Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет Кафедра ТВ и матстатистики Курсовая работа

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП

Исполнитель:

Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.

Гомель 2007

• ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
• ВВЕДЕНИЕ
• 1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
• 2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• ЛИТЕРАТУРА
• Перечень условных обозначений
• В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
• Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
• и — соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
• — пустое множество;
• — множество всех для которых выполняется условие ;
• — множество всех натуральных чисел;
• — множество всех простых чисел;
• — некоторое множество простых чисел, т. е. ;
• — дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
• примарное число — любое число вида ;
• Пусть — группа. Тогда:
• — порядок группы ;
• — порядок элемента группы ;
• — единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
• — множество всех простых делителей порядка группы ;
• — множество всех различных простых делителей натурального числа ;
• -группа — группа, для которой ;
• -группа — группа, для которой ;
• — подгруппа Фраттини группы, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
• — подгруппа Фиттинга группы, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
• — наибольшая нормальнаянильпотентная подгруппа группы ;
• — коммутант группы, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
• — -ый коммутант группы ;
• — наибольшая нормальнаяподгруппа группы ;
• — -холловская подгруппа группы ;
• — силовскаяподгруппа группы ;
• — дополнение к силовскойподгруппе в группе, т. е. -холловская подгруппа группы ;
• — группа всех автоморфизмов группы ;
• — является подгруппой группы ;
• — является собственной подгруппой группы ;
• — является максимальной подгруппой группы ;
• нетривиальная подгруппа — неединичная собственная подгруппа;
• — является нормальной подгруппой группы ;
• — подгруппа характеристична в группе, т. е. для любого автоморфизма ;
• — индекс подгруппы в группе ;
• ;
• — централизатор подгруппы в группе ;
• — нормализатор подгруппы в группе ;
• — центр группы ;
• — циклическая группа порядка ;
• — ядро подгруппы в группе, т. е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
• Если и — подгруппы группы, то:
• — прямое произведение подгрупп и ;
• — полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
• — и изоморфны.
• Группа называется:
• примарной, если ;
• бипримарной, если .
• Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
• — подгруппа, порожденная всеми, для которых выполняется .
• , где .
• Группу называют:
• -замкнутой, если силовскаяподгруппа группы нормальна в ;
• -нильпотентной, еслихолловская подгруппа группы нормальна в ;
• -разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либогруппы, либогруппы;
• -сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либогруппой, либо циклической группой;
• нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
• метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.
• разрешимой, если существует номер такой, что ;
• сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
• Группа Шмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
• Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из, что .
• Минимальная нормальная подгруппа группы — неединичная нормальная подгруппа группы, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
• Цоколь группы — произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
• — цоколь группы .
• Классы групп, т. е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т. е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
• — класс всех групп;
• — класс всех абелевых групп;
• — класс всех нильпотентных групп;
• — класс всех разрешимых групп;
• — класс всехгрупп;
• — класс всех сверхразрешимых групп;
• Формации — это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
• Пусть — некоторый класс групп и — группа, тогда:
• — -корадикал группы, т. е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из, для которых. Если — формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы, факторгруппа по которой принадлежит. Если — формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .
• Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
• Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
• Произведение формаций и состоит из всех групп, для которых, т. е. .
• Пусть — некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называетсяабнормальной, если .
• Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
• Пусть — максимальная подгруппа группы. Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора, где и, и обозначают символом .
• Пусть — группа и — различные простые делители порядка группы. Тогда группа называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы, такие что — силовскаяподгруппа группы и подгруппа нормальна в для всех .

В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа группы квазинормальна в, если перестановочна с любой подгруппой из (т.е. для всех подгрупп из). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место, а согласно, квазинормальные подгруппы — это в точности те субнормальные подгруппы группы, которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .

Понятно, что если подгруппа группы нормальна в, то в всегда найдется такая подгруппа, что выполнено следующее условие:

Таким образом, условие является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию. В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию были названынормальными. В этой же работе была построена красивая теориянормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.

В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условиенормальности для подгрупп.

Определение. Подгруппа группы называется слабо квазинормальной в подгруппой, если существует такая подгруппа группы, что и , — квазинормальные в подгруппы.

Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, нинормальной.

Пример. Пусть

где. И пусть,. Тогда и. Пусть — группа простого порядка 3 и, где — база регулярного сплетения. Поскольку, и — модулярная группа, то квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в. Значит, подгруппа является слабо квазинормальной в, но не квазинормальной и ненормальной в .

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным инормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А. Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которыхнормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность инормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных инормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

Определение. Подгруппа группы называется слабо нормальной в подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа группы, что и .

Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.

Пусть - группа и . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Пусть — нормальная в подгруппа. Тогда слабо нормальная подгруппа в группе тогда и только тогда, когда — слабо нормальная подгруппа в группе .

(2) Если — слабо нормальная в подгруппа, то — слабо нормальная в подгруппа.

(3) Пусть — нормальная в подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в подгрупп таких, что , — слабо нормальная подгруппа в группе .

Доказательство. (1) Пусть — слабо нормальная в подгруппа и — такая квазинормальная в подгруппа, что

Тогда , — квазинормальная в подгруппа и. Значит, — слабо нормальная в подгруппа.

Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в подгруппы мы имеем и

Ясно, что

Поскольку

то

и — квазинормальные в подгруппы. Следовательно, — слабо нормальная в подгруппа.

Утверждение (2) очевидно.

(3) Пусть — слабо нормальная подгруппа в группе и — квазинормальная в подгруппа такая, что и. Ясно, что и

Значит, слабо нормальна в и ввиду (1), — слабо нормальная в подгруппа.

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.

Группа разрешима тогда и только тогда, когда , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .

Пусть - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) — разрешима;

(2), где , — подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо квазинормальны в ;

(3), где , — подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .

Группа метанильпотентна тогда и только тогда, когда , где подгруппа -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Доказательство. Допустим, что, где — -квазинормальна в , — нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в. Покажем, что группа метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть — контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.

(1) не является нильпотентной группой.

Предположим, что нильпотентна. Так как ввиду леммы (3), субнормальна, то содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе из по лемме (2). Тогда

нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (1).

(2) .

Допустим, что. Тогда ввиду леммы, нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).

(3) Если - абелева минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то метанильпотентна.

Пусть — -группа и — силовскаяподгруппа в. Тогда и поэтому по лемме каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в. Поскольку по лемме, -квазинормальна в ,

то условия теоремы справедливы для. Так как, то ввиду выбора группы, метанильпотентна.

(4) Условия теоремы справедливы для (это проямо следует из леммы).

(5) разрешима.

Если, то метанильпотентна по (4)и выбору группы. Пусть теперь. Предположим, что для некоторой силовской подгруппы из мы имеем. Тогда ввиду (3), разрешима. Пусть теперь для каждой силовской подгруппы группы. Тогда по условию каждая силовская подгруппа из имеет квазинормальной дополнение в и поэтому нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы доказывает (5).

(6) В группе имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа , содержащаяся в .

Пусть — минимальная нормальная подгруппа группы, содержащаяся в. Тогда абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3), метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см.), то — единственная минимальная нормальная подгруппа группы, содержащаяся в .

(7) Если -группа, то каждая силовская -подгруппа из , где , имеет квазинормальное дополнение в .

Пусть — силовскаяподгруппа в, где. Тогда ввиду (6),. По условию, слабо нормальна в и поэтому имеет квазинормальную подгруппу, такую что и

Заключительное противоречие.

Пусть — силовскаяподгруппа в и. Тогда

По условию имеет квазинормальную подгруппу, такую что и

Тогда

и поэтому — дополнение для в, которое является квазинормальной в подгруппой. Если — -подгруппа из, где, то ввиду (7), имеет дополнение в, которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы). Тогда по лемме, нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы .

Обратно, предположим, что метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в. Предположим, что это не верно и пусть — контрпример минимального порядка. Тогда имеет силовскую подгруппу, которая не является слабо нормальной в. Пусть — произвольная минимальная нормальная подгруппа в и — подгруппа Фиттинга группы. Предположим, что. Тогда слабо нормальна в и поэтому по лемме (1), слабо нормальна в, противоречие. Значит, и поэтому

Так как по условию метанильпотентна и — силовская подгруппа в, то имеет нормальное дополнение в. Но поскольку и — -группы, то — нормальное дополнение для в. Следовательно, слабо нормальна в. Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Пусть - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) — метанильпотентна;

(2), где подгруппа субнормальна в , — абелева холлова подгруппа в и каждая силовская подгруппа из слабо квазинормальна в ;

(3), где подгруппаквазинормальна в , — нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Пусть , где подгруппа -квазинормальна в , нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из слабо нормальна в . Тогда сверхразрешима.

Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть — контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , сверхразрешима.

Пусть, где. Тогда

где нильпотентна иквазинормальна в. Так как по лемме (2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и, то по выбору группы мы имеем (1).

(2) Пусть - неединичная нормальная подгруппа в . Предположим, что -группа. Допустим, что содержит силовскую -подгруппу из , или циклична, или . Тогда сверхразрешима.

Если, то

нильпотентна. Пусть теперь. Так как, то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для. Ясно, что

гдеквазинормальна в и нильпотентна. Пусть силовскаяподгруппа из и — произвольная максимальная подгруппа в. Пусть — силовскаяподгруппа из, такая что. Ясно, что — силовскаяподгруппа группы. Значит, для некоторой силовскойподгруппы из. Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в. Если, то это прямо следует из леммы. Допустим, что-либо силовскаяподгруппа из циклическая, либо. Тогда. Покажем, что — максимальная в подгруппа. Так как и, то

Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем

где

Тогда

Так как — максимальная в подгруппа, то либо, либо. Если, то

что противоречит выбору подгруппы. Значит, и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно, — максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в. Значит,

слабо нормальна в. Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3) и сверхразрешима.

По выбору группы, и поэтому сверхразрешима согласно (1).

(4) - разрешимая группа.

По условиюквазинормальна в и поэтому по лемме (3), содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы. Так как группа нильпотентна, то разрешима.

(5) Если - простое число и , то .

Пусть. Тогда ввиду (2), сверхразрешима. Если — множество всех простых делителей порядка группы, то по лемме (1),, где — нормальнаяподгруппа группы и поэтому

сверхразрешима. Но тогда

сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (5).

(6) .

Допустим, что. Тогда по лемме, нильпотентна. Пусть — силовскаяподгруппа из. Так как ввиду леммы (3) субнормальна в, то субнормальна в. Тогда, согласно лемме (1). Но тогда ввиду (2), сверхразершима и поэтому, по выбору группы. Так как и

нильпотентно, то — силовскаяподгруппа из. Пусть — холловаподгруппа из и. По лемме, нормальна в и поэтому. Допустим, что для некоторого простого делителя порядка, отличного от, мы имеем. Тогда нормальна в и поэтому — нормальная подгруппа в, поскольку. Но тогда, что противоречит (5). Следовательно, и поэтому. Согласно теореме, сверхразрешима и поэтому — абелева группа, экспонента которой делит, согласно леммы. Но тогда — абелева группа экспоненты, делящей и поэтому сверхразрешима, согласно леммы. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (6).

Заключительное противоречие.

Пусть — минимальная нормальная подгруппа в, содержащаяся в. Пусть — -группа и — силовскаяподгруппа группы. В силу (2), сверхразрешима и поэтому — единственная минимальная нормальная подгруппа группы, содержащаяся в. Ясно, что и. Значит, по лемме для некоторой максимальной подгруппы из мы имеем. Ясно, что и поэтому по условию имеет дополнение в, которое является квазинормальной в подгруппой. Тогда

и поэтому. Но тогда

и поэтому, ввиду минимальности,. Ввиду (5), имеет холловуподгруппу. Так как в силу леммы (3), субнормальна в, то каждая холловаподгруппа группы содержится в. Следовательно, — -группа. Отсюда следует, что

сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Группа дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в .

Доказательство. Пусть, где подгруппа квазинормальна в, дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в. Покажем, что группа дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть — контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , дисперсивна по Оре.

Пусть, где. Тогда

где дисперсивна по Оре и квазинормальна в. Так как по лемме (2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и, то по выбору группы мы имеем (1).

(2) Пусть - неединичная нормальная подгруппа в , являющаяся -группа для некоторого простого числа . Допустим, что либо содержит силовскую -подгруппу из , либо циклична, либо . Тогда дисперсивна по Оре.

Если, то

дисперсивна по Оре. Пусть теперь. Так как, то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для. Ясно, что

где квазинормальна в и дисперсивна по Оре. Пусть силовскаяподгруппа из и — произвольная максимальная подгруппа в. Пусть — силовскаяподгруппа из, такая что. Ясно, что — силовскаяподгруппа группы. Значит, для некоторой силовскойподгруппы из. Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в. Если, то это прямо следует из леммы. Допустим, что-либо силовскаяподгруппа из циклическая, либо. Тогда. Покажем, что — максимальная в подгруппа. Так как и, то

Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем

где

Тогда

Так как — максимальная в подгруппа, то либо, либо. Если, то, что противоречит выбору подгруппы. Значит, и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно, — максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в. Значит,

слабо нормальна в. Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3) Если - простое число и , то .

Пусть

Тогда ввиду (2), дисперсивна по Оре. С другой стороны, если — множество всех простых делителей, то ввиду леммы (3) и леммы, , где — нормальнаяподгруппа в и поэтому

дисперсивна по Оре. Но тогда

дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).

(4) разрешима.

По условию квазинормальна в и поэтому ввиду леммы (3) и леммы, содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы. Так как

дисперсивна по Оре, то разрешима.

(5) .

Предположим, что. Тогда согласно лемме, нильпотентна. Пусть — силовскаяподгруппа группы. Поскольку субнормальна в, то субнормальна в. Значит, по лемме,. Но ввиду (2), дисперсивна по Оре и поэтому по выбору группы,. Пусть — наименьший простой делитель. Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу, такую что и. Пусть — наибольший простой делитель , — силовскаяподгруппа группы. Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому. Если, то — силовскаяподгруппа группы и поэтому дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что дисперсивна по Оре, противоречие. Следовательно,. Но тогдагруппа. Пусть — силовскаяподгруппа в. Тогда — силовскаяподгруппа в. Поскольку — подгруппа группы и ввиду (1), дисперсивна по Оре, то. Так как дисперсивна по Оре, то и поэтому. Следовательно, группа дисперсивна по Оре. Полученное противоречие доказывает (5).

Заключительное противоречие.

Пусть — минимальная нормальная подгруппа группы, содержащаяся в. Пусть — -группа и — силовскаяподгруппа группы. Ввиду (2), дисперсивна по Оре. Пусть — наименьший простой делитель. Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу, такую что и. Пусть — наибольший простой делитель , — силовскаяподгруппа группы. Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому. Рассуждая как выше видим, что. Но тогдагруппа. Значит, и поэтому дисперсивна по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Заключение

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным инормальным подгруппам. Следует отметить, что получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которыхнормальны или квазинормальны в группе. Не смотря на тот факт, что квазинормальность инормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных инормальных подгрупп. В данной работе мы устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия слабой квазинормальности.

Основные результаты данной работы:

— доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;

— найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп;

— получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп;

— найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп.

1.Боровиков, М. Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М. Т. Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. — Минск: Университетское, 1990. — С. 80−82.

2.Боровиков, М. Т. Оразрешимости конечной группы / М. Т. Боровиков // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М. И. Салука. — Минск: Наука и техника, 1986. — С. 3−7.

3.Го Веньбинь. -накрывающие системы подгрупп для классовсверхразрешимых инильпотентных конечных групп / Го Веньбинь, К. П. Шам, А. Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. — 2004. — Т. 45, № 3. — С. 75−92.

4.Пальчик, Э.М. О группах, всемаксимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой / Э. М. Пальчик // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. — 1968. — № 1. — С. 45−48.

5.Пальчик, Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э. М. Пальчик // Докл. АН БССР. — 1967. — Т. 11, № 5. — С. 391−392.

6.Пальчик, Э.М. О группах, всемаксимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой. II / Э. М. Пальчик, Н. П. Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. — 1969. — № 3. — С. 51−57.

7.Подгорная, В. В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В. В. Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. — 2000. — № 4. — С. 22−25.

8.Подгорная, В. В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами / В. В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. — 1999. — № 4(14). — С. 80−82.

9.Поляков, Л. Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л. Я. Поляков // Конечные группы. — Минск: Наука и техника, 1966. — С.75−88.

10.Самусенко (Подгорная), В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам / В. В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. — 1998. — С. 177−182.