Комбинаторно симметричные графы и их автоморфизмы

В связи с завершением классификации конечных простых групп возникла задача единого представления конечных простых групп. Перспективным направлением является поиск такого класса конечных геометрий, что каждая конечная простая группа действует флаг-транзитивио на некоторой геометрии и все геометрии этого класса допускают классификацию ([11]-[15], [32], [34]). Например, класс билдингов Титса характеризует группы лиева типа [37]. Позднее в этом направлении возникли задачи, не связанные с групповым действием, в частности, такой является задача классификации дистанционно регулярных графов [11].

Пусть G — транзитивная группа подстановок на множестве Q. Если стабилизатор Gp точки р 6 О, имеет г орбит на Q, то говорят, что G имеет подстановочный ранг г (является группой подстановок ранга г). Пусть г = 3 и соответствующие три орбиты — это {р}, Д (р), Г (р). Тогда по группе G удается построить сильно регулярный граф Г, множество вершин которого — Q и две вершины p, q смежны в Г, если q € Г (р) [22].

Д. Хигман ([22]—[28]) развил теорию групп ранга 3. Эти группы являются группами автоморфизмов сильно регулярных графов, причем они действуют транзитивно как на множествах вершин и ребер, так и на множестве пар различных несмежных вершин. Такие графы являются дистанционно транзитивными графами диаметра 2.

В настоящее время при исследовании графов вовлекаются симметрии все более общего вида. Сначала это были условия дистанционной транзитивности и дистанционной регулярности графов, а затем и более общие условия комбинаторной симметричности. Оказалось, что в некоторых случаях комбинаторная симметрия графа влечет его дистанционную транзитивность.

Первые результаты о комбинаторно симметричных графах были получены в пятидесятых годах. Пусть L (Kn) — реберный граф полного графа Кп на п вершинах или в других обозначениях треугольный граф Т (п). Этот граф является сильно регулярным графом с параметрами ((!])> 2(п — 2), п — 2,4). В работах 1959;60 годов J1. Чаиг [19] и А. Хоффмаи ([29], [30]) независимо показали, что треугольный граф Т{п) определяется однозначно своими параметрами для всех 72, за исключением п = 8. Для случая п — 8 было показано, что кроме треугольного графа Т (8), такие же параметры имеют только три графа, которые были найдены JI. Чапгом в 1949 году [18].

Реберный граф L{Kmп является ко-реберио регулярным графом с параметрами (mn, m + п — 2,2). Граф Кт, п называют га X п решеткой. При т = п решетчатый граф является сильно регулярным графом с параметрами (п2,2п — 2, п — 2,2). С. Шрикханде в [ЗС] показал, что граф, имеющий параметры п х п решетки является либо решеткой, либо графом Шрикханде (п = 4).

Результаты JI. Чанга, С. Шрикханде и А. Хоффмана [31] были объединены Дж. Зсйделем [35], который определил все сильно регулярные графы с наименьшим собственным значением —2. Дж. Зейдель показал, что кроме треугольных графов Т (п) и решетчатых тг х n-графов, сильно регулярными графами, которые имеют наименьшее собственное значение —2, являются только графы КпХ2> графы Петерссна, Шрикханде, Клебша, Шлефли и три графа Чанга.

В работе рассматриваются неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, Ъ — вершины графа Г, то через d (a, Ь) обозначается расстояние между, а и Ь, а через Гг (а) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии г в Г от вершины а.

Подграф Ti (a) называется окрестностью вершины, а и обозначается через [а]. Через а1 обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а.

Граф Г называется регулярным графом степени к, если [а] содержит точно к вершин для любой вершины, а из Г.

Граф Г называется реберио регулярным графом с параметрами (v, k, А), если Г содержит v вершин, является регулярным степени к, и каждое ребро из Г лежит в Л треугольниках. Положим Ь = к — А — 1.

Граф Г называется вполне регулярным графом с параметрами (v, к, Л, //), если Г реберио регулярен с соответствующими параметрами и подграф [а]П[6] содержит /х вершин в случае d (a, b) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом.

Сильно регулярный граф с параметрами (4/л + 1,2//,/х — 1,//) называется графом в половинном случае.

Графом Поли называется граф, вершинами которого являются элементы конечного поля Fq, где q сравнимо с 1 по модулю 4, и две вершины смежны, если разность соответствующих элементов поля Fq является ненулевым квадратом.

Граф Г называется сильным с параметрами (Л,//), если каждое ребро из Г лежит точно в Л треугольниках и подграф [а] П [b] содержит /i вершин в случае d (a, b) = 2.

Число вершин в [а] П [6] обозначим через Л (а, 6), если d (a, b) = 1, а соответствующий подграф назовем Х-подграфом.

Если d (a, b) = 2, то число вершин в [а] П [6] обозначим через fi (a, b), а соответствующий подграф назовем ц-подграфюм.

Пусть Т — некоторый класс графов. Граф Г назовем локально Т графом, если [а] лежит в Т для любой вершины, а графа Г. Если при этом класс Т состоит из графов, изоморфных некоторому графу А, то граф Г назовем локально, А графом.

Точечным графом системы инцидентности, состоящей из точек и прямых, называется граф, вершинами которого являются точки этой системы и две вершины смежны, если соответствующие точки лежат на одной прямой.

Частичным чепшрехуголъпиком PQ (s, t, ц) называется система инцидентности, состоящая из точек и прямых, в которой каждая прямая содержит s + 1 точку, каждая точка лежит на t + 1 прямой (две прямые пересекаются не более, чем по одной точке), для любых двух несмежных вершин точечного графа пересечение их окрестностей содержит точно ц вершин и для любой точки а, не лежащей на прямой L, найдется не более одной прямой, проходящей через, а и пересекающей L.

Множество вершин графа MZ (n), отвечающего аффинной плоскости 7 Г = (X, С) порядка п, совпадает с объединением множества точек X и множества прямых С, причем подграф X является кокликой, две прямые смежны, если они параллельны, и точка смежна с прямой, только если она принадлежит этой прямой. Граф MZ (n) имеет п (2п + 1) вершин, является кореберно регулярным с ц = 1, А (а, 6) = 0, если одна из вершин а, Ь — точка, а другая — содержащая эту точку прямая, A (a, b) = п — 2, если, а и b — параллельные прямые.

Цель диссертации. Целыо данной работы является решение следующих задач:

1) Исследовать вполне регулярные локально GQ (s, t) графы с сильно регулярными цподграфам и.

2) Изучить связные реберно регулярные графы с параметрами (v, к, А) и h = 5.

3) Рассмотреть возможные автоморфизмы сильно регулярных графов с малыми параметрами, А и /i.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы теории конечных групп, теоретико-графовые методы и методы локального анализа комбинаторно симметричных графов.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Выделим из них следущие.

1. Исследованы вполне регулярные локально GQ (s, t) графы, в которых каждый /1-подграф изоморфен известному сильно регулярному графу Д.

2. Классифицированы связные реберно регулярные графов с Ь = 5 с одним из дополнительных условий: граф сильно регулярен или к > 14.

3. Найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярных графов с параметрами (364,33,2,3) и (676,45,2,3).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты позволяют продолжить изучение комбинаторно симметричных графов и их автоморфизмов. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для изучения алгебраических структур подобного типа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения проф. А. И. Кокорина (Иркутск, 2004 г.);

VI Международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чудакова (Саратов, 2004 г.);

Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Канторовича и 70-летию J1.H. Шеврина (Екатеринбург, 2005 г.);

36-й и 37-й Региональных молодежных конференциях ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2005;2006 гг.);

Результаты работы доклады вал и с ь и обсуждались на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации оиубликоваиы в работах [38]-[45]. Работы [38]—[43] выполнены в нераздельном соавторстве с А.А. Мах-невым.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы, содержащего 45 наименований.

Результаты диссертации.

Во введении обсуждается история вопроса, даются определения и формулируются основные результаты работы. В главе I рассматриваются связные локально GQ (s, t) графы, в которых /2-подграфы являются известными сильно регулярными графами.

Если регулярный грае}) степени к диаметра d имеет v вершин, то выполняется неравенство: v < 1+к+к (к—1)+. .+k (k—l)d~1. Графы, для которых это нестрогое неравенство превращается в равенство, называются графами Мура. Простейший пример графа Мура представляет (2d + 1)-угольник. Р. Даме-релл [20] доказал, что граф Мура степени к > 3 имеет диаметр 2. В этом случае v = к2 + 1, граф сильно регулярен с, А = 0 и /2 = 1, а степень к равна 3 (граф Петерсеиа), 7 (граф Хоффмана-Сипглтопа) или 57. Существование графа Мура степени к — 57 неизвестно.

Граф Клебша определен на множестве векторов 4-мерного линейного пространства V над полем из двух элементов, причем два вектора смежны, если расстояние Хеммипга между ними равно 1 или 4. Это единственный сильно регулярный граф с параметрами (16,5,0,2). Графы Гевиртца, Хигмаиа-Симса и Маклафлина — это графы ранга 3 групп £з (4), Хигмана-Симса и Маклафлииа на 56, 100 и 275 вершинах соответственно.

Пусть, А — класс графов, элементами которого являются Кщп, графы Мура, графы с параметрами (100,22,0,6), (77,16,0,4), (16,5,0,2), (56,10,0,2). Известные в настоящее время сильно регулярные графы с, А = 0 принадлежат А.

Заметим, что вполне регулярные локально GQ (4,2) графы классифицированы в [8|. В работе [1] описаны связные локально GQ (3,t) графы.

Следующий результат является основным в главе I.

Теорема 1 Пусть Г — вполне регулярный локально GQ (s, t) граф, в котором као/сдый ц-подграф изоморфен известному сильно регулярному графу Д? Л. Тогда выполняется одно из следующих утверэ/сдений:

1) Д = Kt+ij+ ut + 1 делит s2(s2 — 1);

2) Д — граф Петерсена и Г — единственный локально GQ{2, 2) граф) с параметрами (28,15,6,10);

3) Д — граф Хофмана-Синглтона, t = 6 и s = 9,14,15, 24,29 или 30;

4) Д — граф Клебша, t = 4 и s = 2,4,6,8,11,12 или 16;

5) Д — граф Гевиртца, t = 9 и s = 3,7,27,31 или 63;

6) Д — граф с параметрами (77,16,0,4), t = 15 и s = 21,41,55, 153 или 195;

7) Д — граф Хигмана-Симса, t — 21 и s = 19,24,34,35,39,45,49, 69,84,89,99,105,115,119,144,159,175,189,199,210,214,259,294,309, 339,364,375,399,419 или 420.

Следствие 1 Пусть Г — сильно регулярный локально GQ (s, t) граф), в котором као1сдый ц-подграф изоморфен известному сильно регулярному графу Д. Тогда выполняется одно из следующих ymeepoicdeiiuu:

1) Д = Kt+i, t+i и либо s = 1 и Г = либо s = 4, t = 1 и V — частное графа До/сонсона J (10,5), либо s = t = 1,2,3,8 или 13;

2) Д — граф Петерсена и Г является единственным локально GQ{2,2) графом с параметрами (28,15, 6,10);

3) Д — граф) Гевиртца и Г — граф Маклафлина.

Известно существование и единственность сильно регулярных локально GQ (t, t) графов с fi-подграфами, изоморфными Kt+i, t+i для t = 1 (Г — частное графа Джонсона J (10,5)j, t = 2 (Г — единственный локально GQ (2,2) граф с параметрами (28,15,6,10)) и t = 3 (Г- — граф) ранга 3 для группы ¼(2) с параметрами (176,40,12,8)).

Во второй главе работы рассматривается реберно регулярный граф с параметрами (v, k, X). В монографии А. Броувера, А. Коэна и А. Ноймайера [11] доказано, что связный реберно регулярный граф с b = 1 является многоугольником или полным многодольпым с долями порядка 2. А.А. Махне-^ вым в [G] получено описание реберно регулярных графов с &i < 3, а также.

Ь = 4, к > 10. В данной главе классифицированы связные реберно регулярные графы с &i = 5 с одним из дополнительных условий: граф сильно регулярен или к > 14.

Через Ф обозначим граф, множество вершин которого разбивается тремя //-замкнутыми /^4Х2 подграфами Фх, Фг и Фз, у которого смежные вершины с, d из Фз смежны с вершинами <2i,., а из Ф и с вершинами 6i, 64 из Ф2, а смежные вершины е, / из Ф3 — {с, d, с*, d*} смежны с вершинами а, 2, а3, а ф и с вершинами 61,62,63, 64, где для х? Фгвершина х* является антиподом х в Фг, можно считать, что, а смежна с 61,63,62,64, а2 смежна с 62,64,61,63, <23 смежна с 61,63,64, а4 смежна с 6|, 62,63,64.

Если О — граф диаметра, большего 2, то 0,2 ~ граф на множестве вершин графа О, в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда они находятся на расстоянии 2 в О.

Основным результатом второй главы является.

Теорема 2 Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами ф (г-, к, A) u Ь = 5. Тогда выполняются следующие утверо/сдения:

1) если Г сильно регулярен, то он является одним из следующих графов: полный многодольный граф Кгхв (г > 2), 6 X б решетка, граф Шлефыи, треугольный граф Т (8) или один из трех графов Чанга;

2) если к > 14, то либо Г сильно регулярен, либо верно одно из утверждений: г) граф) Г изоморфен граф) у Фгг) Г является графюм 0,2, ?<дс О — граф) Клейна (единственный дистаициоиио регулярный локально семиугольный граф диаметра 3 па 24 вершинах, являющийся 3-накрытием 8-клики).

В третьей главе работы выясняются возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярных графов с (A,/i) = (2,3). Если Г — граф в половинном случае, то он имеет параметры (13,6,2,3) и Г является графом Пэли. Используя равенство (А — /л)2 + А (к — //) = п2 при, А = 2, получим п2 = Ак + ц2 — 8/х + 4. Если /i четно, то /х = 2t и п2 = 4(к + t2 — At + 1). Если же // нечетно, то fi2 и п2 сравнимы с 1 по модулю 8, поэтому к нечетно. В случае fi = 3 имеем, что п2 = Ак — 11, поэтому п = 2и + 1, к = и2 и + 3 и неглавные собственные значения графа Г равны и и — (и + 1). Кратность собственного значения и равна / = ик (к + и-{-1)/(пц) = и (и2 + w + 3)(w2 + 2w + 4)/(6u + 3), следовательно, 2и + 1 делит 11 • 13 и и = 5,6 или 71. Соответственно, & = 33,45 или 5187. Случай к = 33 рассмотрен в третьей главе, к = 45 — в четвертой. Хорошо известно (предложение 1.1.2 из [11]), что сильный граф с /х > 2 регулярен. Поэтому связные компоненты непустых подграфов неподвижных точек автоморфизмов нечетного порядка сильно регулярного графа с шах{А,//} < 2 либо являются кликами, либо сильно регулярны с этими же параметрами. Автоморфизмы графов Мура, т. е. сильно регулярных графов с параметрами (i>, fc, 0,1), изучались в [9]. Автоморфизмы сильно регулярных графов с ц = 2 и A G {0,1} рассматривались в [7], [5]. В первом параграфе третьей главы приведены вспомогательные леммы, во втором — изложен метод Г. Хигмана работы с автоморфизмами сильно регулярных графов [14].

Через F’ix (g) обозначим подграф индуцированный на множестве вершин графа Г, неподвижных относительно автоморфизма д.

В третьем параграфе теоретико-графовымй методами выясняются возможные порядки и строение подграфов неподвижных точек автоморфизмов графа с параметрами (364,33,2,3). Затем, с иомош, ыо теории характеров коночных групп полученные результаты существенно уточняются. Автоморфизмы этого графа изучались в [43].

Основными результатами третьей главы являются следующие теорема и следствие.

Теорема 3 Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами.

364,33,2,3), д — элемент простого порядкар из Aut® uQ = Fix ((/). Тогда выполняется одно из следующих утверэ/сдений:

1) р = 7 или 13'м Q — пустой граф);

2) р = 11 и Q является 1 -кликой или р = 5 и Q является 4-кликой;

3) р = 3 и либо Q является графом Поли с параметрами (13,6,2,3), либо Q является объединением изолированных вершин и ф < 3 изолированных А-клик, число ip + ф сравнимо с 1 по модулю 3 и не превосходит 22;

4) р = 2 и либо |Г2(а) П 0(6)| = 3 для некоторых несмеэ/спых вершин a, b? О, либо Q является одним из графов: г) 2-клика, гг) граф) Петерсепа, ггг) Q С а1 для некоторой вершины a, Q (а) является объединением /3 изолированных вершин и 7 треугольников, где (3 + 7 четно.

Из теоремы 3 следует, что для группы G автоморфизмов графа Г множество 7r (G) всех простых делителей G содержится в {2,3,5,7,11,13}.

Следствие 2 Пусть Г — точечный граф частпичного четырехугольника PQ{3,10,3), g — элемент простого порядка р из Aut® и Г2 = Fix^). Тогда выполняется одно из следующих утверэ/сдепий:

1) р = 7 или 13 и Q — пустой граф;

2) р = 11 и Q является I-кликой или р = 5 и Q является А-кликой;

3) р = 3 и Q является объединением ср изолированных вершин и ф изолированных А-клик, причем ( , ф) = (1,3), (2,2), (0,1), (3,1), (6,1), (10,0) или.

7,0);

4) р = 2 и либо |Г2(а)П^(6)| = 3 для некоторых несмежных вершин а, Ь € Q, либо С а1-, для некоторой вершины a, Q (a) является объединением (3 изолированны, х вершин и 7 треугольников, где (/?, 7) = (0,11), (3,6), (0,3) или (11,0).

В четвертой главе с помощью теории характеров конечных групп выяснены возможные порядки и строение подграфов неподвижных точек автоморфизмов графа Г с параметрами (676,45,2,3). Автоморфизмы этого графа изучались в [44].

Основными результатами четвертой главы являются следующие теорема и следствие.

Теорема 4 Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (676,45,2,3), g — элемент простого порядка р из Aut® и, А = Fix (#). Тогда выполняется одно из следующих утверо/сдений:

1) Д — пустой граф, р = 2 или 13, в случае р = 2 граф Г", вершинами которого являются д-допустимые 4-клики из Г, причем вершины X, Y смеэюпы в Г', сели некоторая вершина из X смежна с вершиной из Y, является сильно регулярным с параметрами (169,42,5,12);

2) А является либо 1-кликой и р = 5, либо 4-кликой и р = 7;

3) р = 13 и, А — граф Поли с параметрами (13,6,2,3);

4) р = 3, А является объединением, а изолированных вершин, /3 изолированных 4-клик и 7 графов Пэли с параметрами (13,6,2,3), число |Д| сравнимо с 1 по модулю 3 и верно одно из утверэюдеиий:

0 7 = «= 2, /3 = 0, и) 7 = 1, а + 4/3 делится па 3 и не превосходит 18,.

Иг) 7 = 0, а + 4/3 делится на 3 и не превосходит 21;

5) р = 2 и |Д (а) П А (Ь) = 3 для некоторых несмеэюиых вершин а, Ъ? А, либо, А является одним из графов: г) граф Петерсена,.

И) А С а1 для некоторой вершины a, A (a) codepoicum (р изолированных вершин и ф треугольников,.

Иг) А является графом MZ (4).

Из теоремы 4 следует, что для группы G автоморфизмов графа Г множество 7r (G) содержится в {2,3,5, 7,13}.

Следствие 3 Пусть Г — точечный граф частичного четырехугольника PQ (3,14,3), g — элемент простого порядка р из Aut® и ?2 = Fix (g). Тогда выполняется одно из следующих утверэюдеиий:

1) р = 2 и либо г) А — пустой граф, либо.

И) |А (а) П А (6)| = 3 для некоторых несмеэюпых вершин a, b? А, либо (Hi) А С а1 для некоторой вершины а, А (а) является объединением <р изолированных вершин и ф треугольников, ((р, ф) = (4,3) или (13,0);

2) р = 3, А является объединением, а изолированных вершин и fi изолированных 4-клик, где, а + 4/? < 19 и в случае равенства имеем /3 = 0;

3) р — 5 и, А является 1 -кликой;

4) р = 7 и, А является А-кликой;

5) р = 13 и, А — пустой граф.

1. Махнсн, А. А. Локально GQ (3,5)-rpa (l)bi и геометрии с короткими прямыми/ А.А. Махнев// Дискретная матем.- 1998. Т.10, № 2. С.72−86.

2. Махнев, А.А. О расширениях частичных геометрий, содержащих малые //-подграфы/ А.А. Махнев// Дискр. анализ и исслед. операций.- 1996.-Т.З, т.- С.71−83.

3. Махнев, А. А. Об одном классе реберно регулярных графов/ А. А. Махнев, И.М. Мипакова// Известия Гомельского гос. ун-та 2000. Т.З.- С.145−154.

4. Махнев, А. А. Об автоморфизмах сильно регулярных графов с, А = О, ц = 2/ А. А. Махнев, В.В. Носов// Мат. сб.- 2004. Т.185, ЖЗ.- С.47−68.

5. Махнев, А. А. Расширения GQ (4,2), вполне регулярный случай/ А. А. Махнев, Д.В. Падучих// Дискретная матем.- 2001. Т.13, № 3. С.91−109.

6. Махнев, А. А. Об автоморфизмах графа Ашбахера/ А. А. Махнев, Д.В. Падучих// Алгебра и логика.- 2001. Т.40, №.- С.125−134.

7. Blokhuis, A. On locally 4-by-4 grid graphs/ A. Blokhuis, A.E. Brouwer// J. Graph Theory.- 1989. V.13, №.- P.229−244.

8. Brouwer, A.E. Distance-regular graphs/ A.E. Brouwer, A.M. Cohen, A. Neumaier// Berlin etc: Springer-Verlag.- 1989. 495 c.

9. Brouwer, A.E. Block designs/ A.E. Brouwer, H.A. Willbrink// Handbook of incidence geometry: buildings and foundations/ F. Buekenhout. Elsever Science. Amsterdam.- 1995. P.349−383.

10. Brouwer, A.E. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra/ A.E. Brouwer, W.H. Haemers// Europ. J. Comb.- 1993. Vol.14. P.397−407.

11. Buekenhout, F. Foundations of incidence geometry/ F. Buekenhout// Handbook of incidence geometry: buildings and foundations/ F. Buekenhout. Elsever Science. Amsterdam.- 1995. P.63−107.

12. Buekenhout, F. Finite diagram geometries extending buildings/ F. Buekenhout, P. Pasini// Handbook of incidence geometry: buildings and foundations/ F. Buekenhout.— Elsever Science. Amsterdam.- 1995. P. 11 431 255.

13. Cameron, P. Permutation Groups/ P. Cameron.- London Math. Soc. Student Texts 45.: Cambridge Univ. Press, 1999.17| Cameron, P. Extended generalized quadrangles/ P. Cameron, D.R. Hughes, A. Pasini// Gcom. Dcdic.- 1990. V.35. P.193−228.

14. Chang, L.C. The uniqueness and nommiqueness of triangular association schemes/ L.C. Chang// Sci. Record.- 1949. Vol.3. P.604−613.

15. Chang, L.C. Association schemes of partially balanced block designs with parameters v = 28, n = 12, no = 15 and p2 = 4/ L.C. Chang// Sci. Record.-1950. Vol.4. P.12−18.

16. Damerell, R.M. On Moore graphs/Damerell R.M.- Math. Proc. Cambr. Phil. Soc.- 1973. Vol.74. P.227−236.

17. Fisher, P.A. Triangular extended generalized quadrangles/ P.A. Fisher, S.A. Hobart// Gcoin. Dedic 1991. V.37. P.339−344.

18. Higman, D.G. Finite permutation groups of rank 3/ D.G. Higman// Math. Z.- 1964. Vol.86. P.145−156.

19. Higman, D.G. Primitive rank 3 groups with a prime subdegree/ D.G. Higman// Math. Z.- 1966. Vol.91. P.70−86.

20. Higman, D.G. Intersection inatricies for finite permutation groups/ D.G. Higman// J. Algebra.- 1967. Vol.6. P.22−42.

21. Higman, D.G. On finite affine planes of rank 3/ D.G. Higman// Math. Z.-1968. Vol.104. P. 147−149.

22. Higman, D.G. A survey of some questions and resalts about rank 3 permutation groups/ D.G. Higman// Actes, Cjngres Int. Math. Rome.-1970.-Vol.l.- P.361−365.

23. Higman, D.G. Characterization of families of rank 3 permutation groups by the subdegrees I, II/ D.G. Higman// Artli. Math.- 1970. Vol.21. P.151−156- 353−361.

24. Higman, D.G. Coherent configurations/ D.G. Higman// Rend. Sem. Mat.Univ. Padova.- 1970. Vol.44. P. l-26.

25. Hoffman, A.J. On the uniqueness of the triangular association scheme/ A.J. Hoffman// Ann. Math. Stat.- I960. Vol.31. P.492−497.

26. Hoffman, A.J. On the exceptioal case in a characterization of the arcs of complete graphs/A. J. Hoffman// IBM J. Res. Develop.- I960. Vol.4. P.487−496.

27. Makhnev, A.A. On strongly regular locally GQ (4,t) graphs/ A.A. Makhnev// Intern. Conf. Combinatorica 2002. Maratea (Potenza). Abstracts. P.69−70.

28. Numata, M. On a characterization of a class of regular graphs/ M. Numata// Osaka J. Math.- 1974. Vol.11. P.389−400.

29. Seidel, J.J. Strongly regular graphs with (-1,1,0) adjacency matrix having eigenvalue 3/ J.J. Seidel// Linear Algebra and Appl.- 1968. Vol.1. P.281−298.

30. Shrickhande, S.S. The uniqueness of the association scheme/ S.S. Shrickhande// Ann. Math. Stat.- 1959. Vol.30. P.781−798.

31. Tits, J. Buildings of Spherical Type and finite BN-pairs/ J. Tits// Springer Lecture Notes in Mathematics.- Vol.386.Работы автора по теме диссертации.

32. Казарина, В.И. О реберно регулярных графах с Ъ = 5/ В. И. Казарииа, А.А. Махнев// Тезисы «Алгебра, Логика и Кибернетика». Материалы межд. конф., посвященной 75-летию со дня рожд. проф. А.И. Кокори-на. Иркутск, 2004. С.159−161.

33. Казарипа, В.И. О локально GQ (s, t) графах с сильно регулярными /г-иодграфами/ В. И. Казарина, А.А. Махнев// Алгебра и анализ, 2005.-Т.17. С.93−106.

34. Казарина, В. И. Об автоморфизмах сильно регулярных графов с, А = 2, /г = 3/ В. И. Казарина, А.А.Махнев// Труды 36-й молодежной копф. Екатеринбург, 2005. С.35−36.

35. Казарина, В. И. Об автоморфизмах частичного четырехугольника PQ (3,10,3)/ В. И. Казарина, А.А. Махнев// Международная алгебраическая конференция, поев. 100-летию со дня рожд. П. Г. Канторовича и 70-летию JI.H. Шеврина. Екатеринбург, 2005. С.180−181.

36. Казарина, В. И. Об автоморфизмах сильно регулярных графов с Л = 2,/i = 3/ В. И. Казарина, А.А. Махнев// Екатеринбург: Вестник УГТУ-УПИ, 2005. № 17(69).- С.174−194.

37. Казарина, В. И. Об автоморфизмах сильно регулярных графов с, А = 2,/л = 3, II/ В.И. Казарина// Сибирские электронные математические известия.- 2005. Т.З.- С.1−14.

38. Казарина, В. И. Об автоморфизмах частичного четырехугольника PQ (3,14,3)/ В.И. Казарина// Труды 37-й молодежной конф. Екатеринбург.- 2006. С.36−42.