Формула Стирленга

Пример 3Приближено вычислить, если велико. Решение. Оценим выражение, где 1,, тогда ., где, тогда. Значит, .Ответ: .Пример 4Вывести асимптотическую формулу для произведения.Решение. Преобразуем это произведение

ИспользуяформулуСтирлинга, получим:(2n — 1)!! =. Оценим выражение, где, , или, тогда или. Обозначив через выражение, получим окончательный ответ. Ответ:, где. Пример 5Найти приближенно Решение.

Представим число в виде, тогда, используя выведенную выше формулу, придем к следующему: Представим в виде: .Далее получим. Как известно, при, таким образом, справедливо следующее приближенное равенство: .Ответ: .Пример 6 Приближено вычислить. Решение. Используем формулу Стирлинга и формулу:.Оценим выражение:, или, тогда. , где. Таким образом, получим, что Ответ:, где. Пример 7Приближено вычислить. Решение.

Найдем данный интеграл для любого натурального четного, интегрируя по частям:, тогда ,. То есть, откуда выразим: ;.С помощью данной рекуррентной формулы легко получить окончательный результат для любого натурального. Пусть, тогда:, то есть. Пусть, n = 200, тогда, k = 100 получим. Используя выведенную выше формулу, получим. Оценим выражение:, тогда. Таким образом,, где. Ответ:, где. Пример 8Приближено вычислить. Решение

Найдем значение данного интеграла для любого четного натурального:. Полагая,, а, получим:. В силу того, что, получаем, считая, , следующее: .Интегрируем по частям, обозначив, , .Значит, .То есть получим, что, откуда выразим: или .С помощью данной рекуррентной формулы легко получить окончательный результат для любого натурального. Так как, то .В результате придем к следующему ответу: При, получим: .Оценим выражение: , или. Значит, где. Здесь была использована формула при. Ответ:, .Заключение

Таким образом, формула Стирлинга играет большую роль в разных областях математики, особенно, в комбинаторике, так как позволяет получить асимптотическую оценку факториала. Относительная ошибка при вычислении меньше и, таким образом, стремится к нулю при неограниченном возрастании БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОКЕрусалимский Я. М. Дискретная математика: теория, задачи, приложение Изд. 2-е / Я. М. Ерусалимский. — М.: Вузовская книга, 2009

Куликов Л. Я. Сборник задач на алгебре и теории чисел. Изд. 2-е / Л. Я. Куликов, А. И. Москаленко, А. А. Фомин. — М.: Просвещение, 2011

Нефедов В. Н. Курс дискретной математики Изд. 2-е / В. Н. Нефедов, В. А. Осипова. — М.: Изд-во МАИ, 2011

Пономарев В. Ф. Математические методы и модели в обработке информации и управлении. Методические разработки по разделу «Формальные системы» / В. Ф. Пономарев. — Калининград: КГТУ, 2010

Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗыИзд. 15-е / под ред. Сканави М. И. — М.: Высшая школа, 2010

Яблонский С.В.

Введение

в дискретную математику Изд. 4-е / С. В. Яблонский. — М.: Наука, 2010.