Высшая математика

Контрольная работа № 1

Вариант 5

Задача № 1. Даны четыре вектора, ,, в некотором базисе. Показать, что векторы, , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение.

Проверим, образуют ли векторы, , базис.

Три вектора образуют базис, если они не лежат в одной плоскости. Найдем смешанное произведение векторов, , .

Поскольку смешенное произведение векторов не равно 0, то векторы, , образуют базис.

Найдем координаты вектора в базисе .

.

Подставляя координаты векторов, получим систему линейных алгебраических уравнений, которую решим по формулам Крамера.

Воспользуемся формулами Крамера:

, ,

где — определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

== 42 + 0 +18 +0 +30 — 28 = 62;

= 42 + 0 — 156 +0 + 30 — 21 = -105;

= 42 +0 +36 +0 + 312 — 56 = 334;

= 312 + 40 -18 +36 — 30 -208 = 132.

Найдем, , .

. Ответ:

Задача № 2 Даны вершин пирамиды, ,,. Найти:

длину ребра ;

угол между ребрами и ;

угол между ребром и гранью ;

площадь грани ;

объем пирамиды;

уравнения прямой ;

уравнение плоскости ;

уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

Сделать чертеж.

Решение:

1) Длина d отрезка, проходящего через точки с координатами, вычисляется по формуле:

Поставим в формулу координаты точек и .

Получим

.

2) Угол ц между векторами находится по формуле:

=

Найдем координаты векторов и .

= .

=.

Тогда = =.

радиан.

3) Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:

где — нормальный вектор плоскости.

Так как и ,

то вектор можно найти как векторное произведение векторов и .

== .

Нормальный вектор плоскости равен (7, 26, -8).

Тогда == = .

радиан.

4) Найдем площадь грани по формуле

Из пункта 3 имеем =.

Тогда = = = .

= = .

5) Объем пирамиды вычислим по формуле

= ,

где — смешанное произведение векторов, , .

Вычислим .

== =.

Значит, ==.

6) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:

Подставим координаты точки и вектора, получим:

= = - канонические уравнения прямой .

7) Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярной вектору имеет вид:

.

Нормальный вектор плоскости имеет координаты (7, 26, -8) (вычислено п. 3).

откуда — уравнение плоскости .

8) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины на грань. Направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости — = (7, 26, -8).

Тогда — уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Сделаем чертеж:

Задача № 3 Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку

Решение.

Т.к. каждая точка линии является центром окружности, касающейся оси абсцисс, то радиус окружности в произвольной точке линии будет перпендикулярен оси абсцисс. Значит, линия параллельна оси абсцисс.

Тогда уравнение линии имеет вид:

Ответ: .

Задача № 4. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами. 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение Докажем совместность системы. По теореме Кронекера-Капелли если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система совместна. Найдем ранг расширенной матрицы. Сведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Умножим первую строку матрицы на -4 и прибавим ко второй.

Умножим первую строку матрицы на -2 и прибавим к третьей.

Далее вторую строку матрицы прибавим к третьей, умноженной на -7.

.

Получили ступенчатую матрицу. и равен количеству неизвестных, следовательно, система совместна и определена, т. е. имеет единственное решение.

Решим систему методом Гаусса.

Запишем систему линейных уравнений полученную после преобразования матрицы .

.

(3, 8, 13) — решение системы.

2. Решим систему матричным способом. Запишем систему в матричной форме, где

,

Решение системы в матричной форме имеет вид, где — матрица, обратная матрице. Найдем матрицу по формуле

= ,

где — алгебраическое дополнение к элементу.

= = 3 — 4 + 2 -6 -1 +4 = -2

Обратная матрица имеет вид:

=.

Найдем решение системы.

== =.

(3, 8, 13) — решение системы.

Ответ: (3, 8, 13).

Задача № 5. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

линейный алгебраическое уравнение пространство Решение.

Составим матрицу, из коэффициентов системы.

Поменяем первую и третью строки местами.

Умножим первую строку матрицы на -2 и прибавим ко второй.

Умножим первую строку матрицы на -7 и прибавим к третьей.

Далее вторую строку матрицы умножим на -3 и прибавим к третьей.

Получили трапециевидную матрицу, следовательно, система совместна и не определена.

Очевидно, что ранг матрицы равен 2. Следовательно, две неизвестные являются главными, и две — свободными. Значит, фундаментальная система решений системы содержит 4−2=2 линейно независимых решения. Выберем в качестве главных неизвестных, тогда переменные будут свободными.

Система, соответствующая преобразованной матрице, имеет вид

.

Или иначе:

.

Фундаментальная совокупность решений, является базисом линейного пространства решений исходной системы. Следуя общему правилу, полагаем; затем —. В результате приходим к двум частным решениям, которые и составляют фундаментальный набор.

; .

Размерность искомого пространства равна 2.

Все решения данной системы выражаются через фундаментальный набор:

где произвольные числа.

Ответ: .

Задача № 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение.

Пусть есть столбец координат неизвестного собственного вектора, принадлежащего собственному значению. , т. е.

(1).

Эта система имеет ненулевые решения только при условии равенства нулю её определителя .

Составим характеристическое уравнение.

= = ;

Решим уравнение;. Откуда получим:, , .

,. — собственные значение матрицы.

При система 1 примет вид.

Собственный является любой вектор вида:, .

При система 1 примет вид.

Собственный является любой вектор вида:, .

При система 1 примет вид.

Собственный является любой вектор вида:, .

Задача№ 7. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.

.

Решение.

Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна

.

Собственными числами данной матрицы будут

.

Решим уравнение =0 получим:, .

При имеем:

Собственным является любой вектор вида:, .

При имеем:

Собственный является любой вектор вида:, .

Получим собственные векторы

;

Выполним преобразование:

;

;

;

;

;

— эллипс с полуосями и .

Задача № 8 Построить график функции преобразованием графика функции .

Решение

Задача № 9 Дана функция на отрезке. Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток, начиная от; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительное полуось абсцисс — с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

Решение.

Построим кривую. Сведем данные в таблицу:

Построим график функции по данным таблицы.

Найдем уравнение кривой в прямоугольных координатах.

;; .

;; ;;; ;

; ;

; - эллипс с центром в точке и большей полуосью, и меньшей полуосью

Задача № 10 Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение.

а)= = = =

===4.

Чтобы раскрыть неопределенность поделили числитель и знаменатель на старшею степень.

б) ==

=

= =

=

== .

Чтобы раскрыть неопределенность помножили числитель на сопряженное выражение, знаменатель разложили на множители.

в) = = = =

==

=.

=-5.

При решении примера использовали первый замечательный предел и его следствие .

5) == =

==== =

= = = = -1. При решении примера был использован второй замечательный предел .

Задача № 11 Заданы функция и два значения аргумента и. Требуется: 1) установить является ли заданная функция непрерывной или разрывной для каждого из заданных значений; 2) в случае разрыва найти пределы при приближении к точке слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

Решение.

Найдем область определения функции:. Функция неопределенна при .

Чтобы определить является ли функция непрерывной в заданной точке, воспользуемся критерием непрерывности функции. Для этого для каждой точки найдем односторонние пределы.

Для точки

;; .

Согласно критерия т.к., то функция непрерывна в точке .

Для точки

; .

Согласно критерия т.к., то функция имеет в точке разрыв второго рода.

Сделаем схематический чертеж функции.

Задача № 12 Заданы функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменой. Найти точки разрыва функции, если они существуют сделать чертеж.

Решение.

Область определения функции. На интервалах (-1, 0),

(0, 2), (2, +) функция непрерывна, так как задана на них элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках и, в которых изменяется аналитическое задание функции.

Рассмотрим точку. Найдем односторонние пределы в точке .

.

Так как, то в точке имеет непрерывна.

Рассмотрим точку .

.

Так как, то в точке имеет разрыв первого рода. Скачек равен .

Строим график функции:

Задача № 13 Найти производную данных функций.

а) ;

===

===

===

= = .

б) ;

= = =

== .

в) .

= = =

= = .

г) .

Данная функция является степенно-показательной. Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем функцию:. Применим свойство логарифмов: .

Тогда. Дифференцируем обе части равенства:

; ;

; .

4) .

; ;

;; .

.