Устойчивость упругих тел с внутренними напряжениями

До появления новых искусственных материалов поведение реальных конструкций описывалось преимущественно линейными теориями. Это объяснялось тем, что деформации конструкций, изготовленных из большинства применяемых тогда материалов, в широком диапазоне нагрузок были пренебрежимо малы. Уравнения состояния для этих материалов при малых деформациях и установившихся однородных температурах также можно было считать линейными.

Использование начиная с середины нашего века во многих отраслях производства новых материалов, поведение которых уже нельзя описать классическими линейными теориями, вызвало в последние десятилетия интенсивное развитие нелинейной теории упругости.

Закритическое поведение гибких конструкций, использование сильно деформируемых надувных конструкций, нелинейное поведение полимеров и синтетических материалов, неразрушающие методы контроля прочности и несущей способности элементов конструкций и механизмов [14], проблемы безаварийного функционирования горных выработок [10], устойчивость при больших (конечных) деформациях, учет влияния начальных напряжений, невозможный в линейной теории упругости [9] - вот лишь некоторые области исследования, которые стимулировали интерес к нелинейной механике твердого тела.

Одним из основных и наиболее распространенных методов, используемых для решения нелинейных задач при больших (конечных) деформациях, является полуобратный метод [8,53]. На первом этапе этого метода задаются предполагаемым видом деформации, осуществляющей преобразование отсчетной (недеформированной) конфигурации в актуальную и содержащей подлежащие определению функции материальных координат. Затем, по этому заданию определяется выражение меры деформации, а по ней, используя уравнение состояния материала, тензор напряжения. Далее, по уравнениям равновесия в объеме и на поверхности находят распределение массовых и поверхностных сип, допускаемое предположенным заданием вектора места в актуальной конфигурации. Часто принимают, что напряженное состояние создается поверхностными силами, а влияние массовых несущественно. На определенные таким образом поверхностные силы накладывается требование соответствия условиям задачи и из этих требований определяются неизвестные функции материальных координат, входящие в представление деформации.

Наиболее успешны достижения нелинейной теории упругости в исследованиях несжимаемого (резиноподобного) материала. Внимание к несжимаемым материалам объясняется тем, что для них существует довольно богатый набор деформаций, принадлежащих к классу универсальных. Это такие деформации, которые можно осуществить в состоянии равновесия без приложения массовых сил в любом несжимаемом однородном теле, т. е. независимо от конкретного задания функции удельной потенциальной энергии. Поверхностные силы, обеспечивающие реализацию такой деформации, выражаются только через эту функцию.

Уравнения, к которым приводят нелинейные теории поведения материалов и конструкций, могут быть решены точно лишь для некоторых частных случаев. Причем, в основном, они относятся лишь к телам простейших геометрических форм при простейших граничных условиях. Поэтому число точных решений нелинейных задач сравнительно невелико. Как правило, для получения результатов конкретного характера на различных этапах исследования нелинейных задач необходимо привлекать численные методы.

При рассмотрении конечных деформаций толстостенных конструкций обычно необходим анализ их устойчивости. За два века изучения устойчивости равновесия только недавно стало ясно, что потеря устойчивости не связана лишь только с тонкостенными телами, но имеет место и в толстостенных конструкциях. При достаточно больших деформациях даже неограниченная среда может стать неустойчивой [56]. Упругая неустойчивость может возникнуть и при наличии чисто растягивающих нагрузок [30,70].

Исследования по трехмерной теории устойчивости в нелинейной теории упругости принадлежат А. И. Лурье, Н. В. Зволинскому, Л. М. Зубову, JI.A. Толоконникову, К. Ф. Черныху, Л. А. Балабуху, А. Н. Гузю, У. К. Нигулу, В. А. Пальмову, М. Г. Яковенко, Дж. Адкинсу, А. Е. Грину, P.C. Ривлину, Ч. Сенсенигу, К. Трусделлу, Р. Хиллу,.

Р.Т. Шилду, 3. Весоловскому и другим отечественным и зарубежным ученым.

Важным разделом нелинейной теории упругости является теория малых деформаций, наложенных на конечную деформацию. Средствами этой теории проводится линеаризация нелинейных уравнений равновесия и граничных условий в окрестности некоторого известного конечно деформированного и напряженного состояния равновесия упругого тела. Полученная в результате линейная краевая задача описывает малую деформацию предварительно напряженного и деформированного тела.

Одним из основных назначений линеаризованной теории равновесия является исследование устойчивости трехмерных упругих тел. При консервативных внешних нагрузках изучение устойчивости равновесия можно проводить путем поиска смежных с исследуемой на устойчивость форм равновесия, существующих при тех же внешних силах, т. е. путем определения точек бифуркации (ветвления) равновесия.

Возникшая после линеаризации однородная краевая задача может иметь нетривиальные решения при некоторых значениях параметров нагружения, определяющих начальное деформированное состояние и входящих в линеаризованные уравнения равновесия и граничные условия. Исследуемое равновесие в этом случае называется нейтральным, а параметры нагружения критическими (или бифуркационными). Если тело находится в состоянии нейтрального равновесия, то оно может быть переведено в смежное положение равновесия сколь угодно малой добавкой к некоторому параметру, характеризующему либо нагрузку, либо деформацию. В случае консервативных внешних сил отсутствие смежных форм равновесия гарантирует устойчивость данного состояния равновесия, по крайней мере, в малом.

Важно отметить, что необходимость привлечения трехмерных уравнений нелинейной теории упругости при исследовании устойчивости равновесия не обязательно связана с большими докритическими деформациями материальных тел. Трехмерный подход к проблеме устойчивости деформируемых сред незаменим в случае неоднородных тел (композиты, горные породы и др.), а также в случаях, когда поле напряжений в докритическом состоянии существенно неоднородно.

Первыми авторами, предложившими уравнения малых деформаций упругих сред при наличии начальных напряжений, были Саусвелл [66], Бицено и Генки [55], Треффтц [67], В. В. Новожилов [46], Л. С. Лейбензон [41], А. Ю. Ишлинский [34], Грин, Ривлин и Шилд [60], Пирсон [64]. В указанных работах теория малых деформаций предварительно напряженных сред рассматривалась преимущественно в контексте проблемы упругой устойчивости.

Впоследствии трудами А. И. Лурье [42−45], Био [57,58], Грина и Адкинса [8], А. Е. Грина и В. Зерны [62], К. Трусделла и В. Нолла [68], А. Н. Гузя [10−13] и др. была разработана общая теория наложения малой деформации на конечную, т. е. были получены линеаризованные уравнения равновесия и граничные условия для произвольного нелинейно упругого материала при любом начальном состоянии равновесия.

Метод наложения малой деформации на конечную с успехом применялся многими авторами для решения конкретных задач устойчивости предварительно напряженных тел. Первые попытки рассмотреть устойчивость толстостенных тел были предприняты Саусвеллом [66] и Бицено и Генки [55]. Грином, Ривлином, Шилдом в работе [60] были впервые получены уравнения трехмерной теории упругой устойчивости при конечных докритических деформациях в общей постановке путем линеаризации. В этой работе, которая явилась основой для дальнейших исследований, приведены основные уравнения и граничные условия для случая произвольных (конечных) начальных деформаций. Причем рассмотрены как сжимаемые, так и несжимаемые материалы. В [60] линеаризованная теория упругости при конечных начальных деформациях получила название «теории малых деформаций, наложенных на конечные деформации». Е. Уилкс [71] рассмотрел устойчивость полого и сплошного цилиндров при осевом сжатии для изотропного тела с произвольной формой упругого потенциала. Примеры в [71] приведены для неогуковского тела. Исследование выполнено для осесимметричной и неосесимметричной задач. В работе В. Л. Бидермана [2] рассмотрена стержневая форма потери устойчивости для неогуковского тела. В работе Ч. Сенеенига [65] для тела с потенциалом гармонического типа получены уравнения нейтрального равновесия в задаче о сжатом продольной силой цилиндре и сфере, сжатой распределенным по ее поверхности давлением. Грином, Спенсером [61] исследована задача об устойчивости изотропного кругового цилиндра при неоднородном докритическом состоянии: конечное кручение и осевая нагрузка.

Авторами получены уравнения нейтрального равновесия для произвольного несжимаемого материала. Характеристическое уравнение, служащее для определения критических значений параметра нагружения в случае стержневой формы потери устойчивости, получено в явном виде для неогуковского материала. В работах [30−32] вывод уравнений равновесия также осуществляется средствами теории наложения малой деформации на конечную. В работе [30] получены достаточные признаки устойчивости и неустойчивости однородной плоской деформации растянутого нелинейно — упругого прямоугольного бруса. Материал бруса считается однородным, изотропным и несжимаемым. В работе [32] построены однородные решения линеаризованных уравнений равновесия предварительно напряженной упругой плиты из произвольного изотропного несжимаемого материала. Эти решения удовлетворяют краевым условиям на незагруженных торцевых гранях плиты и позволяют в точной трехмерной постановке исследовать устойчивость плиты при любых граничных условиях на боковой поверхности. Предполагается, что начальная деформация однородна и вызвана равномерным давлением, приложенным к боковой поверхности плиты. Рассмотрены два случая: наложение на исходное состояние малого изгиба (антисимметричная задача) и малого растяжения или сжатия (симметричная задача). В этой работе также рассмотрена осесимметричная бифуркация равновесия круглой плиты с незакрепленным краем при действии на боковой поверхности равномерно распределенной «мертвой» нагрузки. Расчет критической нагрузки и формы потери устойчивости выполнен для материала, описываемого моделью Бартенева-Хазановича. В работе [31] исследуется устойчивость равновесия сжатого прямоугольного бруса из несжимаемого изотропного упругого материала, подчиняющегося условию Адамара. Обнаружена качественная зависимость поведения бруса от принадлежности материала к одному из трех классов, условно названных материалами малой, умеренной и повышенной жесткости. Неоднородное начальное напряженное состояние рассматривается, в частности, в [27], где в трехмерной постановке исследуется бифуркация равновесия сплошного кругового цилиндра при совместном действии кручения и сжатия (растяжения). Рассматривается изотропный несжимаемый упругий материал общего вида. Докритическое состояние определяется из точного решения задачи о кручении при конечных деформациях. Рассмотрен класс решений уравнений нейтрального равновесия, для которого задача устойчивости приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти решения позволяют удовлетворить в интегральном смысле некоторым физически содержательным краевым условиям на торцах цилиндра. Для определения критических параметров применяется численный метод решения указанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные результаты получены для неогуковского материала.

Отметим, что подавляющая часть работ посвящена исследованию устойчивости трехмерных тел с однородным докритическим напряженным состоянием. В то же время значительный интерес представляют задачи устойчивости трехмерных нелинейно упругих тел с учетом неоднородных полей внутренних напряжений.

Внутренние напряжения могут иметь различную природу. В частности, они могут быть обусловлены структурными дефектами в материале. В последнее время в механике твердого тела все чаще используются дислокации Вольтерра, которые представляют собой математическую модель линейных (одномерных) дефектов кристаллической структуры твердых тел. Эти дефекты в значительной мере определяют прочностные и пластические свойства материалов, могут влиять на критические нагрузки при потере устойчивости равновесия. В общем случае дислокация Вольтерра состоит из дислокации трансляционного типа и дисклинации.

В рамках линейной теории упругости основные положения математической теории дислокаций и дисклинаций были сформулированы Вольтерра, Вейнгартеном и Сомильяна в начале века. Современное состояние линейной теории изолированных (дискретных) и непрерывно распределенных дислокаций и дисклинаций отражено в работах Эшелби [54], Де Вита [5], Теодосиу [49], Владимирова и Романова [6] и др.

Нелинейная теория дислокаций достаточно хорошо развита только в чисто континуальном варианте, т. е. в случае непрерывно распределенных дефектов. Эта теория, основанная на аппарате дифференциальной геометрии, создана Кренером [39], Кондо, Билби и др. Значительный вклад в нелинейную континуальную теорию дислокаций внесли Кунин [40], Бердичевский и Седов [1], Вакуленко.

Значительно слабее развита нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций, актуальность которой обусловлена многими причинами. В самом деле, в рамках линейной теории упругости напряжения и деформации имеют сингулярность на оси изолированного дефекта, т. е. неограниченно возрастают при приближении к оси дислокации или дисклинации, что противоречит и ^ 1 и допущениям линеинои теории упругости о малости деформации. Поэтому, поскольку вблизи оси дефекта деформации велики, в этой зоне целесообразно применить теорию конечных деформаций. Можно предположить, что нелинейный подход даст более точную картину распределения напряжений и деформаций вблизи оси дефекта по сравнению с линейной теорией и позволит более реалистично оценить искажение кристаллической решетки вблизи дислокации. Кроме того, во многих реальных случаях параметры изолированного дефектадлина вектора Бюргерса и вектора Франка — не являются малыми, что исключает применение соотношений линейной теории упругости.

Основные положения и методы решения задач нелинейной теории изолированных дислокаций и дисклинаций разработаны в [1618,20,23,24,26,28,29, 33,35,36,51]. В [20,23] получено обобщение теоремы Вейнгартена на случай больших деформаций. Это позволило перенести на нелинейную теорию упругости понятие дислокации Вольтерра (или изолированного дефекта). Как и в линейной теории упругости, изолированный дефект нелинейно-упругой среды характеризуется двумя векторными параметрами: вектором Бюргерса и вектором Франка. В [26] исследованы дислокации Вольтерра в плоской нелинейной теории упругости. Также здесь получено доказательство теоремы Вейнгартена для плоской конечной деформации, независимое от доказательства, найденного в [20,23] для пространственного случая.

В [18,23,26,35] найден ряд точных решений задач о клиновой дисклинации и винтовой дислокации в строгой нелинейной постановке. Установлено, что учет нелинейности качественно меняет поле напряжений и деформаций вблизи оси дефекта. Во многих случаях нелинейный подход устраняет сингулярность напряжений на оси дислокации или дисклинации, которая присуща линейной теории упругости. В то же время показано, что поведение напряжений при приближении к оси дефекта существенно зависит от выбора модели упругого материала. Так, например, модель неогуковского материала не позволяет исследовать равновесие и устойчивость сплошного цилиндра с винтовой дислокацией при сжатии продольной силой из-за сильной сингулярности напряжений на оси цилиндра, приводящей к бесконечной энергии и бесконечно большому значению продольной силы. В данной диссертации такое исследование проведено для модели материала Бартенева-Хазановича.

Также при использовании нелинейной теории упругости установлено, что энергия винтовой дислокации, приходящаяся на единицу длины дислокации, имеет конечное значение для широкого класса определяющих соотношений нелинейно-упругих тел, в то время как линейная теория упругости дает бесконечно большое значение этой энергии.

В [29] найдено точное решение задачи о прямолинейной краевой дислокации для модели гармонического материала благодаря использованию комплексных потенциалов плоской нелинейной теории упругости. Найденное решение показывает, что учет нелинейности коренным образом меняет картину распределения напряжений вблизи оси дислокации.

В [16,36] построены сингулярные (разрывные) решения нелинейной теории упругости для тел с дислокациями и дисклинациями. Эти решения описывают образование цилиндрических полостей вокруг оси прямолинейной винтовой дислокации и клиновой дисклинации, причем радиус полости вычисляется в зависимости от величины вектора Бюргерса и вектора Франка. Показано, что в определенных случаях положение равновесия тела, характеризующееся возникновением полости, обладает меньшей энергией по сравнению с положением равновесия, сохраняющим сплошность среды. Это говорит о том, что образование полости вдоль линии дефекта может быть энергетически выгодным для упругого тела.

Влияние внутренних напряжений, обусловленных наличием дислокаций, диеклинаций и других дефектов, на критические нагрузки при потере устойчивости равновесия, исследовано, в частности, в [17,33]. В работе [17] изучены плоские формы потери устойчивости цилиндра с внутренними напряжениями. В частности, исследовано влияние внутренних напряжений, обусловленных наличием клиновой дисклинации, на выпучивание в плоскости поперечного сечения кругового полого цилиндра, нагруженного по боковой поверхности равномерным давлением. Рассмотрен также случай, когда внутренние напряжения создаются дисклинацией и выворачиванием цилиндра наизнанку. Изучены случаи потери устойчивости, происходящей только за счет внутренних напряжений, без приложения внешнего давления. Для описания упругих свойств тела принимается модель полулинейного материала [45]. В [33] изучено влияние винтовой дислокации в круговом цилиндре на его устойчивость при осевом сжатии.

Доклад [19] содержит краткий обзор исследований по нелинейной теории дислокаций Вольтерра.

При неоднородном начальном деформированном состоянии в уравнения трехмерной линеаризованной теории устойчивости входят переменные коэффициенты. Решение таких задач представляет значительные трудности и невозможно без привлечения численных методов. Необходимость применения численных методов на различных этапах исследования задач возникает и при использовании сложных законов состояния нелинейно — упругих тел. К этому направлению относятся работы 3. Весоловского [69], А. Эргепинера и А. Вана [59], Дж. Патерсона [63] и ряда других ученых.

Данная диссертация посвящена изучению устойчивости трехмерных нелинейно упругих тел при неоднородной докритической деформации, обусловленной наличием дислокационных дефектов, а также исследованию устойчивости тела, содержащего остаточные напряжения.

Перейдем к изложению содержания работы. Диссертация состоит из двух глав. Первая глава посвящена изучению влияния внутренних напряжений, обусловленных винтовой дислокацией, на устойчивость упругого цилиндра.

В первом параграфе полуобратным методом Сен-Венана находится напряженно-деформированное состояние нелинейно упругого сплошного кругового цилиндра, в котором образована винтовая дислокация. При этом, в отличие от линейной теории упругости, длина вектора Бюргерса не предполагается малой, т. е. рассматриваются произвольно большие деформации. Кроме того, цилиндр испытывает осевое растяжение или сжатие и неоднородную радиальную деформацию. Данная деформация относится к классу универсальных. Свойства материала цилиндра описываются моделью несжимаемого тела Бартенева — Хазановича [43]. Боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузок. На торцах цилиндра краевые условия удовлетворяются в интегральном смысле.

Аналогично определяется напряженно-деформированное состояние полого цилиндра из материала Бартенева-Хазановича, которое создается наличием винтовой дислокации и сжатием (растяжением) в осевом направлении.

Второй параграф посвящен изучению потери устойчивости сплошного цилиндра, содержащего винтовую дислокацию, путем образования полости в нем. В задачах о равновесии сплошного цилиндра обычно полагают, что после деформации цилиндр остается сплошным. Решения такого рода называются «регулярными». Но постановка другого краевого условия на оси цилиндра приводит в ряде случаев к появлению «сингулярного» решения, т. е. решения, сопровождающегося нарушением сплошности среды и образованием цилиндрической полости вдоль оси дефекта в деформированном теле. В качестве модели несжимаемого тела выбирается материал с упругим потенциалом Бартенева-Хазановича, а также материал с более общим упругим потенциалом. Для материала Бартенева-Хазановича выведено соотношение, позволяющее определять радиус образующейся полости в зависимости от параметра дислокации.

Наличие в теле дислокаций является одной из причин возникновения внутренних напряжений при отсутствии внешних нагрузок. В третьем параграфе изучены пространственные формы потери устойчивости кругового упругого цилиндра, содержащего винтовую дислокацию и сжатого продольной силой. Рассмотрены случаи сплошного и полого цилиндров. При исследовании устойчивости используется статический метод Эйлера для консервативных задач, при котором за критерий неустойчивости принято существование равновесной конфигурации тела, бесконечно близкой к исходной при одних и тех же внешних силах. Получены уравнения нейтрального равновесия сплошного и полого цилиндров из материала Бартенева-Хазановича. При их выводе используется теория малых деформаций, наложенных на конечную. Также получены линеаризованные граничные условия на боковой поверхности сплошного цилиндра и на внутренней и внешней боковых поверхностях полого цилиндра.

Четвертый параграф первой главы посвящен формулировке краевых условий на оси сплошного цилиндра для численного решения задачи устойчивости сжатого цилиндра с дислокацией. При этом используется требование ограниченности решения в нуле.

Определение бифуркационных параметров приводит к линейной однородной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В пятом параграфе приводится конечно-разностный метод решения задачи. С его помощью решены задачи об устойчивости равновесия сплошного и полого круговых цилиндров, содержащих винтовую дислокацию и сжатых вдоль оси. Исследовано влияние дислокации на критическую нагрузку при сжатии цилиндра. Также изучены случаи потери устойчивости, происходящей только за счет внутренних напряжений, обусловленных наличием дислокации, без приложения сжимающей силы. Рассмотрены случаи сплошного и полого цилиндров. Результаты проведенного численного анализа рассматриваемых задач оформлены в виде графиков.

Другим примером тела, содержащего внутренние напряжения при отсутствии внешних нагрузок, может служить цилиндр с остаточными напряжениями. Во второй главе в точной трехмерной постановке исследована задача устойчивости кругового цилиндра, нагруженного осевой силой, с учетом остаточных напряжений, возникших после разгрузки из упруго — пластического состояния, обусловленного кручением цилиндра.

В шестом параграфе приводится поле остаточных касательных напряжений, возникающих в круговом цилиндре из идеальнопластического изотропного материала после снятия скручивающей нагрузки, величина которой достаточна для появления пластической зоны в каждом сечении цилиндра. Все остальные компоненты напряжений равны нулю как при действии крутящего момента, так и после его снятия. После снятия крутящей нагрузки цилиндр сжимается осевой силой. Далее изучается влияние остаточных касательных напряжений на критические значения осевой силы при потере устойчивости сжатого цилиндра. При этом предполагается, что малые деформации, накладываемые на описанное выше напряженное состояние цилиндра, являются упругими.

Для вывода уравнений нейтрального равновесия и граничных условий в седьмом параграфе используется функционал Треффтца, входящая в который удельная потенциальная энергия деформации предварительно напряженного тела включает в себя слагаемое, обусловленное наличием начальных напряжений. Из вариационного принципа выводятся уравнения устойчивости и граничные условия на свободной поверхности. Здесь же формулируются краевые условия на оси цилиндра, необходимые при численном решении уравнений нейтрального равновесия.

В восьмом параграфе приводится численный метод решения задачи об устойчивости упругого цилиндра с остаточными напряжениями и результаты расчетов, оформленные в виде таблиц.

1. Бердичевский В. Л., Седов Л. И. Динамическая теория непрерывно распределенных дислокаций. Связь с теорией пластичности // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 6. С. 981−1000.

2. БидерманВ.Л. Устойчивость стержня из неогуковского материала // МТТ. 1968. № 3. С. 54−62.

3. Вакуленко A.A. Связь микрои макросвойств в упругопластических телах // Итоги науки и техники. Серия механика деформируемого твердого тела. 1991. Т. 22. С. 3−54.

4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

5. Вит Р. Де. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1977. 208 с.

6. Владимиров В. Н., Романов А. Е. Дисклинации в кристаллах. Л.: Наука, 1986. 224 с.

7. Галин Л. А. Упруго пластические задачи. М.: Наука, 1984. 232 с.

8. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 455 с.

9. Гузь А. Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Общие вопросы. Киев: Наукова думка, 1983. 296 с.

10. Гузь А. Н. Основы теории устойчивости горных выработок. Киев: Наукова думка, 1977. 204 с.

11. Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1971. 276 с.

12. Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем сжатии. Киев: Наукова думка, 1979. 144 с.

13. Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка, 1973. 270 с.

14. Гузь А. Н., Махорт Ф. Г., Гуща О. Н.

Введение

в акустоупругость. Киев: Наукова думка, 1977. 152 с.

15. Еремеев В. А., Зубов Л. М., Карякин М. И., Чернега Н. Я. Образование полостей в нелинейно упругих телах с дислокациями и дисклинациями//ДАН. 1992, Т. 326. № 6. С. 968−971.

16. Еремеев В. А., Карякин М. И., Чернега Н. Я. Сингулярные решения нелинейной теории упругости // Вопросы физики и механики материалов / Под ред. В. А. Лихачева. Новгород. 1992. С. 57−68.

17. Зеленин A.A., Зубов Л. М. Устойчивость и послекритическое поведение упругого цилиндра с дисклинацией // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 1. С. 101−108.

18. Зубов Л. М. Изолированная дисклинация в нелинейно упругом сжимаемом теле // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 1. С. 69−73.

19. Зубов Л. М. О дислокациях Вольтерра в нелинейно упругих телах // ДАН. 1986. Т. 287. № 3. С. 579−582.

20. Зубов JI.М. О производной Яуманна для тензора второго ранга // Изв. Северо Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. 1976. № 2. С. 27−30.

21. Зубов JIM. Полуобратный метод в квазистатических задачах нелинейной термовязкоупругости // Докл. АН СССР. 1981. Т. 256. № 3. С. 556−559.

22. Зубов JIM, Теория дислокаций Вольтерра в нелинейно упругих телах // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 140−147.

23. Зубов Л. М. Теория изолированных дефектов в нелинейно упругих телах // Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллинн: Валгус, 1985. С. 73−87.

24. Зубов Л. М. Универсальные квазистатические деформации для изотропных несжимаемом тел с памятью // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 3. С. 57−62.

25. Зубов Л. М., Карякин М. И. Многозначные смещения и дислокации Вольтерра в плоской нелинейной теории упругости // ПМТФ. 1987. № 6. С. 146−152.

26. Зубов Л. М., Моисеенко С. И. Выпучивание упругого цилиндра при кручении и сжатии // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 78−84.

27. Зубов Л. М., Моисеенко С. И. О влиянии винтовой дислокации на распространение волн в упругом цилиндре // ПМТФ. 1984. № 2. С. 140−144.

28. Зубов Л. М., Никитин Е. С. Точное решение задачи о краевой дислокации в нелинейно-упругой среде // ДАН (Россия). 1994. Т. 334. № 3. С. 296−299.

29. Зубов Л. М., Рудев А. Н. О неустойчивости растянутого нелинейно-упругого бруса //ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 5. С. 786−798.

30. Зубов Л. М., Рудев А. Н. Об особенностях потери устойчивости нелинейно-упругого прямоугольного бруса // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 3. С. 65−83.

31. Зубов Л. М., Рудев А. Н. Теория устойчивости толстых упругих плит //Изв. РАН. МТТ. 1993. № 1. С. 96−111.

32. Ишлинский А. Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости//Укр. матем. журнал. 1954. Т. 6. № 2. С. 140−146.

33. КарякинМ.И. О напряжениях, создаваемых изолированной дисклинацией в нелинейно-упругом теле // Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. 1988. № 1. С. 58−63.

34. КарякинМ.И., ПустоваловаО.Г. О сингулярных решениях задач нелинейной теории упругих дислокаций // ПМТФ. 1995. Т. 36. № 5. С. 173−180.

35. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

36. Кренер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. М.: Мир, 1965. 103 с.

37. Кунин И. А. Теория дислокаций //В кн.: СхоутенЯ.А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. С. 371−443.

38. Лейбензон Л. С. О применении гармонических функций к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек // Собрание трудов. Т.1. М.: Изд-во АН СССР, 1951. С. 50−85.

39. Лурье А. И. Бифуркация равновесия идеально упругого тела // ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 718−731.

40. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

41. Лурье А. И. Теория упругости для полулинейного материала // ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 6. С. 1053−1069.

42. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

43. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

44. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

45. СьярлеФ. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 471 с.

46. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М.: Мир, 1985. 352 с.

47. Чернега Н. Я. О влиянии остаточных напряжений на устойчивость упругого цилиндра. Ростов-на-Дону, 1997. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 13.01.97, № 92-В97.

48. Черных К. Ф.

Введение

в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука. Физматлит, 1996. 288 с.

49. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. JL: Машиностроение, 1986. 336 с.

50. Эриксен Дж. Исследования по механике сплошных сред. М.: Мир, 1997. 248 с.

51. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ, 1963. 247 с.

52. Biezeno С.В., Hencky Н. On the general theory of elastic stability // K. Acad. Wet. Amsterdam Proc. 1928. V. 31. P. 569−592- 1929. V. 32. P. 444 456.

53. Biot M.A. Internal buckling under initial stress in finite elasticity // Proc. Roy. Soc. 1963. A273. P. 306−328.

54. Biot M. A. Mechanics of incremental deformations. N.Y.: Willey, 1965. 504p.

55. Biot M.A. Nonlinear theory of elasticity and the linearized case for a body under initial stress // Phil. Mag. 1939. V. 27. № 7. P. 468−489.

56. Ertepinar A., Wang A.S.D. Torsional buckling of an elastic thickwalled tube made of rubber like material // Int. J. Solids Struct. 1975. V. 11. № 3. P. 329−337.

57. Green A.E., RivlinR.S., Shield R.T. General theory of small elastic deformation superposed on finite elastic deformation // Proc. Roy. Soc. 1952. A211.№ 1104. P. 128−154.

58. Green A.E., Spenser A.J.M. The stability of a circular cylinder under finite extension and torsion // J. Math. Phys. 1959. V. 37. № 4. P. 316−338.

59. Green A.E., Zerna W. Theoretical elasticity. 2nd ed. Oxford. ClarendonPress. 1968. 457 p.

60. Patterson J.C. Stability of an elastic thick walled tube under end thrust and external pressure // Int. J. Non — Linear Mech. 1976. V. 11. № 6. P. 385−390.

61. Pearson C.E. General theory of elastic stability // Quart, of Appl. Math. 1956. V. 14. P. 133−144.

62. Sensenig C.B. Instability of thick elastic solids // Comm. Pure and Appl. Math. 1964. V. 17. № 4. P. 451−491.

63. Southwell R.V. On the general theory of elastic stability // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1914. V. 213. P. 187−244.

64. Trefftz E. Zur Theorie der Stabilitat des elastischen Gleichgewichts // ZAMM. 1933. V. 12. S. 160−165.

65. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. Encyclopedia of Physics. V. EH/3. Springer-Verlag. Berlin HeidelbergNew-York. 1965. 591 p.

66. Wesolowski Z. Stability of elastic thick walled spherical shell loaded by an external pressure // Arch. Mech. Stosow. 1967. V. 19. № 1. P. 3−23.

67. Wesolowski Z. The axially symmetric problem of stability loss of an elastic bar subject to tension // Arch. Mech. Stosow. 1963. V. 15. № 3. P. 383−395.

68. Wilks E.W. On the stability of a circular tube under end thrust // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1955. V. 8. № 1. P. 88−100.