестандартные методики, апробировать новые дидактические приёмы изучения материала. Востребованность факультативных курсов математики в школе достаточно велика. Многие ученики понимают необходимость овладения математическими знаниями, серьёзно интересуются этой трудной дисциплиной и её приложениями.

Факультативные занятия по математике позволяют создать условия для творческого развития учащихся, дают возможность не допустить задержек в развитии особо даровитых школьников, максимально индивидуализировать обучение. Учение на факультативе основывается не на принуждении школьников, а на их увлечении математикой, жажде познания.

Проблеме развития личности в процессе обучения математике посвящены исследования Воловича М. Б., Глейзера Г. Д., Гусева В. А., Дорофеева Г. В., Кудрявцева Л. Д., Луканкина Г. Л., Монахова В. М., Мордковича А. Г., Фридмана Л. М., Эрдниева П. М. и др. Передовой опыт учителей-новаторов Карпа А. П., Окунева А. А., Рыжика В. И., Шаталова В. Ф., Щетинина М. П. и др. — стал более востребованным для творчески работающих учителей-математиков, рационально использующих закрепленное в Законе РФ «Об образовании» и в уставах школ право на самостоятельный выбор учителем форм обучения, в результате чего существенно обогатился арсенал методических приемов построения и регулярного проведения хороших уроков по математике. Такими дидактическими находками являются теоретико-множественные технологии Х.Ш. Шихалие-ва [118], УДЕ П. М. Эрдниева [123], обобщенные УДЕ, или ОУДЕ В.В. Туль-чия [110] в школьном курсе математики.

Как известно, содержание школьного курса математики постоянно дискутируется, пересматривается, корректируется. Незатихающие споры идут о включении в школьный общеобразовательный курс тех или иных вопросов математического анализа. В 1996 году в журнале «Математика в школе» опубликовано «Открытое письмо преподавателей МГУ Министерству общего и профессионального образования РФ» [100]. В этом письме ведущие преподаватели математики МГУ, отмечая с одной стороны увеличение разрыва в образовательном уровне выпускников средних школ и уровня, предъявляемом высшими учебными заведениями к абитуриентам, с другой стороны предлагают не рассматривать в средней школе понятия предела, производной, первообразной и других тем начал анализа. Объясняется это тем, что изучение этих вопросов часто происходит формально, и они остаются непонятными ученикам.

На наш взгляд, исключение из школьного курса вопросов анализа приведёт к обеднению не только математической, но и общекультурной подготовки школьника. Учащиеся практически будут лишены возможности освоения богатейшего аналитического аппарата, оказывающего огромное влияние на развитие мышления, творческих способностей и общей культуры. Проблемы усвоения вопросов анализа в школе, конечно же, существуют. Но решение этих проблем необходимо искать не в изъятии вопросов анализа из школьной программы, а в поиске новых работоспособных и эффективных средств обучения.

Одним из таких средств, на наш взгляд, является осуществление процессов формирования математических понятий на основе наглядных, геометризиро-ванных образов. Именно такой подход заложен в новую модель нестандартного анализа (Н-анализа), предложенную В. В. Тульчием, и на основе которой мы разработали свой факультативный курс по нестандартной теории предела. Формирование новых математических понятий с одной стороны направляется интуитивными представлениями учащихся и, с другой стороны, достаточно строго обосновывается формальнологическими средствами, что позволяет сформировать целостное представление раскрываемого содержания и его обоснования.

Таким образом, возникшее в школе противоречие между потребностями вооружения учащихся современными знаниями в области математического анализа и фактическим состояние учебного процесса по математике — обусловили актуальность разработки проблемы.

ЭЛЕМЕНТЫ Н-АНАЛИЗА КАК ЭФФЕКТИВНОЕ ДИДАКТИЧЕСКОЕ СРЕДСТВО ДАЛЬНЕЙШЕГО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПРОЦЕССА РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ рассматриваемой в данной диссертационной работе, в которой:

Объектом исследования является учебная деятельность учащихся 10−11 классов в процессе изучения элементов математического анализа.

Предметом исследования служит процесс формирования знаний, умений и навыков старшеклассников при обучении математике.

Цель исследования — разработка содержания факультативного курса «Нестандартная теория предела» и методики его изучения, исходя из целей развивающего обучения математике.

В ходе исследования нами была выдвинута следующая гипотеза: если разработать факультативный курс теории предела с включением идей нестандартного анализа (Н-анализа), то усвоение фундаментальных теоретических положений математического анализа происходит более доступно и наглядно, что способствует повышению качества обучения и развитию мышлению обучающихся.

Для достижения поставленной в исследовании цели и проверки гипотезы потребовалось решить следующие задачи, связанные с процессом обучения математике: 1) выделить из курса Н-анализа вопросы, предлагаемые для изучения школьникам- 2) разработать методику изложения Н-анализа- 3) создать методическую систему самообразования учащихся по вопросам Н-анализа- 4) разработать дидактические материалы, обеспечивающие процесс формирования устойчивых знаний, умений и навыков у старшеклассников- 5) экспериментально проверить эффективность разработанной методики.

Общие методы исследования. В процессе исследования применялись идеи Н-анализа, предложенные Тульчием В. В., метод укрупнения дидактических единиц, разработанный Эрдниевым П. М., развитие этого метода в виде обобщённых укрупнённых дидактических единиц и широко использовалась логико-речевая символика (JIPC), разработанная Тульчием В. И. и Тульчием В.В.

Реализация сформулированных выше целей и дидактических задач осуществлялась поэтапно:

На первом этапе был составлен квазиоптимальный вариант логико-речевой символики (ЛРС), способствующий компактификации записей математических текстов в ходе практических занятий, разработано содержание факультативного курса «Нестандартный математический анализ», разработана методика изложения этого курса, составлена система задач, определены содержание и формы самостоятельной работы учащихся в процессе изучения материала.

На втором этапе проводился эксперимент с целью проверки эффективности усвоения вопросов Н-анализа учащимися и внедрении ОУДЕ и ЛРС в учебный процесс изучения математики.

На третьем этапе, наряду с продолжением внедрения ОУДЕ и ЛРС в школах и вузах Армавира, проводилась большая работа по созданию учебно-методического пособия по ним для студентов и учащихся школ с углубленным изучением математики.

Научная новизна. В диссертации впервые применены идеи Н-анализа для разработки эффективной методики преподавания разделов высшей математики, изучаемых в общеобразовательной школе. Как эффективный дидактический инструмент построения системы уроков используется метод укрупнения единиц, который успешно применяется рядом творчески работающих учителей математики для проведения занятий в младшем и среднем звене школы. Нами этот метод применён для изучения разделов математического анализа.

Практическая значимость результатов диссертационной работы обусловлена возможностью их использования для:

— дальнейшего совершенствования учебного процесса по математике в вузах и школах с повышенным уровнем преподавания математики;

— более углубленной подготовки студентов-математиков в университетах и педвузах;

— непрерывного повышения методического уровня учителей математики через систему повышения квалификации в институтах усовершенствования учителей;

— аналогичного нестандартного подхода к решению проблем дидактики высшей и средней школы в области таких математических дисциплин как алгебра, геометрия, прикладная математика, информатика и др.

На защиту выносятся:

1. Н-дидактика теории предела, позволяющая снизить интеллектуальный барьер между школой и вузом в области изучения математического анализа.

2. Дидактика регулярного и фронтального использования JIPC и ОУДЕ как на стадии обучения, так и при самоконтроле и аттестационном контроле обучающихся.

Достоверность и обоснованность обеспечивается.

— опорой на теорию развития личности, психологию развития мышления;

— опорой на передовые образовательные идеи, а именно, опыт использования УДЕ, успешно апробированный многолетней практикой учителей-новаторов;

— итогами проведённого эксперимента.

Систематизированные результаты основных диссертационных исследований отражены в готовящемся к публикации учебно-методическом пособии «JIPC и ОУДЕ — новый дидактический инструмент обучения математике».

Внедрение результатов диссертационного исследования проводилось в Армавирском государственном педагогическом институте со студентами 1−2 курсов физико-математического факультета, в муниципальной общеобразовательной средней школе № 7 г. Армавира с учащимися 10−11 классов.

На курсах повышения квалификации учителей-математиков при Армавирском межрегиональном ИУУ освещались как основные дидактические положения, так и методика проведения итоговых уроков с использованием JIPC и ОУДЕ.

География внедрения результатов диссертационной работы расширялась путем публикации и депонирования ее основных разделов в виде учебно-методических пособий и статей:

• Укрупнённые дидактические единицы на занятиях по высшей математике. Депонирование в НИИ высшей школы 27.04.98, № 88−98.

• Обобщённые укрупнённые дидактические единицы — компонент проблемного обучения на занятиях по высшей математике. Депонирование в НИИ высшей школы 27.04.98, № 87−98.

• Обобщённые укрупнённые дидактические единицы — новая дидактическая структура на уроках математики в 10−11 классах. // Развитие личности в образовательных системах южно-российского региона. V годичное собрание Южного отделения РАО. Ростов-на-Дону. Изд-во РГПУ, 1998.

• Интенсификация самостоятельной работы учащихся на базе ОУДЕ. // Профессиональная подготовка учителей математики, информатики и физики. Ростов-на-Дону. Изд-во РГПУ, 1998.

• ОУДЕ на занятиях по теме «Функциональные неравенства». // Профессиональная подготовка учителей математики, информатики и физики. Ростов-на-Дону. Изд-во РГПУ, 1998.

• Дидактические циклограммы типа ОУДЕ в теории функциональных неравенств. // Циклы природы и общества. VI международная конференция. Изд-во Ставропольского университета. Ставрополь, 1998.

• Обобщённые укрупнённые дидактические единицы — циклограммы теории функциональных отношений. // Циклы природы и общества. VI международная конференция. Изд-во Ставропольского университета. Ставрополь, 1998.

• Нестандартные дидактические единицы на уроках математики в 10−11 классах. // Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани. Армавир, издательский центр АГПИ, 1998.

• Н-анализ функции одной действительной переменной. // Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани. Армавир, издательский центр АГПИ, 1999.

• Циклограммы теории предела нестандартного математического анализа. // Циклы природы и общества. VII международная конференция. Изд-во Ставропольского университета. Ставрополь, 1999.

• Цикличность в нестандартной теории предела и непрерывности множеств. // Материалы I Международной конференции «Циклы». Изд-во СевероКавказского государственного технологического университета, Ставрополь, 1999 г.

Апробация материалов исследования осуществлялась и путем их обсуждения:

— на межрегиональной научной конференции «Развитие личности в образовательных системах южно-российского региона» Южное отделение РАО, (Пятигорск 1998 г.);

— на VI и VII Международной конференциях «Циклы природы и общества», секция «Циклы в педагогике», проводимой РАН, РАЕН, Министерством общего и профессионального образования РФ, Ставропольским университетом (1998,1999 гг.);

— на I Международной конференции «Циклы», проводимой РАН, РАЕН, Министерством общего и профессионального образования РФ, Ставропольским технологическим университетом (1999 г.);

— на научной конференции «Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани» в Армавирском государственном педагогическом институте (1998, 1999 гг.).

По проблемам диссертационной работы автором опубликовано и депонировано 11 научно-методических работ.

Структура диссертации отражает концепцию, содержание и примеры внедрения результатов исследований в школе и вузе.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, приложения и библиографии, содержащей 125 наименования научно-методических первоисточников.

Выводы по третьей главе.

1. Разработка и внедрение факультативного курса по Н-анализу позволяет существенно снизить интеллектуальный барьер восприятия идей анализа, в частности теории предела.

2. Факультативный курс Н-анализа без больших трудностей воспринимается учащимися и способствует реализации идей развивающего обучения.

3. Содержание факультативного курса по Н-анализу:

— позволяет геометризировать многие понятия анализа и сделать их более доступными для восприятия учащихся;

— учит школьников оперировать понятиями, сравнивать, выделять главное, правильно делать выводы и обобщения;

— развивает творческую активность учащихся, интерес к математике, желание получать новые знания;

— способствует математическому образованию и математическому воспитанию учащихся;

— развивает личность учащихся, так как содержит богатые возможности для развития логического и эвристического мышления.