Оптимизация инвестиционного портфеля

Содержание

• Введение
• 1. Постановка задачи
• 2. Обзор методов решения задач данного типа
  • 2. 1. Математическое программирование
  • 2. 2. Табличный симплекс-метод
  • 2. 3. Метод искусственного базиса
  • 2. 4. Модифицированный симплекс-метод
• 3. Математическая модель
• 4. Моделирование в среде MathCad
• 5. Анализ результатов

Проникновение математики в экономическую науку связано с пре-одолением значительных трудностей. В этом отчасти была «повинна» мате-матика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в при-роде экономических процессов и в специфике экономической науки.

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупности эле-ментов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целост-ность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджент-ность наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элемен-тов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно поль-зоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследо-ваний в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее эле-ментов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями меж-ду системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т. д.). В народном хозяйстве взаимодейству-ют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъ-ективные факторы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование не-возможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой при-роды и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наи-больший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических зна-ний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости эко-номических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недоста-точно эффективно.

Цель данной работы определить оптимальное распределение инве-стиций, свести данную задачу к задаче линейного программирования, решить в среде MathCad.

1. Постановка задачи

Частный инвестор предполагает вложить в ценные бумаги и положить на срочный вклад в банке в общей сложности 500 тыс. руб.

После консультаций со специалистами фондового рынка он выбрал 3 типа акций, 2 типа облигаций, а также банк, в который будет сделан срочный вклад (см. таблицу).

Вложение Доход, % Риск

Акции, А 15 высокий

Акции В 12 средний

Акции С 9 низкий

Долгосрочные облигации 11 ;

Краткосрочные облигации 8 ;

Срочный вклад 6 ;

Кроме того, на основе рекомендаций специалистов и своих личных предпочтений инвестор сформулировал следующие требования к инвестици-онному портфелю: все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы;

по крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в банке;

по крайней мере 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;

в облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции;

не более 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10%.

Сформировать портфель инвестиций для данного инвестора, удовле-творяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход.

2. Обзор методов решения задач данного типа

2.1. Математическое программирование

Математическое программирование занимается изучение экстремаль-ных задач и поиском методов их решения. Задачи математического програм-мирования формулируются следующим образом: найти экстремум некото-рой функции многих переменных f (x1, x2, …, xn) при ограничениях gi (x1, x2, …, xn)  bi, где gi функция, описывающая ограничения,  - один из следующих знаков , , , а bi действительное число, i = 1, …, m. f назы-вается функцией цели (целевая функция).

Линейное программирование это раздел математического про-граммирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулировать так: Найти при условии:

Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.

В матричной форме задачу линейного программирования записывают следующим образом. Найти max cT x

при условии

A x  b ;

x  0, где, А матрица ограничений размером (mn), b (m1) вектор-столбец свободных членов, x (n  1) вектор переменных, сТ = [c1, c2, …, cn ] вектор-строка коэффициентов целевой функции.

Решение х0 называется оптимальным, если для него выполняется ус-ловие сТ х0  сТ х, для всех х  R (x).

Поскольку min f (x) эквивалентен max [ - f (x) ], то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимиза-ции.

Для решения задач данного типа применяются методы:

1) графический;

2) табличный (прямой, простой) симплекс-метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс-метод;

5) двойственный симплекс-метод.

2.2. Табличный симплекс-метод

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида, а компоненты вектора b положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему:

Приведение системы ограничений к каноническому виду путём вве-дения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки = или, то в указанные ограничения добавляются искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

Формируется симплекс-таблица.

Рассчитываются симплекс-разности.

Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

При необходимости выполняются итерации.

На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.

2.3. Метод искусственного базиса

Данный метод решения применяется при наличии в ограничении зна-ков =,, и является модификацией табличного метода. Решение сис-темы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зави-сящим от типа оптимума, т. е. для исключения из базиса этих переменных по-следние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффи-циентами , а в задачи минимизации с положительными . Таким обра-зом, из исходной задачи получается новая  задача.

Если в оптимальном решении -задачи нет искусственных перемен-ных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оп-тимальном решении -задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и ис-ходная задача неразрешима.