Решение некоторых совмещенных обратных задач геофизики

Диссертационная работа посвящена разработке инструментария и методологии вычислительного эксперимента в решении обратных задач геофизики. При постановке вычислительного эксперимента и при разработке соответствующего инструментария используются материалы натурных наблюдений и аналитических математических исследований. Методология вычислительного эксперимента опирается на современные информационные технологии, предусматривающие использование адекватных математических моделей изучаемых явлений, эффективных вычислительных алгоритмов и, что самое главное, на принципы создания проблемно-ориентированных программных комплексов, характеризующихся интегрированностью информационных, моделирующих и интерфейсных компонент, обеспечивающих, в свою очередь возможность эксплуатации систем в различных программных средах.

Содержание диссертационной работы определяется исследованиями автора, проведенными в 1994;1999 годах и связанными с изучением различных аспектов, возникающих при решении обратных задач геофизики в совмещенных постановках. Излагаемые в диссертации результаты, в силу универсальности математических моделей и методологических подходов могут быть применены в широком кругу задач физики Земли, однако основным объектом исследований и приложений являются волновые процессы в земной коре.

Актуальность темы

и востребованность результатов работы связана со следующим рядом обстоятельств. Во-первых, в последние годы существенно возросли потребности в качественном определении структуры строения земной коры, что обусловлено возросшими потребностями, как в разработке новых месторождений полезных ископаемых, так и в более рациональном использовании уже существующих. Во-вторых, в анализ статистических данных о характере сейсмической активности за последние десятилетия выявляет тенденцию к существенному росту, что, учитывая все возрастающее количество объектов повышенной опасности (гидротехнические сооружения, химические заводы, атомные электростанции, хранилища отходов и др.), не может не вызывать вполне обусловленного беспокойства. Противостоять данным тенденциям можно только основываясь на создании интегрированных систем, настроенных на специфические региональные особенности районов и предназначенных для прогнозирования катастроф путем постоянного мониторинга очаговых зон и отслеживания динамики изменения параметров, свидетельствующих о происходящих в земной коре изменениях.

Научная новизна заключается в разработке инструментария вычислительного эксперимента для решения основных задач, включающего систему математического моделирования различных волновых полей и алгоритмов разрешения соответствующих им обратных задач, установлении индивидуальных свойств математических моделей и алгоритмов, определении области их применения в зависимости от параметров изучаемых процессов.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования ее основных результатов при решении ряда более сложных прикладных задач геофизики.

За последние годы геофизические методы исследования в геофизической разведке и в глобальной геофизике получили существенное развитие. Это произошло как за счет успехов в теории и численных методах решения прямых и обратных задач геофизики, так и благодаря возросшим возможностям вычислительной техники, прогрессу телекоммуникационных средств и цифровых автоматизированных методов обработки геофизических данных. Эти достижения дают возможность проводить интерпретацию данных путем интерактивного взаимодействия во всей совокупностью геофизических данных, полученных разными геофизическими методами для изучаемого района. Тем самым реализуется возможность изучать широкую гамму петрофизических свойств объекта с помощью различных геофизических методов.

Однако, поскольку данные, получаемые с помощью этих методов, являются результатами наблюдений, они осложнены погрешностями и могут оказаться несовместимыми с решаемой обратной задачей. В этом случае решение обратной задачи может не существовать в классе отыскиваемых моделей даже при сколь угодно сложном и произвольном распределении петрофизических свойств среды. С другой стороны, при практической интерпретации решение обратной задачи ищется в классе достаточно простых моделей среды, которые в лучшем случае лишь приближенно описывают реальную ситуацию. В силу обеих этих причин находят, как правило, не точное решение обратной задачи, а так называемое квазирешение, т. е. такое распределение петрофизических свойств в пределах некоторого выбранного класса М моделей среды, которое в каком-либо смысле наилучшим образом соответствует исходным данным [1].

Обратные задачи, как правило, неустойчивы. Неустойчивость проявляется в известном принципе эквивалентности, монотонном уменьшении разрешающей способности в отношении деталей разреза при их удалении от возбудителя поля и точки его измерения, ограниченности глубины исследований и т. д. Устойчивость практически получаемых квазирешений обратных задач достигается применением различных средств регуляризации: сведением задачи к конечно параметрической с ограниченным диапазоном изменения каждого из параметров (например, палеточная интерпретация), введением стабилизирующих функционалов и т. д. Эффективность регуляризации всегда определяется тем, какую априорную информацию о возможном решении и о шумах, осложняющих исходные данные, и в каком объеме удается использовать при решении задачи.

Однако при изучении района с использованием различных геофизических методов появляется возможность использовать несколько геофизических полей в комплексе. Исследование обратных задач в совмещенных постановках, по всей видимости, началось с середины 50-х годов. Интерес к этой тематике со стороны геофизики был обусловлен появлением возможности с помощью ЭВМ совместно анализировать разнообразные геофизические поля при изучении строения Земли не только на качественном уровне, но и на количественном. Так, в работе Голиздры Г. Я. [2] в 1975 году были развиты алгоритмы совместной обработки результатов измерения гравитационного и сейсмического полей (в кинематическом приближении) с использованием альтернирующих процедур вычисления параметров слоисто-однородных моделей среды. Близок к этому и метод Лайнса Л., Шульца А., Трейтеля С. [3] численного одновременного обращения нескольких методов с помощью оптимизации функционала суммарной квадратичной невязки между расчетными и измеренными полями. Необходимо так же отметить работы [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10] имеющие существенное математическое и математико-методологическое значение. Выяснилось, что по своей сути обратные задачи в совмещенных постановках дают возможность более успешного решения, чем исследование каждой из обратных задач по отдельности с последующим учетом полученных данных для составления общей картины изучаемой среды. Данное свойство, которое было названо Алексеевым A.C. в работе [11] свойством дополнительности (там же было дано математическое определение совмещенной обратной задачи и показана ее неэквивалентность простой совокупности индивидуальных задач), состоит в том, что при неединственности и неустойчивости решений отдельных обратных геофизических задач решение совмещенной задачи может быть единственным и устойчивым. При этом отдельные методы как бы помогают процессу решения общей задачи своими информационными ресурсами.

Фундаментальные вопросы корректности постановки обратных задач геофизики (существования, единственности и устойчивости их решения) в настоящее время изучены для отдельных методов: для гравитационногоНовиковым П.С. [12], для электрического — Тихоновым А. Н. [13], для потенциальных полей — Лаврентьевым М. М. [14], для нестационарных сейсмических полей — Алексеевым A.C. [15], для нестационарных геоэлектрических полей — Романовым В. Г. [16].

При численном решении и исследовании динамических обратных задач использовались различные методы: метод Ньютона-Канторовича, метод линеаризации, динамический метод Гельфанда-Левитана, метод обращения разностной схемы. Однако в целом данные методы нельзя назвать особенно удовлетворительными, так как все методы требуют незашумленных начальных данных и отличаются низкой численной устойчивостью. К настоящему времени наиболее удовлетворительные результаты при численном решении обратных задач были получены методом минимизации целевого функционала невязки наблюденных и рассчитанных данных. Отметим здесь работу [3], где было проведено численное исследование возможности восстановления строения среды по известным на поверхности данным волнового поля и поля тяготения. При этом предполагалось, что существует функциональная связь между скоростью и плотностью. Сравнивалось два подхода: минимизация комплексного функционала, учитывающего связь между параметрами среды и последовательная минимизация целевых функционалов для каждой задачи с пересчетом параметров.

Первоначально сложилось такое направление исследований, в котором рассматривались кусочно-однородные среды [17]. Следует отметить, что, несмотря на свою простоту, вертикально-неоднородная модель среды не только позволяет изучить основные особенности процессов формирования и распространения геофизических полей, но в ряде случаев и довольно хорошо описывает реальные геофизические условия (например, наличие слоистого осадочного чехла). В то же время, при ее использовании уже возникают основные математические проблемы, без решения которых невозможен переход к рассмотрению более реалистичных моделей (сред с поглощением, анизотропией, многомерно-неоднородных сред и т. д.).

В настоящей диссертации рассматривалась совмещенная обратная задача в следующей постановке: для т различных геофизических методов, описываемых уравнениями.

ЦгМ=ДхЛ Ё = 1. т (где х = [х1,х2,хг], У 1{х)-у{х), 71{х),—-^/к,'{х) — вектор, описывающий физические (плотность, электрическое сопротивление и т. д.) и геометрические характеристики среды (параметры поверхности раздела областей, заполненных средами с разными физическими параметрами)) — имеем граничные условия на поверхности области? и начальные данные (обычно нулевые):

М |к0-О, 1 = 1., т.

Требуется по начальной информации где £/°(х,/) известны из измерений, определить вектор-функцию /¡-(х).

Необходимо отметить весьма важное свойство совмещенной обратной задачи [8] - она, вообще говоря, не эквивалентна совокупности т отдельных (самостоятельных) задач. В самом деле, если обладает единственностью решения каждая 7-ая отдельная задача, то и совмещенная обратная задача обладает свойством единственности решения (состоящего из совокупности решений у,(х) всех отдельных задач). Однако обратное утверждение, вообще говоря, неверноесли некоторые из геометрических характеристик области для разных методов совпадают, то у совмещенной обратной задачи оказывается меньше «степеней свободы», и ее решение может быть единственным, даже если в одной из отдельных задач функция не может быть однозначно определена.

Подобный же факт наблюдается и в том случае, если между различными физическими свойствами 7 ,{х) рассматриваемой области имеются статистические связи типа корреляционных [18].

Настоящая диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 93 страницу, в том числе иллюстрации на 18 страницах.

Список литературы

содержит 64 наименования.

Основные результаты данной работы: разработан подход к решению совмещенной обратной задачи сейсмики и геоэлектрики в классе вертикально-неоднородных сред на основе минимизации целевого функционала квадратичной невязки зарегистрированных и рассчитанных данных, причем форма импульса в падающей волне в задаче сейсмики предполагается неизвестной. Предложен эффективный способ реализации итерационного процесса минимизации комплексного целевого функционала с учетом овражности каждого из отдельных функционалов;

— реализована методика оптимизационного подхода к решению совмещенной обратной задачи геоэлектромагнитоупругости с одновременным восстановлением формы импульса в падающей волне. предложен и реализован подход к обработке данных мониторинга электромагнитных предвестников землетрясений с целью восстановления динамики по времени некоторых характеристик среды в регионах наблюдения, что дает возможность, несмотря на характер данных, приспособленных к статистическому анализу, оценивать некоторые параметры среды, связанные с развитием трещиноватостиразработаны пакеты программного обеспечения, позволяющие производить соответствующие расчеты как в пакетном, так и в интерактивном режимах, визуализировать волновые поля и восстанавливаемые параметрыварьировать по мере необходимости детали постановки прямых задач в зависимости от качества восстановления параметров.

Полученные результаты позволяют надеяться на то, что комплексный подход к обработке данных мониторинга геофизического региона, полученных различными методами, даст возможность детализировать строение среды как в пределах чувствительности отдельного метода, так и для больших глубин, при условии, что из некоторых дополнительных источников (результаты обработки других геофизических наблюдений, соображений общего геологического характера и др.) априорно известны коэффициенты корреляции между параметрами среды (возможно с некоторыми отклонениями от общего уровня).

Примененная в работе техника численного решения обратных задач на основе оптимизационного подхода с использованием значительного количества «пробных» прямых задач дает возможность в рамках единой программно-математической системы проводить вычислительные эксперименты с варьирующимися постановками прямых и обратных задач. Можно говорить о численном методе реализации замкнутой технологии математического моделирования геофизических полей, описывающихся заданной математической моделью. Такого типа технологии целесообразно реализовать для возможно более общих моделей сред (анизотропных, многомерных, пористых и т. д.).

Заключение

.