Асимптотический анализ осциллирующих случайных блужданий

Построение и изучение марковских моделей управляемых случайных блужданий является весьма важным разделом современной теории вероятностей. Как правило, подобные исследования имеют многочисленные применения в изучении систем массового обслуживания, в задачах теории хранения запасов, в финансовой математике и других областях. По данной тематике имеется большое количество публикаций, поэтому ниже приводятся ссылки только на те работы, которые имеют лишь непосредственное отношение к предмету проводимых исследований.

Пусть i = 0f 1,2 — три независимые последовательности независимых случайных величин, одинаково распределенных внутри каждой последовательностипри этом предполагается, что Е? п' < О, > 0. Пусть, а и b — произвольные числа, о- < 0 < Ь, и Xq — случайная величина, независимая от г = 0,1,2. Определим цепь Маркова следующим образом: для п > 1 положим.

Xn-i + й° если Xni € [а, 6],.

Хп={.

Xn-i + если Хп— > Ъ,.

Хп-1 + Й2), если Х&bdquo-! < а. Случайные блуждания такого типа обычно называют осциллирующими. Основной задачей этой работы является исследование поведения распределения цепи Хп с ростом п. В ряде работ ([3], [30], [34], [35]) изучались осциллирующие блуждания, с переключением (или управлением) в нуле. В частности, с помощью факторизацион-ных методов для таких блужданий в статье А. А. Боровкова [3] найдено преобразование Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения. В остальных трех работах в основном изучались вопросы возвратности и эргодичности. Проблемы эргодичности и вероятности больших уклонений цепей более общего вида изучались в публикациях А. А. Боровкова и Д. А. Коршунова [7] - [10].

Можно рассматривать более общую схему, когда переключения между двумя последовательностями скачков происходят поочередно после достижения полуосей (Ь, со), (—оо, а). Простейшие случайные блуждания такого типа впервые рассматривались в статье Ю. В. Прохорова [26]. Некоторые модификации этой модели при различных предположениях на распределения скачков, а также подобные случайные процессы с независимыми приращениями изучались Д. В. Гусаком, Н. С. Братийчуком, О. И. Елейко (см. [12], [13], [15]- [18]). Позже В. И. Лотовым [24] для этой же схемы блуждания в весьма широких предположениях относительно исходных распределений были найдены преобразования Лапласа-Стилтьеса распределений цепи в стационарном и достационарном режимах. Аналогичные результаты для случайных процессов с независимыми приращениями были получены В. Р. Ходжибаевым (см. [33]).

В настоящей работе мы также имеем два уровня переключений (управлений), однако переключение здесь производится между тремя последовательностями скачков в зависимости от того, в какой из трех зон находится блуждающая частица. Отметим, что случайные блуждания с такой же схемой переключений рассматривались Е. В. Булинской в статье [14] для «трехточечных» случайных величинпри этом изучались вероятности, связанные с выходом рассматриваемого блуждания из полосы.

В диссертации проводятся исследования с помощью так называемого факториза-ционного метода, разработанного в статьях А. А. Боровкова [2], [4], [5], где им были найдены полные асимптотические разложения распределений граничных функционалов для случайных блужданий с одной прямолинейной границей, порожденных суммами независимых одинаково распределенных случайных величин. Как оказалось, этот метод применим для исследования граничных функционалов и в других ситуациях. На его основе впоследствии были найдены полные асимптотические разложения распределений в задаче с одной прямолинейной границей для однородных случайных процессов с независимыми приращениями (Б.А.Рогозин [28], [29]), для некоторых двумерных случайных блужданий (А.А.Боровков, Б. А. Рогозин [11]), а также для случайных блужданий, заданных на конечной цепи Маркова (Э.Л.Пресман [25]). В работах В. И. Лотова ([19] - [22]) использование факторизационного метода позволило найти полные асимптотические разложения распределений функционалов для случайных блужданий с дискретным временем в двуграничной задаче. Двуграничная задача для случайных процессов с непрерывным временем решалась В. Р. Ходжибаевым ([31], [32]) опять же при помощи факторизационной техники.

В своих общих чертах факторизационный метод состоит из нескольких этапов. На первом из них находятся факторизационные представления для двойных преобразований Лапласа — Стилтьеса над искомыми распределениями. Как правило, найденные представления являются слишком сложными для непосредственного обращения.

Обращение в явном виде возможно лишь для некоторых специальных типов блуждания (например, для скачков, распределенных по экспоненциальному закону). Поэтому на втором этапе изучаются аналитические свойства полученных представлений и проводится их. асимптотический анализ в условиях удаляющихся границ. В итоге удается выделить главные части, пригодные для дальнейшего обращения, и получить экспоненциальные оценки остатков. Эти результаты обычно получаются при весьма широких ограничениях крамеровского типа на исходные распределения. Обращение главных частей найденных асимптотических представлений по пространственной переменной не представляет трудностей. Гораздо более сложной является процедура обращения по переменной, связанной со временем. Для этих целей на третьем этапе применяются метод контурного интегрирования, модификации метода перевала, и в конечном счете находятся полные асимптотические разложения распределений изучаемых граничных функционалов.

В диссертационной работе указанная схема действий адаптирована для исследования введенных выше осциллирующих случайных блужданий.

О структуре работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, которые делятся на пункты (п. 1.1−1.6, п. 2.1−2.2, п. 3.1−3.3), заключения и списка литературы. Результаты первой главы полностью содержатся в работах [37], [45], результаты второй главы опубликованы в [38], и результаты третьей главы — в [39].

Список литературы

составлен последовательно по двум алфавитам — русскому и английскому. Работы автора помещены в конце списка.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Найдены факторизационные представления для двойной производящей функции моментов достационарного распределения исследуемой цепи.

2. Доказано существование стационарного распределения, если Хп принимает значения на решетке целых чисел или если при некотором щ функция распределения ХПо содержит ненулевую абсолютно непрерывную компонентунайдены представления для преобразований Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения.

3. Найдена асимптотика стационарного распределения при моментных ограничениях на распределения скачков блуждания в случае, когда расстояние между уровнями переключений неограниченно увеличивается (Ь — а—У оо).

4. В условиях Крамера на распределения скачков найдены полные асимптотические разложения распределения Хп, когда числа |а| и b растут пропорциональноv/nвыписаны в явном виде первые члены этих разложений и указан алгоритм вычисления последующих членов.