Аппроксимационные свойства триангуляций поверхностей

По своей тематике данная диссертационная работа выполнена на стыке нескольких разделов анализа. Главным вопросом исследования является вопрос об оценках степени аппроксимации производных гладких функций, заданных на поверхности, производными кусочно-линейных функций. Данная тематика тесно связана как с теорией расчётных сеток, так и с вопросами анализа, берущими своё начало от классического примера Карла Шварца (1890, [12]). Основным объектом исследования являются триангуляции поверхностей.

Различные разбиения и, в частности, триангуляции часто используются в задачах численного моделирования для построения расчётных сеток. Во многих случаях расчётные сетки применяются для построения аппроксимации некоторой известной функции. В этом случае встаёт вопрос о точности построенной оценки, а также об устойчивости используемой разностной схемы. Например, в работах С. К. Годунова и Г. П. Прокопова ([14], [15]) нерегулярные сетки используются для аппроксимации первых производных в составе эллиптических дифференциальных уравнений Лапласа, а также формулируются условия, которым должна удовлетворять сетка для обеспечения устойчивости результата численного моделирования. В более поздней работе С. К. Годунова, В. Т. Жукова, О. Б. Феодоритовой [16] нерегулярные сетки применяются для расчёта инвариантных подпространств для симметрических гиперболических систем.

Однако первым заметным результатом, характеризующим зависимость качества приближения от способа построения разбиения стоит признать классический пример Карла Шварца (1890, [12]), известный также как «сапог Шварца». Он представляет собой семейство приближений кругового з цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей. Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволила увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.

На самом деле геометрические параметры нерегулярной сетки оказывают непосредственное влияние на качество аппроксимации, вплоть до наличия/отсутствия сходимости. Геометрические свойства элементов нерегулярных сеток рассмаривались, например, в работах таких математиков, как S. Korotov (работа [5]), V. A. Garanzha (работа [3]), V. Т. Rajan (работа [7]) — в последней сформулирован ряд результатов, касающихся триангуляции Делоне в n-мерном евклидовом пространстве. В работе [6] авторами (Н. Pottmann, R. Krasauskas, В. Hamann, К. Joy, W. Seibold) исследуются кусочно-аффинные аппроксимации квадратичных функций в Шп и в том числе рассматривается вопрос об оптимальном приближении (с максимальными линейными участками, но при этом с приемлемой точностью) в R2 и отчасти в13. J. R. Shewchuk в работе [8] поднимает вопрос о хорошем конечном линейном элементе в I2 и в I3 с точки зрения аппроксимации градиента функции. В работе Е. А. Пабат и В. А. Клячина ([22]) исследуются свойства кусочно-линейных интерполяций поверхностей уровня функций, заданных на триангуляциях. Было показано, что для обеспечения приближения значений подойдёт любая триангуляция, однако сходимость первых производных наблюдается только для триангуляций, удовлетворяющих условию (2.5), приведённому в настоящей работе на странице 49.

При решении ряда практических задач возникает необходимость в построении триангуляций различных поверхностей. В частности, В. М. Миклюко-вым в работе [34] исследовалась проблема триангуляции локально липшице-вой поверхности. Учитывая «популярность» триангуляции Делоне естественным, казалось бы, образом возникает желание построить соответствующее обобщение на случай поверхностей. Однако, несмотря на то, что алгоритм построения триангуляций Делоне в евклидовых пространствах произвольной конечной размерности был предложен ещё в 1934 году самим Б. Н. Делоне (работа [1]), известные алгоритмы построения триангуляции поверхности предполагают построение обычной плоской триангуляции с последующим проецированием её на поверхность (см., например, работы А. В. Сквор-цова и Н. С. Мирзы ([39], [40]). Ясно, что проекция плоской триангуляции Делоне на поверхность в общем случае не будет проявлять никаких замечательных свойств, характерных для триангуляции Делоне. Таким образом, возникает задача построения триангуляции Делоне на поверхности с сохранением свойств, присущих её классическому варианту.

Основным объектом исследования данной диссертационной работы являются триангуляции поверхностей.

Цель работы — исследование сходимости градиентов кусочно-аффинной аппроксимации к градиентам исследуемых функций для триангуляций плоских, многомерных областей и поверхностей, в том числе в пространствах с неевклидовой метрикой. А именно, получение априорных оценок разности градиентов для симплексов в евклидовой метрике и метрике поверхностей, затем построение с их помощью оценок разности градиентов для триангуляций.

Методика исследования основана на построении верхних оценок модуля разности градиентов кусочно-аффинной аппроксимации и исследуемых с её помощью функций класса С1, С2 или С2'а-решений эллиптических уравнений.

Все результаты, полученые в работе, являются новыми. Выделим основные из них.

1. Априорные оценки разности градиентов в треугольнике и тетраэдре для непрерывно дифференцируемых функций в евклидовой метрике и в метрике поверхности, содержащей их вершины.

2. Оценки погрешности аппроксимации градиентов в евклидовой метрике для триангуляции Делоне плоской области и остроугольной триангуляции в пространстве.

3. Оценки погрешности аппроксимации градиентов для остроугольной триангуляции в метрике поверхности.

4. Теоремы о сходимости градиентов кусочно-аффинной аппроксимации, построенной над триангуляциями £-сетей в М&trade-, к градиентам С2-гладкой функции.

5. Обобщение условия пустого шара на случай п-мерных гиперповерхностей в (п + 1)-мерном пространстве. Оценка погрешности вычисления градиентов для триангуляций Делоне двумерных поверхностей.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в задачах, связанных с моделированием поверхностей, в частности, в геодезии и картографии, в задачах компьютерной графики (построение полигональных моделей и связанные вопросы), различных пространственных задачах, а также могут быть использованы специалистами при построении расчётных нерегулярных сеток для решения различных вычислительных задач. Материал диссертации может служить основой спецкурсов, написания курсовых, дипломных и других научных работ в высших учебных заведениях, где проводятся исследования по данной тематике.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных и российских конференциях: Девятой международной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 01 — 07 июля 2009 г.), 15-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 27 января -3 февраля 2010 г.), семинаре механико-математического факультета Томского государственного университета под руководством проф. А. В. Скворцо-ва, семинаре-совещании «Сети в анизотропных пространствах» (Волгоград, 21 -23 апреля 2011 г.), десятой международной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 30 июня — Об июля 2011 г.), 16-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 27 января — 3 февраля 2012 г.), а также на конференциях и семинарах Волгоградского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23] - [30], [43], [44].

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 92 страницах и состоит из введения, трёх глав и списка литературы. В работе используется подчинённая нумерация. При этом нумерация параграфов и формул подчинена нумерации глав, нумерация определений, лемм, теорем, следствий, утверждений — нумерации параграфов. Библиография диссертации содержит 44 наименования, включая работы автора.

1. Delaunay В. N. Sur la sphere vide. A la memoire de Georges Voronoi // Известия АН СССР. — 1934. № 6. — С. 793 — 800 / Перевод с фр. А. Ю. Игумнов в сб. Записки семинара «Сверхмедленные процессы». Вып. 1. — Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2008. — С. 147 — 153.

2. Edelsbrunner H. An Acyclicity Theorem for Cell Complexes in d Dimension. // Combinatorica. Vol. 10 (3). — Heidelberg, Germany: Springer-Verlag Berlin, 1990. C. 251 — 260.

3. Garanzha V. A. Discrete Extrinsic Curvatures and Approximation of Surfaces by Polar Polyhedra // Computational Mathematics and Mathematical Physic. Vol. 50. № 1, — Dover, DE, USA: Pleiades Publishing, Ltd., 2010.-C. 65 92.

4. Gruber P. M. Error of Asymptotic Formulae for Volume Approximation of Convex Bodies in E3 // Дискретная геометрия и геометрия чисел. Тр. МИАН, том 239. М.: Наука, 2002. — С. 106 — 117.

5. Korotov S. Some geometric results for tetrahedral finite elements. // Proceedings of the International Conference NUMGRID-2010. — M.: Фо-лиум, 2010. С. 41 — 46.

6. Pottmann H., Krasauskas R., Hamann В., Joy К., Seibold W. On Piecewise Linear Approximation of Quadratic Functions. // Journal for Geometry and Graphics. Vol. 4. № 1. — Lemgo, Germany: Heldermann Verlag, 2000. — С. 31−53.

7. Rajan V. T. Optimality of the Delaunay triangulation in Discrete Computational Geometry. Vol. 12. — New York, USA: Springer-Verlag New York, Inc., 1994. C. 189 — 202.

8. Shewchuk J. R. What is a Good Linear Element? Interpolation, Conditioning, and Quality Measures //In Proceedings, 11th International Meshing Roundtable (September 2002). — Ithaca, New York, USA: Sandia National Laboratories, 2002. C. 115 — 126.

9. Waldron S. The Error in Linear Interpolation at the Vertices of a Simplex. // SIAM Journal on Numerical Analysis. Vol. 35, № 3. — Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — C. 1191 -1200.

10. Винберг Э. Б., Шварцман О. В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, про-бл. мат. Фундам. направления. Т. 29. М.: ВИНИТИ, 1988. — С. 147 -259.

11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 5-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 559 с.

12. Гелбаум В., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. — Волгоград: Платон, 1997. 251 с.

13. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными произвоными второго порядка / Пер. с англ. Л. П. Купцова. Под ред. А. К. Гущина. Изд. 2-е. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 464 с.

14. Годунов С. К., Прокопов Г. П. О расчетах конформных отображений и построений разностных сеток // Журнал вычислительной математики и математической физики, № 7 (5). — М.: Наука, 1967. — С. 1031 1059.

15. Годунов С. К., Прокопов Г. П. О решении дифференциальных уравнений с использованием криволинейных разностных сеток / / Журнал вычислительной математики и математической физики, № 8 (1). — М.: Наука, 1968. С. 28 — 46.

16. Годунов С. К., Жуков В. Т., Феодоритова О. Б. Метод расчета инвариантных подпространств для симметрических гиперболических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики, № 46 (6). М.: Наука, 1968. — С. 1019 — 1031.

17. Грачёва Е. А., Клячин В. А. Кусочно-линейное интерполирование поверхностей уровня функций, заданных на нерегулярных сетках // Записки семинара «Сверхмедленные процессы». Вып. 3. — Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2008. С. 157 — 167.

18. Долбилин Н. П. Разбиение пространства на многогранники // Труды II Всероссийской научной школы «Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии». — Апатиты: Изд-во «К &- М», 2006. С. 7 — 18.

19. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.

20. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа.М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит, 1965. — 520 с.

21. Клячин В. А. Об одном обобщении условия Делоне // Вестник Томского государственного университета, Математика и механика, № 1 (2). — Томск: Изд-во Томского ун-та, 2008. — С. 48 50.

22. Клячин В. А., Пабат Е. А. С^-аппрроксимация поверхностей уровня функций, заданных на нерегулярных сетках // Сиб. журн. индустр. ма-тем., № 13 (2). — Новосибирск: Изд-во Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2010. С. 69 — 78.

23. Клячин В. А., Широкий А. А. Аппроксимационные свойства остроугольных триангуляций // Материалы научной сессии, г. Волгоград, 26 -30 апр. 2010 г. Вып. 6. Математика и информационные технологии. — Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2010. С. 40 — 44.

24. Клячин В. А., Широкий А. А. Аппроксимационные свойства триангуляции Делоне // Записки семинара «Сверхмедленные процессы». Вып. 5. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2010. С. 8 — 14.

25. Клячин В. А., Широкий А. А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей // Вестник Самарского государственного университета. Естественно-научная серия. № 2010 / 4 (78). — Самара: Изд-во СамГУ, 2010. С. 51 -55.

26. Клячин В. А., Широкий А. А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей // Материалы 15-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». — Саратов: Изд-во СГУ, 2010. С. 89.

27. Клячин В. А., Широкий А. А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей и её аппроксимационные свойства // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1: Математика, физика. № 12. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2009. С. 39 — 44.

28. Клячин В. А., Широкий А. А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей и её аппроксимационные свойства // Известия вузов. Математика. № 1. Казань: Изд-во КФУ, 2012. — С. 31 — 39.

29. Клячин В. А., Широкий А. А. Триангуляция Делоне с коэффициентом сжатия сфер / / XV региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, 9−12 нояб. 2010. Вып. 4. Физика и математика.- Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2011. С. 71 — 74.

30. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Том 2. / Пер. с англ. Л. В. Сабинина. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 416 с.

31. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с.

32. Медведев Н. Н. Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры некристаллических систем. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. — 214 с.

33. Миклюков В. М.

Введение

в негладкий анализ. Изд. 3, перераб. — Волгоград: изд-во ВолГУ, 2011. 480 с.

34. Широкий А. А. Применение триангуляции Делоне двумерной поверхности к примеру Шварца // Материалы 16-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». — Саратов: Изд-во СГУ, 2012. С. 200.