Высшая математика

1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса

а) Метод Крамера Обозначим через? = ¦А¦, ¦А¦- это определитель третьего порядка, т.к. три строчки и три столбца.

Формула для определителя третьего порядка имеет вид:

•

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать следующим образом:

?= ¦А¦=1

Обозначим через ?₁ определитель матрицы А, полученный заменой первого его столбца столбцом свободных членов.

Через ?₂ определитель матрицы А, полученный заменой второго его столбца столбцом свободных членов.

Через ?₃ определитель матрицы А, полученный заменой третьго его столбца столбцом свободных членов.

Найдем: х₁=1?1 =1

х₂=3?1=3

х₃=1?1=1

ОТВЕТ: (1;3;1)

б) Метод обратной матрицы Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Квадратной матрицей называется та матрица у которой число строк равно числу столбцов.

Матрица, А квадратная.

Находим обратную матрицу к матрице А. А?0

Вычислить обратную матрицу можно по формуле:

Дана матрица

Найти матрицу, обратную данной. Проверить, что AA-¹ = E.

Вычислим определитель матрицы разложением по первой строке

Найдем все алгебраические дополнения Минором M_ij элемента a_ij определителя n-го порядка (n > 1) называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент a_ij.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется число A_ij = (-1)^i+j M_ij.

Находим х по формуле х=А^-1•В, где В это свободные члены уравнения Сделаем проверку

матрица производная вектор уравнение

Ответ: ; (1;3;1)

в) Метод Гаусса Суть метода заключается в том, что с помощью элементарных преобразований СЛУ приводят к эквивалентной ступенчатой системе:

Элементарные преобразования СЛУ

1. Перестановка любых двух уравнений.

2. Почленное умножение любого уравнения системы на произвольное ненулевое число.

3. Почленное прибавление к некоторому уравнению системы любого другого ее уравнения, умноженного на произвольное число.

4. Вычеркивание в системе нулевого уравнения, т. е. уравнения вида:

0 x₁ + 0 x₂ + … +0 x_n = 0.

Запишем расширенную матрицу ситемы и будем к ней применять элементарные преобразования, добиваясь ступенчатого вида.

1)Из второй строки вычитаем третью

2)Складываем первую строку с полученной второй Система уравнений приняла вид Подставляем найденные значения в третье уравнение

— 1+3+х₃=3

х₃=3+1−3

х₃=1

Ответ: (1;3;1)

2. Даны векторы =(3,1,-1) и =(0,1,1). Найти их длины и скалярное произведение. Являются ли эти векторы ортогональными?

Найдем длины векторов по формуле

.

¦¦= = =

¦¦= = =

Найдем скалярное произведение векторов по формуле

.

•=3•0+1•1+(-1)•1=0,

значит векторы и ортогональные Ответ: ¦¦=, ¦¦=

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2;3) параллельно направляющему вектору =(-1;-2). Найти расстояние от точки В(1;4) до полученной прямой

Вектор, параллельный данной прямой или лежащий на ней, называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть прямая проходит через точку М₀ (x₀;y₀) и имеет направляющий вектор q?=(л;в) Тогда ее уравнение имеет вид

y-y₀ = x-x₀

вл Подставляем в данное уравнение координаты точки, А и вектора

Получим

— 1(y-3)=-2(x-2)

— y+3= -2x+4

2xy-1=0

Уравнение прямой 2x-y-1=0

Пусть задана прямая уравнением Ax + By + C=0 и точка M₀ (x₀;y₀). Расстояние d от точки M₀до прямой вычисляется по формулеЭ В (1;4) уравнение прямой 2x-y-1=0

¦2•1−1•4−1¦ ¦-3¦

d = v2²+(-1)² = v5 =0,6v5

Ответ: уравнение 2x-y-1=0 расстояние 0,6v5

4. Вычислить пределы: а) ; б) ; в) .

а) lim (1−4x)= lim 1- lim 4x=1- 4•(-2)=9

x >-2 x >-2 x >-2

1), где c — любое число.

2), где c — любое число.

3).

б) Предел числителя и знаменателя дроби при x 1 равен нулю (в таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида). Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители (в числителе применим формулу разложения квадратного трехчлена на множители, в знаменателе — формулу разности квадратов) и сократим дробь. Получим:

.

.

в)=при x стремятся к (имеем дело с неопределенностью вида). Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x, т. е. на x³, получим

lim3x³-5 = lim3- x³= 3 = - 1

x>? 7−2x-3x³ x>? 7 -2 -3−3

x³x²

так как при x каждая из дробей стремится к нулю.

Ответ:

а) =9

б) =2

в) =-1

5. Найти производные функций одной переменной и частные производные первого порядка функций двух переменных: а) ; б) ; в) ; г) .

а);

Применяем формулы

1. C = 0.

2. (Cu) = Cu.

3. (u v) = u v.

4. (uv) = uv + uv.

5. .

б) ;

.

в)

При нахождении частной производной первого порядка функций двух переменных сначала дифференцируем как функцию одной переменной, другая предполагается постоянной.

Zґxзначит y-постоянная

Zґx=(5x³y²-xy)ґ=5y² • 3x² -y•1=15y²x²-y

Zґyзначитx — постоянная

Zґy=(5x³y²-xy)ґ=5x³•2y-x•1=10x³y-x

г)

Zґx=((x-2y)•cosxy)ґ=(x-2y)ґ•cosxy + (x-2y)•(cosxy)ґ=1•cosxy + (x-2y) • (-sinxy) ••(xy)ґ=cosxy + (x-2y) • (-sinxy) •y = cosxy-xysinxy + 2y²sinxy

Zґy=((x-2y)•cosxy)ґ= (x-2y)ґ•cosxy + (x-2y)•(cosxy)ґ=-2•1•cosxy + (x-2y) • (-sinxy) • •(xy)ґ=-2cosxy + (x-2y) •x•(-sinxy)=-2 cosxy-x² sinxy + 2xysinxy

6. Найти неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием

а) ; б) ;

Интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций

Изтаблица основных интегралов

1. .

2., ? -1.

3., x? 0.

4.

а) =?(xvx — 1? x + 2) dx=?xvxdx — ?dx/x +2dx=

x^3/2+1x^2/5

?x•x^½dx-?dx/x +?2dx=?x^3/2dx — ?dx/x+?2dx=3/2+1 -ln¦x¦+2x+c=5/2 -ln¦x¦

+2x+c=3/2+1=2.5

x^2.5x^2.5•2

5/2 = 5

x^2.5•2

5 -ln¦x¦ +2x +c=0,4x^2.5-ln¦x¦+2x +c

Проверка

(0,4х^2,5-ln¦x¦+2x+c)?=(0,4x^2.5)?-(ln¦x¦)?+(2x)?+c?=0,4•2.5•x^1.5-1/x+2=x^1.5-1/x+2=xvx-1/x+2

б)

Введем подстановку 2−5x=t, тогда dt=d (2−5x)=(2−5x)ґdx=-5dx

dt = -5dx

dx=dt/-5 dx=-1/5dt

=?t⁷•(-1/5)dt=-1/5?t⁷dt=-1/5•t⁸/8 +c=-1/40•t⁸+c= заменяемt=2−5x, получаем

— 1/40(2−5x)⁸+c

Проверка

(-1/40(2−5х)⁸+с)?=-1/40•8•(2−5х)⁷•(2−5х)?+с?=-1/5(2−5х)⁷•(-5х)=(2−5х)⁷

Ответ: а) 0,4x^2.5-ln¦x¦+2x +c

б)-1/40(2−5x)⁸+c

7. Найти определенный интеграл.

Найдем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и F (x) — некоторая ее первообразная, то

.

Если ввести обозначение, то формула Ньютона -Лейбница примет вид

.

?=(2−3x⁴ +x)dx= ?2dx — 3? x⁴dx + ?xdx=(2x-3•x⁵/5+x²/2)¦ =

=(2•1−3•1⁵/5+1²/2)-(2•(-1)-3•(-1)⁵/5+(-1)²/2)=(2−3/5+½)-(-2+3/5+½)=

=2−3/5+½+2−3/5−½=2,8

Ответ: =2,8

8. Исследовать на экстремум z= 4+3x-x²-2y-y²

Найдем частные производные первого порядка

z?_x= 3−2x; z?_y= -2−2y

Найдем критические точки, это точки в которых производная равна нулю, либо не существует. Имеем критическую точку М (1,5;-1)

Частные производные второго порядка

z?_xx=(3−2x)?=-2

z?_xy=(3−2x)?=0

z?_yy=-2

НаходимD=z?_xx•z?_yy-(z?_xy)²=-2•(-2)-0=4

Т.к. D>0 и z?_xx<0, то точка М (1,5;-1)является точкой максимума.

Находим экстремумы функции

z_max=z (1,5;-1)=4+3•1,5−1,5²-2•(-1)-(-1)²=7,25

Ответ:z_max=z (1,5;-1)=7,25

9. Студент сдает сессию из двух экзаменов. Он добросовестно подготовился и считает, что на каждом экзамене получит «4» с вероятностью , «два» получить не может, а получение «три» и «пять» для него равновероятно. Какова вероятность того, что а) он сдаст сессию без троек; б) сдаст сессию на «отлично»?

Введем обозначения Оценка 3 — А Р (А)=0,05

Оценка 4 — В Р (В)=0,9

Оценка 5 — С Р (С)=0,05

Воспользуемся теоремой сложения и умножения вероятностей Р (А+В)=Р (А)+Р (В)-Р (АВ)

события, А и В несовместимы Р (А•В)=Р (А)•Р (В) а) Р (В+С)=Р (В)+Р (С)-Р (В•С)=0,9+0,05−0,9•0,05=0,9+0,05−0,045=0,905

вероятность сдачи сессии без троек в) Р (?•В?)=(1−0,05)•(1−0,9)=0,95•0,1=0,095

вероятность сдачи сессии на отлично ОТВЕТ: а) 0,905

в) 0,095

11. На первом курсе 70 студентов. Из них 30 человек занимаются физкультурой в секции гимнастики, 20 — в секции лыжного спорта, остальные — легкоатлеты. Вероятность получить зачет «автоматом» у гимнастов — 0,8; у лыжников — 0,85; у легкоатлетов — 0,75. Найти вероятность того, что наудачу выбранный с курса студент получит зачет по физкультуре автоматически

А — это событие Р (А) — это вероятность события, А Введем гипотезы

H₁ — зачет автоматом получил гимнаст

H₂ — зачет автоматом получил лыжник

H₃ — зачет автоматом получил легкоатлет Значит Р (A/ H₁) = 0,8

Р (А/ H₂) = 0,85

Р (А/ H₃) = 0,75

По условию всего 70 студентов.30 гимнастов, 20 лыжников

70-(30+20)=20 легкоатлетов Вероятность того, что автоматом зачет получит гимнаст будет Р (H₁)==

Лыжник Р (H₂)==

легкоатлет Р (H₃)==

По формуле полной вероятности Вычислим Р (А)= • 0,8 + • 0,85 + • 0,75= • + • +• =++=

==0,8

ОТВЕТ: 0,8

12. В таблице дан закон распределения случайной величины (месячная выручка киоска «Роспечать»). Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины

Многоугольник распределения случайной величины X имеет вид:

а) Найдем математическое ожидание случайной величины X:

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений X на соответствующие вероятности М (х)=115•+105•+95•+90•+85•+65•=

=2,875+21+47,5+18+4,25+1,625= 95,25

б) Найдем дисперсию случайной величины X:

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу

D (x)=M (x²) — M²x

M (x²)= 115²•+105²•+95²•+90²•+85²•+65²•=

= 330,625+2205+4512,5+1620+361,25+105,625=9135

D (x)=9135−95.25²=9135−9072,5625=62,4375

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

==7,90 174 037,90

ОТВЕТ: М (х)= 95,25 D(x)= 62,4375 (х) 7,90