Данное различие не является принципиальным в виду того, что может быть обусловлено погрешностью вычислений, округления. Изобразим графически фактические значения показателей и линию трендазависимости показателя фондоемкости перевозок от объема грузооборота. Линия тренда зависимости показателя фондоемкости перевозок от объема грузооборота.
ЗАДАНИЕ 2. Определить достоверность найденного уравнения линейной регрессионной модели, используя критерий Фишера. Для использования критерия Фишера (F) устанавливается отношение (h) полной дисперсии (s2y) к остаточной (s2y, x) :(2.
1.6)(2.
1.7)(2.
1.8)m — число факторов в модели (m = 2) Решение:
Из расчетов таблицы 2.
1.1 имеем:
Критерий Фишера:
В знаменателе число степеней свободы 11, в числителе — 10. В соответствующей статистической таблице F — распределения (Приложение 1) определим, что с доверительной вероятностью, например, в 95 случаях из 100 мы имеем удовлетворительный результат, так как f (0.95) = 2.94, и меньше значения n. Полученный результат позволит нам использовать рассчитанное уравнение регрессии для различных целей, включая прогнозирование. Расчет параметров парной корреляции.
В основе расчета коэффициента корреляции и параметров оценивания его надежности лежит метод наименьших квадратов с использованием в качестве математической модели нормальной системы уравнений линейной регрессии. Найденный коэффициент корреляции показывает уровень тесноты связи между исследуемыми факторами. Чем выше значение коэффициента корреляции, тем теснее исследуемая связь. Расчет линейного коэффициента корреляции выполняется по формуле:(2.
2.1)Величина линейного коэффициента корреляции изменяется в диапазоне от -1 до +1.ЗАДАНИЕ.3 Найти значение коэффициента корреляции для проверки статистической зависимость между годовым объемом работы по грузообороту (млрд ткм), (x) и фондоемкостью перевозок (y).Решение:
По данным таблицы 2.
1.1 находим показатели, необходимые для расчета r. Подставляя их значения в формулу (2.
2.1), получим: На основании величины показателя коэффициента корреляции можно сделать вывод о том, что между показателями объема работ по грузообороту (млрд т-км), и фондоемкостью перевозок наблюдается тесная прямая связь.ЗАДАНИЕ.4 Определить значимость найденного коэффициента корреляции. Сделать вывод о доверительности найденного значения, используя таблицу нижних границ значимости коэффициента корреляции (Приложение 2) с уровнем значимости 0,95. Вывод о значимости найденного значения линейного коэффициента корреляции в 95 случаях из 100 принимается при условии, что оно больше соответствующей нижней границы. Решение:
Линейный коэффициент корреляции r = 0,890 662.
На основании величины показателя коэффициента корреляции, близкого к +1, можно сделать вывод о том, что между показателями объема работ по грузообороту (млрд т-км), и фондоемкостью перевозок наблюдается тесная прямая связь. Полученный коэффициент больше соответствует нижней границе, равной 0,576.Выравнивание рядов распределений с проверкой гипотезы нормальности по критерию Пирсона на базе эмпирического ряда величин себестоимости железнодорожной перевозки.ЗАДАНИЕ. Требуется подтвердить гипотезу нормальности распределения эмпирического ряда величин себестоимости пропуска транзитных вагонов по участкам железных дорог и найти теоретическое нормальное распределение этих величин. Для этого необходимо найти величину расхождения между указанными распределениями, используя критерий Пирсона. Исходные данные приведены в таблице 2.
3.1, 2.
3.2 и на рис. 2.3Среднее значение ряда рассчитывается по формуле: (2.
3.1)Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле: (2.
3.2)Нормированное отклонение рассчитывается по формуле:(2.
3.3)Теоретическое нормальное распределение нормируется через показатель t умножением значения функции плотности вероятности φ(t) на значение величины эмпирического нормированного отклонения у:(2.
3.4)(2.
3.5)(2.
3.6)Исходные данные:
Таблица 2.
3.1Распределение эмпирического ряда величин себестоимости пропуска транзитных вагонов по участкам железных дорог, тыс. руб./в-км3 812 212 940 482 822 144.
Таблица 2.
3.2Интервалы распределения эмпирического ряда величин себестоимости, пропуска транзитных вагонов по участкам железных дорог0,58- 0,780,78 — 0,980,96 — 1,181,18 — 1,381,38 — 1,581,58 -1,781,78 — 1,981,98 -2,182,18 — 2,382,38 -2,582,58 — 2,78Для проведения исследования построим расчетную таблицу, в которой используем следующие формулы и обозначения: — границы интервалов распределения эмпирического ряда величин себестоимости, пропуска транзитных вагонов по участкам железных дорог$ - величинf себестоимости пропуска транзитных вагонов по участкам железных дорог, тыс. руб./в-км; - середина интервала;
значение ряда;-нормированное отклонение;
функция плотности вероятности (табличные значения); - теоретическое нормальное распределение; - эмпирическое нормированное отклонение. t0,580,783,0,68002,0400−1,6 761,13973,4190−2,51 150,01711,8103−1,18 971,41540,78 180,780,988,0,88007,0400−0,86 760,75276,0212−2,4 100,04985,2721−2,72 797,44131,41 140,981,1812,0001,80 012,9600−0,66 760,44565,3476−1,57 050,116312,31 220,31220,9 750,00791,181,3821,0001,280 026,8800−0,46 760,21864,5908−1,10 000,217923,6 822,06824,27 750,18541,381,5829,0001,480 042,9200−0,26 760,07162,0760−0,62 940,327134,62 885,628831,68 320,91491,581,7840,0001,680 067,2000;0,6 760,00460,1826−0,15 890,393941,70 061,70062,89 210,06941,781,9848,0001,880 090,24000,13 240,01750,84 200,31160,380 240,2503−7,749 760,05841,49 211,982,1828,0002,80 058,24000,33 240,11053,9 450,78210,294 331,15643,15 649,96270,31 982,182,3822,0002,280 050,16000,53 240,28356,23 691,25260,182 619,3311−2,66 897,12280,36 852,382,5810,0002,480 024,80000,73 240,53655,36 471,72310,9 099,6232−0,37 680,14200,1 482,582,784,2,680010,72 000,93240,86 953,47782,19 360,03633,8429−0,15 710,02470,0064.
Итого225−393,200—40,6532—222,9962—5,5724.
Сравним сумму найденных теоретических частот ∑fi = 225 с суммой частот эмпирического распределения ∑ni = 222,99. Данные суммы различаются незначительно (225 — 222,99 = 2,01).Т.к. расхождение фактического распределения с теоретической нормальной кривой распределения носит случайный характер, то гипотеза соответствия экспериментального распределения теоретическому принимается. В практике статистических расчетов для оценки правомерности гипотезы соответствия фактического распределения нормальному принят критерий «хи-квадрат» иначе говоря, критерий Пирсона:(2.
3.7)Величина критерия Пирсона: χ2 = 5,57.Вычислим число степеней свободы: r = k — 3(2.
3.8)гдеk — число интервалов в фактическом распределении. В данном примере r = 11 — 3 = 8. При заданном уровне значимости 5% предусматривающем 5% ошибку и количестве степеней свободы, равном 8, определяется табличная величина критерия Пирсона. Табличная величина равна χ 2 = 15,5.Найденное в расчетах значение меньше табличного, поэтому гипотеза о соответствии эмпирического распределения теоретическому принимается: χ2 = 5,57 < 15,5Изобразим полученные данные графически.Рис. 3. Теоретическое и эмпирическое распределение частот2.
4 Прогнозирование экономических показателей методом простого экспоненциального сглаживания.
ЗАДАНИЕ.Рассчитать заданным методом прогноз для локомотивного депо на 10 -й год при параметрах сглаживания α1 = 0,3 и α2 = 0,5. Исходные данные представлены в таблице 2.
4.1. Взвешенная скользящая средняя с экспоненциально распределенными весами характеризует в основном значение процесса на конце интервала сглаживания. Это свойство используется для прогнозирования.
гдеQi — значение прогнозируемого показателя в точке i;Qi-1 — значение прогнозируемого показателя в точке i-1;yi — фактическое значение показателя в точке i;α - фактор затухания, константа (коэффициент) сглаживания. Исходные данные:
Таблица 2.
4.1Производительность локомотива, тыс. т-км брутто. Количество тяжеловесных поездов1 год2 год3 год4 год5 год6 год7 год8 год9 год10 год5 110 512 051 005 140 583 529 916 098 750 722 342 912.
Решение:Q1 = y1 = 5110Q2 = 0,3*5110 + (1−0,3)*5110=5110Q11 = 0,3*5200 + (1−0,3)*5200=Год.
Производительность локомотива, тыс. т-км. бр. Yt — прогноз (α =0,3)Yt — прогноз (α =0,5)11420511051102151051135115316805109,15 107,5417805118,375 123,75519505127,8 595 136,875619955137,5 015 148,438720005147,2 515 159,219820205163,765 179,609920205180,1 535 199,8051020405186,1 075 199,902115190,2 755 199,951 Динамика производительности локомотива, тыс. т-км брутто.
Бережная Е. В. Математические методы моделирования экономических систем. — М.: Инфра-М, 2005.
Карчик В. Г. Математические методы в планировании и управлении на железнодорожном транспорте: Учебное пособие. Часть вторая — Л.:ЛИИЖТМатематическое моделирование экономических процессов на железнодорожном транспорте.: Учебник для ВУЗов/ Под ред. А. Б. Каплана. — М.: Транспорт, 1984.
Кочович Е. Финансовая математика. — М. Перспектива, 1994.
Гольштейн Е. Г. Задачи линейного программирования транспортного типа. — М.:Наука, 1969.
Карчик В. Г. Математическое моделирование экономических процессов на железнодорожном транспорте. — СПб.: Издательство «Милена», 2001.
Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и её приложения в экономическом образовании: учебник. -.
6-е изд., испр. — М.: Издательство «Дело» АНХ, 2012. — 720 с. Таха, Хемди А.
Введение
в исследование операций, 7-издание: Пер. с англ. -.
М.: Издательский дом «Вильямс», 2010. — 912 с.: ил. — Парал. Тит. англ.
Шикин Е. В, Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — 2-е изд,.Испрв, — М.: Дело, 2012, — 440 с. — (.
Сер. &# 171;Наука управления") Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. Пособие для вузов / Под ред.
В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 2012.
