Дискретные аналитические функции и ряды Тейлора

Актуальность темы

.

Понятие дискретной аналитической функции на гауссовой решетке С = Ъ + г Ж была введено Р. Ф. Айзексом [1], 1941. Он классифицировал эти функции на функции первого и второго рода и исследовал функции первого рода.

Далее Ж. Ферран [2], 1944 и Р. Дж. Даффин [3], 1956 создали теорию дискретных аналитических функций второго рода. Важные результаты, связанные с поведением дискретных аналитических и гармонических функций на бесконечности были получены С. Л. Соболевым [4], 1965. Новые плодотворные аналитические и комбинаторные идеи принес Д. Цайльбергер [5], 1977. Их развил и обобщил А. Д. Медных [6], 1982. Другой подход к дискретным аналитическим функциям был предложен У. Тёрстоном в работе [7], 1985, где была получена эффективная, быстросходящаяся аппроксимация в теореме Римана для конформных отображений односвязных римановых поверхностей.

Все вышеуказанные результаты основывались на различных непосредственных линейных и нелинейных дискретизациях уравнений Коши — Римана. Напомним [1], что дискретная аналитическая функция: Ъ + г Ъ —У С первого рода определяется линейным уравнением т+1 (1) в то время как функции второго рода определяются уравнением вида: ш, п+1 — /т+1,п = ¿-(/т+1.

• (2).

Пионерский шаг в понимании природы дискретных аналитических функций был предпринят Р. Дж. Даффиным [8], 1968 где регулярная решетка Ъ + г Ъ была заменена на произвольный граф с ромбическими гранями. Далеко идущие обобщения этих идей были даны К. Мерка.

9], 2001, где линейная теория дискретных аналитических функций была распространена на дискретные римановы поверхности. Р. Кэниён.

10], 2002 развил теорию оператора Дирака и построил функцию Грина для линейной теории на ромбических графах. Этот подход привел к важным приложениям в теории кодирования Р. Идальго [11], 2007 г.

Второй подход, связанный с нелинейной теорией, основан на идеях У. Тёрстона и показывает, что шаровые упаковки являются естественным дискретным аналогом аналитических функций ([12], 1990, [13], 1995, [14], 1997, [15], 2002.) Одним из важнейших результатов данной теории является доказательство того, что голоморфное отображение в классической теореме Римана может быть конструктивно аппроксимировано шаровыми упаковками ([16], 1987, [17], 1990, [18], 1998). Вариационный подход к шаровым упаковкам обсуждается в деталях в работе А. Бобенко, Б. Сприпгборн [19], 2004.

Слово «нелинейный» является базисным свойством уравнений, описывающих шаровые упаковки. Для функции /: Z + гZ —> С на регулярной решетке такое уравнение введено в [20], 1995: т+1,п /ш, п) (/ш+1,п+1 /т, п+1) ^ тп, п+1 /т, п) (Ут+1,п+1 /ш+1,п).

Для шаровых упаковок с более глубокими комбинаторными идеями, обобщение этого уравнения на произвольные четырехугольные графы (планарные графы с четырехугольными гранями) дается в [21], 2002.

Нетрудно увидеть, что в каком-то смысле, решения уравнений (1), (2) и (3) являются дискретными аналогами аналитических функций. Действительно, предположим, что решетке Ъ+гЪ соответствует решетка (т + т) е 6 С. Тогда ограничения аналитических функций на эту решетку удовлетворяют соответствующим уравнениям с точностью до 0{е2). Более точно, если /: С —>¦ С является аналитической, то f{z + iE)-f^z)=i + 0{e*), (4) г + е)~ № =г + ОИ,———(5)г + ге) -/{г+ е). , 2 и + е) — /(*))№ + е + 1е)~ /(г + ге)) + «/(*))№ + е + ¿-е) — /(* + <0) 1 + ^ (6).

Аналогичные соотношения справедливы на более общих графах.

До недавнего времени, линейная и нелинейная теории дискретных аналитических функций развивались раздельно. В работе А. Бобенко, К. Мерка, Ю. Суриса [22], 2005 показано, что в некотором точном смысле первая теория является линеаризацией второй. Данная теория особенно богата для случая квазикристаллических замощений. Этот класс включает в себя как двойные периодические замощения (которые естественным образом рассматриваются на торе), так и непериодические, подобные замощениям Пенроуза. В работах И. А. Дынникова и С. П. Новикова изучены дискретные аналитические функции на треугольных и шестиугольных решетках [23], 2003.

Цель работы.

Изучение свойств дискретных аналитических функций, заданных на гаусовой плоскости, а также дискретных аналитических функций многих переменных, заданных на решетке Z2n С Сп.

Установление гомоморфизма пространства аналитических функций в круге на пространство дискретных аналитических на квадрате и описание его ядра.

Получение теорем существования и единственности разложения дискретной аналитической функции в ряд Тейлора по системе псевдостепеней.

Применение основных результатов теории дискретных аналитических функций к решению разностных уравнений.

Методы исследований.

Получение основных результатов опирается на идеи и на методы вещественного, комплексного и функционального анализа, теории интерполяции, исчисления конечных разностей и комбинаторного анализа.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Доказано, что любая дискретная аналитическая функция одного или нескольких переменных разлагается в сходящийся ряд Тейлора.

2) Установлено, что разложение дискретной аналитической функции в ряд Тейлора неединственно.

3) Полностью описаны дискретные ряды Тейлора, тождественно равные нулю на заданных подмножествах гауссовой плоскости.

4) Дано описание дискретных рядов Тейлора, тождественно равных нулю в положительном октанте гауссова пространства.

5) Найдены системы псевдостепеней для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Получены разложения решений указанных уравнений в ряды Тейлора по псевдостепеням. Изучены вопросы единственности таких разложений.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в области геометрической теории функций, многомерного комплексного анализа, исчисления конечных разностей и комбинаторного анализа.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях и на семинарах ведущих научно-исследовательских институтов и университетов. на Девятой Казанской Летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 1−7 июля, 2009 г., на международной конференции «Аналитические функции многих комплексных переменных», Красноярск, 12−18 августа, 2009 г., школе-конференции молодых ученых по геометрическому анализу, Горно-Алтайский Государственный Университет, 2−9 августа, 2010 г., на международной конференции «7-th International Conference of Lattice Path Combinatorics and Applications», Сиена, Италия, 4−7 июля, 2010 г.

Кроме того, результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка, на семинаре «Геометрия и топология и их приложения» ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН И. А. Тайманова, на семинаре «Инварианты трехмерных многоообразий» ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН А. Ю. Веснина, на семинаре отдела дифференциальных уравнений ИМ СО РАН под руководством профессора Г. В. Демиденко, на семинаре «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» ИМ СО РАН под руководством профессора А. Д. Медных, на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа МГУ под руководством чл.-корр. РАН Е. М. Чирки, на совместном семинаре кафедры теории функций и кафедры высшей математики^ .Новосибирского Государственного Университета, на семинаре кафедры теории функций Сибирского Федерального Университета под руководством профессора А. К. Циха, на семинаре «Эварист Галуа» Новосибирского Государственного Университета под руководством профессора В. Г. Бардакова.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31] - [37].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, и списка литературы из 37 использованных источников. Общий объем диссертации — 106 страниц.

1. 1. aacs R.F. A Finite Difference Function Theory // Univ. Nac. Tu-cuman. Revista A. 1941. Vol. 2. P. 177−201.

2. Ferrand, J. Fonctions Preharmoniques et Functions Preholomorphes // Bull. Sci. Math., 2ndSer. 1944. Vol. 68. P. 152−180.

3. Duffin R.J. Basic Properties of Discrete Analytic Functions 11 Duke Math. J. 1956. Vol. 23 P. 335−363.

4. Соболев С. JI. Об одном разностном аналоге полигармонического уравнения. // ДАН СССР. 1965. Т. 164. Н. 1. С. 54−57.

5. Zeilberger D. A New Basis for Discrete Analytic Polynomials // J. Austral. Math. Soc. 1977. Vol. 23 (Series A). P. 95−104.

6. Медных А. Д. Дискретные аналитические функции и ряд Тейлора // Теория отображений, её обобщения и приложения. Сб. науч. тр. Киев: Наук, думка. 1982. С. 137−144.

7. Thurston W. P. The finite Riemann mapping theorem. Invited talk at international symposium on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture. // Purdue University, 1985.

8. Duffin R. J. Potential theory on rhombic lattice. //J. Combinatorial Theory 1968. Vol. 5. P. 258−272.

9. Mercat Ch. Discrete Riemann surfaces and the Ising model. // Commun. Math. Phys. 2001. Vol. 218. P. 177−216.

10. Kenyon R. The Laplacian and Dirac operators on critical planar graphs. 11 Invent. Math. 2002. Vol. 150. P. 409−439.

11. Hidalgo R. A. Godoy M. M. Introduccion a las estructaras de superficies de Riemann discretas. 2007. available at: // http: //docen-cia.mat.utfsm.cl/ rhidalgo/files/discreta.pdf.

12. Beardon A. F., Stephenson K. The uniformization theorem for circle packings. // Indiana Univ. Math. J. 1990. Vol. 39. P. 1383—1425.

13. Dubejko T., Stephenson K. Circle packing: experiments in discrete analytic function theory. // Experiment. Math. 1995. Vol. 4. P. 307−348.

14. Schramm O. Circle patterns with the combinatorics of the square grid. //Duke Math. J. 1997. Vol. 86. P. 347−389.

15. Stephenson K. Circle packing and discrete analytic function theory. //In: Handbook of complex analysis: geometric function theory, Vol. 1. Amsterdam: North-Holland. 2002. P. 333−370.

16. Rodin B., Sullivan D. The convergence of circle packings to Riemann mapping. //J. Diff. Geom. 1987. Vol. 26. P. 349—360.

17. Rodin B., Marden A. On Thurston’s formulation and proof of An-dreev's theorem. // Lect. Notes Math. 1990. Vol. 1435. P. 103—115.

18. He Z.-X., Schramm 0. The С. convergence of hexagonal disc packings to Riemann map. // Acta Math. 1998. Vol. 180. P. 219—245.

19. Bobenko A., Springborn B. Variational principles for circle patterns and Koebe’s theorem. // Trans. AMS. 2004. Vol. 356. P. 659−689.

20. Nijhojf F., Capel H. The discrete Korteweg-de Vries equation. // Acta Appl. Math. 1995. Vol. 39. P. 133—158.

21. Bobenko A. I., Suris Y. B. Integrable equations on quad-graphs. // Internat. Math. Res. Notices 2002. Vol. 11. P. 573—611.

22. Bobenko A. I., Mercat Ch., Suris Y. B. Linear and nonlinear theories of discrete analytic functions. Integrable structure and isomonodromic Green’s function. // J. Reine Angew. Math. 2005. Vol. 583. P. 117−161.

23. Dynnikov I.A., Novikov S.P. Geometry of triangle equation on two-manifolds. // Moscow Math. J. 2003. Vol. 3. N. 2. P. 419−438.

24. Колмогоров A.H., Фомин С. В. Линейные пространства. // В книге: Элементы теории функций и функционального анализа. Физматлит. Москва. 2004.

25. Hamel G. // Math. Ann. !905. Bd. 60. N. 8. P. 459−462.

26. Шабат Б. В. Рост целых функций. // В книге: Введение в комплексный анализ. Наука. Москва. 1976. Часть 1.

27. Duffin R.J., Elmore L. Peterson The discrete analogue of class entire functions // J. Math. Anal. Appl. 1968. Vol. 21. P. 619−642.

28. Sheffer I. M. On Entire Function Interpolation // Amer. J. of Math. 1927. Vol. 49. No. 3. P. 329−342.

29. Kiselman Ch. Functions on discrete sets holomorphic in the sense of Ferrand, or monodiffric functions of the second kind. // Science in China Series A: Mathematics Apr. 2008. Vol. 51. No. 4. 604−619.

30. Гелъфонд А. О. Исчисление конечных разностей. Наука, Москва, 1967. Список публикаций автора по теме диссертации.

31. Данилов О. А. Интерполяционная формула Лагранжа для дискретной аналитической функции. // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2008. Т. 8. вып. 4. С. 33−39.

32. Данилов О. А., Медных А. Д. Дискретные аналитические функции многих переменных и формула Тейлора. / / Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9. вып. 2. С. 38−46.

33. Данилов О. А. О разложении дискретных аналитических функций в ряд Тейлора. / / Математические заметки ЯГУ. Т. 17. Вып. 2. С. 21−33.

34. Danilov О. A. Mednykh A. D. Taylor expansion for discrete analytic functions. // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2−8 августа, 2010 г. РИО Горно-Алтайского Государственного Университета. Горно-Алтайск. С. 34−40.