Зависимость объемов производства овощных консервов от валового сбора овощей, товарной продукции овощей, государственных закупок овощей и времени

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова»

Финансовый факультет Кафедра математических методов и моделей Контрольная работа по дисциплине: «Эконометрика»

Вариант 20.

Москва — 2011

Изучается зависимость объемов производства овощных консервов У от валового сбора овощей, товарной продукции овощей, государственных закупок овощей и времени.

Табл.1.

Задание:

1. Заполнить пропуски в таблице данных;

2. Отобрать факторы в регрессивную модель и выбрать форму модели;

3. По МНК оценить коэффициенты линейной регрессии и построить регрессионную модель y =b₀+b₁x₁+b₂x₂+?;

4. Проверить выполнение предпосылок МНК;

5. Оценить качество и надежность построенной модели;

6. Провести экономическую интерпретацию результатов моделирования;

7. Спрогнозировать значение объясняемой переменной У_прогн.

регрессия детерминация автокорреляция

1. Заполнить пропуски в таблице данных Производство овощных консервов зависит от валового сбора овощей, товарной продукции, государственных закупок и времени. Фактор времени приобретает значение от 1 до 16.

Пропуски в динамических рядах заполним, используя методы интерполяции и экстраполяции.

Табл.2.

2. Отобрать факторы в регрессионную модель и выбрать форму модели Установка продолжительности отчетных динамических рядов дает возможность определить число факторов, подлежащих включению в модель. На каждый фактор модели должно приходиться не менее 5 точек наблюдения, тогда влияние факторов на результирующий показатель можно назвать неслучайным.

В нашем случае продолжительность рядов составляет 16 точек наблюдений (т.е. 16 лет) и мы можем взять не более 3 факторов, которые можно включить в модель.

На основе коэффициента парной корреляции рассчитаем взаимозависимости между зависимой (У) и переменными (х₁, х₂, х₃, х₄), а также переменных между собой.

Результаты расчетов представлены в таблице 3.

Табл.3.

В модель можно выбрать 3 фактора. Так как коэффициент парной корреляции между факторами х3 и х4 минимален, то включаем их в модель.

Максимально возможное число факторов модели равно 3, однако, добавление любого из оставшихся факторов невозможно, в связи с их сильной взаимозависимостью.

3. По МНК оценить коэффициенты линейной регрессии b_i, i=0,1,2 и построить регрессионную модель y =b₀+b₁x₁+b₂x₂+?

Для определения оценок b₀, b₁, b₂ воспользуемся матричным МНК. Представим данные наблюдений и коэффициенты в матричном виде. Тогда вектор оценок коэффициентов регрессии найдем по формуле

В = (Х^т Х)^-1 Х^т У

Следовательно коэффициенты регрессии следующие:

b₀ = - 1702;

b₁ = 175,62;

b₂ = 86,79.

Уравнение регрессии имеет вид:

У = -1702 + 175,62*Х₁ + 86,79*Х₂, где Х_1 — валовой сбор овощей

Х₂ — время

4. Проверка выполнения предпосылок МНК Применение МНК для получения оценок параметров предполагает выполнение следующих предпосылок:

1. Уравнение должно быть линейно относительно параметров;

2. Отсутствует статистическая линейная зависимость между параметрами х;

3. Переменные х_i наблюдаются без ошибок;

4. Математическое ожидание случайных отклонений u_i = 0;

Табл.4.

5. Отклонение u_i имеет постоянную по времени дисперсию (гомоскедастичность) и не автокоррелированы.

6. Распределение u_i не зависит от х, если х — случайные переменные.

7. Случайные отклонения подчинены нормальному закону распределения.

Тест на гомоскедастичность Одной из предпосылок является предположение о постоянстве дисперсий случайных отклонений во времени (гомоскедастичность). Для проверки гипотезы о присутствии гомоскедастичности проводится тест ранговой корреляции Спирмена.

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедостичности случайного члена и рассчитывается коэффициент r по формуле:

Табл.5.

Тогда Р=1-(6*654)/(16*255)=0.03. Если r? t_табл., то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Так как r = 0,116 < t_табл. = 0,425, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности не отклоняется.

Тест на наличие автокорреляции Для проверки наличия автокорреляции проводится тест Дарбина-Уотсона, который устанавливает наличие или отсутствие статистической зависимости между ошибками ui. т. е. проверяется некоррелированность соседних значений ui.

Формула:

DW=2,78

Табл.6.

По таблице Дарбина-Уотсона найдем критические точки. Тогда d₁=0,73; d₂=1,2.

d₁ < DW и d₂ < DW < 4 — d₂, следовательно 0,73<2,78 и 1,2< 2,78 < 2,8

Следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

5. Оценить качество и надежность построенной модели Оценить статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессии.

Данная оценка заключается в проверке нулевой гипотезы Н₀ о значимости отличия коэффициентов b₂, b₁ и b₀ от нуля с использованием критерия Стьюдента.

Для этого вычислим значения

Исходя из предыдущих вычислений b₂ = 86,79, b₁ = 175,62 и b₀ = - 1702

Найдем остаточную сумму квадратов по формуле:

Для графической иллюстрации приближения корреляционной функции y и выборочных данных y_i воспользуемся графической интерпретацией результатов:

Дисперсию регрессии найдем по формуле:

= = 31 330,54

Проверим статистическую значимость коэффициентов регрессии, предварительно рассчитав, где z_jj — j-й диагональный элемент матрицы Z¹ = (Х^Т*Х)^-1, тогда

=31 330,54*5,222=163 608,08;

=31 330,54*0,028=877,26;

=31 330,54*0,005=156,66;

Вычислим значения:

= -1702/404,49 = 4,21

= 175,62/29,62 = 5,93

= 86,79/12,52 = 6,94

Т_табл.= 2,145

Тb₀> t_табл

Тb₁> t_табл

Тb₂> t_табл

Статистическая значимость коэффициентов b0, b1 и b2 регрессии подтверждается.

Построить доверительные интервалы для найденных коэффициентов.

Найдем интервальные оценки параметров, и при уровне значимости? = 0,01,

Использую следующую формулу:

Зная уровень значимости? = 0,01 и число степеней свободы k=13, по таблице Стьюдента .

Интервальные оценки параметра :

= -2569,64−834,36

Интервальные оценки параметра :

= 112,08 239,16

Интервальные оценки параметра :

= 59,93 113,65

Вычислить коэффициент детерминации R² и оценить его статистическую значимость.

Для проверки общего качества уравнения регрессии используется коэффициент детерминации R²:

Проанализировать статистическую значимость коэффициента детерминации. Для этого проверим гипотезы Н₀: R² = 0; H₁: R² > 0. Для проверки используем распределение Фишера. Вычислим F-статистику.

При уровне значимости ?=0,05 по таблице критических точек Фишера найдем f_кр=19,42.

Так как F=101.86 > f_кр=19,42, то R² статистически значим.

В множественной регрессии каждая новая переменная x_i приводит к увеличению R², хотя это не означает, что уравнение регрессии становится более значимым. Чтобы исключить зависимость от числа переменных, используют скорректированный коэффициент детерминации:

²==1 — 0,06*1,16=1 — 0,07=0,93

На основе проведенных вычислений можно сделать вывод, что поостренное уравнение регрессии объясняет 94% разброса зависимой переменной. Рассчитанный для исключения зависимости R² от числа переменных скорректированный коэффициент детерминации меньше коэффициента детерминации.

6. Экономическая интерпретация результатов моделирования Коэффициент эластичности показывает, на сколько изменится У, при изменении Х на 1%.

Формула:

Тогда влияние переменных х₁ и х₂ найдем по формуле:

Т.о. при увеличение валового сбора овощей (х₁) на 1% производство овощных консервов увеличивается на 157%, а при увеличении х₂ (времени) на 1% производство овощных консервов увеличивается на 43%.

7. Прогнозирование Овощи — необходимый компонент рациона питания многих людей. Для удобства и простоты потребления производятся овощные консервы, спрос на которые с каждым годом растет. Мы это можем наблюдать из статистических данных в таблице. Следовательно, можно предположить, что в перспективе на 5−6 лет объемы производства сохранят свою тенденцию к увеличению.