Симметричные пространства Максвелла и первые интегралы системы уравнений Лоренца

Одной из важных задач исследования систем дифференциальных уравнений является задача получения первых интегралов, т. е. таких функций зависимых и независимых переменных (и их производных строго меньшего порядка, чем порядок системы), которые постоянны вдоль интегральных линий. Зачастую именно первые интегралы несут больше информации об изучаемой системе, чем решения, так как имеют глубокий физический смысл. В физике первые интегралы называют законами сохранения, а в случае уравнений движения — еще интегралами движения. С математической точки зрения знание первых интегралов ведет к частичному интегрированию системы уравнений, с физической же — к сокращению числа неизвестных параметров, т. е. к более полному представлению о ее движении.

Связь теории дифференциальных уравнений с другими математическими науками послужила источником развития множества новых направлений и методов в современной математике, таких, как групповой анализ дифференциальных уравнений [29], [15], [30], [54], алгебраические и геометрические методы исследования дифференциальных уравнений и многих других. Исключительно плодотворной оказалась идея о наличии связи между симметриями функционалов в вариационных задачах и существованием первых интегралов уравнений Эйлера-Лагранжа, реализованная в теоремах Нётер и Бессель-Хагена [8, 60, 57].

Уравнения Лоренца (см. [25]) = ^ + р, у? ик = — о" ик ик = — т описывающие движение пробной заряженной частицы в электромагнитном полеР¹, играют важную роль при исследовании структуры этого поля. Расчеты многих физических эффектов основаны на использовании уравнений Лоренца [52], поэтому они до сих пор не потеряли своей актуальности. Уравнения (1) могут быть получены как уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала.

3[х] = ! — (2) действия для частицы с массой т и зарядом е в электромагнитном поле с 4-потенциалом АРц = дгА^ — д^А^.

1 Возможно, при наличии гравитации, описываемой метрическим тензором (д%:>) = (д^) г) к = 29г1(^91к + дкдц — д1дк]) — связность Леви-Чивиты. 3.

Известно, что частица, помещенная в электромагнитное поле, не характеризуется, вообще говоря, никакими сохраняющимися механическими величинами [55, 56]. Другими словами, уравнения (1) в общем случае не имеют первых интегралов. Поэтому поля для которых уравнения Лоренца имеют первые интегралы, представляют особый интерес. В 1981 г. М. А. Паринов предложил метод получения первых интегралов уравнений Лоренца, основанный на понимании электромагнитного поля как симплектической структуры на 4-мерном многообразии пространства-времени [32, 18, 40] и применения теоремы Э. Нётер [60]. Этот метод позволяет в случае нетривиальной группы симметрий эффективно получить все интегралы уравнений Лоренца, существование которых следует из теоремы Е. Бессель-Хагена [57]. Полученные результаты описаны в работах [1, 2, 5, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 31, 36, 39, 59, 40, 51]. В дальнейшем этот метод был обобщен [38, 40] на более широкий класс систем дифференциальных уравнений — обобщенных уравнений Лоренца (см. с. 41).

В связи с задачей получения первых интегралов системы уравнений Лоренца М. А. Паринов ввел понятие пространства Максвелла [37, 40], представляющее собой тройку (М, где М — гладкое 4-мерное многообразие, д = д^ Ахг (1×3 — псевдоевклидова метрика лореицевой сигнатуры (——ь) на М, = Л.

— замкнутая внешняя дифференциальная 2-форма на М. Классификация пространств Максвелла по подгруппам группы Пуанкаре описана в работах [3, 6, 23, 26, 27, 28, 45] и в окончательной форме в работах [40, 41, 44]. Изучение симметрий пространств Максвелла, а также их применение к уравнениям Лоренца привело к понятиям нётерова пространства Максвелла [21] и фактора Бессель-Хагена для подгруппы группы Пуанкаре [22].

В данной диссертационной работе, состоящей из трех глав, продолжено изучение свойств симметричных пространств Максвелла и их применение к получению первых интегралов системы уравнений Лоренца.

Первая глава является реферетивной. В ней приведены исходные понятия и факты, сформулированы определения основных структур на многообразиях, введены понятия пространств Максвелла и Эйнштейна-Максвелла, отмечены их некоторые свойства. Описана суть классификации пространств Максвелла и потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре.

Во второй главе предложена модификация алгоритма Паринова получения первых интегралов уравнений Лоренца с использованием классификации потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре [43] и классификации пространств Максвелла по подгруппам группы Пуанкаре [40, 41, 44]. В качестве примеров найдены первые интегралы для пространств Максвелла с нулевым током [48] следующих классов: И^д, Жб. б и И^вэти интегралы описаны в работе автора [9].

В третьей главе получены условия нётеровости для некоторых классов пространств Максвелла и найдены факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре. Эти результаты описаны в работах автора [10, 11, 12, 13].

Заключение

.

Целью автора в данной работе явилось изучение некоторых свойств симметричных пространств Максвелла и их применение для получения первых интегралов системы уравнений Лоренца. Результаты данных исследований заключаются в следующем.

• Предложена модификация алгоритма Паринова (см. гл. 2, разд. 3.4) получения первых интегралов уравнений Лоренца с использованием классификации потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре.

• Сформулирована и доказана теорема [см. гл. 3, разд. 2], которая означает, что в случае общего положения пространство Максвелла с одномерной группой симметрий является нётеровым.

• Получены условия нётеровости для некоторых классов пространств Максвелла, допускающих 3-мерные подгруппы группы Пуанкаре [см. гл. 3, разд. 3].

• Найдены факторы Бессель-Хагена для групп Сзда, (731Ь, с, С*з?ь, С3,3, 6*35, С3, ба и в^ь [см. гл. 3, разд. 4].

• Найдены факторы Бессель-Хагена для пространств Максвелла классов 64,2, С4, 3а 5 с4 1ЗЬ) С4,8а, С4,10,С74,11)С74,12а)С4114а [смгл- 3, рЯЗД. 4).

• В качестве примеров найдены первые интегралы для пространств Максвелла с нулевым током следующих классов:

Класс Жм [см. формулы (2.4.6), (2.4.14) ,(2.4.10), (2.4.22)];

Класс 1?515 [см. формулы (2.5.5), (2.5.10), (2.5.11), (2.5.19)];

Класс 1⁶, 5 [см. формулы (2.6.5), (2.6.11)];

Класс Yefi |см. формулы (2.7.5)].

Полученные результаты докладывались и обсуждались на международных конференциях и семинарах по дифференциальным уравнениям, а также были опубликованы в 5 работах автора [9]-[13]. Статьи |12] и [13] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.

В заключение следует отметить, что основные результаты данной работы могут найти применение в теории дифференциальных уравнений, в теоретической и математической физике, а также в дифференциальной геометрии.