Исследование течений в вязком ударном слое при помощи схем высокого порядка аппроксимации

При численном моделировании существенно трехмерных течений вязкого газа около затупленных тел сложной формы с учетом реальных ' физико-химических процессов (турбулентного переноса, неравновесных химических реакций и т. д.) одной из серьезнейших проблем, с которой сталкивается исследователь, являются ограничения, связанные с вычислительными возможностями компьютера как по памяти, так и по быстродействию. По-настоящему серьезный успех в решении данной фундаментальной проблемы возможен лишь при одновременном учете всех компонентов известной триады А. А. Самарского «модель — алгоритмпрограмма» .

Продвижение вперед по первому из этих направлений подразумевает решение некоторой задачи минимакса, т. е. использованием такой математической модели течения, которая, с одной стороны, с достаточной точностью учитывала бы физику явления (максимальная точность), а с другой решение соответствующей начально-краевой задачи было бы относительно просто (минимальная сложность). При этом, в зависимости от конкретной задачи, в гиперзвуковой аэродинамике могут быть использованы сравнительно простые параболические газодинамические модели (пограничного слоя, приближение тонкого слоя), позволяющие использовать быстрые маршевые методы расчета, либо параболизован-ные уравнения Навье-Стокса.

В качестве одного из способов решения другого компонента данной проблемы («алгоритма») можно рассмотреть использование для решения вышеуказанных систем уравнений конечно-разностных схем высокого порядка точности. Необходимо отметить, что применение схем повышенного порядка аппроксимации приводит в общем случае к увеличению количества вычислений, приходящихся на одну точку разностной сетки. Однако для гладких течений эти схемы позволяют существенно уменьшить общее число расчетных точек и получить, по сравнению со схемами второго порядка, в целом выигрыш как по необходимой для расчета памяти компьютера, так и по затратам машинного времени. Этот выигрыш может оказаться особенно существенным, если для расчета коэффициентов в уравнениях требуется существенно больше времени чем для решения собственно конечно-разностной задачи (как, например, в случае химически неравновесных течений, когда коэффициенты переноса являются сложными функциями температуры и состава). В связи с общей тенденцией развития в вычислительной гидродинамике методов параллельных вычислений схемы высокого порядка точности обладают еще одним положительным качеством — уменьшение числа расчетных точек приводит соответственно к уменьшению числа обменов между параллельно работающими процессорами и, как следствие, к увеличению эффективности параллельного алгоритма. Создание эффективных и экономичных параллельных алгоритмов является перспективным путем продвижения вдоль третьего компонента вышеописанной триады («программа») — использование сравнительно недорогих многопроцессорных систем[1], обладающих производительностью супер-компьютера, позволяет уменьшить стоимость вычислений в несколько раз.

Все это позволяет сформулировать главную цель данной работы, заключающуюся в построении эффективных конечно-разностных алгоритмов высокого порядка аппроксимации для решения пространственных задач гиперзвуковой аэродинамики в рамках параболических и пара-болизованных моделей и их адаптация для многопроцессорных вычислительных системприменении этих алгоритмов для решения ряда актуальных задач гиперзвуковой аэродинамики — исследования течений в пространственном ударном слое с учетом протекания в потоке различных физико-химических процессов и наличия неравномерности в набегающем потоке, обтекания сильно затупленных тел и решение на этой основе ряда задач оптимизации, возникающих в гиперзвуковой аэродинамике.

Изучение обтекания затупленных тел с проницаемой поверхностью гиперзвуковыми потоками вязкого газа необходимо при решении большого числа прикладных задач, одна из которых связана с необходимостью разработки эффективной тепловой защиты летательных аппаратов, движущихся с большой сверхзвуковой скоростью по траектории входа в атмосферу Земли или других планет. При решении такого рода задач обычно предполагается, что набегающий на тело поток газа является равномерным. В то же время в ряде случаев такое предположение является неправомерным. Например, в задаче интерпретации экспериментальных данных, полученных в наземных условиях, параметры в набегающей на тело струе являются функциями координат. Существенное влияние на параметры обтекания неравномерность набегающего потока оказывает также в некоторых других случаях — при движении тела в следе за другим телом, при прохождении тела через температурную неоднородность и т. д. В отличии от случая гиперзвукового равномерного обтекания, рассмотренного, например, в [2]-[8], обтекание тел неравномерными потоками газа остается недостаточно исследованным. При этом особенно слабо изучены трехмерные задачи неравномерного обтекания. В связи с этим в диссертации рассматривается ряд трехмерных задач, возникающих при обтекании затупленных тел неравномерным гиперзвуковым потоком вязкого газа.

Как отмечалось в [6]-[7], при движении тела на верхнем участке траектории характерные числа Рейнольдса относительно невелики, и классическая модель разбиения возмущенной области на зону невязкого течения и пограничный слой становится неприменимой, поскольку эффекты молекулярного переноса оказываются существенными во всей области течения между ударной волной и поверхностью тела,.

В связи с вышесказанным, при исследовании обтекания затупленных тел гиперзвуковым потоком вязкого газа широкое применение нашла теория вязкого ударного слоя (ВУС), в которой вся возмущенная область разбивается на собственно ударный слой и область перехода через скачок уплотнения. Уравнения, описывающие область перехода через скачок могут быть один раз проинтегрированы, а полученные соотношенияобобщенные условия Рэнкина-Гюгонио, учитывающие эффекты молекулярного переноса в зоне скачка уплотнения — ставятся в качестве граничных условий на внешней границе ударного слоя. Модель ВУС значительно проще для численного интегрирования по сравнению с уравнениями Навье-Стокса и дает в области своей применимости практически теже результаты, что и решение полных уравнений Навье-Стокса для распределения давления, вязкого трения и тепловых потоков на теле [6]. В зависимости от скорости набегающего потока модель ВУС представима в двух вариантах: модель полного вязкого ударного слоя (ПВУС) и модель тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС).

Уравнения ПВУС, предложенные в работе [9], являются, как показывает анализ [10]-[13], эллиптическими в дозвуковых областях течения, и поэтому для их решения невозможно прямое применение маршевых методов. В связи с этим для их решения требуются значительные машинные ресурсы, особенно при решении трехмерных задач. В то же время в целом ряде практически важных случаев обтекания тела при больших сверхзвуковых скоростях (М^ 1) можно использовать более простую газодинамическую модель течения — ТВУС. Эта модель была предложена в [29] на основании анализа плоского и осеоимметричного гиперзвуковых обтеканий тел с непроницаемой поверхностью в предположении Мое —)• оо, Reoo —> оо, г == (7 — 1)/(7 + 1) —>• 0, sRe ~ 0(1). Уравнения, описывающие течение в ТВУС, содержат все члены уравнений пограничного слоя Прандтля и гиперзвукового невязкого ударного слоя ([2]) и являются, с математической точки зрения, уравнениями параболического типа. Трехмерные уравнения ТВУС были получены Э. А. Гершбейном [30], уравнения нестационарного трехмерного тонкого вязкого ударного слоя получены в [31]. Как следует из проведенного в обзорах [6], [7] анализа многочисленных сравнений решений уравнений ТВУС с данными эксперимента и с расчетами, выполненными в более полной математической постановке, теория ТВУС дает хорошую точность получаемых решений всякий раз, когда вязкий ударный слой является тонким.

В то же время модель ТВУС обладает и рядом ограничений, связанных, в частности, с тем, что применение упрощенного уравнения импульсов в проекции на нормаль приводит к появлению на поверхности выпуклого тела линии с нулевым давлением (линии отрыва), за которую решение задачи не может быть продолжено.

Первые приближенные аналитические решения задачи обтекания сферы в рамках модели ТВУС получены в [29], [33],[34], численное решение для различных режимов обтекания гиперболоидов получено в [32], течение в ТВУС с учетом вдува газа с поверхности исследовано в [35] ,[36].

Первые решения уравнений трехмерного тонкого вязкого ударного слоя были получены для течения в окрестности точки торможения. Эта точка является особой точкой системы уравнений ТВУС, причем, вследствие параболичности этих уравнений, решение в окрестности критической точки может быть получено независимо от решений в остальных областях, а система исходных уравнений в критической точке сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих только от одного геометрического параметра — отношения радиусов главных кривизн в критической точке. Решение уравнений ТВУС в окрестности критической точки тела с проницаемой поверхностью рассмотрено в [38],[39], эта же задача, но без учета масоообмена на поверхности была рассмотрена в [37]. Обтекание затупленных тел с проницаемой поверхностью под углами атаки и скольжения исследуется в [40]-[42]. При этом используется эффективный численный метод четвертого порядка точности по нормальной к поверхности тела координате, позволяющий проводить расчеты при отсутствии в течении плоскостей симметрии.

В первых трех главах диссертации в рамках модели трехмерного тонкого вязкого ударного слоя исследуется обтекание затупленных тел неравномерными потоками газа. Возникающая при этом картина течения имеет характерные особенности, которые делают необходимым детальный учет эффектов неравномерности в набегающем на тело потоке газа. Характерным примером неравномерного обтекания является обтекание моделей летательных аппаратов сильно недорасширенными струями в экспериментальных установках с целью получения достаточно высоких тепловых потоков, которые были бы близки к натурным [43], [44]. В ряде случаев, например, при использовании плазменных сверхзвуковых источников и отсутствии сопел с жесткими стенками, хорошей математической моделью таких течений является течение от сверхзвукового сферического источника. В работе [45] показано, что при истечении сверхзвуковой струи в вакуум на больших растояниях от среза сопла течение также близко к течению от источника и приведены формулы для определения параметров на источнике через характеристики реального сопла. Первые работы, в которых было рассмотрено обтекание затупленных тел неравномерными набегающими потоками газа относятся к середине 60-х годов: в работах [46], [47] в рамках уравнений Эйлера рассматривалось обтекание поверхности сильно недорасширенными струями, в работах [48], [49] исследовалось невязкое обтекание сферы расширяющимся потоком газа. При этом течение перед скачком уплотнения предполагалось течением от сферического источника [48], либо расчитывалось методом характеристик [49]- в ударном слое решение находилось методом интегральных соотношений Дородницына-Белоцерковского. В работе [50] в рамках гиперзвукового невязкого ударного слоя получено приближенное аналитическое решение для течения в окрестности критической точки тупого тела при его обтекании расходящимся потоком. При этом было показано, что влияние неравномерности на решение можно сильно ослабить, если при анализе задачи ввести эффективный радиус кривизны, зависящий от степени неравномерности потока. Задача об ударе неравномерного сверхзвукового потока невязкого газа о плоскую преграду рассматривалось в [51].

В работе [52] рассматривалось невязкое обтекание сферы сверхзвуковыми равномерными и неравномерными потоками газа. Предлагается использовать специальные переменные подобия, в которых угловая координата деформируется пропорционально координате звуковой точки, и показано, что в этих переменных решение слабо зависит от степени неравномерности набегающего потока.

Обтекание тонких тел гиперзвуковым расширяющимся потоком невязкого газа рассмотрено в [53], [54]. Получена аналогия между обтеканием параллельным потоком и потоком от источника для случая, когда показатель адиабаты 7 = 2.

Задача обтекания затупленного тела потоком от источника с учетом эффектов молекулярного переноса в ударном слое в рамках уравнений Навье-Стокса и классического разделения возмущенной области на зону невязкого течения и пограничный слой рассмотрена в [55]. Эта же задача, но в рамках уравнений ПВУС была рассмотрена [56]-[58],[99]. При этом для численного интегрирования использозался метод, описанный в [21], [22]. Результаты проведенных расчетов показали, что усиление неравномерности (уменьшение растояния от тела до источника) приводит к уменьшению отхода ударной волны в критической точке, смещению звуковой линии к оси симметрии, распрямлению ударной волны и увеличению теплового потока на всей лобовой поверхности сферы. В [58] исследовались свойства подобия таких течений. Были получены универсальные распределения напряжения трения и теплового потока вдоль поверхности сферы в переменных работы [52] (в качестве независимой переменной использовалась rj = в/вв, где 9s — угловая координата звуковой точки. В рамках модели пограничного слоя данная задача рассматривалась в [59]-[62], причем решение в невязком ударном слое находилось с использованием метода Г. Г. Черного [2] в виде разложения искомых функций по параметру е, где? — отношение плотностей на ударной волне, а коэффициенты трения и теплообмена на поверхности тела расчитывались по формулам [67], полученным с использованием теории локального подобия Лиза [68]. В [60] предложена приближенная формула для определения теплового потока через параметры неравномерности и тепловой поток в случае равномерного обтекания, которая, как показали сравнения с [56], имеет точность не хуже 10%. В работе [63] было рассмотрено обтекание сферического затупления расходящимся потоком газа при наличии сильного дозвукового вдува с поверхности в рамках невязкой постановки задачи. Теплообмен при взаимодействии недорас-ширенной струи с плоской преградой теоретически и экспериментально рассматривался в [64]- [66].

Другой интересный с практической точки зрения случай неравномерного обтекания возникает, если тело находится в следе за другим телом. Исследование течения в следе за телом, двяжущимся со сверхзвуковой скоростью, является классической задачей аэродинамики и нашло широкое отражение, например, в [4], [69]-[71]. Обтекание тела, находящегося в ближнем следе за другим телом, достаточно хорошо изучено экспериментальным образом (например, в работах [72], [73], [82]). С другой стороны, экспериментальные исследования моделей, летящих в дальнем следе за другим телом, весьма затруднены. Поэтому при исследовании таких течений на передний план выступают теоретические методы.

Ранее течение около поверхности сферы, находящейся в дальнем сверхзвуковом следе исследовалось в рамках уравнений Навье-Стокса в [55] и в рамках уравнений ПВУС в [56], [74]- [78], [99]. Результаты проведенных расчетов свидетельствуют о том, что с ростом интенсивности следа происходит увеличение отхода ударной волны в критической точке и размеров дозвуковой области, а при достаточно сильной неравномерности набегаюцего потока происходит качественная перестройка характера течения, связанная с образованием в ударном слое возвратно-циркуляционной зоны. В [74], [76] было рассмотрено обтекание сферы, летящей в следе за цилиндром, обтекание которого было расчитано в рамках уравнений Навье-Стокса в [5]. В [56], [74], [77] при расчете течения в ударном слое использовались также уравнения Эйлера.

Вопросы теплообмена и сопротивления тел, летящих в дальнем следе, рассмотрены в [79], [81]. При этом решение в невязком ударном слое находилось при помощи асимптотического метода [87], а параметры трения и теплообмена на поверхности расчитывались по формулам из работы [67]. В [79] также предложен асимптотический критерий, при выполнении которого осуществляется безотрывное обтекание. В ряде работ данная задача решалась в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС). В [80] при помощи метода из работ [33]-[34] для малых значений числа Рейнольдса получено приближенное аналитическое решение, а в [85] асимптотическое решение в невязком ударном слое и слое вдуваемых газов. Численные решения задачи для течения около непроницаемой поверхности получены в [82], [83], для течения с учетом вдува с поверхности тела в [82], [84], около удлиненных гиперболоидов вращения в рамках турбулентного ТВУС — в [94].

В [88], [89] при помощи сеточно-характеристического метода расчитано течение около лобовой поверхности сферы, эллипсоида и плоского торца при их обтекании неравномерным потоком идеального газа, в [90] в предположении о наличии в ударном слое области невязкого течения и пограничного слоя расчитано обтекание затупленных конусов под углами атаки потоком типа дальнего следа.

При изучении движения тела через температурную неоднородность также необходимо учитывать эффекты неравномерности в набегающем потоке газа. Характерной особенностью такой задачи является её существенная нестационарность. Ранее некоторые нестационарные задачи течения в вязком ударном слое рассматривались в [31], [92] - в этих работах исследовались течения при нестационарном вдуве газа с поверхности тела. В ряде работ проводилось теоретическое исследование нестационарных эффектов, возникающих при сверхзвуковом движении тела в неоднородных средах. В [93]-[94] изучение велось в рамках модели идеального газа, в [96]-[99] для расчета обтекания сферы использовались уравнения вязкого ударного слоя, причем если в [96] решение ограничивалось окрестностью линии торможения, то в [97]-[99] оно было получено для всей лобовой поверхности. Приведенное в [97]-[99] сравнение с экспериментом [95] показывает удовлетворительную точность выбранной математической модели.

В работах [101]-[105] в качестве примера неравномерного набегающего потока рассматривалось закрученное течение газа. В [100] закрученное течение в гиперзвуковом ударном слое исследовалось в невязкой постановке. В рамках модели вязкого ударного слоя влияние внешней завихренности потока на теплообмен около непроницаемой поверхности тело в окрестности критической точки исследовалось в [101], а с учетом вдува с поверхности тела в [105]. В последней работе было получено также асимптотическое решение в невязком ударном слое, анализ которого позволил сделать вывод о возникновении в ударном слое при достаточно сильной неравномерности возвратно-циркуляционной зоны. В [102]-[103] закрученные течения изучались в рамках модели ламинарного пограничного слоя, в [104] -в рамках параболизованных уравнений Навье-Стокса.

Несмотря на значительные успехи, достигнутые при изучении обтекания затупленных тел неравномерными потоками вязкого газа, решение этой задачи еще далеко от своего завершения. В первую очередь это связано с тем, что практически отсутствуют решения задачи неравномерного обтекания в трехмерной постановке. К исключениям относятся лишь работы, в которых рассматривается обтекание осесимметричных тел закрученными потоками газа — частного случая трехмерных течений, когда вектор скорости имеет три ненулевых компоненты, но решение зависит от двух пространственных переменных.

В связи с этим в данной работе основное внимание уделяется решению различных пространственных задач, возникающих при обтекании затупленных тел неравномерными потоками вязкого газа.

В первой главе диссертации рассматривается течение в окрестности критической точки двоякой кривизны при обтекании тела потоками типа дальнего следа и потоком от сверхзвукового сферического источника. Исследуется влияние неравномерности набегающего потока на отход ударной волны, структуру течения, коэффициенты трения и теплообмена. Показано, что это влияние существенным образом зависит от числа Рей-нольдса, характера неравномерности и формы тела. Получено асимптотическое решение в невязком ударном слое и слое вдуваемых газов и исследована область существования этого решения в зависимости от параметров неравномерности. Предложен асимптотический критерий, при выполнении которого в пространственном ударном слое отсутствуют возвратные течения. На основе численных расчетов предложена формула для определения теплового потока в критическую точку при обтекании потоком от источника через параметры неравномерности и значения параметров обтекания при отсутствии неравномерности. В четвертом параграфе первой главы изучено совместное влияние неравномерности набегающего потока и нестационарности задачи при движении тела через плоскую тепловую неоднородность.

В заключительном параграфе данной главы исследуется течение многокомпонентного химически реагирующего газа в окрестности критической точки тела, движущейся вдоль траектории входа в атмосферу Земли перспективного аппарата NASA Х38. Уравнения вязкого ударного слоя решаются совместно с уравнениями теплопроводности внутри покрытия и с учетом гетерогенных реакций на поверхности тела. Исследование вязкого ударного слоя в данной постановке на теплоизолированной поверхности рассматривалось в [116]-[118], в сопряженной постановке — в [119]-[121]. При этом во всех вышеперечисленных случаях рассматривалась траектория ДА предыдущего поколения (Space Shuttle) [122]. Траектория NASA Х38[123] обладает значительными особенностями, связанными с возможностью использования современных теплозащитных покрытий, позволяющих осуществлять торможение JIA на более низких высотах полета. Приводится температура поверхности в зависимости от высоты (времени) полета для различных каталитических активностей поверхности и различных теплофизических свойств покрытия. Показано, что необходимость учета влияния сопряженного теплообмена на температуру поверхности существенным образом зависит от характеристик покрытия ДА. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [173], [175], [177], [180].

Вторая глава диссертации посвящена исследованию практически важного частного случая пространственного обтекания затупленных вращающихся тел неравномерными потоками газа. В этом случае решение задачи зависит только от двух пространственных переменных, хотя все три компоненты вектора скорости отличны от нуля. В случае равномерного обтекания в рамках модели пограничного слоя эта задача рассматривалась в [106], в рамках уравнений ТВУС — в [107]-[110]. Влияние вращения учитывалось также в вышеупомянутых работах [101], [103]-[105].

В данной работе получено численное решение в широком диапазоне определяющих параметров задачи, а в случае закрученного набегающего потока — для малых и умеренных чисел Речнольдса получено также приближенное аналитическое решение интегральным методом последовательных приближений. Исследовано совместное влияние врашения тела и неравномерности набегающего потока на характер течения в ударном слое, коэффициенты трения и теплообмена на поверхности тела. В этой же главе рассмотрено неравномерное обтекание удлиненных гиперболоидов вращения и обобщен невязкий критерий безотрывного обтекания из главы 1 на течение около боковой поверхности тела. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [174], [176], [178], [182].

В третьей главе диссертации рассматривается задача о течении однородного газа в пространственном ТВУС около затупленных тел, обтекаемых неравномерными потоками типа дальнего следа и потока от сверхзвукового сферического источника под углами атаки и скольжения. При этом используется эффективный численный метод, обладающий четвертым порядком аппроксимации по поперечной координате и не требующий наличия в течении плоскостей симметрии. Проанализировано влияние геометрических характеристик течения, числа Рейнольдса и температуры поверхности на характер влияния параметров неравномерности набегающего потока на интегральные характеристики течения в ударном слое. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [179], [181], [183].

В четвертой главе диссертации предлагается численный метод шестого порядка точности решения двухточечной краевой задачи для параболических уравнений. Исходная система дифференциальных уравнений путем введения новых неизвестных функций записывается в виде системы уравнений первого порядка. Полученная таким образом система уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно поперечной координаты (, линеаризуется подходящим образом и затем решается численно на основе неявной разностной схемы шестого порядка аппроксимации относительно Полученная при этом система разностных уравнений имеет трехдиагональную блочную матрицу с блоками размером 4×4 и решается при помощи варианта метода прогонки, не требующего при своей реализации прямого обращения матриц 4 X 4 и позволяющего проводить вычисления стандартным образом при краевых условиях весьма общего вида.

В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных использованию разностных схем применительно к расчету течений в пограничном слое. Достаточно подробный обзор таких работ изложен в [124],[125]. При этом наряду с традиционными схемами второго порядка аппроксимации по поперечной координате[126],[127], имеются работы, в которых предлагаются схемы четвертого порядка точности в указанном направлении [128]-[131].

Наиболее простой способ построения схем высокого порядка состоит в использовании многоточечных шаблонов. Однако, этот метод не на шел достаточно широкого применения как из-за сложности решения получающихся конечно-разностных уравнений, так и из-за проблем, возникающих при нестандартной записи схемы вблизи границы. Альтернативный способ построения схем высокого порядка аппроксимаций заключается в использовании эрмитовых или компактных аппроксимаций, главная идея которых заключается в построении разностных формул, включающих в себя как искомые функции, так и их производные. Некоторая аналогия этому подходу просматривается в теории интерполяции функций, когда при использовании полиномов Эрмита для увеличения точности аппроксимации в опорных точках кроме значений функций учитываются еще и значения их производных. Различные вопросы применения эрмитовых схем к решению разнообразных задач гидродинамики рассмотрены в обзоре [132]. Систематическое изложение теоретических основ компактных аппроксимаций с разностями против потока представлено в монографии [133].

Первая такая схема была предложена Петуховым для решения уравнений двумерного пограничного слоя в работе [128]. В дальнейшем в отечественной научной литературе она нашла широчайшее применение при численном решении разнообразных задач гидродинамики в рамках различных математических моделей, имеющих параболический характер.

Необходимо отметить, что применение схем повышенного порядка аппроксимации приводит в общем случае к увеличению количества вычислений, приходящихся на одну точку разностной сетки. Однако для гладких течений эти схемы позволяют существенно уменьшить общее число расчетных точек и получить, по сравнению со схемами второго порядка, в целом выигрыш как по необходимой для расчета памяти компьютера, так и по затратам машинного времени.

Полученные при помощи данного метода решения модельного уравнения Фокнера-Скэн приведены в сравнении с результатами, полученными с помощью известных методов Келлера[127] и Петухова[128], обладающих соответственно вторым и четвертым порядками аппроксимации. В настоящей работе представлены также результаты применения этого метода к решению достаточно сложной и актуальной задачи — расчету течений в трехмерном ламинарном пограничном слое около затупленных тел с проницаемой поверхностью. Для широкого диапазона изменения определяющих параметров задачи проведено систематическое и детальное исследование влияния числа разбиений и типа используемой разностной сетки (равномерной либо неравномерной) на точность получаемого решения как в окрестности критической точки, так на боковой поверхности тела. Проанализирован характер сеточной сходимости на последовательности вложенных сеток и дана сравнительная оценка вычислительной эффективности полученного алгоритма и расчетов, полученных на основе методов Келлера[127] и Петухова[128]. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [192], [194].

Пятая глава диссертации посвящена применению методов высокого порядка аппроксимации к решению эллиптических уравнений. Как было отмечено выше, уравнения ПВУС, являются эллиптическими в дозвуковых областях течения, и поэтому для их решения невозможно прямое применение маршевых методов. Вследствие этого, для решения уравнений ПВУС применяются либо метод установления по времени, либо метод глобальных итераций.

Метод глобальных итераций для решения двумерных задач впервые предложен в [9]. В работах [12]-[16] был предложен целый ряд усовершенствований метода: был изменен способ задания начальных данных, применены методы релаксации и сглаживания формы ударной волны. Все это позволило расширить класс тел, к которым мог быть применен метод глобальных итераций. Для решения трехмерных уравнений ПВУС этот метод впервые был применен в [17] при расчете обтекания сферически затупленных конусов под углами атаки.

В методе установления в качестве исходных используются нестационарные уравнения ПВУС, а искомое решение находится как предел при устремлении временной переменной к бесконечности. В [18], [19] этот метод используется для исследования течения совершенного газа в плоскости симметрии сферически затупленных конусов. При этом нестационарные уравнения решались явным методом Мак-Кормака [20]. В работах [21],[22] для решения нестационарных уравнений ПВУС в задаче обтекания сферы использовалась неявная по времени разностная схема с весами, имеющая второй порядок точности по пространственным координатам. Полученная таким образом система нелинейных разностных уравнений решается методом последовательных приближений, предложенным ранее в [23] для расчета течений невязкого газа. В [25] метод [21],[22] был обобщен на случай пространственного обтекания эллипсоида вращения под углом атаки. Обтекание тел более сложной формы при нулевом угле атаки рассматривалось в [26], а при ненулевом угле атаки в [27],[28].

В данной работе для исследования сверхзвуковых осесимметричных течений вязкого газа около затупленных тел в рамках модели вязкого ударного слоя предложен вариант метода установления, в основе которого лежит неявная конечно-разностная схема высокого порядка аппроксимации по координате, отсчитываемой по нормали к поверхности обтекаемого тела. Исходя из результатов сравнений расчетов, проведенных в широком диапазоне изменения определяющих параметров задачи, с данными эксперимента и с результатами других авторов, сделан вывод о том, что наряду с хорошей точностью данный алгоритм является высокоэкономичным и для своей реализации требует значительно меньше вычислительных ресурсов (как по памяти, так и по быстродействию ЭВМ) по сравнению с наиболее распространенными схемами второго порядка точности.

Численно исследовано обтекание осесимметричных гладких затупленных тел сверхзвуковым потоком вязкого однородного газа в широком диапазоне изменения геометрии течения, чисел Маха и Рейнольдса. Проанализировано влияние определяющих параметров задачи на характер течения и теплообмена вдоль поверхности. Дана оценка точности и области применимости ряда приближенных подходов к решению задачи.

В заключительном параграфе данной главы предложен метод переменных направлений для решения двумерных эллиптических уравнений, аппроксимируемых при помощи схем типа схемы Петухова и показано преимущество этого метода по сравнению с традиционным методом релаксации по строкам на примере уравнений Бюргерса. Здесь же приведен новый вывод конечно-разностных соотношений, полученных в оригинальной работе Петухова [128] из интегральных соображений, позволяющий выявить место этой схемы в ряду других компактных аппроксимаций. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [189], [196], [199].

В шестой главе диссертации для решения ряда задач оптимизации, актуальных для гиперзвуковой аэродинамики (оптимизации затупления лобовой поверхности осесимметричного тела по конвективному тепловому потоку, оптимизации траектории входа ДА) предложены два эффективных метода, использующих базовые идеи генетических алгоритмов (ГА). Важной особенностью генетических алгоритмов является их ро-бастость: они сходятся к глобальному оптимуму (что очень важно для задач, у которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов) и в отличие от классических градиентных методов оптимизации при их реализации не требуется сильных ограничений на гладкость целевой функции и они позволяют находить оптимум даже для случая, когда целевая функция является разрывной.

Предложенные в конце 60-ых годов, и получившие теоретическое обоснование в 1975 году [135] генетические алгоритмы (в силу своей универсальности и высокой эффективности) в дальнейшем получили чрезвычайно широкое распространение для решения задач поиска и оптимизации в самых разнообразных областях науки и техники [136], [138], [139]. ГА представляют собой алгоритмы поиска, основанные на механизмах природной селекции и генетики, и имеют дело с популяцией возможных решений задачи, которые подвергаются циклическому воздействию трех основных «генетических» операторов — селекции, скрещиванию и мутации. Будучи вероятностными, генетические алгоритмы тем не менее не являются просто еще одним вариантом случайного поиска, поскольку при отборе новых точек с ожидаемыми более хорошими возможностями, они эффективно используют предыдущую информацию.

ГА не являются единственно возможными методами нулевого порядка (т.е. не использующими градиентную информацию). Близкие идеи развиваются в работах, посвященных эволюционный методам и эволюционным стратегиям [137], а также управляемому случайному поиску [134] и некоторым другим методам, имеющим дело с наборами испытаний (возможных решений) [142].

В диссертации в рамках моделей пограничного слоя и вязкого ударного слоя исследуются формы затуплений, на которых реализуется минимум интегрального теплового потока к поверхности тела при заданных габаритных ограничениях и ограничении на максимум равновестной температуры поверхности. Для решения собственно задачи оптимизации затупления лобовой поверхности осесимметричного тела по конвективному тепловому потоку предлагается эффективный генетический алгоритм (ГА). На основании систематических численных расчетов сделан вывод, что предложенный метод решения вариационной задачи является устойчивым, робастым, имеет высокий уровень вычислительной эффективности и позволяет получать решение в широком диапазоне изменения параметров задачи. Проведено сравнение решений, получающихся при использовании различных газодинамических моделей. Оптимальное решение, полученное на основе ГА сравнивается с решением, полученным с использованием традиционного подхода с применением модифицированного метода Давидона для поиска экстремума нелинейной функции многих переменных. Показано, что ГА позволяет достигнуть более лучших результатов: интегральный тепловой поток для решения с использованием ГА меньше, чем соответствующее значение для градиентого метода на 3−5%.

Ранее задача об определении тела минимальных тепловых потоков была рассмотрена с использованием ряда упрощающих предположений. В [143] была поставлена задача об определении оптимального радиуса затупленного тела при заданном угле полураствора конуса и его объеме, в [144] для аналогичной задачи в расчет принималась излучаемая телом энергия. В работе [145] класс рассмотренных тел ограничивался формами с плоскими затуплениями, а в [146] был определен радиус сферического затупления и угол полураствора конуса минимальных тепловых потоков при заданных длине и миделе тела. В [147, 148] была поставлена и решена задача об определении формы тела с минимальным радиационным тепловым потоком к его поверхности. Приближенное решение аналогичной задачи в классе тонких тел для минимального полного (конвективного и радиационного) теплового потока было получено в [149, 150]. Обзор работ посвященных решению экстремальных задач при теплообмене тел, движущихся с гиперзвуковыми скоростями, а также постановка вариационной задачи для нахождения оптимальной формы пространственных тел, обладающих минимальным суммарным тепловым нагревом при движении вдоль траектории входа, приведен в [151].

В заключительном параграфе данной главы рассматривается задача оптимизации параметров траектории входа в атмосферу Земли по величине суммарного конвективного теплового потока в точке торможения затупленного тела. Как известно, при входе тела в плотные слои атмосферы Земли тепловые потоки к его поверхности настолько велики, что при создании космических аппаратов (КА) многоразового использования возникает сложная и комплексная задача их тепловой защиты. При этом решение задачи о снижении уровня тепловой нагрузки на КА подразумевает определение параметров траектории входа и выбор конструктивного решения К, А (аэродинамические характеристики, тип системы теплозащиты и т. д.). Решение полной задачи оптимизации траектории по тепловой нагрузке на поверхность КА в общем виде включает в себя совместное решение задачи оптимального управления (механическая задача) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений движения материальной точки в атмосфере [152, 153, 154, 155] в которую входят аэродинамические коэффиценты, требующие для своего определения расчетов пространственного обтекания всей поверхности КА (газодинамическая задача) при наличии физико-химических процессов (термодинамическая и химическая неравновесность, излучение и т. д.).

В связи с чрезвычайной сложностью решения этой задачи в полной сопряженной постановке, широкое распространение получили различные приближенные подходы, при которых механическая и газодинамические части задачи отделяются друг от друга, а для аэродинамических коэффициентов используются либо различные аппроксимации [153], либо они рассматриваются как параметры механической задачи, позволяющие исследовать так называемые опорные траектории. В задаче оптимизации в качестве подинтегрального выражения для целевой функции, в зависимости от постановки задачи, используются аппроксимации вдоль траектории теплового потока ко всей поверхности тела или в некоторых точках на поверхности тела (чаще всего в точке торможения) [153], [156].

В настоящей работе приведены результаты решения задачи по определению траектории входа затупленного тела заданной формы в атмосферу Земли, вдоль которой суммарный тепловой поток в критическую точку тела имеет минимум, а равновесная температура поверхности тела не превышает наперед заданную величину, а также траектории, вдоль которой максимальная равновесная температура поверхности тела в критической точке минимальна. В качестве исходной газодинамической модели для определения теплового потока к поверхности тела используются уравнения тонкого (гиперзвукового) вязкого ударного (ТВУС) слоя с учетом химической неравновесности, многокомпонентного характера диффузии и сопряженного теплообмена на поверхности, обладающих хорошей точностью для условий входа в диапазоне высот от 100 до 50 км и скоростей от 8 до 2,5 км/с [7]. Показано, что решение этой задачи может быть сведено к решению последовательности задач без учета сопряженного теплообмена. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [193], [198], [200] - [203].

Последняя глава диссертации посвящена построению некоторых параллельных алгоритмов гиперзвуковой аэродинамики. Интерес к пара-лельным методам вычислительной гидродинамики резко вырос за последнее десятилетие и связан с широким распространением сравнительно недорогих многопроцессорных систем [1], обладающих производительностью супер-компьютера и позволяющих уменьшить стоимость вычислений в несколько раз. С другой стороны, благодаря развитию компьютерных технологий, очень быстро растет производительность рабочих станций и персональных компьютеров. Некоторые эксперименты [157] показывают, что сетевой комплекс из 14 компьютеров IBM RS6000 оказывается быстрее чем суперкомпьютер Сгау-2. В настоящее время большинство научных учреждений обладает сетями достаточно производительных компьютеров, которые могут эффективно использоваться для решения вычислительных задач механики сплошной среды. Програмное обеспечение для этих сетей использует обычные принципы проектирования параллельных алгоритмов для MIMD-компьютеров. Несмотря на быстрый рост числа публикаций в этой области, необходимо отметить что существуют целый ряд разделов вычислительной гидродинамики, для которых пока не разработаны достаточно эффективные параллельные алгоритмы. Ряд последних достижений в этой области приведен в [162]-[165].

В данной работе предложены подходы к созданию параллельных неявных трехмерных численных алгоритмов гиперзвуковой аэродинамики при помощи схем высокого порядка аппроксимации для многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью либо сетей компьютеров. В разделе 7.1 на основе принципа геометрического параллелизма предложен параллельный алгоритм для решения уравнений ТВУС и приведено его описание в терминах теории взаимодействующих последовательных процессов. В 7.2 этот алгоритм обобщен для решения трехмерного химически неравновестного ударного слоя. В 7.3 предложен подход к созданию численного алгоритма с высоким уровнем эффективности для решения трехмерных уравнений турбулентного пограничного слоя на основе неявной конечно-разностной схемы высокого порядка точности на сети компьютеров с различной производительностью либо на многопроцессорной ЭВМ с распределенной памятью.

В разделе 7.4 предложен вариант метода встречной прогонки для схемы Петухова и на основе его параллельной реализации построен алгоритм для решения уравнений полного вязкого ударного слоя с эффективностью распараллеливания до 90% и более. Ранее параллельный вариант метода, близкого к встречной прогонке для обычной трехдиа-гональной матрица приведен в [166], оригинальный подход к «распараллеливанию» прогонки представлен в [167].

Надо отметить, что в отличии от большинства численных методов, генетические алгоритмы обладают естественным внутренним параллелизмом. В 7.5 предложен асинхронный параллельный вещественный генетический алгоритм для решения задач оптимизации формы тела по конвективному тепловому потоку и показано, что эффективность распараллеливания близка к 100%.

Основные результаты этой главы опубликованы в работах [185]-[191], [203].

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях молодых ученых ИТПМ (г.Новосибирск, 1987,1988 гг.), на IV, V Всесоюзных конференциях по современным проблемам аэродинамики (г. Жданов, 1987 г., п. Рыбачий, 1989 г.), на Школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (г.Абакан, 1989 г.), на 7 Всесоюзной школе-семинаре «Современные проблемы механики жидкости и газа» (г.Иркутск, 1990 г.), на III Всесоюзной школе-семинаре по макрокинетике и химической и магнитной газодинамике Красноярск, 1990 г.), Школе по математическому моделированию (Абрау-Дюрсо, 1993 г.), конференциях «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике». (г.Ижевск. 1996, 1998гг.), Международной конференции по внутрикамерным процессам и горению ICOC-96 (г.С.-Петербург, 1996 г.), международных конференциях Parallel Computational Fluid Dynamics (г.Париж, Франция, 1993 г., г. Киото, Япония, 1994 г., г. Манчестер, Великобритания, 1997 г., г. Вильямсберг, США, 1999 г.), конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (г. Томск, 1997 г.), конференции «Математические модели и методы исследования» (г.Красноярск, 1997 г.), международной конференции по генетическим алгоритмам EVROGEN97, (г.Триест, Италия, 1997 г.,), конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (г. Томск, 1998 г.), Четвертом европейском конгрессе по вычислительной гидродинамике ECCOMAS'98 (г.Афины, Греция, 1998 г.).

В заключение автор хочет выразить благодарность профессору Пей-гину С.В. за внимание к работе и полезные обсуждения ее результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. В широком диапазоне изменения определяющих параметров задачи получено численное решение уравнений пространственного гиперзвукового вязкого ударного слоя в окрестности критической точки двоякой кривизны при обтекании тела неравномерными потоками типа дальнего сверхзвукового следа и из сверхзвукового сферического источника. Показано, что влияние неравномерности на параметры в ударном слое в основном определяется величиной и знаком градиента полного давления в набегающем потоке и существенным образом зависит от числа Рейнольдса, температуры поверхности и геометрии тела. Для течения типа дальнего следа предложен параметр подобия А, полностью определяющий влияние неравномерности в окрестности линии торможения. Показано, что существует критическое значение параметра А*, при котором в ударном слое возникает зона возвратного течения. Для случая течения в потоке от источника получено, что усиление неравномерности приводит к ослаблению влияния формы тела на параметры в ударном слое и сдвигу погранслойной асимптотики исходных уравнений в сторону больших чисел Рейнольдса. При больших значениях числа Рейнольдса и параметра вдува с поверхности получено асимптотическое решение данной задачи в слое вдуваемых газов и невязком ударном слое. На основе полученного решения предложена формула для определения критического значения параметра А*, при котором в ударном слое возникает возвратно-циркуляционная зона. На основе проведенных исследований предложена формула для определения теплового потока в критическую точку тела, обтекаемого потоком из сверхзвукового сферического источника, обладающая хорошей точностью в широком диалазоне чисел Рейнольдса, параметра неравномерности и геометрии тела.

2. Исследовано совместное влияние неравномерности набегающего потока и нестационарности задачи на течение в окрестности линии торможения при прохождении тела через температурную неоднородность. Показано, что тепловой поток в критическую точку, отнесенный к своему значению при равномерном обтекании, является величиной консервативной и слабо зависит от числа Рейнольдса, температуры поверхности и геометрии тела. Проведена оценка возможности решения данной задачи в квазистационарной постановке и показано, что неучет нестационарных членов уравнений приводит как к количественным, так и к качественным ошибкам при расчете параметров течения в ударном слое.

3. В сопряженной постановке решена задача о течении многокомпонентного химически реагирующего газа в окрестности критической точки тела, движущейся вдоль траектории входа в атмосферу Земли перспективного аппарата NASA Х38.

4. В широком диапазоне изменения числа Рейнольдса, температуры поверхности и параметров неравномерности получено численное решение уравнений ТВУС около вращающихся осесимметричныхтел, обтекаемых неравномерными потоками типа дальнего сверхзвукового следа и от сверхзвукового сферического источника. Показано, что вращение тела приводит к ослаблению зависимостей величин теплового потока и коэффициента трения от параметров неравномерности и, в ряде случаев, к качественному изменению характеров этих зависимостей. Разработан эффективный численный метод решения уравнений осесимметричного тонкого вязкого ударного слоя в неравномерном потоке газа, позволяющий проводить расчеты течения около длинных тел. На примере обтекания удлиненных гиперболоидов вращения показано, что неравномерность достаточно малой интенсивности может оказывать существенное влияние на параметры течения в ударном слое при достаточном удалении от критической точки тела. Предложена асимптотическая формула для определения давления на поверхности тела, обтекаемого неравномерным потоком газа типа дальнего следа. Численными и аналитическими методами исследовано течение в ударном слое около тела, обтекаемого закрученным потоком газа. Получено приближенное аналитическое решение задачи методом последовательных приближений, дающее хорошую точность уже в первом приближении для Re < 50. Показано, что влияние закрутки набегающего потока приводит к смещению максимума теплового потока из критической точки на боковую поверхность тела и более раннему отрыву ударного слоя по сравнению со случаем равномерного обтекания.

5. Разработан эффективный и экономичный метод интегрирования трехмерных уравнений тонкого вязкого ударного слоя на затупленных телах с проницаемой поверхностью при их обтекании неравномерным потоком газа. Метод имеет повышенный порядок аппроксимации по поперечной координате и не требует наличия в течении плоскости симметрии. В широком диалазоне изменения формы тела, температуры поверхности, числа Рейнольдса и параметров неравномерности решена задача о течении однородного газа в пространственном тонком вязком ударном слое около трехосных эллипсоидов, обтекаемых потоком типа дальнего следа под углами атаки и скольжения. Показано, что характерной особенностью таких течений является возникновение на боковой поверхности тела под влиянием неравномерности локальных максимумов в распределениях теплового потока и давления по поверхности тела. Проанализировано влияние числа Рейнольдса, температуры поверхности, углов атаки и скольжения и параметра неравномерности на распределения давления и теплового потока по поверхности трехосных эллипсоидов, обтекаемых потоками от сверхзвукового сферического источника. Показано, что усиление неравномерности приводит к сглаживанию распределений теплового потока и общему уменьшению влияния геометрических характеристик течения на параметры в ударном слое.

6.Предложен численный метод шестого порядка аппроксимации для решения двухточечной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа с краевыми условиями общего вида. Полученная при этом система разностных уравнений решается при помощи варианта метода прогонки, позволяющего проводить вычисления стандартным образом при краевых условиях весьма общего вида. Приведены результаты применения предложенного численного метода для решения уравнения Фокнера-Скэн и уравнений трехмерного ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности. Исследовано влияние числа разбиений и типа используемой разностной сетки (равномерной либо неравномерной) на точность получаемого решения в широком диапазоне изменения определяющих параметров задачи и продемонстрирован характер сеточной сходимости на последовательности вложенных сеток. Приведено сравнение с результатами, полученными с помощью известных методов Келлера и Петухова, обладающих соответственно вторым и четвертым порядками аппроксимации.

7.Для исследования сверхзвуковых осесимметричных течений вязкого газа около затупленных тел в рамках модели вязкого ударного слоя предложен вариант метода установления, в основе которого лежит неявная конечно-разностная схема высокого порядка аппроксимации по координате, отсчитываемой по нормали к поверхности обтекаемого тела. При помощи этого метода исследовано обтекание осесимметричных гладких затупленных тел сверхзвуковым потоком вязкого однородного газа в широком диапазоне изменения геометрии течения, чисел Маха и Рейнольдса, температуры поверхности и показателя адиабаты, в том числе для сильно затупленных и выпукло-вогнутых тел. Проанализировано влияние определяющих параметров задачи на характер течения и теплообмена вдоль поверхности. Дана оценка точности и области применимости ряда приближенных подходов к решению задачи.

8. Предложен вариант схемы Петухова для решения двумерных эллиптических уравнений. Полученная при этом система разностных уравнений решается при помощи варианта метода переменных направлений, позволяющего проводить вычисления стандартным образом при краевых условиях весьма общего вида. Эффективность предложенного метода продемонстрирована на примере системы уравнений Бюргерса.

9. Для решения ряда задач оптимизации, актуальных для гиперзвуковой аэродинамики, предложены два семейства вещественных генетических алгоритмов, позволяющих находить оптимумы мультимодаль-ных функций, в том числе для случаев, когда целевая функция является разрывной. В рамках моделей пограничного слоя и вязкого ударного слоя исследованы формы затуплений, на которых реализуется минимум интегрального теплового потока к поверхности тела при заданных габаритных ограничениях и ограничении на максимум равновестной температуры поверхности. Показано, что качественный характер оптимальной формы в достаточно широком диапазоне изменения габаритов тела не зависит от используемой газодинамической модели течения и предло.

262 жен эффективный приближенный метод решения задачи о поиске оптимальной формы в рамках вязкого ударного слоя, как формы принадлежащей некоторой последовательности форм, оптимальных в рамках модели пограничного слоя, и отвечающей ограничению по температуре в рамках модели вязкого ударного слоя. Решена задача оптимизации параметров траектории входа в атмосферу Земли по величине суммарного конвективного теплового потока в точке торможения затупленного тела в рамках модели химически неравновесного вязкого ударного слоя с учетом сопряженного теплообмена. Показано, что решение этой задачи может быть сведено к решению последовательности задач без учета сопряженного теплообмена.

10. На основе принципа геометрического параллелизма предложены подходы к созданию численных алгоритмов с высоким уровнем эффективности для решения трехмерных уравнений тонкого вязкого ударного слоя и турбулентного пограничного слоя на основе неявной конечно-разностной схемы высокого порядка точности на сети компьютеров с различной производительностью либо на многопроцессорной ЭВМ с распределенной памятью. Предложен вариант метода встречной прогонки и его адаптация для параллельной вычислительной системы на примере решения уравнений полного вязкого ударного слоя. Приведен асинхронный параллельный генетический алгоритм для решения задач оптимизации. Показано, что во всех случаях эффективность распараллеливания достигает 90% и более.