Статистическая обработка экспериментальных данных

По этому, каждый из промахов подлежит статистической проверке. При числе измерений n < 20 целесообразно применять критерий Романовского, при этом, с помощью таблицы 4.2 определяется максимальная разностьU1i- 1, — и вычисляется βu1:Максимальное значение βu1 получено для U16. Задавшись доверительной вероятностью Р= 0,95, с учетом q = 1 -Р по таблице 3.3 находят соответствующее ей критическое (табличное) значение βqu = 2,76. Значение βqu1 получено с учетом того, что n =19, которое находится в промежутке между 15 и 20.βu1 < βqu1, пересчет не производится. Обнаруживаются и исключаются грубые погрешности при измерении напряжения U2, с помощью таблицы 4.2 определяется максимальная разностьU2i- 2, — и вычисляется βu2: то данный результат измерения U26 не является промахом.

2 Проверяется гипотеза о нормальности распределения для обеих серий оставшихся результатов наблюдений по составному критерию. Применив критерий 1, по формуле 3.2 для первой серии измерения напряжения вычисляется: Аналогично для второй серии измерения напряжения вычисляем: По формуле 3.1 определяем значение критерия 1 для первой серии измерения напряжения:

Аналогично для второй серии измерения напряжения вычисляем:

Задавшись доверительной вероятностью P1 = 0,98 и для уровня значимостиqu2= 1 — Р1 по таблице 3.5, определяются квантили распределения d1−0,5q =0.68 иd0,5q =0,9. Сравниваются d1и d2 с d1−0,5q1. Так как d1−0,5q< d1< d0,5q и d1−0,5q< d2< d0,5q, то гипотеза о нормальном законе распределения для обеих серий согласуется с экспериментальными данными. Следует учесть, что значение dq/2 определяется по q, а значение d1-q/2 по 1-q.Применяя критерий 2, задаются доверительной вероятностью Р2 = 0,95 и для уровня значимости q2=(1 — Р2)*100= 5, с учетом n = 19 определяют по таблице 3.6 значения m1 = m2 = 1 и Р1 *= P2* = 0,98, Следует учесть, что значение n =19 лежит в диапазоне 15−20, где значение Р*не меняется и при таком количестве измерений m=1.Для вероятности Р1 * = 0,98 из таблицы 1, приложения Б для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) или по таблице 1.1 определяется значение ZP/2= 2,33 и рассчитываются значения Δ1и Δ2по формуле 3.4:Δ1 = ZP/2·SU1= 2,33·1,4374 = 2,2993мВ;Δ2 = ZP/2·SU2= 2,33·1,0675 = 3,0837 мВ. Из таблицы 4.4 максимальна разностьU1i- 1-=2,5727, больше Δ2, то есть m =1 и условие критерия 2 выполняется, так как следующая максимальная разностьU1i- -=1,7523, что меньше Δ2. Также максимальная разностьU2i-2 — =2,411,что меньше Δ2, то есть m =0 и условие критерия 2 выполняется. Уровень значимости составного критерия q ≤ 0,02 + 0,05 = 0,07, т. е. гипотеза о нормальности согласуется с данными наблюдений с вероятностью не менее 0,93.4 Проверяется значимость различия средних арифметических серий по алгоритму. Для этого вычисляются моменты закона распределения разности:

Задавшись доверительной вероятностью Р= 0,95, определяется из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) или по таблице 1.1 значение ZP/2= 2,0Так какG- = 0 < ZP/2 ·SG= 2,0· 0,3787 = 0,7575 то различия между средними арифметическими в обеих сериях с доверительной вероятностью Рможно признать незначимым.

5 Проверяется равнорассеянность результатов измерений в сериях по алгоритму. Для этого следует определить значение:

Задавшись доверительной вероятностью Р= 0,95, Значение Fq для различных уровней значимости и степеней свободы к1 = n1 — 1 =18 и к2 = n2 — 1=18 выбираются из таблицы 5, приложение Б (критерий Фишера) Fq= 2,32. Сравнивается Fс Fq. Так как F < Fq, то серии с доверительной вероятностью Р=0,95считают равнорассеянными. Так как серии однородны (равнорассеяны с незначимым различием средних арифметических), то все результаты измерения объединяются в единый массив и выполняется обработка по алгоритму, как для одной серии. Для этого определяется оценка результата измерения и среднеквадратического отклонения по формулам:==0.2Значение n12 вычисляется по следующей формуле:

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, из таблиц распределения Стьюдента (таблица 2, приложения Б) определяется значение tgдля числа степеней свободыf = 22/[(n1 -1)-1 + (n2−1)-1]; f= 4/(1/18 + 1/18) = 18. Тогда tg= 2,1 009 220.

Определим доверительный интервалΔP = tg·S = 2,1 009 220·0,2 = 0,426 Записывается результат измерения x ± Dp = 126,20 ± 0,42, P = 0,95, f= 18. Задача 5 Обработка результатов серий измерений (неравноточные измерения) Задание.

Произвести обработку результатов нескольких серий прямых многократных неравноточных измерений и определить, чему равно значение измеряемой величины. Исходные данные, в соответствии с номером варианта, рассчитываются в Excel по формулам приведенным в приложении А. Исходные данные к заданию № 5 для двух серий по 19 точек формируются в Exsel по следующей формуле: =НОРМ.ОБР (CЛЧИС ();А2;А3), (3)где для первой серии А2 = №вар*5, А3 = А2*0,01, для второй серии А2 = №вар*5, А3 = А2*0,03. В задании № 4 формируются два массива чисел по формуле 2. Неравноточные измерения — это ряд измерений, выполненных различными по точности средствами измерений и (или) в несхожих условиях. Неравноточные измерения обрабатывают для получения результата измерений только в том случае, когда невозможно получить ряд равноточных измерений. Для проверки гипотезы неравноточности двух рядов, состоящих из n1 и n2 результатов наблюдений, вычисляются эмпирические дисперсии для каждого ряда, по формуле 4.

1. Затем по формуле 4.2 находится дисперсионное отношение F. За первую серию измерений принимается та, у которой эмпирическая дисперсия больше, то есть. Измерения считаются неравноточными, если F попадает в критическую область. F>Fq.Значение Fqдля различных уровней значимости и степеней свободы к1= n1- 1 и к2 = n2 — 1 выбираются из таблицы 5 приложения Б (Таблица значений F-критерия Фишера).Таблица 5.1 — Результаты измерений двух серий№ изм121 105,012100,5 232 106,637108,6 813 105,127113,4 434 105,563103,2 945 104,911105,356 104,314108,2 487 106,220104,9 718 105,100103,599 103,961107,58 710 103,175100,70 111 103,449107,81 612 105,130104,28 213 104,501100,39 514 106,482103,66 015 104,451103,69 516 104,472104,56 317 104,716108,36 418 105,833104,33 119 103,747102,746Определяем средние значения результатов измерения1 и, 2по формуле 2.1:После вычисления средних значений напряжения и тока нужно составить таблицу для определения среднего квадратического отклонения результатов измерения 1 и, 2, Таблица 5.2 — Данные для расчета СКОNизм. U1i, мВU1i- 1, мВ (U1i- 1)2, мВ2U2i, мВU2i-2, мВ (U2i-)2, мВ21 105,0120,12 770,0163100,5234,49 820,232106,6371,75 273,0721108,6813,6613,3 983 105,1270,24 270,0589113,4438,42 270,9354105,5630,67 870,4607103,2941,7272,98 165 104,9110,2 670,0007105,0350,0140,26 104,3140,57 030,3252108,2483,22 710,4157106,221,33 571,7842104,9710,050,258 105,10,21 570,0465103,0591,9623,84 849 103,9610,92 330,8524107,5872,5666,585 710 103,1751,70 932,9216100,7014,3218,6 611 103,4491,43 532,06107,8162,7957,813 512 105,130,24 570,0604104,2820,7390,545 713 104,5010,38 330,1469100,3954,62 621,39714106,4821,59 772,5528103,661,3611,851 615 104,4510,43 330,1877103,6951,3261,757 616 104,4720,41 230,17104,5630,4580,209 517 104,7160,16 830,0283108,3643,34 311,17718105,8330,94 870,9001104,3310,690,475 719 103,7471,13 731,2934102,7462,2755,1744.

Сумма1992,80 114,344716,93 811 995,39448,58 197,458Определяем оценкисреднего квадратического отклонения результатов измерения SU1 и SU2, по формуле 2.2:При проведении измерений возможны грубые ошибки (промахи), обусловленные неверным отсчетом или записью показаний, сбоем в работе прибора и рядом других причин. По этому, каждый из промахов подлежит статистической проверке. При числе измерений n < 20 целесообразно применять критерий Романовского, при этом, с помощью таблицы 4.2 определяется максимальная разностьU1i- 1, — и вычисляется βu1:Максимальное значение βu1 получено для U12. Задавшись доверительной вероятностью Р= 0,95, с учетом q = 1 -Р по таблице 3.3 находят соответствующее ей критическое (табличное) значение βqu = 2,76. Значение βqu1 получено с учетом того, что n =19, которое находится в промежутке между 15 и 20.βu1 < βqu1, пересчет не производится. Обнаруживаются и исключаются грубые погрешности при измерении напряжения U2, с помощью таблицы 4.2 определяется максимальная разностьU2i- 2, — и вычисляется βu2:Сравнивают βu2 с βqu2. Так как βu2 < βqu2, то данный результат измерения U22 не является промахом. Применив критерий 1, по формуле 3.2 для первой серии измерения напряжения вычисляется: Аналогично для второй серии измерения напряжения вычисляем: По формуле 3.1 определяем значение критерия 1 для первой серии измерения напряжения:

Аналогично для второй серии измерения напряжения вычисляем:

Задавшись доверительной вероятностью P1 = 0,98 и для уровня значимостиqu2= 1 — Р1 по таблице 3.5, определяются квантили распределения d1−0,5q = 0,6931 и d0,5q =0,8947.

Сравниваются d1и d2 с d1−0,5q1. Так как d1−0,5q< d1 > d0,5qто гипотеза о нормальном законе распределения для первой серии не согласуется с экспериментальными данными. Так как d1−0,5q< d2 < d0,5q, то гипотеза о нормальном законе распределения для второй серии согласуется с экспериментальными данными. Следует учесть, что значение dq/2 определяется по q, а значение d1-q/2 по 1-q.Применяя критерий 2, задаются доверительной вероятностью Р2 = 0,95 и для уровня значимости q2=(1 — Р2)*100= 5, с учетом n = 16 определяют по таблице 3.6 значения m1 = m2 = 1 и Р1 *= P2* = 0,98, Следует учесть, что значение n =16 лежит в диапазоне 15−20, где значение Р*не меняется и при таком количестве измерений m=1.Для вероятности Р1 * = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) (Таблица 1, приложения Б) или по таблице 1.1 определяется значение ZP/2=2,33 и рассчитываются значения Δ1и Δ2по формуле 3.4:Δ1 = ZP/2·SU1= 2,33· 0,97 = 2,26 мВ.Δ2 = ZP/2 ·SU2= 2,33·3,312 = 7,7172 мВ;По таблице 5.2 находим максимальную разностьU1i- 1-= 1,7527, так как она меньше Δ1, то гипотеза о нормальном законе распределения результатов наблюдений согласуется с экспериментальными данными для первой серии измерений. По таблице 5.2 находим максимальную разностьU2i-2 -=8,422, больше Δ2, то есть m =1 и условие критерия 2 выполняется, так как следующая максимальная разностьU1i- -=1,7523, что меньше Δ2. Также максимальная разностьU2i-2 — =4,626, что меньше Δ2, то есть m =0 и условие критерия 2 выполняется. Уровень значимости составного критерия q ≤ 0,02 + 0,05 = 0,07, т. е. гипотеза о нормальности распределения для первой серии измерений согласуется с данными наблюдений с вероятностью не менее 0,93. 4 Проверяется значимость различия средних арифметических серий по алгоритму. Для этого вычисляются моменты закона распределения разности:

мВЗадавшись доверительной вероятностью Р= 0,95, определяется из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) (таблица 1 приложения Б) или по таблице 1.1 значение ZP/2= 2,0Так какG- = 0,1365 < ZP/2·SG= 2,0·0,792 =1,584 то различия между средними арифметическими в обеих сериях с доверительной вероятностью Рможно признать незначимым.

5 Проверяется равнорассеянность результатов измерений в сериях по алгоритму. Для этого следует определить значение:

Задавшись доверительной вероятностью Р= 0,95, Значение Fq для различных уровней значимости и степеней свободы к1 = n1 — 1 =18 и к2 = n2 — 1=18 выбираются из таблицы 5, приложение Б (критерий Фишера) Fq= 2,32.. Сравнивается Fс Fq. Так как F > Fq, то серии с доверительной вероятностью Р=0,95считаютcя не равноточными. 6 Для удобства обработки результатов неравноточных измерений вводятся весовые коэффициенты: (5.1) где — некоторый коэффициент, выбранный таким образом, чтобы соотношение было близким к единице, SjСКО j-й серии. Коэффициент определяем из второй серии измерений, принимая p2 = 1, из формулы (5.1) получим: По формуле 5.1 находим значение p1:7 Находится весовое среднее 8 Среднее квадратическое отклонение результатов измерений вычисляется по формуле:= 0,0115 мВ9 Находится среднее квадратическое отклонение весового среднего 0,011 мВ10 Результат измерения представляется в виде Х = ±104,866±0,011Список использованной литературы1. Схиртладзе, А. Г. Метрология и технические измерения. [.

Электронный ресурс] / А. Г. Схиртладзе, Я. М. Радкевич, В. Б. Моисеев, В. В. Рыжаков. — Электрон.

дан. — Пенза: Пенз ГТУ, 2015. — 218 с. — Режим доступа:

http://e.lanbook.com/book/63 095;2. Кайнова, В. Н. Метрология, стандартизация и сертификация. Практикум. [Электронный ресурс] / В. Н. Кайнова, Т. Н. Гребнева, Е. В. Тесленко, Е. А. Куликова. — Электрон.

дан. — СПб.: Лань, 2015. — 368 с. — Режим доступа:

http://e.lanbook.com/book/61 361;