Простейшие векторные поля

Курсовая работа тема: «Простейшие векторные поля».

Москва 2013.

Содержание.

1. Потенциальное векторное поле.

2. Соленоидальное векторное поле.

3. Векторный потенциал поля.

4. Гармоническое векторное поле.

5. Центральные скалярные и векторные поля.

6. Задачи Дирихле и Неймана.

7. Построение векторных полей по дивергенции и ротору.

8. Вопросы и задачи Список использованной литературы и источников.

Введение

До сих пор мы рассматривали различные операции в скалярных и векторных полях. Теперь, используя свойства введенных операторов, изучим свойства самих полей. Рассмотрим наиболее распространенные типы векторных полей и задачи, которые возникают при изучении этих полей. Анализ показывает, что более сложные поля часто можно представить как суперпозицию простейших полей.

1. Потенциальное векторное поле Опр.1. Векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторой скалярной функции, т. е. существует такая скалярная функция, что справедливо равенство.

.

Функция называется потенциалом векторного поля. Компоненты векторного поля являются частными производными потенциала.

.

Теорема 1. Для того чтобы векторное поле было потенциальным в области Т необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области выполнялось соотношение.

.

Доказательство.

Необходимость. Если.

.

то .

Достаточность. Имеем.

.

Из теоремы Стокса следует.

.

Отсюда следует, что выражение, стоящее под интегралом является полным дифференциалом.

.

Говорят, для того чтобы поле было потенциальным, оно должно быть безвихревым.

В предыдущей главе мы показали, что для потенциального векторного поля циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю.

.

а криволинейный интеграл по любой кривой АВ не зависит от выбора линии интегрирования.

.

Часто возникает задача: для заданного потенциального поля определить потенциал. Существуют различные методы решения этой задачи. Простейшим из них является вычисление криволинейного интеграла от точки до произвольной точки .

.

Это выражение можно записать по-другому:

.

где через С обозначена постоянная интегрирования.

Пример 1. Доказать, что векторное поле является потенциальным и определить потенциал этого поля.

Решение. Нетрудно показать, что выполняется условие.

.

Приведем два метода вычисления потенциала, связанные с использованием криволинейного интеграла и полного дифференциала.

Первый метод. Выберем линию интегрирования, показанную на рисунке Имеем Второй метод.

.

.

.

Отсюда следует.

.

Следовательно.

.

Ответ: .

Пример 2. Доказать, что векторное поле является потенциальным и определить потенциал этого поля.

Ответ: .

2. Соленоидальное векторное поле Опр.1. Векторное поле, заданное в области Т, называется соленоидальным, если во всех точках этой области выполняется условие.

.

Соленоидальное поле называют также трубчатым. Ниже мы покажем, что в этом поле можно создать векторные трубки, которые описывают некоторые особенности векторного поля и обладают определенными свойствами.

В электростатике плотность электрических зарядов связана с напряженностью электрического поля соотношением.

.

где — электрическая постоянная. При отсутствии зарядов напряженность электрического поля образует соленоидальное векторное поле.

Рассмотрим векторную трубку. Для этого выделим замкнутый контур и проведем через него векторные линии, которые и образуют векторную трубку.

Определение 1. Интенсивностью векторной трубки называется поток векторного поля через поперечное сечение этой трубки.

.

Теорема 1. Интенсивность любой векторной трубки соленоидального векторного поля постоянна вдоль всей трубки.

Доказательство. Для показанного на рисунке элемента векторной трубки применим теорему Гаусса-Остроградского.

.

Интеграл по поверхности представим в виде суммы.

.

Интеграл по боковой поверхности равен нулю.

.

т.к.. Изменяя направление нормали в одном из сечений трубки.

.

получим.

.

Если в качестве вектора F выбрать скорость течения жидкости, то физический смысл этой теоремы заключается в том, что через любое сечение трубки за единицу времени протекает одно и то же количество жидкости.

Теорема 2. В соленоидальном поле векторные трубки не могут ни начинаться, ни кончаться внутри поля.

Доказательство. Допустим обратное, векторная трубка начинается в точке М.

Тогда из условия следует, что противоречит условиям теоремы.

Следовательно, векторные трубки либо замкнуты, либо начинаются и заканчиваются на границах области Т.

3. Векторный потенциал поля Теорема 1. Для того, чтобы векторное поле, заданное в области Т, было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы это поле было полем ротора некоторого вектора, т. е. чтобы существовал вектор, во всех точках области Т удовлетворяющий условию.

.

Доказательство.

Достаточность. Имеем.

.

Необходимость. Пусть.

.

Найдем функцию, такую, что.

.

Ниже мы покажем, что функция определяется неоднозначно, поэтому на эту функцию можно наложить дополнительные условия. Пусть.

.

Тогда.

.

.

.

Выберем функции.

.

.

Покажем, что эти функции удовлетворяют системе уравнений (1). Действительно имеем.

.

.

Действительно, построенная функция удовлетворяет условию.

.

Функцию называют векторным потенциалом.

При доказательстве теоремы мы предложили метод, позволяющий определять векторный потенциал поля.

Замечание 1. Если функция является векторным потенциалом поля, то функция.

.

где — произвольная скалярная функция, также является векторным потенциалом поля .

Доказательство.

.

Следовательно, векторный потенциал определяется неоднозначно.

Пример 1. Показать, что поле соленоидально и найти векторный потенциал этого поля.

Решение. Имеем .

Положим.

.

Вычислим Ответ: .

Найденная функция является искомым векторным потенциалом. Проверим это утверждение, т. е. найдем ротор:

.

Условие выполнено. Нетрудно проверить, что векторным потенциалом этого поля может быть более симметричная функция.

.

Пример 2. Показать, что поле соленоидально и найти векторный потенциал этого поля.

Решение. Имеем .

Положим.

.

Вычислим Ответ:

Проверим:

.

Условие выполнено. Нетрудно проверить, что векторным потенциалом этого поля могут быть более симметричные функции.

.

.

Из приведенных примеров видно, что выражения для векторного потенциала для одного и того же поля могут заметно различаться. Это связано с тем, что к найденному векторному потенциалу можно добавить градиент любой скалярной функции.

4. Гармоническое векторное поле Определение 1. Векторное поле, заданное в области Т, называется гармоническим, если во всех точках этой области выполняются условия.

.

Из первого условия следует.

.

Тогда из второго условия вытекает.

.

Уравнение называется уравнением Лапласа, а функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией.

Гармонические поля часто встречаются в различных физических приложениях. Поля, изучаемые в электростатике, теории тяготения, теории упругости, механике сплошных сред и пр. часто являются гармоническими.

Пример 1. Показать, что следующие функции являются гармоническими:

1) ,.

2) ,.

3), где, .

Рассмотрим некоторые свойства гармонических функций. Эти свойства имеют общий характер и часто используются при решении различных задач.

Теорема 1. Если — гармоническая функция в области Т, ограниченной поверхностью S, то интеграл по поверхности от нормальной производной этой функции равен нулю.

.

Доказательство. Запишем первую формулу Грина.

.

Пусть. Тогда и формула Грина приводится к виду.

.

Теорема 2. Если — две гармонические функции в области Т, ограниченной замкнутой поверхностью S, то значения этих функций и их нормальных производных на S связаны соотношением.

.

Доказательство. Запишем вторую формулу Грина.

.

Если — две гармонические функции, то.

.

Следовательно.

.

Теорема 3. Если — функция гармоническая в области Т, то ее значение в любой точке этой области может быть найдено по значениям функции и ее нормальной производной на границе области S по формуле.

.

Доказательство. В предыдущей главе мы получили формулу.

.

Примем — гармоническая функция. Тогда и мы получим.

.

Фактически эта формула дает решение уравнения Лапласа для функции, если известны значения этой функции и ее нормальной производной на границе области.

Теорема 4. Значение гармонической функции в некоторой точке равно среднему значению этой функции на любой сфере радиуса R с центром в точке целиком принадлежащей области гармоничности функции.

.

Доказательство. Из условия имеем.

.

Учитывая формулу для нормальной производной на сфере И используя формулу из теоремы 3.

.

получим.

.

Эта формула позволяет найти функцию, если известно значение функции на поверхности сферы.

Теорема 5. Функция, отличная от тождественной постоянной в гармонической области Т, ограниченной замкнутой поверхностью S, не может иметь внутри области Т ни максимума, ни минимума.

Доказательство. Допустим обратное. Предположим, что в точке, лежащей внутри области Т, функция имеет максимум. Окружим эту точку достаточно малой сферой радиуса R. В точках этой сферы выполнено условие.

.

На основании теоремы 4 можем записать Если функция не является постоянной, то мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Из последней теоремы вытекают важные следствия.

Следствие 1. Функция, отличная от тождественной постоянной в гармонической области Т, достигает наибольшего и наименьшего значений на границе области S этой функции.

Следствие 2. Гармоническая функция, постоянная на границе S некоторой области Т, постоянна и во всей области.

.

5. Центральные скалярные и векторные поля Рассмотрим некоторые поля, наиболее часто встречающиеся в физике. Продемонстрируем также простейшие методы вычислений на примерах этих полей.

Определение 1. Скалярное поле называется центральным, если оно зависит только от радиуса.

.

Пример 1. Найти градиент центрального поля .

Решение. Имеем.

.

Пример 2. Вычислить оператор Лапласа для центрального скалярного поля.

Решение.

.

Пример 3. Электрический заряд создает поле, потенциал которого определяется формулой.

.

Показать, что это поле является гармоническим.

Решение. Используя формулу.

.

получим .

Предлагается тот же результат получить непосредственным вычислением, как в примере 2.

Замечание 1. Потенциал поля тяготения (гравитационный потенциал) определяется формулой.

.

Следовательно, это поле также является гармоническим.

Определение 2. Векторное поле называется центральным, если оно имеет вид.

.

т.е. зависит только от расстояния и направлено по радиусу.

Пример 4. Найти дивергенцию и ротор центрального векторного поля.

Решение.

.

.

Вывод: Центральное векторное поле всегда является потенциальным.

Пример 5. Найти такую функцию, при которой центральное поле является гармоническим.

Решение. Напомним, что векторное поле называется гармоническим, если выполняются условия.

.

Для центрального векторного поля ротор всегда равен нулю. Запишем уравнение для дивергенции.

.

Решением этого уравнения будет функция.

.

где — произвольная постоянная.

Ответ: Центральное векторное поле вида является гармоническим.

6. Задачи Дирихле и Неймана Рассмотрим задачу нахождения решения уравнения Лапласа в области Т с заданным значением функции на границе области S:

.

Эта задача называется задачей Дирихле. Она часто встречается в математической физике.

Теорема 1 (теорема единственности). Уравнение Лапласа имеет единственное решение в области Т, на границе S которой функция принимает заданное значение.

Доказательство. Требуется найти решение уравнения Лапласа с граничным условием.

.

Предположим, что существуют две функции и, удовлетворяющие условию задачи. Их разность также удовлетворяет уравнению Лапласа и нулевому граничному условию.

.

На основании Следствия 2 имеем.

.

т.е. функции и совпадают.

Аналогично можно сформулировать задачу Неймана: Найти решение уравнения Лапласа.

.

скалярный векторный поле гармонический для функции, имеющей на границе заданное значение нормальной производной.

.

Теорема 2. Все решения задачи Неймана могут отличаться только на постоянную величину.

Доказательство. Требуется найти решение уравнения Лапласа с граничным условием.

.

Предположим, что существуют две функции и, удовлетворяющие условию задачи. Их разность также удовлетворяет уравнению Лапласа и нулевому граничному условию.

.

Запишем первую формулу Грина.

.

в которой положим.

.

Учитывая условия.

и ,.

получим.

.

Отсюда следует.

.

Отметим, что теоремы единственности мы доказали для ограниченной области (внутренняя краевая задача). Для внешней краевой задачи также можно сформулировать аналогичные теоремы существования и единственности, но они имеют более сложный характер.

7. Построение векторных полей по дивергенции и ротору Рассмотрим вопрос о разложении векторного поля на сумму потенциального и соленоидального полей. Эта задача нередко возникает при исследовании различных физических полей.

Пусть задано векторное поле. Поставим задачу о представлении этого поля в виде суммы потенциального и соленоидального полей.

.

где.

.

Найдем сначала поле. Из условия следует.

.

где — произвольный постоянный вектор.

Имеем.

.

С другой стороны.

.

Задача определения функции сводится к решению уравнения.

.

где введено обозначение.

.

Уравнение называют уравнением Пуассона.

Для ограниченного пространства решение уравнения Пуассона можно получить из формулы.

.

где — расстояние между точками М и .

Полагая, получим.

.

Для неограниченной области считаем, что второй интеграл обращается в нуль. Следовательно,.

.

Итак, поле определяется выражением.

.

Найдем поле. Имеем.

.

Из условия следует существование векторного потенциала такого, что.

.

В выборе потенциала G существует определенный произвол, поэтому наложим дополнительное условие.

.

т.е. будем считать, что векторный потенциал является соленоидальным вектором. Имеем.

.

Используя формулу.

.

получим.

.

Для определения потенциала G имеем векторное уравнение Пуассона.

.

где.

.

Это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным:

и может быть решено так же, как и для потенциального поля.

Для ограниченной области Для неограниченной области получим.

.

Функция определяется выражением.

.

Полученный результат запишем в виде теоремы.

Теорема 1. Произвольное векторное поле можно разложить на сумму потенциального и соленоидального полей.

Отметим, что поля должны удовлетворять определенным граничным условиям, а также условиям непрерывности и сходимости интегралов. Вычисление соответствующих интегралов является довольно громоздкой процедурой, и мы этим заниматься не будем.

8.Вопросы и задачи.

1. Доказать, что векторное поле является потенциальным и определить потенциал этого поля.

Ответ: .

2. Доказать, что векторное поле является потенциальным и определить потенциал этого поля.

Ответ: .

3. Показать, что поле.

соленоидально и найти векторный потенциал этого поля.

Ответ: ,.

.

4. Показать, что поле соленоидально и найти векторный потенциал этого поля.

Ответ: ,.

.

Список использованной литературы и источников.

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.

2. Кальницкий Л. А., Добротин Д. А., Жевержев В. Ф. Специальный курс высшей математики для втузов, М.: «Высшая школа», 1976, 390 с.

3. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.

5. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В. С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

6. Красильников О. М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

7. Супрун И. Т., Абрамова С. С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.