Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов с эллиптической главной частью

Исследование многих задач математической физики и квантовой механики связано с разложениями в ряды по собственным функциям (с.ф.) дифференциальных операторов. При этом важное значение имеют оценки с.ф. и их производных в равномерной метрике. Такие априорные (без учета граничных условий) оценки получены для с.ф. оператора Штурма — Лиувилля в работах профессора В. А. Ильина и его школы: И. Йо, Н. Лажетича, И. С. Ломова, В. В. Тихомирова и др., а для дифференциальных операторов высокого порядка при определенных предположениях относительно расположения их спектра на комплексной плоскости оценки с.ф. локального характера даны в работах В. А. Ильина, А. М. Минкина.

Одной из основных задач спектральной теории самосопряженных дифференциальных операторов является исследование распределения на числовой оси их собственных значений. В связи с различными методами суммирования спектральных разложений весьма важно с одной стороны — изучить многомерные дифференциальные операторы, для которых можно точно определить распределение точек спектра на интервалах числовой оси, с другой стороны — принципиальным является выявление базиса простой структуры в подпространствах, порожденных с.ф., которые соответствуют собственным значениям, принадлежащим этим интервалам.

В последние годы активно исследуются свойства резольвент сингулярных эллиптических операторов в весовых пространствах L (J), !J-(-oo. оо). Традиционной моделью при этом служит оператор Штурма — Лиувилля, особое внимание уделялось вопросу о разделимости этого оператора. Основные достижения в этой области принадлежат Х. Эверитту и М. Гирцу, К. Х. Бойматову, М.Отелбаеву.

Данная тематика для случая весовых пространств Ln,. (J) ,.

Р > х ('/.

1 4 р < оо, рФ<1 разработана недостаточно полно: достигнутый уровень общности результатов уступает известному в случае р-3, .

В настоящей диссертации изучаются свойства с.ф. дифференциальных операторов, устанавливается взаимосвязь между распределением собственных значений дифференциальных операторов и некоторыми свойствами их собственных функций, исследуются свойства резольвенты оператора Штурма — Лиувилля в весовых пространствах Lp.

В 1979 г. в работе flj впервые получены априорные равномерные оценки с.ф. самосопряженного оператора Штурма — Лиувилля. С.ф. этого оператора затем исследовались в работах [2], [з] - окончательные в определенном смысле результаты получены в работе [4]. С.ф. дифференциального оператора высокого порядка подробно изучались в работах [5], [б], [7]. В этой литературе не исследовались равномерные оценки с.ф. в случаях, когда в дифференциальном уравнении высокого порядка для с.ф. коэффициенты существенно зависят от спектрального параметра, для этих дифференциальных операторов не выделены классы граничных условий, при учете которых для с.ф. и их производных могут быть получены точные по порядку оценки в равномерной метрике во всей области задания с.ф. Эти и некоторые другие вопросы составляют предмет исследования, проведенного в первой главе диссертации. Основным инструментом исследования является развиваемый здесь прием, основанный на выделении главной (в некотором смысле) части с.ф. В § I.I, который имеет вводный характер, излагается схема применения этой техники на примере одной периодической краевой задачи. Поскольку полученная при этом теорема I ^ не При ссылке на параграф, теорему, лемму или формулу из диссертации впереди добавляется номер соответствующей главы, а для введения впереди добавляется ноль. Внутри глав нумерация двойная: номер параграфа, номер утверждения. Таким образом, § I.I, теорема 0.1 — соответственно параграф I главы I, теорема I из введения.

Введение

и добавление снабжены сквозной нумерацией. отмечалась в литературе, приведем её формулировку. Пусть ~ С, Ф* следующей краевой задачи: Л xlK) u), J (2).

Под решением задачи (1)-(2) понимается функция такая, что функции ^ (•) «K. = 0, JLn-i являются абсолютно непрерывными и периодическими на промежутке [-1,1] -и удовлетворяют уравнению (I) почти всюду на отрезке [-1,1].

Теорема I. Пусть выполнены условия: Q (•), /< - О, к. комплекснозначные функции, причем: Г.

LA если? =.

Vе/.

I Lp (-l, i), К Р если.

Тогда существует абсолютная постоянная? такая, что для любого решения задачи (I) -(2) при Ji 6 G~± -^Х: J^J & 1 J выполняются неравенства: l.

Ф.1 ,/-п|Ли 4ГЦГ (4) 50(40 ^(-1,1) при этом для суммируемой на [г 1,1] функции ?6) под? — нормой понимается следующая норма (см. [4б]):

II °°.

ML О = Z ICsl (5) где? Cj }s = a9 — коэффициенты Фурье функции ?(¦) по тригонометрической системе функций. Оценки производных с.ф. '(-), t= 3. и-2 —? = Лп-1 краевой задачи (1)-(2) здесь не доказываются для простоты изложения.

В последующих параграфах первой главы в качестве модели для анализа отмеченных выше вопросов рассматривается уравнение: ЛУд00' хй (а,&), «> 4 (6) при предположениях: комплекснозначный потенциал удовлетворяет условию: к где постоянная зависит только от промежутка Са±-,, а, (о) — конечный или бесконечный интервал. Под решением (с.ф.) к) уравнения (б) понимается функция такая, что функции^ 0) абсолютно непрерывны при К.~ О, £и-1 и ^6) удовлетворяет уравнению (б) почти всюду на промежутке (а, в) В § 1.2 — § 1.3 доказывается.

Теорема 2. Пусть в уравнении (б) потенциал удовлетворяет условию (7) при Ц < 1-^/Чп. Тогда для любого промежутка at, Si].

С (d, S) существует постоянная ^ (d±t Si), зависящая только от промежутка [Q-i,, такая, что при любом J6&± выполняется неравенство:

1Д р) Яи Чп причем порядок степени величины /-А/ в неравенствах (8) вообще говоря уменьшить нельзя.

Следствие I. При t-0,iln- 3 выполняются неравенства: wmtAnhML, в б) ей где (a.±}Si) — абсолютная постоянная, зависящая только от промежутка (Q.it &i) С (а, &), ^6) — любая положительная в (d^ в±-) функция, имеющая непрерывные производные до порядка включительно и нули в точках 0ll, Bi порядка большего, чем сtn-L .

Если условие (7) выполняется при cLi,^] = - CL < оо, то в неравенствах (8), (8) можно промежуток заменить на промежуток [л, &].

Следствие 2. Пусть условие (7) выполняется при Coll, &L1 = -[а, 6], в-а < оо, Л £&-Л — [Л: Re A Тогда не существует абсолютной постоянной С* такой, чтобы равномерно относительноА? выполнялось неравенство:

Неравенства (8), (ё) являются новыми. Важное достоинство теоремы 2 — отсутствие специальных требований к характеру расположения спектра в комплексной плоскости. В § 1.2 новым приемом выводится грубая априорная оценка с.ф. в равномерной метрике, в § 1.3 применением метода В. А. Ильина (см. [i]) на основе новой формулы среднего значения завершается доказательство теоремы 2. Следствия I, 2 доказаны в § 1.6. Отметим, что следствие 2 имеет принципиальный характер: необходимым условием равномерной ограниченности с.ф. данного дифференциального оператора является полуограниченность реальной части его спектра снизу.

Не изменяя общности, далее считаем:. Введем следующие обозначения:

1 4) Ы>о, цьм з"М, Гз >i j ни — ea) -, Kj (x)=*OdtxpL[g* #] =.

4(ьх)*+(ем)л.

Теорема 3. Пусть в уравнении (6) потенциал c^(-)Ji) удовлетворяет условию (7) при ytf < * -к^&ц, R. Rо, где.

— достаточно большое число. Тогда при каждом J 6 б1^ для решения^д (-) уравнения (6) имеет место представление:

УдСх) = гл (х)+ hA (x), x?[-i, d].

9) сю —-где, К- - Ot&n-i — периодические абсолютно непрерывные функции, Z Cja) е, Cj ()=to*si, j = o,&n-i j=0 причем выполняются неравенства: i.

У). .1 ,.

11 11 'Ls (-4, lj j = 4, А, и+i. Лл-1.

— абсолютная постоянная. Если условие (7) выполняется при то утверждение теоремы 3 выполняется при хб С-4, 1J .

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любого Б’б (О, {) существует зависящая только от числа <Г постоянная FCS") такая, что выполняются неравенства:. .

1&-Ч ЪМк (11)-е^ ^.

Теорема 3 является новой и доказана в § 1.4. Неравенства (10) при ц = О известны (см. [5], [7]). При ^ > О неравенства (10) являются новыми. В основе доказательства теоремы 3 лежит новое представление с.ф. ^0) в виде суммы решения некоторой вспомогательной граничной задачи и решения одного однородного уравнения, а так же применение теоремы 2.

Сопоставление теоремы 2 и следствия теоремы 3 в случае О. < оо показывает, что для распространения неравенств (10) на весь промежуток [&, ё] необходимо подчинить с.ф. ^С) не~ которым граничным условиям. Широкий класс таких условий описывается в теореме 4. Для её формулировки введем следующие обозначения, определения, условия. Рассмотрим уравнение (6) на промежутке£-4,4], предполагаем, что условие (7) выполняется при [o., i] =[-1,4], t*.

— некоторые граничные условия, часть которых имеет вид: м (Л 1 л.

Kv KTf V j-О 0 en).

0.<�"r0 4.. .. 4 Kdn i, 0, Ли-3 J.

Далее требуем, чтобы число линейно независимых условий в равенствах (II) было равно SLv-, 2.. Обозначим:, ки = i, — элементы множества чисел [ }: нумерация которых упорядочена по признаку: & > ПРИ К, К1- 1, Ди-Д. Для краевых условий (II) и системы положительных параметров S = примем обозначения: Ко w = 4,.

Введём в изучение определитель:

Ли-З.

— 1 т^ги-з гl***-* Г l^H-vr сЧ^-Т, С~4.

K$cJ.. ll-Aj гЛ Г l*1 Г -^l*4 Г с~£ 1 .

.

4,Si].. • L^-l'^-tJ KM. • -Йи-Д *SA*-AJ.

Определение I. Краевые условия (??) назовём краевыми условиями с невырожденным старшим коэффициентом, если они состоят из двух условий любой структуры и условий (II) — эта система условий непротиворечива, выполняются оговоренные выше требования относительно условий (II) и при всех достаточно больших значениях параметров системы $ отлично от нуля число &, определенное равенством: j = l |/"|<�Ди-д J = *.

II).

9l*-H i J, а a ia I где тоянные.

A=±l, 4=1,, О , — пос с=4.

Рассмотрим подсистему Т* системы с.ф. заДачи.

6)-(7)-(х)" соответствующую собственным значениям, которые принадлежат области, RyRo,^о — достаточно большое число.

Теорема 4. Пусть выполнены сформулированные выше условия. Если (я) — краевые условия с невырожденным старшим коэффициентом, то существует абсолютная постоянная такая, что при 4/^6)? Т выполняются неравенства: а.

Я п. ,. с [-1,1] 1⁶-М).

Неравенства (12) и определение краевых условий с невырожденным старшим коэффициентом являются новыми. В основе доказательства теоремы 4 лежат результаты § 1.4. Теорема 4 доказана в § 1.5. Заметим, в качестве примера, что в рамках теоремы 4 можно рассмотреть случай периодических краевых условий и случай краевых условий Дирихле: (Ю, ч у (-D — / а) = о, к^о.и-!

Основная зацача, которая решается во второй главе, — доказательство некоторого аналога известной теоремы Г. Еиркгофа (см. ю]) для многомерного случая. Имеется в виду следущее. Для одномерного дифференциального уравнения с параметром, которое рассматривается в теореме Г. Биркгофа, указывается асимптотика линейно независимой системы решений, которая является базисом для конструирования с.ф. краевых задач. В многомерном случае есть смысл искать такие базисы уже не для уравнений, но для операторов, и, как это будет видно, в «пачках» некоторых собственных подпространств, что является, например, эффективным описанием совокупности данных: подпространств. Эта задача, поставленная, насколько нам известно, впервые, рассмотрена для одного модельного оператора, и как показывает проведенное исследование, вопрос оказался тесно связанным с характером распределения спектра изучаемого оператора. Теоремы о распределении спектра, формулируемые ниже, являются новыми и представляют самостоятельный интерес. Приведем соответствующие обозначения, опредеп УУ1 ления, формулировки. Обозначим: К — евклидово пространство размерности m, S) — т — мерный куб с ребром 1 и центром в точке.

О? Rm — (oil — cLi + d-a +. .. + dm — мультииндекс,.

JL о'**'.

5)——) A — ¦ oU — j j JM > «—I +. .. -f.

S, X)> - скалярное произведение векторов S, X? R™. с5Г< S, X>

U.CX) = Zj Cs 6 -fl^Sj^f1 при 04J4< 00, Sj6jJ=[0,tl, ±5,-. J = m.

— мерный тригонометрический полином, заданный на ?) — Т множество таких полиномов при всех конечных Л — f (K) 9 KtJV число целых вещественных решений уравнения: sl + + ••• + = «1 А т.

— область определения соответственно оператора Л квадратичной формы (к.ф.) о£(')') — С (Л-) — спектр оператора $ - следующая сумма:

Z i означает число точек.

Лб С (л) с учетом их кратностеи, для которых выполняется включение: — с?(и-, и-) — K. tf)., заданная на Т выражением: п-1.

Л 1 (л с-) йы.1- UI—о9 f>} 5 Г С^), 1 ^ Р? О0 — пространство периодических функций.

С.Л.Соболева (см. [il]). В § 2.1 доказана.

Теорема 5. Пусть выполнены следующие условия, наложенные на коэффициенты к.ф. (13):

Li (0), если <2и>ж, yyj jj.)6т С14) Ьо (0), р S —™ —, если «gw^m, 0 4 1оЦ4п-1 И.

Тогда к.ф. полуограничена снизу, замкнута,.

С*/ Л.

Обозначим: L — самосопряженный полуограниченный снизу оператор, порожденный согласно теореме Фридрихса к.ф. ^(v). (см.

12]), 9(L) с W^ (9)) .

Теорема 6. Пусть выполнены следующие условия относительно коэффициентов к. ф. %(•>•): m+s.

L (9), если O^UKn- -g— I Г.

I Iл Wt + 1).

L®, P>maxl, —- f если let, JL d (n-UI-l)J г л) с 15) ^ 0) E О 9 если =.

Тогда для любого CL (z (^0} j^Sii^J существует такое число K (Q-), что при любом целом К > 1С (CL) для выполняется равенство:

У" 1 I = <�Р (к).

V1 т (is).

Пусть выполнены следующие условия относительно коэффициентов к.й. :

КИ+5. если.

S. у. J& > ma*[d' 0Го, 4еашin>m>пfiUUn-1 <�™ то для любого ^^(Р'Л^^) сУЩествУет такое число к (&-)>0, что при всех целых ?>?(&) для Л^^(Ь) выполняется неравенство:

У. 1 к т.

18) с* где с — абсолютная постоянная.

Из теоремы 6 в качестве следствий (следствия I, 2) можно вывести следующие известные результаты.

Следствие I. Пусть rvi = 1. Тогда существуют такие абсолютные постоянные, а, , к. С а), что для Л СХь) при целых выполняется неравенство:

L. i.

Следствие 2. Пусть? о — оператор, заданный на.

С? (-1,1) дифференциальным выражением: / ч И у (х) +.

21) i LpHA), Р>1> если H^l.

Тогда существуют такие абсолютные постоянные о. >0, с, К-Са)>0 такие, что для любого положительного самосопряженного расширения оператора со при целых fc (a) для выполняется неравенство:

2] 1 4 е.

1^-KSrUa (22).

Теорема 5 и следствия I, 2 доказаны в § 2.2. Обозначим & оператор, соответствующий дифференциальному выражению: и ви -(-A) U,(x) + cp (x)u (x), Х60, (23) и периодическим краевым условиям на причем.

В § 2.3 доказана.

Теорема 7. Пусть п > т+ d, й 6 (о, j ST3-), Н (- подпространство Lq (?)), порождаемое с.ф. оператора? , которые соответствуют собственным значениям, удовлетворяющим неравенству: I — КЯ* I 4 а.

Тогда найдется число К (а) такое, что при любом целом К-> fC (CL) в НС) существует базис, представляемый набором функций t v) vac) l Jl, причем:

И,(Х) = g + 0(* J.

С ~ • - (24) где вектор? • • пробегает целочисленные решения уравнения: +. • • + Sm = /С символ 0 (') понимается в смысле $ - нормы.

В основе доказательства теоремы 7 лежит доказанная новым приемом лемма 2.3.3 и теорема 6.

Лемма 2.3.3. Пусть, ^ Цд О) J^^(q) ~ С*Ф* опе~ ратора Е. Тогда существует абсолютная постоянная такая, что при.

XeC (Q) выполняется неравенство: ж-i причем показатель степени величины \ не может быть уменьшен.

В последние годы активно разрабатываются методы изучения свойств резольвенты эллиптических операторов в весовых пространствах L (й) и, в частности, резольвенты оператора Штурма.

Лиувилля (см. [lb] - [27] и др.). Наиболее общие результаты, полученные вариационным методом, даны в работе [23]. Эта тематика для случая весовых пространств L, d 4 Р < ОО разрабатып валась для оператора Штурма — Лиувилля в основном в работе [28] и имеющийся в ней уровень общности результатов уступает достигнутому в случае р = «? .В главе 3 разрабатывается методика, которая позволяет для резольвенты оператора Штурма — Лиувилля в весовых пространствах L ^^ ($), i 4 р < оо, рФЗ. получать теоремы такого же уровня общности.

В § 3.1 введена вспомогательная функция ^ (•), в терминах которой будут даваться далее основные формулировки. Пусть C^O^-i, Рос. й), ?, У! — натуральные числа. Определим функцию Ь’Амр) (26).

С, 2LK-I [*,?JcD<-Kd, x+icdJ Г ' ^ } d>0i p-jL^a.KvcLd J.

Функции-усреднения такого типа впервые появились в работах М.Отелбаева. Некоторые их свойства описаны, например, в работе у.

29]. В § 3.1 подробно рассматриваются свойства функции (.),.

Wj /с.

Часть предложенных здесь доказательств отличается большей общностью, чем в работе [29 J. В § 3.2 вводятся важные для последующего классы — своеобразная параметризация пространства.

LJ Ш и доказывается, что при классы совпадают между собой и Lo СИ). Рассмотрим оператор (L + AоЕ), заданный на С? (3) дифференциальным выражением:

L+л= + (27).

Рос где > 1, (},(•)€ Lp (й), Е — тождественный оператор в Lp (У) * В § 3.3 подробно проанализированы локальные свойства оператора. В некоторых случаях (например, лемма 3.3.4) предложены методы, не применявшиеся ранее. В § 3.4 на основе схемы локального представления резольвенты М. Отелбаева (см. [22J) и предшествующих результатов § 3.1 — § 3.3 доказывается основная.

Теорема 8. Пусть? (•), С[,() 6 L^ ($), tyO^i ,.

Cfy (•)? Существует постоянная > О такая, что если fy < Зо, то.

A) Оператор (L+J (of), определенный равенством (27) на Q (L+}oE)-= имеет замыкание в Lp (l1) ;

Б) Ло — регулярная точка оператора (L + X Е") ;

B) Для того, чтобы операторы были ограничены в необходимо, а при 0.

И^Щ Юг*.

ТО), 9−6))= Sap —— ((29) где 9"М=(г:

Теорема 8 является новой при р^^ .В случае р=&соответствующий несколько более тонкий результат получен в работе[22]. Доказанная теорема обобщает основные результаты работы Г 28]. В § 3.5 доказаны теорема о возмущениях и утверждения, позволяющие определить принадлежность потенциала к классу Jd (8f>) без обращения к функции О* (•), т. е. развивается техника применения теоремы 8. Приведём типичный результат. Пусть Cj, 0) и локально непрерывна на! J. Введём функции: u>(x)=Jf^ f О) = men, ? =.

О ' '?+1 Гт X-tКоУе <*>J.

Теорема 9. Пусть существует натуральное число 2. и числа &, ё 1 С, $, /3, cL такие, что равномерно относительно Х&euroЛ при любом достаточно большомА выполнены условия: 5″ ¥-е w при | х — у U в % fx) (30).

J., + Л, n3L a3- с^ОО+Л.

CL при (31) a fy (ti) — q,(-tA)j 4 с (Я-М + Д) lii-Ul при i ±-,±-л € x+&(S+s)fe (*>] i (32) d >? (]3-l), € fo d], ? * О (33).

Тогда Cj, 0) e! JC (fy), где a ^ / v.

34).

Отметим, что внутри каждого параграфа диссертации буквами > Чг. «••• обозначены постоянные, точное значение которых несущественно для изложения. Нумерация этих постоянных в каждом параграфе начинается заново. При разложении функций в ряды Фурье по тригонометрической системе функций, нормированных в L^ к единице, запись нормирующих множителей в тексте диссертации для сокращения записи опущена.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [31], [32], [ЗЗЛ, [49J, [50], [51], [52], докладывались и обсуждались: на УН и УШ Казахстанских межвузовских научных конференциях по математике и механике (Караганда — 1981 г., Алма-Ата — 1984 г.), на XXII всесоюзной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям Пермского политехнического института.

Пермь — 1982 г.)" на отчетных конференциях Института математики и механики АН Каз. ССР за 1980 г. — 1983 г., в личной беседе с доктором физико — математических наук К. Х. Бойматовым (1984 г.)" на семинарах: члена — корреспоццента АН Уз. ССР Ш. А. Алимова (Ташкент-1984 г.), профессора Н. К. Блиева (Алма — Ата — 1984 г.), академика АН Каз. ССР О. А. Жаутыкова (Алма — Ата — 1984 г.), профессора М. Отелбаева и доктора физико — математических наук Т. Ш. Кальменова (Алма — Ата, 1980 г. — 1984 г.), в том числе с участием профессоров МГУ А. Г. Костюченко и Б. М. Левитана (1983 г.), члена — корреспондента АН Каз. ССР Е. И. Кима (Алма — Ата — 1984 г.), профессора А. П. Хромова (Саратов — 1984 г.).

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Мухтарбаю Отелбаевичу Отелбаеву за постановку задач, руководство работой, обсуждения полученных результатов.

Автор благодарит доктора физико — математических наук Тыныс-бека Шариповича Кальменова за внимание к работе и полезные обсуждения результатов.

1. Ильин В. А., Йо И. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора ШтурмаЛиувилля с потенциалом из класса. — Дифференциальные уравнения, 1979, 15, № 7, с. 1164 — 1174.

2. Лажетич Н. Равномерные оценки для производных собственных функций самосопряженного оператора Штурма Лиувилля. — Дифференциальные уравнения, 1981, 17, W II, с. 1978 — 1984.

3. Ломов И. С. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций оператора Штурма Лиувилля. — Дифференциальные уравнения, 1982, 18, № 10, с. 1684 — 1694.

4. Тихомиров В. В. Точные оценки собственных функций произвольного несамосопряженного оператора Шредингера. Дифференциальные уравнения, 1983, 18, № 8, с. 1378 — 1385.

5. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I. Дифференциальные уравнения, 1980, 16, № 5,с. 771 794.

6. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II. Дифференциальные уравнения, 1980, 16, № 6,с. 980 1009.

7. Минкин A.M. Теорема равносходимости для разложений по обобщенной спектральной функции симметрического дифференциального оператора и в интеграл Фурье. В кн. «Функциональный анализ», Ульяновск, 1980, 14, с. 109 — 112.

8. Минкин A.M. Общие ряды по собственным и присоединенным функциям. ДЕП. ВИНИТИ, 1982, № 6481 — 82, 36 с.

9. Велиев О. А. О спектре и спектральных особенностях дифференциальных операторов с периодическими комплексно.?начными коэффициентами. Дифференциальные уравнения, 1983, 19, № 8, с. 1316 — 1324.

10. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969, — 526 с.

11. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., Наука, 1977. — 456 с.

12. Рисс Ф., Секефальви Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М., Наука, 1954. — 499с.

13. Костюченко А. Г., Саргсян И. О. Распределение собственных значений. М., Наука, 1979. — 400 с.

14. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Точные по пордцку оценки максимумов модулей собственных и присоединенных функций эллиптического оператора. Математические заметки, 1983, 34, № 5, с. 683−692.

15. W. i/., -М• Some. рчорм.1ш oj Ш с! ота. ш certain di^h^iioLi opo.n.a.toig.- Pwc. London Ha.ik. $ocp. 301−32*/.

16. Бойматов K.X. Теоремы разделимости для оператора Штурма Лиувилля. — Математические заметки, 1973, 14, Р 3, с. 349−359.

17. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости. ДАН СССР, 1973, 213,5, с. 1009 IOII.

18. Раймбеков Д. Ж. Гладкость решения в L? сингулярного уравнения. Изв. АН Каз. ССР, сер. физ. — мат., 1974, № 3, с. 78 — 83.

19. Отелбаев М. О гладкости решения дифференциальных уравнений. Изв. АН Каз. ССР, сер. физ. — мат., 1977, № 5, с. 45 — 43.

20. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических операторов в. Труды МИ АН СССР, 1983, 161, с.-195 — 217.

21. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов. ДАН СССР, 1977, 234, № 3, с. 540 — 543.

22. Измайлов А. Л. Гладкость решений дифференциальных операторови теоремы разделимости. Канд. диссерт., Алма — Ата, 1978.

23. Бойматов К. Х. L^ оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1975, 223, № 3, с. 521 — 524.

24. Измайлов А. Л., Отелбаев М. О суммируемости с весом решения дифференциального уравнения в неограниченной области. Изв. АН КазССР, сер. физ. — мат., 1977, № I, с. 36 — 40.

25. Отелбаев М. О суммируемости с весом решения уравнения Штурма-Лиувилля. Математические заметки, 1974, 16, № 6, с. 969−980.

26. Апышев О. Д., Отелбаев М. О спектре одного класса дифференциальных операторов и теоремы вложения. Изв. АН СССР, 1979, 43, № 4, с. 32 — 58.

27. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981, — 542 с.

28. Шустер Л. А. Распределение спектра одного дифференциального оператора. Тезисы докладов УН Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Математика. Караганда, 1981, с. 44.

29. Шустер JI.А. Оценки собственных функций одного дифференциального оператора. Вестник АН Каз. ССР, 1983, № II, с. 63 — 66.

30. Шустер Л. А. Оценки собственных функций и их производных одного дифференциального оператора. В сб. «Краевые задачи», Пермь, 1983, с. 108 — 112.

31. Треногин В. А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980. 495 с.

32. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М., Наука, 1966. — 800 с.

33. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., Наука, 1953. — 468 с.

34. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа.- М., Наука, 1965. 519 с.

35. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. II. М., Мир, Т965. -537 с.

36. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. T.I. —М., ИЛ, 1960. 278 с.

37. Гельфонд А. О., Линник Ю. С. Элементарные методы в аналитической теории чисел. М., Наука, 1962. — 272 с.

38. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. ГУ. М., Наука, 1959. 655 с.

39. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М., Высшая школа, 1977. — 431 с.

40. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. II. М., ГИТТЛ, 1956. — 432 с.

41. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т.У. М., Наука, 1959. 655 с.

42. Бекенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М., Мир, 1965. — 276 с.

43. Кахан Ж-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. М., Мир, 1976. 204 с.

44. Минкин A.M. Регулярность самосопряженных краевых условий.- Математические заметки, 1977, 22, № 6, с. 835 846.

45. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., Наука, 1967. — 575 с.

46. Шустер JI.A. 0 разделимости оператора Штурма Лиувилля.- Вестник АН Каз. ССР, 1984, № 8, с. 68−70.

47. Шустер Л. А. Распределение спектра и выбор базиса в семействе собственных подпространств. Тезисы докладов УШ Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Математика. Алма — Ата, 1984, с. 57.

48. Шустер Л. А. Равномерные оценки собственных функций одного дифференциального оператора. ДЕП ВИНИТИ, № 3003, 22.05.84, 29 с.

49. Шустер Л. А. Распределение спектра и выбор базиса в «пачках» собственных подпространств одного дифференциального оператора.- ДЕП ВИНИТИ, № 5444, 26.07.84, 39 с.