Исследование волновых процессов в термоупругой среде Коссера

В 1909 Е. СоББега!, Б. Сенега! [1] впервые представили вариант теории упругости, учитывающей влияние микроструктуры на процесс деформирования среды. Это было обусловлено необходимостью внести коррективы в классическую механику континуума, которая в ряде случаев принципиально не в состоянии описать некоторые явления, связанные с дискретным строением вещества. К примеру, классической теорией не объясняется наблюдаемый экспериментально процесс дисперсии продольных, сдвиговых и поверхностных волн в композитах, содержащих макромолекулы, волокна и зерна, в поликристаллических и аморфных материалах. Описанные эффекты наиболее заметны при решении прикладных задач, имеющих дело с распространением волн с большими частотами или малыми длинами волн. Другой пример [2] - аномальное поведение крови, протекающей через капилляры, диаметры которых сравнимы с размерами диспергированных микроэлементов среды (кровяных шариков). В этом случае свойства течения отличаются от тех, которые характерны для больших сосудов. Подобные факты имеют место, поскольку любой реальный материал обладает некоторой дискретной зернистой и волокнистой структурами различных форм и размеров. Если изучаемое физическое явление включает определенную характерную длину (например, длина волны или величина микротрещины), сравнимую с размером зерна в теле, необходимо принимать во внимание микроструктуру материала. Дополнительно к сказанномусуществует обширный класс материалов, в которых микроматериальные элементы представляют собой гантелевидные молекулы, собственные колебания и вращение которых вносят существенный вклад в общий процесс деформирования среды. К данной категории относятся материалы, состоящие из жестких нитей или вытянутых зерен. Удлиненные молекулярные элементы содержат, например, полимерные композиты, стекла, керамики, отдельные виды полупроводников и аморфных тел, древесина, некоторые горные породы и минералысреди жидкостей такой структурой обладает кровь, молекулы которой имеют гантелевидную форму. Для таких сред вопросы образования и эволюции микротрещин, микроразрушения и закономерности динамического поведения основных характеристик всего материала следует рассматривать в рамках теории микроконтинуума, основанной на введении в рассмотрение моментных напряжений.

Известно [2,3], что идеи, приводящие к моментной теории упругости, высказывались и до Коссера в работах Мак-Куллага [4] в связи с исследованиями по оптике, а также в работах Кельвина [5] и Пуассона [6] в связи с попытками построения механических моделей «квазижесткого» эфира и с исследованием структуры анизотропных упругих тел. На существование моментных напряжений еще в 1839 году было указано Фойхтом [7,8] при построении его теории, в которой были получены статические уравнения моментной теории упругости.

Вопрос учета зависимости энергии деформации от высших градиентов перемещений поднимался в работах Леру [9] и получил свое разрешение при введение в рассмотрение понятия моментных напряжений.

Однако, после Коссера, в течение почти полувека теория моментных напряжений оставалась практически незамеченной и лишь во второй половине 20-го века в связи с развитием континуальной теории дислокаций [10], теории пластин и оболочек и так далее появилась необходимость пересмотра основных, исходных для механики, фундаментальных представлений и понятий, относящихся к силовым и кинематическим характеристикам, параметрам состояния среды и к структуре исходного континуума. На теорию Коссера было вновь обращено внимание [11−13] и она получила бурное развитие.

Большую роль в развитии моментных теорий сыграли работы Миндлина [15−17] и Койтера [18], где в рамках линейной теории рассмотрены некоторые эффекты, связанные с учетом моментных напряжений, дано решение задач о распространении волн, вибрациях, концентрации напряжений и центров деформации в идеально упругих изотропных материалах с центральной симметрией. Обратив особое внимание на тот факт, что действительная прочность некоторых материалов зависит от градиента деформаций, а хрупкое разрушение и начало пластической деформации при наличии концентрации напряжений происходят при нагрузках, больших, чем вычисленные при помощи коэффициента концентрации согласно классической теории упругости, Миндлин [16], опираясь на [1], построил теорию определения напряжений, где учитывается влияние градиентов деформаций и вводятся дополнительные силовые характеристики, зависящие от градиентов деформаций. Такими новыми силовыми характеристиками напряженного состояния являются моментные напряжения. При этом каждая точка рассматриваемого континуума представляет собой деформируемую среду. Основные уравнения моментной теории были получены Тру с делом и Тупиным [13]. Миндлин [16] и Тупин [19] рассмотрели специальный континуум Коссера и сформулировали теорию неопределенных моментных напряжений. Тупиным [20] и Триоли [14] были получены определяющие уравнения для конечных деформаций идеально упругих материалов — в равной мере корректные, однако имеющие различную форму. В линеаризированном виде эти уравнения совпадают с уравнениями, полученными Раджагопалом [21] и Аэро и Кувшинским [22].

В серии публикаций [22−24] с целью объяснения некоторых аномалий динамической упругости пластиков авторы развивают феноменологическую теорию упругости сплошной среды, учитывающую вращательное взаимодействие частиц, которую называют континуальной теорией асимметрической упругости. Исходным постулатом этой теории является предположение, что частицы вещества не точки, а пространственные образования, расположенные на расстояниях, сравнимых с их размерами. В этом случае действие одной частицы на другую определяется целой системой сил и моментов. Особо следует отметить, что поле перемещений и поле микровращений, возникающие в результате взаимодействия частиц, считаются независимыми. Таким образом, при описании напряженного состояния рассматриваемой среды, наряду с тензором напряжений вводится тензор микромоментов. В работе [23] установлен вид упругого потенциала, получены обобщенные законы Гука и показана связь рассматриваемой теории с 45-константной теорией Лаваля-Ле Корра [25,26]. В случае изотропной среды получено решение уравнения равновесия, приведены различные типы граничных условий, исследованы условия минимума упругого потенциала, накладывающие определенные ограничения на характер решений [24].

Дальнейшее развитие моментная теория упругости получила в работах Эрингена [2, 27−28]. Для различных типов микрополярных упругих материалов получены уравнения совместности микрополярных деформаций, постулируются основные законы движения: сохранения массы, баланса количества движения, баланса момента количества движения, сохранения энергии и приведены их локальные выражения [2]. Основной вклад этих работ состоит в том, что не только находятся определяющие соотношения линейной теории микрополярной упругости, даются основные уравнения поля, начальные граничные условия, но и для наглядной демонстрации новых физических явлений, характерных для моментной теории, решается несколько статических и динамических задач. Эринген распространил теорию микрополярной упругости на класс микрополярных жидкостей, к которым относятся жидкий кристалл, полимерные жидкости, содержащие определенные добавки, кровь животных и доказал несколько теорем единственности [27,28].

Независимо от Эрингена для объяснения закономерностей распространения коротких акустических волн в кристаллах, поликристаллических материалах и высоких полимерах Пальмовым [29] была предложена теория упругости, учитывающая дискретный характер структуры вещества, состоящего из отдельных частиц, связанных силами взаимодействия. Напряженное состояние в каждой точке рассматриваемой среды, в отличии от классической теории [31], характеризуется диадой напряжений и диадой моментных напряжений. Это положение позволяет построить математическую модель несимметричной упругости и лежит в основе последующих исследований автора. Для модели изотропной упругой среды рассмотрен процесс распространения плоских монохроматических волн и показано, что в отличии от классической теории упругости [32], наряду с известными распространяются новые типы волн — «бегущие волны вращения» и «бегущая волна искажения» — фазовые скорости которых зависят от частоты. В [30] рассмотрено упругое тело в условиях плоской деформации согласно несимметричной теории упругости. Выписаны условия совместности деформаций и предложено решение задачи о концентрации напряжений вблизи кругового отверстия в поле простого растяжения.

Изучая модели сред с микроструктурой, которые характеризуются наличием элементарной единицы длины (масштабного параметра), Кунин [33−36] предложил ввести понятие сред с пространственной дисперсией, которую, в свою очередь, разделил на среды простой и сложной структуры. В первом случае единственной кинематической переменной является вектор смещения, а силовой переменной плотность объемных сил [36]. Для описания среды сложной структуры дополнительно вводится набор микродеформаций и силовых микромоментов. Модель среды со слабой пространственной дисперсией при некоторых дополнительных ограничениях [35] соответствует так называемой моментной теории упругости со стесненным вращением [15,19].

В области исследования поведения упругих волн в континууме Коссера со стесненным вращением частиц большой вклад внесли работы [37,38], где рассмотрен нелинейный бесконечный материал в условиях гидростатического и одноосного сжатия. Показано, что в случае плоской волны скорость звука зависит от давления, как и в нелинейной упругой модели [39,40], а учет несимметричности тензора напряжений (учет моментных напряжений) приводит к появлению зависимости скорости поперечных волн от частоты. Получены новые упругие постоянные, имеющие размерность длины и определяющие различия между теорией упругого континуума Коссера и классической теорией упругости.

Некоторые задачи деформирования нелинейной упругой среды Коссера со стесненным вращением приведены в [41]. Решена задача об устойчивости сжатой между двумя жесткими плитами упругой полосы из изотропного материала Коссера. Приведен характеристический определитель, из которого было найдено критическое значение внешней нагрузки. Рассмотрена также задача о поверхностной неустойчивости полуплоскости со свободной от напряжений плоской границей.

Элементы теорий моментных напряжений можно найти в работах по нелокальной теории упругости, где из соображения присутствия характерного размера в материале предлагается описывать микронеоднородную среду как моментную [42,43]. Следует заметить, что эффекты микронеоднородности изучаются и в рамках статистического подхода к решению задач механики твердых деформируемых тел [44]. Здесь также прослеживается связь с моментной теорией упругости [45].

Ряд экспериментальных работ по изучению акустических свойств композиционных и слоистых материалов [46−51] обусловил повышенный интерес исследователей к процессу распространения волн в микрополярных средах, как изотропных, так и имеющих слабую анизотропию [52−55]. Вопросам волновой динамики посвящены работы [56,57]. Подробно теория упругости анизотропных тел представлена в монографии [58], теория упругих волн в кристаллах — в [59]. Попытка наиболее обобщенного изложения теории упругости Коссера была предложена Новацким [60].

Особый интерес для исследования представляют нелинейные среды [61,62] и закономерности распространения волн в них [63,64]. Нелинейные волновые процессы в рамках модели континуума Коссера исследовались в работах [65−76]. В частности, некоторые особенности распространения плоских периодических волн рассмотрены в [65]- нелинейным динамическим задачам в поликристаллах и композиционных материалах уделено внимание в [66]. Вопросы резонансного взаимодействия квазигармонических волн поднимались в [67,68], исследовались трехволновые резонансные взаимодействия квазигармонических продольных волн и волн вращения. В [75] приведены соотношения между характерными скоростями различных типов упругих волн для частного композита (алюминиевая дробь в эпоксидной матрице) и показано, что для различных материалов эти соотношения могут быть различными. Подробно описан эффект распадной неустойчивости, который может быть положен в основу метода измерения модулей упругости материалов. Отмечено, что продольные волны и волны сдвига-вращения связаны между собой за счет квадратичной нелинейности, причем рассматриваемая нелинейность такова, что энергетически реализуемыми могут быть лишь тройки волн, две из которых являются волнами сдвига-вращения и одна — продольной волной [73]. Для материалов, в которых волны сдвига-вращения распространяются быстрее, чем продольные волны, могут реализовываться четыре качественно различных типа трехволно-вых резонансных взаимодействий.

В [68] был выделен и исследован новый класс волновых движений — спиральные сдвиговые волны, рассмотрено их нелинейное взаимодействие с продольными волнами и показано, что в упругих средах с моментными напряжениями должна наблюдаться модуляционная неустойчивость таких волн, приводящая к формированию нелинейных волн огибающих.

Акцент на поведение нелинейных стационарных плоских волн и квазиплоских волновых пучков в нелинейно-упругих средах с микроструктурой делался в [69]. Выявлены отличия этих типов волн от стационарных волн в стержнях и пластинах, где дисперсия обусловлена геометрией тела. В частности показано, что в континууме Коссера могут существовать связанные продольно-спиновые волны. Подобный эффект может быть обнаружен на магни-тоупругих волнах в ферромагнетиках, если учесть связь между магнитным моментом атомов и механическим моментом количества движения микрочасктиц среды [71].

Распространение плоских сдвиговых волн в изотропном нелинейно-упругом теле рассмотрено в [70], где для систем с кубической нелинейностью определено изменение ширины спектра шумовой сдвиговой волны и получено выражение, позволяющее решить обратную задачу — по изменению ширины спектра шумовой сдвиговой волны вычислить коэффициент кубической нелинейности материала.

В [72] были получены соотношения для плотностей потоков энергии и волнового импульса в среде с моментными напряжениями, которые в случае плоской деформации совпадают с аналогичными выражениями для изгибных колебаний тонких пластин [77].

В [74] исследовались некоторые особенности динамического поведения периодических, уединенных и сдвиговых волн и обсуждались вопросы их устойчивости относительно поперечных возмущений. Наличие в среде микронапряжений приводит к появлению высокочастотной дисперсии продольных и сдвиговых волн. Исследован процесс устойчивости плоской стационарной волны на основе ее дифракционной расходимости. В предположении одномерного направления распространения ограниченного слабо расходящегося пучка сдвиговых волн изучалась область, в которой параметры нелинейности, дисперсии и дифракции имели одинаковый порядок малости. Для учета расходимости пучка использовалось параксиальное приближение теории дифракции [78], что позволило определить связь между продольными и поперечными перемещениями в пучке, найти значение скорости и показать, что основные возмущения переносятся со скоростью распространения сдвиговых волн. Анализ уравнения эволюции волнового пучка, содержащего кубическую нелинейность, приводит к выводу о том, что в твердых телах также, как и в нелинейной оптике, имеется возможность описывать эффекты самофокусировки квазигармонических волновых пучков. В [74] также уделялось внимание учету вязко-упругих свойств материала в средах с моментными напряжениями путем введения в реологические уравнения наследственных операторов [61]. Приведено соотношение для тензора макронапряжений в моментных средах с наследственностью и замечено, что тензор микронапряжений остается прежним.

Работа [76] посвящена изучению особенностей распространения продольных и сдвиговых волн в поврежденной среде с микроструктурой. Для описания поведения упругой среды с микронарушениями внутренняя энергия задавалась в виде потенциала Мясникова-Ляховского [79,80]. Наличие микроструктуры учитывалось с помощью моментных напряжений. Построенная таким образом математическая модель, являясь существенно нелинейной, позволила описать стационарные волны, в том числе уединенные стационарные волны — солитоны [81,82], определить зависимости между основными параметрами волн и поврежденностью материала. Показано, что эти зависимости могут быть положены в основу разработки акустического метода диагностики повре-жденности материалов.

Для наиболее тщательного изучения поведения микрополярных сред в работе [83] была предложена градиентно-согласованная нелинейная модель зернистой сплошной среды, приведены уравнения распространения слабых нелинейных волн. На основе асимптотического рассмотрения были получены эволюционные уравнения для случая длинно-коротковолнового резонанса [84,85]. Последний соответствует случаю генерации ультразвука (шума) пробегающими сейсмическими волнами [86,87]. Возбуждение ультразвука при сейсмическом воздействии может быть реализовано за счет нелинейных эффектов [88,89]. Нелинейная эволюция сейсмических поверхностных волн рассмотрена в работах [90,91]. На основе континуальной упругой нелинейной модели с микровращениями проводился расчет расхода сейсмической энергии в условиях длинно-коротковолнового резонанса в гранулированных геоматериалах (грунтах, нарушенных горных породах) [92].

Известно, что при исследовании волн в упругом теле прежде всего необходимо принимать во внимание поверхностные волны типа волн Релея [93]. Динамическому поведению этого типа волн посвящена работа [94]. Решение плоской задачи о воздействии подвижной нормальной нагрузки на упругое полупространство и исследование поведения поверхностных волн типа Релея с учетом моментных напряжений приведено в [95].

Наряду с волнами Релея большое значение в процессе деформирования упругой среды играют ударные волны, на которых разрывны напряжения и скорости перемещений, и волны ускорений, на которых напряжения и скорости перемещений непрерывны, а их частные производные претерпевают разрыв [94].

В общем случае в [94] используется понятие волны к-го порядка как однопараметрического семейства ориентированных поверхностей Е, на которых пространственные и временные производные от перемещений до (к-1)-го порядка включительно непрерывны, а к-е производные при переходе через эти поверхности терпят разрыв [13,96].

Аналитический аппарат для изучения разрывов произвольного вида, рассматриваемых как волновые фронты, изложен в классическом труде Адамара [97]. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах Томаса [98,99], в многочисленных исследованиях прикладного характера Хилла, Трусделла, Тупина, Коллемана, Весоловского, Быковцева, Ивлева и других авторов [13,96,100−106].

На основе развитой в этих работах общей теории динамических, геометрических и кинематических условий совместности проведен анализ существования и поведения нестационарных разрывов в различных средах. При таком подходе с помощью условий совместности первого порядка могут быть определены скорости распространения поверхностей разрыва. Условия совместности п-го порядка позволяют получить уравнения переноса п-го порядка и выписать решение в окрестности фронта.

Изучению свойств сильных разрывов, закономерностям их распространения и затухания в упруго-пластических и нелинейно-упругих диссипативных средах посвящена работа [107]. В ней, в частности, были исследованы структура и профиль ударных волн в металлах, предложены возможные критерии разрушения поверхности тела, обработанной ударными волнами. Особое внимание было уделено изучению влияния упрочнения на характер взаимодействия ударных волн с границей раздела двух упругопластических полупространств. На основе сделанных обобщений приведено решение класса центрально и осесимметричных задач нелинейной динамической теории термоупругости. Приведена оценка границ применимости автомодельных решений перечисленных задач и проведено несколько численных экспериментов, подтверждающих аналитические решения этих задач. Отмечено, что вследствие ударного воздействия на материал, последний может не только приобретать упругопластические свойства, но и сама его кристаллическая решетка может искажаться, в результате чего материал приобретает некоторую анизотропию.

Различные свойства симметрии анизотропных тел описаны в [59,108]. Акустическая активность кристаллов некоторых сингоний изучалась в [109]. Понятию «продольных нормалей» посвящена работа [110]. На основе представлений о тополпгических индексах продольных нормалей в динамике анизотропного упругого тела рассмотрен вопрос об условиях зарождения и исчезновения их на примере гексагональной, ромбической и моноклинной сингоний.

В работе [111] было проведено исследование характера поведения анизотропных тел при различных динамических воздействиях. Построена лучевая теория удара, описывающая динамические контактные взаимодействия упругих тел с жесткими и упругими преградами. На основе метода «прифронтовой регуляризации» были решены задачи о мгновенном приложении скоростей или напряжений к границам цилиндрической и сферической полостей, расположенных в безграничной анизотропной средеоб ударных воздействиях упругих телоб ударных взаимодействиях упругих тело распространении упругих, термоупругих, вязко-упругих волн в полупространствах, стержнях, пластинках, цилиндрах [111−113], рассматривались нестационарные поверхностные волны различных типов [114].

Вопросам динамического поведения ударных волн в наследственных упругих средах посвящена работа [115]. Особенности распространения ударных волн в различных сложных средах изучались в [ 116,117].

В [118−119] рассматривались вязко-упругие и термовязкоупругие среды типа Коссера. Было получено решение задачи о распространении волн в слое, состоящем из однородного моментного вязкоупругого [118] и термовязкоупру-гого [119] материала в условиях плоской деформации в предположении, что слой имеет постоянную толщину, неограниченную протяженность и обе его поверхности свободны от напряжений. Использованы определяющие соотношения линейно-вязкоупркгого материала, являющиеся обобщением уравнений состояния для упругой среды типа континуума Коссера. Изложена методика аналитического решения задачи при помощи введения двух скалярных потенциалов напряжений [118] или двух потенциалов перемещений [119]. Основное внимание уделено анализу влияния эффектов моментных напряжений на характеристики распространения волн. Показано, что в частном случае, когда моментные напряжения отсутствуют, а влияние температуры и вязкости не учитывается, полученные решения совпадают с известными.

Работа [120] посвящена исследованию задачи о распространении волн по поверхностям раздела двух полупространств, находящихся в условиях полного механического контакта. Оба полупространства представляли собой термовяз-коупругий моментный материал типа континуума Коссера. Решение предложено искать в виде гармонических волн. Искомыми функциями являлись два скалярных потенциала перемещений: перемещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения возмущений, и вдоль поверхности раздела, а также поле температур для каждой из двух сред. Рассмотрены частные случаи, соответствующие распространению волн Лява, Релея и Стоунли. Показано, что волны Лява не зависят от поля температур, но зависят от вязкости среды и моментных напряжений (в этом случае одно из полупространств заменяется слоем конечной глубины). Волны Релея (одна из сред заменяется вакуумом) и Стоунли зависят от всех трех упомянутых факторов.

Взаимосвязь упруго-пластического континуума и континуума Коссера отражена в [121], где на основе диссипативного обобщения калибровочной теории показано, что кристаллическая среда с дислокациями эквивалентна континууму Коссера.

Постановке и решению некоторых задач в упруго-пластических и пластических средах Коссера посвящены работы [122−124]. Исследован концевой эффект Сен-Венана для самоуравновешенных внешних сил, действующих на двумерные микрополярные упругие тела [122]. Использован двумерный конеч-ноэлементный анализ с учетом дополнительных степеней свободы для рассмотрения задачи локализации концевых нагрузок, действующих на плоскую полосу микрополярнрго материала. Установлено, что скорость затухания напряжений и энергии деформации вдоль полосы уменьшается с возрастанием микрополярной характеристической длины, которая должна быть существенно меньше, чем ширина полосы. В [123] рассмотрено упруго-пластическое кручение круглого стержня из материала типа Коссера. Определяющие уравнения задачи линеаризованы с помощью малого параметра, равного относительному размеру зерна. Методом сингулярного возмущения проведен асимптотический анализ линеаризованной задачи и отмечено, что асимптотические решения получены впервые для упруго-пластической среды Коссера.

Анализ поведения металлических образцов в процессе растяжения и рекомендации ввести в определяющие соотношения слагаемые, содержащие градиенты второго порядка, для более точного предсказания направления линий скольжения, размеров локальной зоны и уровня критической нагрузки, содержатся в [124]. Такая постановка задачи теории пластичности являет собой обобщение теории Коссера. Основные положения теории пластичности, учитывающей микронапряжения, изложены в [125].

Использование теории Коссера для анализа конечных деформаций тонких тел представлено в [126], где на основе инвариантной формулировки нелинейной модели Коши для трехмерного тела с явным выделением локальных поворотов были получены инвариантные формулировки обобщенных моделей анализа конечных деформаций оболочкои стержнеобразных тел с независимыми полями конечных перемещений и поворотов материальных элементов.

Применимость модели Коссера к теории оболочек показана в [127], где рассмотрен изотропный линейный термоупругий материал. Построение модели базируется на изложенных в [12,128] основных положениях общей теории поверхности Коссера. При введении функции состояния указывалось, что отсутствие в ней членов, линейно зависящих от температуры, является следствием существования термического симметричного центра [127]. Доказано несколько теорем для формулировки задач с граничными условиями и построения решения. Доказательство опирается на математические приемы, изложенные в [129] и используемые для доказательства аналогичных результатов в [130].

Основные аспекты влияния температуры на процесс деформирования среды описаны в монографиях [131−133]. В работах [134,135] обсуждались различные подходы к постановке граничных задач в теории термоупругости. Методам и задачам термоупругости уделено особое внимание в [136], где показано, что теория термоупругости обобщает классическую теорию упругости и теорию теплопроводности. «Термоупругость охватывает широкий круг явлений: перенос тепла теплопроводностью в твердом теле при стационарном и нестационарном теплообмене его с окружающей средойтермоупругие напряжения и деформации при неравномерном нагреве теладинамические эффекты при резко нестационарных процессах нагрева и, в частности, термоупругие колебания тонкостенных конструкций при тепловом удареизменение температуры тела при механических воздействияхраспространение термоупругих волн и термоупругое рассеяние энергии.» Было замечено, что ряд материалов обладает достаточно большим эффектом связности [137]. Это способствовало активному развитию теории связанной термоупругости. Учет эффекта связности при нестационарных процессах упругого деформирования привел к выявлению новых качественных особенностей в распространении термоупругих волн: упругие волны под влиянием тепловых эффектов подвергаются затуханию и дисперсии [138,139]. Используя основные соотношения теории термоупругости [60,140], в обзоре [141], а также в [142] были выписаны законы сохранения и уравнения нелинейной теории с учетом инерции теплового потока. В работе [143] указано, что впервые уравнение теплопроводности с конечной скоростью распространения тепла было получено в [144] в связи с рассмотрением весьма быстрых динамических процессов деформации. Последние наблюдаются, например, в металлах, где процесс теплопроводности осуществляется в основном за счет диффузии свободных электронов, причем время установления теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решеткой имеет порядок 10″ 10 с [143]. Работа [145] посвящена определению времени релаксации в твердых телах на основе экспериментальных данных по соударению образцов в различных диапазонах температур. Линейная связанная задача термоупругости для изотропного однородного полупространства с учетом конечной скорости распространения тепла аналитическими методами исследовалась в работе [146]. Та же задача для неограниченного полупространства при условии, что поля деформаций и температур между собой не связаны, рассматривались в [147]. Обоснование применимости модели термоупругой среды с конечной скоростью распространения тепла для случая низкотемпературных сред приведено в [148]. Вопросы построения моделей термоупругих сред с микроструктурой затрагивались в [2,60], вклад градиентов деформаций в термодинамические соотношения рассматривался в [149]. На основе модели линейной упругой среды с микроструктурой [17,150] в [151] была введена обобщенная теория линейной упругости с микроструктурой и построена модель линейной термоупругой среды с моментными напряжениями. Тождественность лагранжиана в теории термоупругости микрополярных тел показана в [152], рассмотрены некоторые теоремы динамики линейной теории термоупругости микрополярных сред и на основании тождественности лагранжиана доказаны теорема единственности и теорема непрерывности. Некоторые свойства плоских волн в теории температурных напряжений (несвязанной теории термоупругости) сплошных сред с моментными напряжениями рассмотрены в [153,154]. Вопросам распространения плоских волн в однородных термоупругих бесконечных твердых телах, обладающих микроструктурой, уделено особое внимание в [155]. При условии отсутствия объемных сил и внешних источников тепла с помощью разложения скорости волны в ряд Тейлора по волновому вектору определены корни дисперсионного уравнения, соответствующие акустическим и оптическим ветвям. Показано, что акустические ветви характеризуют упругие продольные волны и тепловую волну, амплитуда которых экспоненциально затухает со временем. Три оптические ветви принадлежат продольной волне, дилатационной волне и тепловой волне, амплитуда которой также затухает экспоненциально со временем.

Вязкоупругие свойства некоторых горных пород, которые можно описать в рамках математической модели сред Коссера с наследственностью, когда тензор силовых напряжений и тензор моментных напряжений зависят от истории деформации и вращения частиц среды, исследовались в работе [156]. В линейном приближении были получены определяющие соотношения, имеющие функциональный вид сверток по времени с некоторыми релаксационными ядрамивыписаны ограничения на ядра, следующие из общих термодинамических принциповисследовалось распространение слабых возмущений. В результате была указана общая функциональная форма ядер, соответствующая экспериментальным данным по вязкоупругости горных пород.

При решении многих физических задач не удается получить точного аналитического решения из-за ряда существенных особенностей или сложностей математического характера, сопровождающих постановку задачи. Такими особенностями и сложностями могут быть, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы, нелинейные граничные условия на известных или неизвестных контурах, неизвестные границы распространения решения в рассматриваемой области и так далее. В этих случаях для получения информации о решениях уравнения возникает необходимость в аппроксимациях, построении численного решения или в сочетании этих двух методов.

Среди приближенных методов прежде всего следует выделить асимптотические методы возмущений [157]. Согласно этим методам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения по малому параметру. Развитию математического аппарата и вопросам применимости лучевого метода аппроксимации решения к задачам динамического поведения различных сред посвящены работы [158−161].

В работе [162] лучевой метод распространен на задачи связанной термоупругости. На его основе построены решения трехмерных динамических задач и дан анализ напряженно-деформированного состояния для полупространства и шара, нагреваемых колоколообразными тепловыми потоками энергии. В задачах контактного взаимодействия твердых тел возникают сложности определения точного аналитического решения, обусловленные не только сложностью уравнений, описывающих динамическое поведение сплошной среды, но также разнообразием и сложностью граничных условий, которые возникают на контактирующих поверхностях твердых тел [163]. Для решения этих проблем в работе [163] развит метод «прифронтовой регуляризации», который строится на базе рекуррентных уравнений классического лучевого метода при помощи метода многих масштабов. Построение решения предложенным методом продемонстрировано на некоторых конкретных примерах ударного и контактного взаимодействия термоупругих тел.

Развитию лучевого метода и распространению его на случай нелинейной термоупругой среды посвящены работы [164−165], где описана методика построения решения, приведены общие соотношения для лучевых разложений решений за фронтами ударных волн и построены графики зависимостей напряжений и температуры от координаты и времени для некоторых задач.

Актуальность темы

диссертации. Применение композиционных, поликристаллических материалов в технологических задачах, связанных с их наиболее высокими прочностными свойствами, вызывает интерес к изучению возможностей применения этих материалов в качестве составных частей тел и конструкций, а значит, и к методике тестирования последних на предмет обнаружения внутренних дефектов. Развитие высокочастотных методов выявления наличия внутренних дефектов в материалах, горных породах, достаточно больших инженерных конструкциях делает особенно важными исследования в области изучения упругих волн в данных телах. С другой стороны, присутствие поликристаллических и композиционных составляющих в структуре высоковолоконных соединений, акцентирует внимание на вопросы интенсивности передачи, глубине проникновения и качественной восприимчивости описанных материалов к высокочастотным и низкочастотным импульсам. С учетом этого микрополярные среды, как пример сред с дополнительными степенями свободы, имеют достаточно большой спектр применения. В ряде технологических задач обращается особое внимание на степень влияния внешних температурных полей на процесс деформации материала. Это могут быть проблемы, связанные с появлением дополнительных силовых характеристик среды или с возникновением новых, не свойственных чисто упругим материалам, свойств, которые проявляются вследствие действия на тело температуры. Рассмотрение моделей термоупругих материалов позволяет решать некоторые из этих проблем и, в ряде случаев, прогнозировать поведение материала при импульсных температурных нагрузках. Поэтому вопросы закономерностей и особенностей распространения различных видов термомеханических волн в описанных средах являются весьма актуальными. Подтверждением этого может служить активно растущий в последнее время поток научных публикаций по данной тематике.

Целью работы является проведение комплексного исследования упругих волновых движений в твердых телах с микроструктурой, а именно: применительно к модели термоупругой микрополярной среды выявить закономерности распространения поверхностей сильного и слабого разрывов, а также гармонических волноценить влияние упругих параметров среды на основные динамические характеристики различных типов волнпроанализировать влияние микровращений на характер, условия существования и изменение величин основных параметров волновых движений в анизотропных и изотропных микрополярных средахрассмотреть ударно-волновые процессы деформирования твердых тел на примерах решения конкретных краевых задач, как имеющие наиболее частое и значительное практическое применение.

Для достижения поставленной цели в рамках линейной модели термоупругости проведено исследование динамического поведения упругих волн. Проанализировано влияние коэффициентов тензоров термомеханической связности и модулей тензора механической активности на основные динамические характеристики монохроматических и ударных волн. Показана идентичность структуры уравнений, описывающих движение поверхностей сильного и слабого разрывов, а также гармонических волн, при введении некоторого соответствия величин. Выявлено, что в микрополярных средах могут существовать новые типы волн, не имеющие аналогов в классической теории упругости. В среде Коссера упругие волны обладают дисперсией. Особое внимание уделено анизотропным материалам. На примере кристалла кубической симметрии с микроструктурой выявлены условия существования и сохранения продольных нормалей, найдены скорости распространения гармонических волн вдоль особых направлений, связанных с кристаллографической симметрией, указаны значения критических частот, на которых изменяется первоначальный характер волны. Ударно-волновые процессы деформирования рассмотрены для термоупругого изотропного материала. На основе лучевого метода решены некоторые краевые задачи ударного нагружения. Приведены численные расчеты задачи о тепловом ударе для такого композиционного материала, как алюминиевая дробь в эпоксидной матрице.

Научная новизна настоящей работы заключается в разработке (с учетом предложенной темы исследования) целостной теории проникновения ударного импульса в микрополярное упругое полупространство, в результате чего:

— найдены скорости распространения ударных волн в микрополярном термоупругом твердом теле;

— используя аналитический аппарат условий совместности к-го порядка, впервые получены общие определяющие уравнения высшего порядка для определения характеристик ударных волн, распространяющихся в анизотропном термоупругом микроструктурном теле;

— лучевой метод решения динамических задач распространен на случай термоупругой среды Коссера;

— решены задачи теплового и силового ударного нагружения, приложенного к границе термоупругого микрополярного полупространства;

— приведено решение краевых задач с учетом влияния внешнего теплового воздействия;

— оценено влияние тензоров механической и термомеханической связности на процесс деформирования и указаны численные значения, при которых описанные эффекты связности существенно влияют на решение;

— показана возможность существования новых типов волн, не имеющих аналогов в классической теории упругости;

— впервые для модели линейной анизотропной микрополярной среды, обладающей кубической симметрией, получены уравнения движения монохроматических плоских волн, скорости распространения продольных волн вдоль определенных направлений и найдены условия существования и сохранения продольных нормалей;

— определены значения критических частот, на которых возможно изменение первоначального характера волн;

— показано соответствие структуры уравнений движения поверхностей сильного и слабого разрывов и монохроматических плоских волн для анизотропных микрополярных сред.

Достоверность полученных результатов основана на использовании классических подходов механики сплошных сред, апробированных численных и асимптотических методов решения, определяется строгостью математических выкладок и приемов, подтверждается хорошим согласованием полученных результатов в предельных случаях с решениями и выводами, известными в литературе, а также с имеющимися экспериментальными данными, непротиворечивостью аналитических выводов численным экспериментам и непосредственным следованием из полученных решений результатов классической теории упругости.

Практическая значимость. Результаты исследований могут быть использованы как основа для проведения экспериментов, направленных на определение дефектов горных пород, некоторых видов аморфных тел и керамик методами волновой диагностики. Скорость распространения ударно-волнового высокочастотного импульса в поликристаллических материалах может быть рассчитана на основе формул, приведенных в данной работе. Полученные уравнения распространения различных волновых поверхностей позволяют проследить эволюцию волнового воздействия на материал и спрогнозировать его поведение с течением времени. Общие уравнения движения волновых поверхностей, полученные в данной работе, позволяют проводить исследования не только в анизотропных средах, обладающих кубической симметрией, но и в любой другой анизотропной среде. Уравнения высшего порядка позволяют выписать соотношения для определения скоростей ударных волн и величины разрыва температуры, ускорений и разрыва скорости изменения температуры и так далее для произвольно анизотропного тела. Представленные расчетные формулы для определения характеристик волнового ударного движения, силовых и тепловых параметров рассматриваемой среды в виде лучевых разложений, позволяют решать широкий спектр краевых задач волновой динамики. Материал исследования может быть внедрен в учебный процесс в качестве спецкурса для студентов механический специальностей ВУЗов.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы: -обобщение уравнений, определяющих поведение микрополярного континуума на случай термоупругой анизотропной среды;

— выявление особенностей распространения монохроматических плоских волн в твердых телах с микроструктурой и указание критических частот, на которых изменяется первоначальный характер волны;

— исследование условий существования и сохранения продольных нормалей, связанных с кристаллографической симметрией, в микрополярном кубическом кристалле;

— привлечение величин, характеризующих движение волн сильного и слабого разрывов, а также монохроматических плоских волн к соответствию, при котором уравнения движения описанных волновых поверхностей имеют одинаковую структуру;

— вывод полной системы термодинамических уравнений высшего порядка для определения характеристик ударно-волнового движения;

— построение решения краевых динамических задач ударного нагруже-ния методом лучевой асимптотики и реализация численного решения на примере такого композиционного материала, как алюминиевая дробь в эпоксидной матрице.

Работа выполнялась на кафедре теоретической механики и теоретической физики Воронежского государственного технического университета в рамках госбюджетной темы «Теория физико-механических свойств твердых тел и твердотельных конструкций» (Государственный регистрационный номер N 1 960 006 208) и может быть отнесена к теме N 2.3.3 «Механика деформируемых тел, перспективных материалов, конструкций и сооружений», вошедшей в перечень приоритетных направлений фундаментальных исследований.

Апробация. Отдельные результаты и работа в целом докладывались и обсуждались: на Воронежской школе «Современные проблемы механики и математической физики» (Воронеж, 1994) — на Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике «Ме-ханика-95» (Минск, 1995) — на региональном межвузовском семинаре «Процессы теплообмена в энергомашиностроении» (Воронеж, 1996) — на V международной конференции женщин-математиков «Математика. Экономика.» (Ростов-на-Дону, 1997) — на VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением «(Казань, 1997) — на Международной конференции «Промышленность стройматериалов и стройиндустрия, энергои ресурсосбережение в условиях рыночных отношений» (Белгород, 1997) — на V Междунородной конференции «Математика. Компьютер. Образование.» (Дубна, 1998) — на Воронежской школе «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 1998) — на семинарах в Воронежском государственном университете и в Воронежском государственном техническом университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 183 наименований, включая публикации по теме диссертации. Объем работы: 170 страниц, из них 131 страница основного текста, 11 рисунков.

Заключение

.

Исследование влияния структурных факторов на характеристики волновых процессов в линейных микрополярных термоупругих средах и анализ различных подходов к построению динамических моделей моментных теорий позволяет выбрать адекватное математическое представление для ряда композиционных, поликристаллических и других перспективных конструкционных материалов. В связи с этим в работе: предложена и обоснована динамическая модель термоупругого континуума с микроструктурой, в которой учитываются эффекты тепловой и механической связности, а также влияние инерции теплового потока;

— проведен сравнительный анализ уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние двух сред: среды Коссера и микрополярной среды первого порядка с симметричным тензором деформаций;

— определены условия существования гармонических волн, волн сильного и слабого разрывов, а также степень влияния структурных свойств среды на характер поведения волновых фронтов;

— выявлены новые типы волн, не имеющие аналогов в классической теорииисследованы особенности диспергирующих монохроматических волн в микрополярных средах на примере анизотропных сред, обладающих кубической симметрией. Установлены условия существования и сохранения продольных нормалей в кубическом кристалле;

— используя аналитический аппарат условий совместности к-го порядка, получены общие термодинамические уравнения высшего порядка для определения характеристик ударных волн, распространяющихся в анизотропной среде Коссера;

— методом лучевой асимптотики применительно к модели изотропной термоупругой среды Коссера построено аналитическое решение краевых задач ударного нагружения полупространства. Найдены скорости ударных волн и проведен численный эксперимент задачи о тепловом ударе применительно к композиционному материалу, состоящему из алюминиевой дроби в эпоксидной матрицеоценено влияние тензоров механической и термомеханической связности, а также параметра тепловой релаксации на процесс деформирования и указаны численные значения, при которых данные коэффициенты существенно влияют на решение.