Для уровня значимости и числа степеней свободы значение, так что.
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения :
где — выбранный уровень значимости, — число степеней свободы. Используя таблицу распределения, находим.
.
так что.
Как видно, на выбранном уровне значимости теоретические значения и попадают в полученные интервальные оценки для выборочных значений среднего и среднеквадратического отклонения сгенерированной выборки с.в. .
Закон распределения.
Проверим с помощьюкритерия гипотезу о соответствиизакона, данного в табл.№ 2, смоделированным данным табл.№ 2 (или табл.№ 6). Итак, выдвинем две гипотезы:
— закон — не является функцией распределения смоделированной с.в.
— закон — является функцией распределения смоделированной с.в.
Параметр :
где — эмпирические частоты (см. табл.№ 6), — теоретические частоты.
В табл.№ 7 представлены результаты промежуточных расчетов. Складывая элементы последнего столбца табл.№ 7, получаем.
В нашем случае число степеней свободы Таблица № 7.
1 1 21 0,15 15 2,4000 2 2 4 0,05 5 0,2000 3 3 20 0,20 20 0,0000 4 4 12 0,12 12 0,0000 5 5 0 0,05 5 5,0000 6 6 11 0,13 13 0,3077 7 7 32 0,30 30 0,1333.
Сумма 8,0410.
Рис. 4.
где — число параметров функции распределения. Используя таблицу значений, для уровня значимости имеем:
Как видно, для с.в. имеет место. Итак, на уровне значимости гипотеза отвергается, а конкурирующая гипотеза озаконе распределении смоделированной с.в. принимается.
На рис.
4 представлен график, на котором изображены эмпирическое распределение частот и теоретическое распределение, соответствующиезакону, данному в табл.№ 2.
Проверим теперь гипотезу о соответствиираспределения данным табл.№ 2 (или табл.№ 6) с помощью критерия Колмогорова. Максимальная разница между гипотетической и выборочной функциями распределения (см. табл.№ 8):
Таблица № 8.
1 0,21 0,15 0,06 2 0,04 0,05 0,01 3 0,20 0,20 0,00 4 0,12 0,12 0,00 5 0,00 0,05 0,05 6 0,11 0,13 0,02 7 0,32 0,30 0,02.
Критическое значение критерия Колмогорова:
Поскольку, согласно критерию Колмогорова на уровне значимости гипотеза отвергается, а конкурирующая гипотеза озаконе распределении смоделированной с.в. принимается.
Выводы В ходе рассмотрения примера была сгенерирована последовательность случайных чисел с заданным (дискретным) распределением и исследованы ее свойства. В частности:
1. Вычислены математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение для сгенерированной последовательности. Сравнение показало, что вычисленные значения данных параметров на уровне значимости совпадают со своими теоретическими значениями.
2. Эмпирическое распределение частот и теоретическое распределение, соответствующее выбранному дискретному распределению, согласуются друг с другом.
3. Гипотеза о согласованности выборки и заданного распределения с помощьюкритерия Пирсона и критерия Колмогорова подтверждается на выбранном уровне значимости .
Заключение
Как правило, смысл проверки гипотезы о законе распределения выборки состоит в следующем. Имеется выборка заданного объема и выбран или известен вид закона распределения генеральной совокупности. Задача заключается в оценке по этой выборке параметров закона, определении степени согласия выборки и рассматриваемого закона распределения, в котором параметры замещены их выборочными значениями. Далее рассматривается вопрос проверки согласия теоретического и эмпирического распределений с использованием выбранного статистического критерия.
При проверке гипотез о законе распределения нужно учитывать, что слишком хорошее совпадение с выбранным законом распределения может быть связано с некачественным проведением эксперимента или предвзятой предварительной обработкой результатов («правка» выборки, при которой отбрасывается «плохая» часть экспериментальных данных, а также слишком грубое округление данных).
Выбор статистического критерия для проверки гипотезы в значительной степени произволен. Различные критерии могут давать разные выводы о верности гипотезы. В таких случаях окончательные выводы делаются на основе «внешних» (неформальных) соображений. Аналогично, нет определенных рекомендаций по выбору уровня значимости.
Рассмотренный подход к процедуре проверки статистических гипотез, базирующийся на использовании специальных таблиц критических точек распределения, сформировался в эпоху «ручной» обработки данных, когда наличие подобных таблиц сильно упрощало процесс вычислений. В наши дни целый ряд математических пакетов включает в себя процедуры расчета стандартных функций распределений, что существенно облегчает проверку гипотез.
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. — М.: Юрайт, 2013. — 479 c.
2. Горлач, Б. А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / Б. А. Горлач. — СПб.: Лань, 2013. — 320 c.
3. Калинина, В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для бакалавров / В. Н. Калинина. — М.: Юрайт, 2013. — 472 c.
4. Колемаев, В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / В. А. Колемаев, В. Н. Калинина. — М.: Кно.
Рус, 2013. — 376 c.
5. Кочетков, Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская, В. В. Соколов. — М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 240 c.
6. Краснов, М. Л. Вся высшая математика. Т.
5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко [и др.]. — М.: ЛКИ, 2013. — 296 c.
7. Семенов, В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / В. А. Семенов. — СПб.: Питер, 2013. — 192 c.
8. Спирина, М. С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. — М.: ИЦ Академия, 2013. — 352 c.
