Понятие о центре тяжести

Понятие о центре тяжести

Именно приложение к геометрии мы и будем рассматривать. Для этого нужно ввести некоторые определения и понятия. Под материальной точкой понимают точку, снабжённую массой. Для наглядности можно себе физически представить материальную точку в виде маленького тяжёлого шарика, размерами которого можно пренебречь. В связи с этим будем часто указывать только числовое значение той или иной физической величины, но не будем отмечать её наименование, считая, что оно само собой подразумевается. Например, выражение: «В  ABC сторона BC равна a, а в вершине A мы помещаем массу a» означает: «Длина стороны BC равна a ñàíòèìåòðàì, à ìàññà, ïîìåù¸ííàя в вершине A, равна a грамм».

Если в точке A помещена масса m, то образующуюся материальную точку будем обозначать так: (A, m). Иногда, когда это не может вызвать недоразумений, мы будем её обозначать одной буквой A. Массу m иногда называют «нагрузкой точки A».

Центром тяжести двух материальных точек (A, a) и (B, b) называется такая третья точка C, которая лежит на отрезке AB и удовлетворяет «правилу рычага»: произведение её расстояния CA от точки, А на массу, а равно произведению её расстоянию СВ от точки В на массу b; таким образом,.

.

Это равенство можно записать и так:

.

то есть расстояние от центра тяжести двух материальных точек до этих точек обратно пропорциональны массам, помещённым в этих точках. Центр тяжести будет ближе к точке с большей массой. Из определения следует: если прямая проходит через центр тяжести двух материальных точек и через одну из них, то она пройдёт и через другую.

Центр тяжести двух материальных точек имеет весьма простой механический смысл. Представим себе жёсткий «невесомый» стержень АВ, в концах которого помещены массы, а и b (рис. 1). «Невесомость» стержня практически означает, что его масса по сравнению с массами a и b настолько незначительна, что ею можно пренебречь. Центр тяжести С материальных точек (A, a) и (B, b) — это такая точка, в которой надо подпереть стержень AB, чтобы он был в равновесии.

А 5 С 15 B.

рис. 2.

Для дальнейшего полезно также ввести понятие «объединение» или равнодействующей двух материальных точек. Под этим мы будем понимать материальную точку, которая получится, если в центре тяжести двух материальных точек поместить массы обеих точек.

A C B.

.

рис. 1.

Пример. Пусть в концах невесомого тонкого стержня AB (рис. 2), длина которого равна 20 ед. Помещены такие массы: в A — 6 ед., в B — 2 ед. Центром тяжести материальных точек (A, 6) и (B, 2) будет точка C, лежащая на стержне AB, определяемая условием: 6CA=2CB, или CB=3CA. Поэтому АВ=CB+CA=4AC. Отсюда (ед.). Объединение материальных точек (A, 6) и (B, 2) будет материальная точка (С, 8).

Центр тяжести трёх материальных точек находится следующим образом: находят объединение двух из этих материальных точек и затем ищут центр тяжести образовавшейся таким образом четвёртой материальной точки и третей из данных материальных точек.

Вообще, центр тяжести n материальных точек при n>2 находится так: надо сначала найти центр тяжести n-1 материальных точек, поместить в этой точке массы всех n-1 точек, затем найти центр тяжести этой вновь образовавшейся материальной точки с n-й материальной точкой.

Если поместить в центре тяжести несколько материальных точек массы всех этих точек, то образующуюся таким образом новую материальную точку назовём объединением данных материальных точек.

Для решения задач важны следующие простейшие свойства центров тяжести.

Положение центра тяжести n материальных точек не зависит от порядка, в котором последовательно объединяются эти точки. (Теорема о единственности центра тяжести для системы из n материальных точек.).

Положение центра тяжести системы из n материальных точек не изменится, если заменить несколько материальных точек их объединением. (Теорема о возможности группировки материальных точек.).

При рассмотрении некоторых вопросов механики оказывается выгодным ввести понятие статического момента.

Пусть имеется некоторая точка C и, кроме того, материальная точка A(A, m). Статическим моментом материальной точки, А относительно точки С мы назовём произведение mCA и будем его кратко обозначать так: МомСА.

Пользуясь понятием статического момента, определение центра тяжести можно сформулировать так: точка С называется центром тяжести двух материальных точек A(A, m1) и B(B, m2), если С лежит на отрезке АВ и МомСА=МомСB.

Пусть теперь на некотором луче с началом S (рис. 3) расположена система из некоторых n материальных точек.

A1(A1, m1), A2(A2, m2), …, An(An, mn).

S A4 A3 A2 A1 An.

рис. 3.

Статическим моментом этой системы относительно начала луча S называют сумму моментов всех точек системы относительно начала луча,.

т.е. сумму K=МомSA1+ МомSA2+ МомSA3+…+ МомSAn или, подробнее,.

K=m1SA1+ m2SA2+ m3SA3+…+ mnSan.

Пример. Если система состоит из трёх точек (A1, 1), (A2, 4), (A3, 9) и SA1=1, SA2=2, SA3=3 (рис. 4), то статический момент системы равен.

K=11 + 42 + 93 = 36.

Понятно, что в системе SGC момент будет иметь размерность гсм. Но мы ранее договорились, что размерность будем каждый раз подразумевать, но нигде не указывать.

S A1 А2 A3.

рис. 4.

В наших рассуждениях основными объектами были «материальные точки». С точки зрения математики материальная точка — это комплекс, состоящий из геометрической точки и некоторого (положительного) числа.

В математике не раз приходится сталкиваться с таким явлением: комплекс из двух каких-то математических объектов рассматривают как некоторый новый объект, который затем уже подвергается специальному изучению. Так, например, в курсе алгебры вводится понятие комплексного числа как комплекса (пары) двух действительных чисел.

В строгих курсах геометрии таким образом вводится, например, понятие отрезка как комплекса (пары) двух точек; понятие угла может быть введено сходным образом: угол можно рассматривать как комплекс двух лучей с общим началом.

Если имеется у нас какая-либо материальная точка А(A, m), то мы (геометрическую) точку A будем иногда называть носителем или аффиксом этой материальной точки, а число m будем по-прежнему называть массой этой материальной точки.

Равенству вида (A, a)(B, b) мы придаём такой смысл: две материальные точки имеют один и тот же носитель (AB) и равные массы (ab).

Решение почти всех ранее рассмотренных задач опиралось на то, что мы «объединяли некоторые материальные точки в их центре тяжести»; точнее, заменяли некоторые материальные точки их объединением. При этом под объединением двух материальных точек (A, a) и (B, b) мы понимали некоторую новую материальную точку (С, a+b), где С — центр тяжести двух данных материальных точек. Можно было бы так сказать: объединением двух материальных точек называется такая новая материальная точка, носителем которой является центр тяжести данных материальных точек и масса которых равна сумме масс этих материальных точек.

Вместо «объединения» можно употреблять выражение «сумма».

Если материальная точка С(С, с) является объединением двух других материальных точек A(A, a) и B(B, b), то мы будем это записывать так:

(A, a) + (B, b) = (C, c).

или, короче,.

A + B = C.

Мы не будем исключать и тот случай, когда две материальные точки имеют один и тот же носитель. В этом случае, естественно, будем считать носителем объединения их общий носитель. Таким образом, (А, а) + (А, b) = (A, a+b).

У нас возникает своеобразное исчисление, своеобразная алгебра. В этой алгебре имеет место переместительный закон: A + B = B + A. Это следует из самого определения центра тяжести двух материальных точек. Имеет место также сочетательный закон:

(A1 + A2) + A3 = A1 + (A2 + A3),.

или, иначе,.

[(A1, m1) + (A2, m2)] + (A3, m3) = (A1, m1) + [(A2, m2) + (A3, m3)].

Подробнее: Найдём ли мы сначала объединение A12 двух материальных точек А1 и А2 и затем найдём объединение этой материальной точки А12 с третьей материальной точкой А3, или сначала найдём объединение А23 материальных точек А2 и А3, а затем найдём объединение материальных точек А1 и А23, в обоих случаях мы придём к одному и тому же результату, к одной и той же материальной точке.

Понятно, что смысл этого утверждения состоит в том, что центр тяжести трёх материальных точек не зависит от порядка, в котором объединяются эти точки.

В наших рассуждениях «материальная точка» (A, m) выступала как комплекс, состоящий из некоторой геометрической точки, А и некоторого положительного числа т. Это число т мы до сих пор называли массой. Однако его можно было бы назвать и каким-либо другим словом, скажем, «весом». Все наши предыдущие рассуждения останутся, конечно, в силе, если заменить слово «масса» словом «вес». Мы бы в таком случае уже не говорили, например, «рассмотрим материальную точку (А, т) с массой т», а сказали бы: «рассмотрим материальную точку (А, т) с весом т».

До сих пор мы наглядно представляли материальную точку (А, т) в виде материального шарика, размерами которого можно пренебречь, имеющего массу т. Но с таким же успехом мы могли бы наглядно представить ту же материальную точку в виде такого же шарика с весом т.

Мы далее рассматривали центр тяжести двух материальных точек вида (A, a) и (B, b) и определяли его по правилу рычага. Если мы хотим этот центр тяжести наглядно представить в виде центра тяжести двух шариков, помещённых в точках, А и В и весящих соответственно, а и b единиц, то нужно сделать несколько оговорок (которые, впрочем, само собой подразумеваются). Во всяком случае эти шарики должны быть на небольшом расстоянии друг от друга, настолько небольшом, чтобы можно было без чувствительной погрешности считать, что при свободном падении они будут перемещаться параллельно и с одним и тем же ускорением. Кроме того, если шарики из различных материалов, то важно, чтобы удельным весом газа или жидкости, заполняющей окружающую их среду, возможно было пренебречь. Такие условия практически будут соблюдены, например, если мы не выйдем за пределы, скажем, комнаты или даже города.

До сих пор, рассматривая материальную точку, то есть пару вида (А, т), мы всегда полагали, что её «масса» (или «вес») — положительное число. Для решения некоторых геометрических задач весьма полезно рассмотреть и такой случай, когда это число т может быть произвольным действительным числом. Такую пару мы, сохраняя старую терминологию, будем по-прежнему называть материальной точкой, а для числа т сохраним старое название «масса» (или «вес»). Как же себе наглядно представить «материальную точку» с отрицательной «массой»?

Приведём одну конкретную физическую картину, которая позволит читателю наглядно представить материальные точки с произвольными вещественными «массами».

Пусть имеется какой-то бассейн, заполненный водой. Пусть шарик, который висит в воздухе (точнее, в пустоте) р единиц (скажем, р грамм), помещён в какую-то точку, А внутри этого бассейна.

Рассмотрим сначала случай, когда удельный вес шарика больше 1 (например, когда шарик железный). Понятно, что шарик пойдёт в этом случае ко дну. Если под водой взвесить этот шарик (скажем, с помощью пружинных весов), то весы покажут меньше, чем р единиц. Нетрудно, если будет необходимость, узнать, сколько будет весить шарик под водой. Пусть удельный вес шарика равен d, а объём V. Тогда V=p/d. Считая удельный вес воды равным 1, найдём что вес воды в объёме, занимаемом шариком, равен (p/d)1=p/d. В силу закона Архимеда вес т шарика под водой (его «подводный вес») определяется по такой формуле:

(*).

Понятно, что т — подводный вес шарика — это результирующая сила, которая получается от сложения двух сил, действующих на шарик: силы тяжести и выталкивающей силы воды.

Обратим внимание на то, что в рассматриваемом случае (при d>1) m>0 и эта сила направлена вниз. Пусть теперь удельный вес шарика меньше 1 (например, когда шарик сделан из пробки). В этом случае шарик будет выталкиваться из воды («вверх»). Результирующая сила m, под действием которой шарик будет выталкиваться вверх, будет в соответствии с законом Архимеда равна по-прежнему.

.

но теперь это выражение отрицательно (ибо d<1) и, следовательно, сила направлена вверх.

Пусть, наконец, d=1, то есть удельный вес шарика равен удельному весу воды. Такой шарик можно себе представить изготовленным из дерева и содержащим металлическую сердцевину (причём металл и дерево должны, понятно, быть взяты во вполне определённом отношении). Можно его себе представить изготовленным также из специальной пластмассы. Его вес в воде по-прежнему определяется по (*), а так как d=1, то т=0, то есть такой шарик в воде невесом. При любом положении точки, А в воде он останется в покое.

Таким образом, при любом d (d>0) выражение (*) характеризует величину результирующей силы, которая действует на шарик; она направлена «вниз» при т>0 (т.е. при d>1) и «вверх» при т<0 (т.е. при d<1). При т>0 мы эту силу назвали «подводным весом шарика». То же название мы сохраним и при т0. Таким образом, подводный вес шарика может выражаться как положительным, так и отрицательным числом или нулём.

Перейдём теперь к наглядному истолкованию «материальных точек». Материальную точку (А, т) при любом т (положительном, отрицательном или равном нулю) мы можем наглядно представлять в виде шарика, размерами которого можно пренебречь, помещённого в точке, А и имеющего подводный вес т.

Значит, то число т, которое мы условились называть «массой» материальной точки, мы истолковываем, как «подводный вес шарика». При т>0 мы материальную точку (А, т) наглядно представляем в виде шарика, тонущего в воде (например, железного). При т<0 соответственно, всплывающего на поверхность воды (например, пробкового), а при т=0 — из пластмассы — с таким же удельным весом, что и у воды. В воде он будет невесомым. Будучи помещён в какой-либо точке, он под действием силы тяжести и выталкивающей силы воды останется на месте.

Если будет идти речь о двух материальных точках, то мы их можем себе наглядно представлять нанизанными на тонком прямолинейном стержне, изготовленном из той же «невесомой» (в воде) пластмассы, о которой мы говорили выше. Ниже мы будем говорить о центре тяжести двух материальных точек. Практически этот центр тяжести можно наглядно представить как точку, в которой нужно подпереть или за которую нужно подвесить невесомый (в воде) стержень для того, чтобы он вместе с нанизанными на нём «материальными точками» оказался в безразличном равновесии.