ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΠΈΡΡΠΈΠ½Π³ 2. ΠΠ΅ΡΠ²Π½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ° Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΠ»Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Mathcad ΠΈ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ isolve. ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π² Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³Π΅ 2. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ (ΡΠ°Π³ΠΎΠ², Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
1. ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»Π°ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ . ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
2. ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ
2.1 ΠΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
2.2 Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ
2.3 ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΎ-Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
3. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
3.1 Π―Π²Π½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ°
3.2 ΠΠ΅ΡΠ²Π½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ°
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΡΡΠΎΡΡΠ°Ρ ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
ΠΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π° ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΈΠΌ ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π¦Π΅Π»ΡΡ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΡΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ:
1. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΠΌΠΊΠ°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ.
2. ΠΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ .
3. Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠΎΠΌ «ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ» Π. ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°.
ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌΠΈ. ΠΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ U ΠΈ V — Π΄Π²Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ aU + bV ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ a ΠΈ b ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π‘ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΡΠ³ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ². Π‘ΡΠ΄Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π² Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅, ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠΏΡΡΠ³ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ.
ΠΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Π±ΡΠ΄ΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡ. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ°Π΄ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ° Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ².
1. ΠΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»Π°ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ . ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. ΠΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄Π°. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈ Ρ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ ΡΡΠΏΠ΅Ρ ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΌΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΡ (Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΡ, Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠ²Π°Π½ΡΠΎΠ²Π°Ρ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ°, ΡΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΈ Ρ. Π΄.).
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΠΠ£, Π° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, f (Ρ , Ρ) ΠΈΠ»ΠΈ f (x, t). ΠΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ), ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ (ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΡΠ°Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ Π½Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Mathcad ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , Π² Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. Π Π΅ΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΈΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
ΠΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΊΡΠ°Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ (ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ). ΠΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΌΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ) ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t. Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, u (x, t) Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² 0
Π‘Π°ΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ (Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° ΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠ°:
Β· ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ — ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΡΡ — ΠΏΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ;
Β· Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅— ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΡΡ — ΠΏΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ, Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ;
Β· ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ — ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°.
ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ³Π½Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΎ Π³ΠΈΠ±ΡΠΈΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠ°Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅, ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠ°ΠΌΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½Π½ΡΡ , ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΡ ΡΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ — Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΈ Ρ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t:
(1)
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (ΡΡΠΌΠΌΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΎ, ΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ°: Πu).
ΠΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΏΠΎ-Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π°. ΠΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ u (x, y, t) Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π° ΠΌΠ΅ΡΠ°Π»Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ»Π°ΡΡΠΈΠ½Π΅) Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (ΡΠΈΡ. 1). Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ, Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° ΠΎΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½Π°Π³ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π² ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π½Π°Π³ΡΠ΅ΡΡΠ΅. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ (x, y, t, u) ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΡΠΎΠΊ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° ΠΈΠ·Π²Π½Π΅, Ρ. Π΅. ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²), ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈ.
Π ΠΈΡ. 1. Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΡΠ°Π΅Π²ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ:
Β· Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, Ρ. Π΅. Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ u (x, y, t) ΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ) Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π½Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ;
Β· Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅, Ρ. Π΅. ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u (Ρ , Ρ, t).
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ, Ρ. Π΅. Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΡΡ ΠΎΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π·Π°Π΄Π°ΡΡ. Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΠ»Π°ΡΡΠΈΠ½Π΅, Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡΡΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π’Π°ΠΊΠ°Ρ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΡ, Π²ΡΠ·Π²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½Π° ΡΠΈΡ. 2 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ u (Ρ , Ρ).
Π ΠΈΡ. 2. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΠ°ΠΊ Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ (ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠ² ΡΠ°Π΄ΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ<-Ρ/D) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
(2)
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ. ΠΠ³ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, Π° Π΄Π»Ρ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Matcad ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ Π΄Π²Π΅ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ, ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅, ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2), ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΠ΅Π΅ Π²ΠΈΠ΄ Πu=0, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ°.
ΠΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ, Π° ΠΏΠΎ ΡΠ΄Π»ΠΈΠ½Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΌΠ΅ΡΠ°Π»Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠΆΠ½Ρ (ΡΠΈΡ. 3). Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Ρ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ, ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
(3)
ΠΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π΅Π³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊ. Π’ΠΈΠΏΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΠΎ=2, Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ=ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ Π½Π°Π³ΡΠ΅ΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΆΠ½Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ (Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ) Π½Π° ΡΠΈΡ. 3 ΠΈ 4.
Π ΠΈΡ. 3. Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ
Π ΠΈΡ. 4. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡΡ ΠΊ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π΅Π΅, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π° Π΄Π²Π° ΡΠΈΠΏΠ°.
Β· ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° — Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΠΎ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈ ΠΈ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° Ρ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΈ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u (x, t) ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ (Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ).
Β· ΠΠ΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° — Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΡ u (x, t), Ρ. Π΅. ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΈ, ΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ) ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΈ, ΠΈ ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ (ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Ρ Π½Π°ΡΠΊΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎΠΉ). Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΡΡΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»Π°ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΆΠ½Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° ΠΎΡ Π½Π°Π³ΡΠ΅ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ° ΠΊ Ρ ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ.
ΠΠ΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ², ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΌΡΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π»ΡΡΡΠ΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ, Π° Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ.
Π Π°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ΅Π΄, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡΠΌΠΈ D (u) ΠΈ Ρ (ΠΈ). Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΄Π»Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ°Π»Π»ΠΎΠ² Π² Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ D=const, Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ»Π°Π·ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ Π² ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ (ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΌ) ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ t Π½Π°t. Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠΆΠ½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΎΡΡΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΡΡΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠΆΠ½Ρ. ΠΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ D=const Π±Π΅Π· ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ΅ΠΏΠ»Π°:
(4)
ΠΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ, Π½Π΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΡΡΡΡΡΡ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ°ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΡ , ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π·Π°Π²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠΎ Π½Π΅ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 5 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Π΅ΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.
Π ΠΈΡ. 5. Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½Ρ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π±ΡΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΠ»Π»ΡΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°, Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ.
ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΊ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΌΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ, Π° Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡΡ (Ρ. Π΅., ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅), ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΡΠ°ΠΌΡ ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ, Π²Π²ΠΎΠ΄Ρ Π² Π½Π΅Π΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π°ΠΏΡΠΈΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
2. ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ² (ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΎ-Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Ρ. Π΄.), ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ½Π° ΠΏΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΡΠ³ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Π£. ΠΌ. Ρ. ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ 2-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°:
(5)
Π³Π΄Π΅ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ aij (aij = aij), bi, Ρ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ f ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ x1, x2,., Ρ ΠΏ (n Ρ 2), Π° u — ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ΅Ρ ΠΆΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (5) ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ (Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ l) ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
= 0, (6)
ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (5) ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ n ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (6) ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ, ΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (5) ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΊ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΡΠΈΠΏΡ; Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊΡ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ n — 1 ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ, — ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΡΠΈΠΏΡ; Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (6) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ, Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, — ΠΊ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΡΠΈΠΏΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ aij ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Ρ, ΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (5) ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΠΏΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ²; Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡ x1,., Ρ ΠΏ, ΡΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (6) Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡ x1,., Ρ ΠΏ, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (5) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌ ΡΠΈΠΏΠ°ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². Π ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ (ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°) ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· Π·ΠΎΠ½, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΈΠΏ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (5) ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (6), ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Ρ ΠΎΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π·ΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ Π·ΠΎΠ½Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ (Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π² ΡΡΠ΄Π΅ Π΄Ρ. ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ).
ΠΠ»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ΅ 2-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ.
2.1 ΠΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅ Π’ΠΈΡ ΠΎΠ½ΠΎΠ² Π. Π. ΠΈ Π‘Π°ΠΌΠ°ΡΡΠΊΠΈΠΉ Π. Π., Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, 3 ΠΈΠ·Π΄., Π., 1977. — Ρ. 155.
— ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ) — ΡΠ΅Π»Π΅Π³ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ. Π΄. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ². Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠ°Π»ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΠΎΠΏΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Ρ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
Π³Π΄Π΅ Ρ , Ρ, z — ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅, t — Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, u = u (Ρ , Ρ, z) — ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΠ°Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (Ρ , Ρ, z) Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ t, Π° — ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ . ΠΡΠ»ΠΈ u Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ Π΄Π²ΡΡ (ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ) ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , ΡΠΎ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ (ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ). ΠΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ «ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ»:
u = f (t — r/a)/r,
Π³Π΄Π΅ f — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, a
ΠΡΠΎΠ±ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ Π²ΠΎΠ»Π½Π°):
u = Π΄ (t — r/a)/r
(Π³Π΄Π΅ Π΄ — Π΄Π΅Π»ΡΡΠ°-ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ), Π΄Π°ΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ (Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΈ t = 0). ΠΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ Π²ΠΎΠ»Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ «Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ Π²ΡΠΏΠ»Π΅ΡΠΊ» Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ r = at, ΡΠ΄Π°Π»ΡΡΡΠΈΠΉΡΡ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ, Π° Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°Π»ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΡΡΠ½Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ Π. Ρ.:
Π. Π’ΠΠ»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» (1747) ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π. Ρ. Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½: u = f (x — at) + g (x + at), Π° Π. ΠΠΉΠ»Π΅Ρ (1748) ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ», ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f ΠΈ g ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ.
2.2 Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ — Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΡΡ Π² ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅ (Π³Π°Π·Π΅, ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ²ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π»Π΅); ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π±Π°Π»Π°Π½Ρ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΎΠ±ΡΡΠΌΠ° ΡΡΠ΅Π΄Ρ Ρ ΡΡΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΡΡ ΠΎΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠΌΠ° Π²ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ»Ρ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΠΎΠΏΠ½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ ΠΠ°ΡΡΠ»ΠΎΡ Π. Π‘., Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠ΅Ρ. Ρ Π°Π½Π³Π»., Π.: ΠΡΠΈΠΎΡ, 2002. — Ρ. 98.:
Π³Π΄Π΅ r — ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Ρ; cv — ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΡΠΌΠΊΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΠΌΠ΅; t — Π²ΡΠ΅ΠΌΡ; Ρ , Ρ, z — ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ; Π’ = Π’ (Ρ , Ρ, z, t) — ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π’. Ρ.; l — ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ; F = F (x, y, z, t) — Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠ²ΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ r, Cv, l Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈ, Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ. ΠΠ»Ρ Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΡΡΠΎΠΏΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Ρ Π’. Ρ. Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ l ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΡΠ΅Π½Π·ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ lir, Π³Π΄Π΅ i, k = 1, 2, 3.
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΡΡΠΎΠΏΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ ΠΠ»Π°Π΄ΠΈΠΌΠΈΡΠΎΠ² Π. Π‘., Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Π., 1967. — Ρ. 155.:
Π³Π΄Π΅ DT — ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ°, a2 = l/(rcv) — ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ; f = F/(rcv). Π ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ° Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ, Π’. Ρ. ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° DΠ’ = f/a2 = F/l ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΡΡ, Π² ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ DΠ’ = 0. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΠΎΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΈ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½Π°Ρ ΠΊΡΠ°Π΅Π²Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π’. Ρ. ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π. Π€ΡΡΡΠ΅ (1822) ΠΈ Π‘. ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Ρ (1835). ΠΠ°ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π² ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π’. Ρ. Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ Π. Π. ΠΠ΅ΡΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΌ, Π. Π. Π’ΠΈΡ ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΌ, Π‘. Π. Π‘ΠΎΠ±ΠΎΠ»Π΅Π²ΡΠΌ.
— ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ Ρ. Π½. ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π’ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΈ:
ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ Π·ΠΎΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Ρ < 0 — Π·ΠΎΠ½ΠΎΠΉ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π° ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ Ρ = 0 — Π·ΠΎΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
2.3 ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΎ-Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
Π ΡΠ΄ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ². Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΡΡΠ° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ Π² ΡΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ. Π΄.). Π Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΎ ΠΊΡΡΡΠΈΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡΡ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΎ-Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π£. ΠΌ. Ρ. ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠΉ Π±ΡΠ»ΠΎ Π·Π°ΡΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π£ΠΆΠ΅ Π. Π’ΠΠ»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ (1747) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°Ρ , ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ²ΡΠΈΡ ΡΡ Π. ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠΎΠΌ (1770), Π. ΠΠ°ΠΏΠ»Π°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» (1773) «ΠΊΠ°ΡΠΊΠ°Π΄Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄», Π΄Π°ΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄Ρ. Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 2-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π² Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ; Π² ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π΅ Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π£. ΠΌ. Ρ. ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ, Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
Π¨ΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ°Π΅Π²ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ (ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ) ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π·Π° ΡΡΡΡ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΎ-Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ Π. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΡΡΠ° Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΎ ΠΊΡΡΡΠΈΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡΡ :
ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΎ-Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΎ-Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΠ΅ΡΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ Π. Π., ΠΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, 3 ΠΈΠ·Π΄., Π., 1999; Ρ. 78.
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ². ΠΡΡΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° Π, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ 0 Π x Π l ΠΎΡΠΈ Ox, ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΠ½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ u (x). ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ x1; ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΡΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΎΡΡΡΡΡΠ° ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ Ρ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠΌ 0 Π x1 Π l. ΠΡΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ (Ρ , Ρ + DΡ ) ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°, Π Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΠ½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ K (x1, x) u (x)dx, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ K (x1, x) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±ΠΎΡΠ°, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½Π°Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΠ½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Ρ ΠΎΡΡΡ Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ v (x1) ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ «ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ» ΡΠΎΡΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ [v (x) = ku (x), Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ k Π·Π°ΡΠ°Π½Π΅Π΅ Π½Π΅ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ], ΠΈΠ»ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ, Π ΠΈ Π [u (x) — v (x) = f (x)], ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΊ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ u (x):
ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 1-Π³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 2-Π³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π°, ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π€ΡΠ΅Π΄Π³ΠΎΠ»ΡΠΌΠ°, — ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°
[ΠΏΡΠΈ f (x) = 0 ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π€ΡΠ΅Π΄Π³ΠΎΠ»ΡΠΌΠ°]; ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π€ΡΠ΅Π΄Π³ΠΎΠ»ΡΠΌΠ° Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ l:
ΠΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
— ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ΄ΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ — ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) (Π° Π Ρ Π b); ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ u (x) (Π° Π Ρ Π b).
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ K (x, y), f (x), u (x) ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ l ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ΄ΡΠΎ K (x, y) ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π½ΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ Ρ > Ρ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΡΡΠ°:
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΄ΡΠΎ K (x, y) ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ°, Π° Π Ρ Π b, Π° Π y Π b ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. Π. Ρ. ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡΡ ΠΈ ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ : ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π Π°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ Π. Ρ., Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΠ»ΠΈ ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2-Π³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π° ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ:
1) ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ u (x) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌ l (ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΊΡΡΠ³Π΅ |l|
2) ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ u (x), ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ l, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡ l (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π€ΡΠ΅Π΄Π³ΠΎΠ»ΡΠΌΠ°);
3) Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ΄ΡΠΎ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ, Ρ. Π΅. Π (Ρ , y) Ρ Π (Ρ, x), ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ u (x) Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ uΠΊ(Ρ ), ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
(ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° l = lΠΊ, k = 1, 2, .) (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠΈΠ»ΡΠ±Π΅ΡΡΠ° — Π¨ΠΌΠΈΠ΄ΡΠ°);
4) Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ°;
5) Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°
(ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΄ΡΠΎ), ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ u (Ρ ) ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΊ
ΠΊΠ°ΠΊΡΡ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΄ΡΠΎ Π (Ρ , y) Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ΄ΡΠΎΠΌ, ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠΌΡΡ ΠΎΡ Π (Ρ , Ρ). Π ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΊΡΠ°Π΅Π²ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ; ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΠ°Π½ΡΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΡ Π. Π. ΠΈ ΠΡΡΠ»ΠΎΠ² Π. Π., ΠΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, 5 ΠΈΠ·Π΄., Π. — Π., 1962. — Ρ. 166.
3. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
3.1 Π―Π²Π½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ°
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π°ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π°, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡ. 6. ΠΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ·Π»Π°, Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ·Π»ΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Ρ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π° Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ (i, k) -Π³ΠΎ ΡΠ·Π»Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
(7)
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅ (7) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½Π΅ΡΡ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠΎΠΌ k (ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ), Π° Π² Π»Π΅Π²ΡΡ — Ρ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠΎΠΌ k+i (Ρ. Π΅. ΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ). ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π³ΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Ρ
ΠΠ΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π°Π±Π΅Π³Π°Ρ Π²ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄, Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° Ρ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΡΡΠ°Π½ΡΠ°, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ. Π‘ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΡΠΈΡ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ° (7) Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
(8)
Π ΠΈΡ. 6. Π¨Π°Π±Π»ΠΎΠ½ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠ·Π»Π°Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π°, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (8), ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π° Π½Π° ΡΠΈΡ. 6. Π€Π°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π° ΠΈ ΡΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡ Π΅ΠΌΡ.
ΠΠ΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (8) Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ (8) ΠΏΠΎΠ²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π΅Π΅, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ, Ρ. Π΅. Π»Π΅Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ (8) ΡΠ²Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΈ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ (ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°ΠΌ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π·Π»ΠΎ. ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² (8) Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ Π² ΡΠ·Π»Π°Ρ ΡΠ΅ΡΠΊΠΈ), Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΠΈ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΠ·-Π·Π° ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅, Π΅Π΅ ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ, Π° Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠ°Π½Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΈ — ΡΡ Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π±Π΅Π³ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ°.
ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² Mathcad. ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π°ΠΊΠΊΡΡΠ°ΡΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π² Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (8) Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π±Π΅Π· ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ΅ΠΏΠ»Π°, Ρ. Π΅. Ρ (x, T, t)=0 ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ D=const ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π² Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³Π΅ 1. Π Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΡΠ°Π³ΠΈ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ t ΠΈ Π, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΠΎ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅. Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ (Π½Π°Π³ΡΠ΅ΡΡΠΉ ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ) ΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ (ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ° Π½Π° ΠΊΡΠ°ΡΡ ) ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Ρ v (t) Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (ΠΈΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠ΅), Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ t.
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 7 ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΡΠΈΡ ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ — Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎ ΠΈΠ· Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½Π°Π³ΡΠ΅ΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ Π² ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π½Π°Π³ΡΠ΅ΡΡΡ, Π° Π·ΠΎΠ½Π° ΠΈΠ·Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ.
ΠΠΈΡΡΠΈΠ½Π³ 11. Π―Π²Π½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ° Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π ΠΈΡ. 7. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ (ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³Π° 1)
ΠΠ΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Ρ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° Ρ (u)=103(u-u3). ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π² Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³Π΅ 1 ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΡ ΠΎΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈ, Ρ. Π΅. ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΌΡ ΡΠΎΠ±ΠΈΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²Π½ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΈΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ Π±Ρ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Ρ , ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° Ρ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½Ρ D (U)=1 ΠΈ Ρ (Ρ , u)=ΠΎ Π½Π° Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π½ΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π°. ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³Π° 1 Π½Π° Ρ (Ρ , ΠΈ)=Ρ3-(ΠΈ-ΠΈ3), Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ.
Π ΠΈΡ. 7. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Ρ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ (ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ½Ρ) Π ΠΈΡ. 8. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Ρ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ (ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π³ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ) Π§ΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Ρ ΡΡΠΈΠΌ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ, Π° Π² Mathcad ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
3.2 ΠΠ΅ΡΠ²Π½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ°
Π ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°, Π½Π΅ΡΠ²Π½Π°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ-ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ (Ρ.Π΅. Π½Π΅ Π²ΡΠ΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉ «ΡΠ°Π·Π±ΠΎΠ»ΡΠΊΠΈ» Π½ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΡΡΠ°Π½ΡΠ°). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠ΅Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠ²Π½ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡ. 9, Ρ. Π΅. Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π±ΡΠ°ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅Π³ΠΎ (Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ) ΡΠ»ΠΎΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ (i, k)-ro ΡΠ·Π»Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ (7) ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ:
(9)
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡΠ°Ρ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ 1-Π³ΠΎ ΡΠ·Π»Π° ΡΡΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (Π² ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ·Π»Π΅ ΠΈ Π² ΡΠΎΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΡ Ρ Π½ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΡΠ·Π»Π°Ρ ). ΠΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠ·Π°Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π½Π° ΡΠΈΡ. 9 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΉ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠΎΠΌΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ.
Π ΠΈΡ. 9. Π¨Π°Π±Π»ΠΎΠ½ Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ, ΡΠΎ Ρ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΉ, Π° Ρ Π² Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (10) Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ·Π»ΠΎΠ² 1=1. .ΠΌ-l ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅Ρ Π΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Ρ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ). ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ, Ρ. Π΅. ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ i=0 ΠΈ i=M.
Π ΠΈΡ. 9. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³ 2)
ΠΠΈΡΡΠΈΠ½Π³ 2. ΠΠ΅ΡΠ²Π½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ° Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΠ»Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Mathcad ΠΈ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ isolve. ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π² Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³Π΅ 2. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ (ΡΠ°Π³ΠΎΠ², Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ), ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Ρ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠ΅ (ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ isolve). Π Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³Π° (ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΡΡΠ°Π½ΡΠ°) ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ Mathcad Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½ΠΎ Π² Π»ΠΈΡΡΠΈΠ½Π³Π΅ 2. ΠΠ°ΠΊ Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ.
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΡΡΠ½Ρ, ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ Π² ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π°Ρ , ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° Π² ΡΡΠ΅ΡΠΆΠ½Π΅ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ½ΡΡ Π²ΠΎΠ»Π½ Π² ΠΏΠΎΡΠ²Π΅, Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠ·Π»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅.
ΠΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π½Π°ΡΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠΌΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠΌΠΈ ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π·Π°ΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ .
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡ ΠΌΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΡΠ΄ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠΈ: ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅, Π°ΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΈ, ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ Ρ ΠΈΠΌΠΈΠΈ, Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° ΡΠ°ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΡ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ².
Π Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠΌΠΈ ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π·Π°ΡΠΎ ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ .
ΠΡΠ΄Π°ΠΊ Π.Π., Π‘Π°ΠΌΠ°ΡΡΠΊΠΈΠΉ Π. Π., Π’ΠΈΡ ΠΎΠ½ΠΎΠ² Π. Π. Π‘Π±ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅: Π£ΡΠ΅Π±. ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1980. 686 Ρ.
ΠΠΈΡΠ°Π΄Π·Π΅ Π. Π. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ: Π£ΡΠ΅Π±. Π.:ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1982. 336 Ρ.
ΠΠΈΡΠ°Π΄Π·Π΅ Π.Π., ΠΠ°Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΊΠΎ Π. Π€. Π‘Π±ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ: Π£ΡΠ΅Π±.ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1977. 222 Ρ.
ΠΠ»Π°Π΄ΠΈΠΌΠΈΡΠΎΠ² Π. Π‘., Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Π., 1967.
ΠΠ°ΡΡΠ»ΠΎΡ Π. Π‘., Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠ΅Ρ. Ρ Π°Π½Π³Π»., Π.: ΠΡΠΈΠΎΡ, 2002.
ΠΠ°Π½ΡΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΡ Π. Π. ΠΈ ΠΡΡΠ»ΠΎΠ² Π. Π., ΠΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, 5 ΠΈΠ·Π΄., Π. — Π., 1962.
ΠΠΈΡ Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ : Π£ΡΠ΅Π±.ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1983. 424 Ρ.
ΠΠ΅ΡΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ Π. Π., ΠΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, 3 ΠΈΠ·Π΄., Π., 1999.
Π‘ΠΌΠΈΡΠ½ΠΎΠ² Π. Π. ΠΡΡΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ: Π£ΡΠ΅Π±.: Π 4 Ρ. Π’.2. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1981. 655 Ρ. Π’.4. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1981. Π§. 2.
Π’ΠΈΡ ΠΎΠ½ΠΎΠ² Π.Π., Π‘Π°ΠΌΠ°ΡΡΠΊΠΈΠΉ Π. Π. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ: Π£ΡΠ΅Π±.ΠΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1977. 735 Ρ.