Задачи на определение вероятностей

Теория вероятностей

вероятность прибор надежность

1. Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на 8 вопросов из тех 40, которые могут быть предложены. Какова вероятность того, что студент сдаст коллоквиум?

Решение.

Обозначим события:

А — «студент сдаст коллоквиум» (студент ответит на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем)

— «студент не сдаст коллоквиум» (студент не ответит ни на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем) Так события, А и противоположные, то. Найдем вероятность .

Число исходов m, благоприятствующих наступлению события, равно числу комбинаций, каждая из которых состоит из 2 вопросов, выбираемых из 8 (число вопросов невыученных студентом), т. е. .

Общее число исходов n равно числу комбинаций по 2 вопроса, выбираемых из 40 предлагаемых преподавателем, т. е. .

Тогда

.

Ответ:

2. Рабочий обслуживает одновременно четыре станка, из которых на первом вероятность нарушения нормальной работы в течение часа после проверки составляет 0,1, на втором — 0,15, на третьем — 0,2, на четвертом — 0,25. Какова вероятность бесперебойной работы всех четырех станков на протяжении часа?

Решение.

Рассмотрим событие, А — «все четыре станка бесперебойно работают в течение часа после проверки».

Событие, А можно представить в виде произведения четырех независимых событий А1, А2, А3, А4: ,

где — «i-тый станок бесперебойно работает в течение часа после проверки»

— «i-тый станок выходит из строя в течение часа после проверки» ().

По условию задачи известны вероятности событий :

.

Тогда вероятности событий :

.

Найдем вероятность :

(- независимы,)

Ответ:

3. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки — 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1; в условиях перегрузки — 0,4. Вычислить надежность прибора за время полета.

Решение.

Рассмотрим событие, А — «прибор работает правильно за время полета»

Возникают две гипотезы:

В1 — «условие нормального крейсерского полета»

В2 — «условия перегрузки»

Исходя из условия задачи, определим вероятности гипотез:

.

Определим условные вероятности:

где событие — «показания прибора неправильные» является противоположным к событию А.

Определим вероятность события, А по формуле полной вероятности:

.

Ответ:

4. Имеется 3 урны: в первой — 3 белых и 5 черных шаров, во второй — 4 белых и 5 черных, в третьей — 7 белых (черных нет). Некто выбирает наугад одну урну и вынимает один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар вынут из второй урны.

Решение.

Рассмотрим событие, А = «вынут белый шар». Возникают три гипотезы:

В1 — «шар вынут из первой урны»

В2 — «шар вынут из второй урны»

В3 — «шар вынут из третьей урны».

Определим вероятности гипотез:

.

Определим условные вероятности:

.

По условию задачи необходимо найти условную вероятность. По формуле Байеса находим:

Ответ:

5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность двух попаданий при трех выстрелах.

Решение. Обозначим событие: А — «стрелок попал в цель».

По условию задачи известна вероятность события .

По схеме Бернулли имеем:

.

Тогда получим уравнение относительно р:

— посторонний корень, т.к. .

Необходимо найти. По схеме Бернулли имеем:

.

Ответ:

6. Вероятность появления события, А в одном испытании равна р. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие, А произойдет: а) т раз; б) от до раз. а); б) .

Решение.

а) Применяя формулу Бернулли можем записать: ,

где — вероятность противоположного события.

Вычисление точного значения по формуле Бернулли вызывает технические сложности, поэтому решим поставленную задачу приближенным способом с помощью локальной теоремы Лапласа:

где .

Тогда, (приложение 1).

б) Решим поставленную задачу приближенным способом с помощью интегральной теоремы Лапласа:

где .

Находим:

.

Тогда .

Ответ: а) б)