Практические результаты использования Системы mn параметров

Практические результаты использования Системы mn параметров Автор: Фильчев Э.Г.

Эта статья имеет целью раскрыть практические результаты использования разработанной автором Системы mn параметров, что позволит читателю принять решение о необходимости более подробного изучения предлагаемой работы (см. сайт fgg-fil1.narod.ru).

" … существо математической науки таково

что каждый действительный успех в ней

идет рука об руку с нахождением более сильных вспомогательных средств и более простых методов, которые одновременно

облегчают понимание более ранних теорий и устраняют затруднительные старые рассуждения … ведь математика

— основа всего точного естествознания «

[Проблемы Гильберта. Изд.Наука.М.1969.стр.6]

параметр теорема треугольник пифагор

Базовые основы системы mn параметров Система mn параметров, разработанная автором, представлена в виде ряда отдельных статей, каждая из которых имеет законченный вид с целью ограничения ссылок на другие статьи. Следует указать, что весь последующий материал разработан лично автором и его приоритет подтверждается открытыми публикациями 1981;1982г.г. (см., например, Указатель поступлений информационных материалов. ЦИВТИ МО. Серия Б, вып.7, 1982 г. Д 5422-Д 5423).

Система mn параметров имеет следующие базовые основы

1. Теорема 1. О замкнутости цикла процедуры последовательного взаимного вычитания сторон треугольника, если цикл начинается с одной из вершин исходного треугольника.

2. Восемь вариантов значений параметров mn (Табл.1).

3. Теорема 2. О замкнутости цикла процедуры последовательного взаимного вычитания сторон треугольника, если цикл начинается с точки, лежащей на любой стороне исходного треугольника (см. Сайт fgg-fil1.narod.ru/fmatkst.doc).

4. Итерационные формулы, с помощью которых реализуется возможность создания деревьев и массивов упорядоченных множеств (рациональных точек, нерациональных точек, рациональных лучей и др.)

Теорема циклов для треугольников

Теорема 1. Для любого треугольника цикл последовательного взаимного вычитания сторон всегда ограничен пятью шагами.

Или иначе «Если для трех чисел выполняется условие — любое число меньше суммы двух других чисел, то цикл последовательного взаимного вычитания сторон всегда ограничен пятью шагами «.

Доказательство Пусть имеем произвольный треугольник ABC (Рис.1). При этом AC — большая сторона.

Шаг 1 AC-AB=d, Шаг 2 BC-d=BC-AC+AB=c,

Шаг 3 AB-c=AB-BC+AC-AB=AC-BC=b, Шаг 4 AC-b=AC-AC+BC=BC,

Шаг 5 BC-BC=0. Цикл окончен (замкнулся).

Результат AC=b+c+d (1)

AB= b+c (2)

BC= d+c. (3)

Вывод Стороны любого исходного треугольника объективно выражаются двумя параметрами (b, d). Параметр с = ц (b, d).

Теорема циклов для прямоугольного треугольника Прямоугольный треугольник, являясь экстремальным случаем косоугольного треугольника, имеет особое значение в математике в связи с тем, что координаты любой точки в прямоугольной системе координат связаны между собой этим координатным треугольником. Поэтому координаты точки любой функции, представленные в системе координат, объективно обладают свойствами прямоугольного треугольника. Пусть имеем прямоугольный треугольник ABC (Рис.) с взаимно-простыми целочисленными сторонами. Числа, удовлетворяющие значениям сторон таких треугольников в современной математике принято называть пифагоровой тройкой. Пифагорова тройка (4,3,5) — самый простой и наиболее известный пример. В археологической коллекции Колумбийского университета хранится клинописная табличка, датируемая приблизительно 1500 г. До н.э. В этой табличке указана тройка (6480,4961,8161).Эта тройка со всей достоверностью показывает, что список был составлен каким-то методом, отличным от метода проб и ошибок; значит, древние вавилоняне обладали каким-то способом нахождения таких троек… знали теорему Пифагора за тысячу лет до Пифагора… [Г.Эдвардс. Последняя теорема Ферма, Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Изд. МИР.М. 1980. Стр.17].

Известный польский математик В. Серпинский в своих работах называет такие тройки основными пифагоровыми треугольниками (ПТ). Далее будем использовать эту терминологию.

Тайна теоремы Пифагора Теорема Пифагора, как много о ней написано различных трудов, как много вариантов доказательств ее объективности. Однако, существуют вопросы:

Какова предистория рождения теоремы Пифагора?

Что явилось базовой основой этой теоремы?

Для рассмотрения этого вопроса необходимо принять определенные исходные данные, которые имели и могли иметь древние.

1. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий.

2. Допустим, что они знали и свойство цикличности значений сторон треугольника (см. Теорема1).

3.Допустим, что они заметили (эмпирическим путем), свойства сторон треугольников с взаимно-простыми целочисленными сторонами. Рассмотрим треугольник (6480,4961,8161).Здесь Z= 8151- гипотенуза, X=6480,Y=4951-катеты.

> Z-X=8161−6480=1681 =41²

> Z-Y=8161−4961=3200 = 2?1600 = 2?40²

> X+Y-Z=6480+4961- 8161= 3280=2?41?40.

4. Обозначим

Z — X = n² (4)

Z — Y = 2m² (5)

Z = b+c+d (6)

Т.к. Z — X = b = n². Z — Y = d = 2m² (см. формулы 1 и 3).

> Z= b+c+d = n² +c+2m², X= d + c = 2m² +c, Y= b + c = n² +c.

Определим с.

5. Возведем Z в квадрат (считаем, что древние умели это делать)

> Z² = (b +c + d)² = (b +c)² +2(b +c)? d + d²

> Z² =(b +c)² + 2bd + 2cd + d² > Z² =(b +c)² + 2bd + 2cd + d² +c²— c²

> Z² =(b +c)² +(d + c)² + (2bd — c²)

> Z² =X² + Y² + (2bd — c²). (7)

6. Если в формуле (6) принять

c² = 2bd. (8)

то получим два главных уравнения, вытекающих из цикличности сторон прямоугольного треугольника, а именно формулу теоремы Пифагора и функциональную зависимость параметра с от параметров mn. Поэтому, если c = 2mn, то Z² =X² + Y² .

Из приведенного доказательства видно, что свойство замкнутости цикла последовательного вычитания сторон треугольника первично по отношению к теореме Пифагора.

Из формул (4), (5), (6) следует, что для любой точки в прямоугольной системе координат объективно можно записать

X = n² + 2mn (9)

Y = 2m² + 2mn (10)

Z = n² + 2mn + 2m². (11)

Автор считает, что замкнутость цикла взаимного вычитания сторон треугольника (теорема 1), формулы (1?3) и формула c² = 2bd и являются тайной теоремы Пифагора и это было известно древним. Сохранение этих формул в тайне позволяет решать многие вопросы в математике, не раскрывая основных базовых соотношений и формул, например, составить таблицу (дерево) основных пифагоровых треугольников и др.

В современной математике для нахождения основных пифагоровых троек (основных ПТ) используют формулы

X = 2pq, Y = p² — q², Z = p² + q²

(см., например, О. Оре. Приглашение в теорию чисел. Изд.Наука. М. 1980.стр.59).

Внимание! 1. Формулы (9), (10), (11) являются аналитическим выражением теоремы цикличности значений сторон прямоугольного треугольника.

2. Для любой точки в прямоугольной системе координат, стороны координатного треугольника объективно выражаются этими формулами.

Таблица вариантов значений параметров mn

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat2.doc показано, что параметры mn могут быть представлены в виде восьми вариантов значений Автор считает, что замкнутость цикла взаимного вычитания сторон треугольника (теорема 1), формулы (1?3) и формула c² = 2bd и являются тайной теоремы Пифагора и это было известно древним. Сохранение этих формул в тайне позволяет решать многие вопросы в математике, не раскрывая основных базовых соотношений и формул, например, составить таблицу (дерево) основных пифагоровых треугольников и др.

Выводы.

1. В системе mn параметров значения сторон прямоугольного треугольника объективно могут быть представлены в виде формул

X= n²+2mn, Y=2m²+2mn, Z= n²+2mn+ 2m²

Z — X = 2m², Z + X = 2· (n + m)²

Z — Y = n², Z + Y = (n + 2m)²

2. В прямоугольной системе координат местоположение точки однозначно определяется формулами п.1

3. Представление координат произвольной точки в виде функций от mn параметров открывает ряд новых возможностей в математике.

4. Подтверждение знания древними цикличности сторон треугольника следует искать на старых рисунках и орнаментах.

Подробности на сайте http://fgg-fil1.narod.ru/fmattco.doc

Итерационные формулы Формулы (получены автором)

X₁₁=2Z₀+2X₀+Y₀

E₁=: Y₁₁=2Z₀+X₀+2Y₀ (12)

Z₁₁=3Z₀+2X₀+2Y₀

X₁₂=2Z₀ -X₀+2Y₀

E₂=: Y₁₂=2Z₀ -2X₀ +Y₀ (13)

Z₁₂=3Z₀-2X₀+2Y₀

X₁₃=2Z₀ +2X₀ -Y₀

E₃=: Y₁₃=2Z₀ +X₀ -2Y₀ (14)

Z₁₂=3Z₀+2X₀ -2Y₀

X₁₄= I2Z₀ -X₀-2Y₀ I

E₄=: Y₁₄= I2Z₀ -2X₀ -Y₀ I (15)

Z₁₄=3Z₀-2X₀-2Y₀

Итерационное применение этих формул к значениям X_0,Y₀, Z₀ и далее к вновь получаемым значениям элементов позволяет построить дерево упорядоченных троек X_i,Y_i,Z_i (Упорядоченное множество точек в системе координат, Упорядоченное множество кристаллов) и получить новые результаты в математике при решении практических задач (Дисперсия данных одиночного эксперимента, эллипс допустимых значений нулей кубического многочлена и т. д.).

Подробности на сайте fgg-fil1.narod.ru/index.html.

Практическое использование

1. Формулы (1), (2), (3)

Эти формулы — аналитическое представление теоремы цикличности для любого треугольника. Ранее было рассмотрено выражение Z² = (b +c + d)². Откуда

> Z² =X² + Y² + (2bd — c²) > c² = 2bd,

если исходный треугольник прямоугольный. Поэтому, для любой точки в прямоугольной системе координат, всегда имеем c² = 2bd.

Задача 1. Имеем уравнение Z³ =X³ + Y³. Определить наличие решений в целых числах для исходного уравнения Решение. Произведем замену. Запишем

Z³ = (b +c + d)³

> Z³ = (b +c)³ + 3(b +c)² d + 3(b +c)d² + d³ > Z³ = X³ + 3(b +c)²d +3(b +c)d² + d³

Для наличия решения необходимо иметь

Y³ = 3(b +c)²d +3(b +c)d² + d³

> (d + c)³ = 3(b +c)²d +3(b +c)d² + d³

> d³ + 3сd² + 3dc² + c³ = 3b²d + 6bdc + 3dc² + 3bd² + 3cd² + d³> c³ = 3b²d + 6bdc

Для прямоугольного треугольника всегда имеем

c² = 2bd

> с (2bd) = 3b²d + 6bdc > 3b²d = - 4bdc > с = - .

Отрезок с не может быть отрицательным, поэтому можно сделать вывод Вывод Уравнения Z3 = X3 +Y3, в качестве прямоугольного треугольника, не имеет решения в целых числах значений X, Y, Z.

Задача 2. Имеем уравнение Zⁿ =Xⁿ + Yⁿ. Определить наличие решений в целых числах для исходного уравнения Решение. Произведем замену. Запишем

Zⁿ = (b +c + d)ⁿ

> Zⁿ = (b +c)ⁿ + A (b, с, d) ,

где A (b, с, d) — остаток от бинома Ньютона. Для наличия решения, необходимо иметь равенство A (b, с, d) = (d + с)ⁿ. Это возможно только при n = 2.

Выводы

1. Уравнения Zn = Xn +Yn, в качестве прямоугольного треугольника, не имеет решения в целых числах значений X, Y, Z.

2. Секрет теоремы Ферма заключается в замене X, Y, Z на

X = b + с, Y = d + с, Z = b + с + d

3. Предлагаемый метод заключается в следующем

— задайте показатель степени n

— используя бином Ньютона, раскройте выражение (b + c + d)ⁿ

— попробуйте получить равенство A (b, с, d) = (c + d)ⁿ, где A (b, с, d) — остаток от бинома Ньютона, т.к. (b + c + d)ⁿ = (b + c)ⁿ + A (b, с, d). Это возможно только для n = 2.

2. Формулы (9), (10), (11)

X = n² + 2mn

Y = 2m² + 2mn

Z = n² + 2mn + 2m² .

У читателя может возникнуть вопрос — «Что дает переход к этим формулам в сравнении с известными X = 2pq, Y = p² — q², Z = p² + q²? «.

2.1 Степенные функции

1. Рассмотрим уравнение aX² + bX + с = 0. Пусть X = n² + 2mn

> a (n² + 2mn)² + b (n² + 2mn) + с =0

> an⁴ + 2an²(2mn) + a (2mn)² + bn² + b (2mn) + с = 0

> (an⁴ + bn² + с) + [4an²(2mn) + a (2mn)² + b (2mn)] = 0

Обратим внимание на то, что здесь первое слагаемое имеет вид исходной функции, если считать, что x=n² .

Допустим, что x=n² тогда из уравнения () получим

2an²(2mn) + a (2mn)² + b (2mn) = 0 (14)

откуда (2mn)₁=0, т. е. мы подтвердили принятое ранее допущение

x=n²+2mn при (2mn)₁=0 x=n²

Из (14) имеем

2an²+ a (2mn) + b= 0

> mn =

> X =

Обратим внимание на то, что y'=(2ax+b), y''=2a

где y' - первая производная по x от исходной функции,

y''- соответственно 2-ая производная.

Подставим это значение x в исходное уравнение (1) и приравняем нулю

> a[² — b[ ] + с = 0

> (2mn)² =

Если квадратное уравнение решить обычным способом, то получим

(X₁ — X₂)² =

> (2mn)² = (X₁ — X₂)²

где x₁, x₂ -корни исходного уравнения.

На основании результатов проведенного расчета можно сделать следующее утверждение Утверждение 1. Для квадратного уравнения вида aX² + bX + с = 0 справедливо равенство

(2mn)² = (X₁ — X₂)²

где

— (2mn) — параметр системы,

— x₁, x₂ — корни уравнения ,

— y', y" - производные по x.

Рассмотрим функцию aX³ + bX² + сX + d = 0. Пусть X = n²+2mn

> a (n² + 2mn)³ + b (n² + 2mn)² + с (n² + 2mn) + d =0

Откуда, аналогично расчетам п. 1,получим

a (2mn)³ + (3ax + b)(2mn)² + 3ax² + 2bx + с = 0 (16)

Легко проверить, что вместо этого уравнения можно записать

² +

Для функции aX⁴ + bX³ + сX² + dX + e = 0 аналогично получим

³ +

На основании формулы (16) автором разработан новый метод решения любого кубического уравнения включая неприводимый случай формулы Кардана (см. сайт fgg-fil1.narod.ru).

Из анализа полученных формул следует Утверждение 2. Для функции вида y = ax^k + bx^k-1+…+ N = 0 справедливо уравнение

^k-1 + (17)

де — y^(k) к-ая производная исходной функции,

— y^(k-1) -ая производная,

— y ^(k-i) -ая производная,

— (2mn) -параметр системы m, n .

Следует сказать, что эта формула, обладая внешним сходством с известной формулой Тейлора (см. любой справочник по математике), имеет в сравнении с ней следующие существенные отличия:

1.В формуле Тейлора имеет место, где, а — конкретное значение переменной, т. е.

конкретное число, не содержащее переменной x.

В формуле может содержать переменную x.

2.В ряде Тейлора имеет место при слагаемых множитель вида (x — a)' содержит только одну переменную x. В формуле имеют место две переменные.

3.В частном случае параметр (2mn)² = (X₁ — X₂)², где xi, xi+1 -любая пара корней исходного уравнения. При этом число (2mn)_i² равно числу сочетаний из n элементов (n-число корней исходного уравнения) по m .

C_n^m = .

Задача 3. В результате одиночного эксперимента получены координаты одной точки M (X, Y). Для планирования последующих экспериментов необходимо знать дисперсию возможных координат точек ожидаемой функции. На основании данных одной точки M (X, Y) необходимо определить дисперсию точек ожидаемой функции.

Решение. Задача кажется неразрешимой, т.к. для определения дисперсии требуется массив данных, которых в данном случае нет.

Автором предлагается метод решения данной задачи на основе использования Таблицы вариантов значений параметров mn.

Этот метод представлен на сайте fgg-fil1.narod.ru/index.html.

Задача 4. Установить связь формул Системы mn параметров с тригонометрическими функциями.

Решение данной задачи представлено на сайте fgg-fil1.narod.ru/index.html.

4. Формулы (12)?(15)

Эти формулы используются для построения дерева основных ПТ (дерева ПТ). Программа расчета выполнена в MachCad и позволяет рассчитать более 10 миллионов ПТ в секторе от 0⁰ до 90⁰ и таким образом представить прямоугольную систему координат в дискретном (страфицированном) виде.

На основе дерева ПТ решаются задачи

-(Задача 5), анаболизма (подъема) и катаболизма (спуска) координат исходной точки

-(Задача 6), определения ПТ в пограничных областях системы координат

-(Задача 7), определения простого и составного числа

-(Задача 8), определения музыкального ряда на основе Sinб, Cosб, tgб дерева ПТ

-(Задача 9), решения уравнения Пелля

-(Задача 10), решения системы диофантовых уравнений вида, если задано только А

X² + AY² = U²

X² — AY² = V²

-(Задача 11), составление систематизированной таблицы кристаллов

-(Задача 12), расчета высоты ветхих пирамид (например, египетских)

-(Задача 13), золотое сечение и mn параметры

-(Задача 14), сравнения по модулю в Системе mn параметров Решение всех этих задач представлено на сайте fgg-fil1.narod.ru/index.html.

Автор будет благодарен за предложения, оценки и конкретные замечания.