Частные производные первого порядка.
Будем рассматривать функции трех независимых переменных. Пусть в некоторой трехмерной области V задана функция u=f (x, y, z) переменных x, y, z и пусть M0(x0,y0,z0) — некоторая внутренняя точка V.
Дадим независимому переменному x приращение Δx=x-x0, тогда функция и получит так называемое частное приращение по x:
. (1)
Определение 1. Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f (x, y, z) в точке M0(x0,y0,z0) к вызвавшему его приращению Δx при Δx 0, то этот предел называется частной производной по х функции u=f (x, y, z) в точке М0 и обозначается одним из символов:
По определению,
Частные производные по y и по z определяются аналогично:
Производные f’x, f’y, f’z называются ещё и частными производными первого порядка функции f (x, y, z), или первыми частными производными.
Так как частное приращение Δxf (M0) получается лишь за счет приращения независимой переменной x при фиксированных значениях других независимых переменных, то частная производная f’x (M0) может рассматриваться как производная функции f (x, y0, z0) одного переменного x. Следовательно, чтобы найти производную по x, нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по x как от функции одного независимого переменного x.
Аналогично вычисляются частные производные по другим независимым переменным.
Если частные производные существуют в каждой точке области V, то они будут функциями тех же независимых переменных, что и сама функция.
Пример 1. Найти частные производные функции u=z-xy, z > 0.
Решение:
Пример 2. Показать, что функция
удовлетворяет тождеству:
Решение:
данное равенство справедливо для всех точек М (х;у;z), кроме точки М0(a;b;c).
Геометрический смысл частных производных
Рассмотрим функцию z=f (х, у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z’x=f'x (х, у) и z’y=f'y (х, у).
В этом случае уравнение z=f (х, у) есть уравнение некоторой поверхности (рис.1). Проведем плоскость y = const. В сечении этой плоскостью поверхности z=f (х, у) получится некоторая линия l1 пересечения, вдоль которой изменяются лишь величины х и z.
Рис. 1.
Частная производная z’x (её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу угла α наклона, по отношению к оси Ох, касательной L1 к кривой l1, получающейся в сечении поверхности z=f (х, у) плоскостью y = const в точке М (х, у, f (xy)): z’x= tgα.
В сечении же поверхности z=f (х, у) плоскостью х = const получится линия пересечения l2, вдоль которой изменяются лишь величины у и z. Тогда частная производная z’y численно равна тангенсу угла β наклона по отношению к оси Оу, касательной L2 к указанной линии l2 пер
