Основная теорема алгебры

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел Основная теорема алгебры Курсовая работа студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета Батура Ирина Сергеевна Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистент Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор САРАТОВ.

2009 год.

1.

Введение

.

2. Основные определения, используемые в курсовой работе.

3. Элементы теории пределов для комплексных чисел.

4. Доказательство основной теоремы.

5. Список используемой литературы.

1.

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле. Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (1617г.). Д’Аламбер первым в 1746 г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то «идеальные» корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня «основной» эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.

Целью моей работы является выявления, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.

При написании работы мною была использована следующая литература: Д. К. Фадеев «Лекции по алгебре», Л. Д. Кудрявцев «Курс математического анализа». А. Г. Курош «Курс высшей алгебры» .

2. Основные определения, используемые в курсовой работе Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения, 2-операция умножения, 3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.

Множество комплексных чисел можно определить как множество упорядоченных пар действительных чисел,, , в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:

В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т. е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.

Последовательность комплексных чисел — это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.

Последовательность называется подпоследовательностью, если для любого k существует такое натуральное, что =, причем Б тогда и только тогда, когда .

Комплексное число — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма, где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению .

Вещественное число (действительное число) — любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Функция — 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).

Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех и всех выполняется неравенства.

Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого существует такой номер, что если, то для всех выполняется неравенство. Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.

3. Элементы теории пределов для комплексных чисел В моей работе полиномы рассматриваются только над полями и как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля) носит название основной теоремы алгебры.

Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел. Число называется ее пределом, если для любого действительного числа существует такой номер, что при выполняется неравенство. В этом случае пишут lim, а=lim, b=lim. Предельное соотношение lim=c равносильно соотношению, ибо.

max.

Последовательность такая, что R, при некотором R, называется ограниченной.

Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.

Действительно, пусть ограниченная последовательность, т. е., тогда, так что есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей. Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность .

Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен .

4. Доказательство основной теоремы Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пустьполином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной. Представим себе «график» функции, считая, что значения изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения откладываются вверх в направлении оси. Мы установим, что являются непрерывными функциями от на всей плоскости комплексной переменной. Функция от комплексной переменной называется непрерывной в точке, если достаточно близким к значениями соответствует сколь угодно близкие к значения .В более точных терминах — для любого найдется такое, что, как только .

Непрерывность дает основания представлять себе график в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость, и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение, в котором, и, тем самым,, т. е. что поверхность доходит до плоскости в точке. Мы докажем, что если дана точка на поверхности, которая расположена выше плоскости, то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности существует самая низкая точка, скажем, при. Она не может находиться выше плоскости, ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно, и, следовательно, т. е. корень полинома .

Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.

Лемма 1. Дан полином c нулевым свободным членом.

Тогда для любого найдется такое, что, как только .

Доказательство: Пусть. Тогда Положим.

Если.

то.

что и требовалось доказать.

Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.

Доказательство: Пусть дан полином и точка _. Расположим полином по степеням.

.

Тогда так что Правая часть есть полином от с нулевым свободным членом.

По лемме 1 для любого найдется такое, что как только что и требовалось доказать.

Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.

Доказательство: Из неравенства следует, что для данного то, которое «обслуживает», подходит и для. Действительно, при имеем.

Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Еслиполином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что M, как только .

Это означает, что любая горизонтальная плоскость отрезает от поверхности конечный кусок, накрывающий часть круга |z|?R.

Доказательство: Пусть где полином от c нулевым свободным членом.

В силу леммы 1 для найдется такое, что при, будет. Модуль может быть сделан сколь угодно большим, именно, при будет. Возьмем Тогда при будет.

и так что.

Лемма 5. Точная нижняя грань значений достигается, т. е. существует такое, что при всех .

Доказательство: Обозначим точную нижнюю грань через. Возьмем последовательностью стремящихся к сверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений, иботочная нижняя грань. Поэтому найдутся такие, что. Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для найдем такое, что при будет Отсюда следует, что при все. Последовательностью оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Пусть ее предел равен. Тогда в силу непрерывности. Кроме того,. Поэтому Итак, что и требовалось доказать.

Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пусть полином отличный от константы, и пусть. Тогда найдется такая точка, что Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности дана точка, находящаяся выше плоскости, то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.

Доказательство: Расположим полином по степеням Тогда Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого «откусить кусочек» от, а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть — первое отличное от нуля слагаемое после, так что (если k>1). Такое слагаемое имеется, так как не константа. Тогда.

+(+…+))=.

= c₀ (1+ +).

Здесь.

=.

есть полином от с нулевым свободным членом. По лемме 1 для = найдется такое, что ||<, как только ||<. Положим =() и. Тогда.

.

Выберем так, что. Для этого нужно взять. Далее, положим, т. е. возьмем. При таком выборе будет. Теперь положим.

при и. Тогда и.

||=.

Лемма доказана.

Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять при так что при k>1 (т.е. в случае, когдакорень кратности полинома) имеется k направлений спуска по поверхности. Они разделяются направлениями подъема при.

Действительно, в этих направлениях.

и.

Так что если есть корень производной кратности, то поверхность в окрестности точки «гофрирована» так, что на ней имеется «долин» cпуска, раздельных «хребтами» подъема.

Теорема: Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один комплексный корень (т.е. поле, комплексных чисел алгебраически замкнуто).

Доказательство: Пусть — данный полином, отличный от константы. Пусть, далее, и — точка, в которой; Она существует по лемме 5. Тогда ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка что невозможно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Д. К. Фадеев Лекции по алгебре. — СПб.: Изд-во «Лань», 2007. — 416с.

Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. — М.: Изд-во «Высш. Школа», 1981 г. — 687с.

А.Г.Курош Курс высшей алгебры. — М.: Изд-во «Наука», 1971 г. — 431с.