Приближения в геометрии и анализе

В настоящей диссертации рассматриваются три задачи, возникшие в метрической геометрии и функциональном анализе, две из которых непосредственно относятся к теории приближений, а третья тесно с ней связана. А именно, в работе решается вопрос об интерполяции плоских кривых с помощью гладко сопряженных круговых дугобсуждаются орторекур-сивные методы разложения интегрируемых по Лебегу функций по неортогональным системама также изучаются ленты Мебиуса с плоской метрикой и свойства их средних линий, связанные, в частности, с интегральным кручением этих линий. Все эти вопросы появились в математических исследованиях последних десятилетий, а их истоки обнаруживаются еще в классической литературе.

Открытая более 150 лет назад, лента Мебиуса и сегодня является самым популярным примером неориентируемой поверхности. Наиболее известна ее конструкция в виде склейки прямоугольного листа бумаги с отождествлением одной пары противоположных сторон, при котором диагонали становятся замкнутыми кривыми. С точки зрения топологии строение полученной таким образом поверхности представляется несложным, в то время как задача ее аналитического описания оказалась весьма нетривиальной.

При отсутствии каких-либо метрических ограничений на поверхность, первый явный пример ленты Мебиуса был найден Г. Машке в работе [1] еще в 1900 г. Гауссова кривизна этой поверхности всюду отрицательна, и, следовательно, ее нельзя рассматривать как изометрический образ плоского прямоугольника. Описание примера стандартной ленты Мебиуса1 как аналитической поверхности с локально-евклидовой метрикой, которая в целом изометрична прямоугольному листу Мебиуса, было дано лишь в 1990 г. Г. Шварцем в статье [3]. При этом доказательство существования таких поверхностей было получено гораздо раньше и, по-видимому, впервые опубликовано В. Вундерлихом в 1962 г. в работе [4], где в неявном виде найдена соответствующая алгебраическая поверхность степени 39. В.

1Этот термин был предложен в работе [2]. современной литературе этот вопрос также получил освещение, и здесь стоит отметить препринт К. Чиконе и Н. Калтона [5], вышедший в 2002 г. в виде статьи [6].

Изучение плоских лент Мебиуса во многом основано на использовании асимптотической параметризации развертывающейся поверхности. Если в качестве направляющей выбирается образ средней линии прямоугольного листа Мебиуса, который мы называем средней линией ленты Мебиуса, то свойства этой кривой полностью определяют поверхность, и поэтому заслуживают специального исследования. Интересные результаты в этой области были получены Т. Рандрупом и П. Родженом в [7], а основательное изучение данной тематики проведено И. Х. Сабитовым в [2].

Несмотря на множество работ, посвященных лентам Мебиуса, неисследованными оставались вопросы о сохранении регулярности асимптотической параметризации при вариации направляющей и об изгибаемости плоских лент Мебиуса. Эти вопросы рассмотрены в первой главе, где в ходе исследования мы также получили новые и довольно неожиданные результаты о поведении интегрального кручения кривых при сжатии их к плоскости.

Побудительным мотивом к постановке задачи, исследуемой во второй главе, было желание найти какие-нибудь подходы к построению конформного отображения круга на область, граница которой задана ее кривизной k (s) как функцией длины дуги s при известной общей длине кривой. Известно, что при таких условиях кривая определяется однозначно с точностью до движения своими так называемыми натуральными уравнениями, а ее замкнутость получается лишь при некоторых специальных условиях на функцию k (s). В работе И. Х. Сабитова [8] получено интегральное уравнение, впрочем, очень сложное и сильно нелинейное, решение которого дало бы условие жордановости кривой с данной кривизной и одновременно дало бы способ нахождения конформного отображения круга на область, ограниченную этой кривой. В этом уравнении искомая кривая участвует через ее кривизну, а при постоянстве кривизны решение уравнения приводит, как и положено, к окружности. Идея была в том, чтобы приблизить k (s) кусочно-постоянными функциями и попытаться решить это уравнение при таких аппроксимациях. Затем, бесконечно измельчая размер ступенек приближающей функции, в общем случае получить решение как предел последовательности кривых, состоящих из гладко сопряженных круговых дуг. Реализовать эту программу пока не удалось, но появился естественный вопрос об аппроксимации данной кривой С1-гладкими круговыми сплайнами с сохранением длины.

В известной автору литературе есть несколько работ, посвященных использованию круговых дуг при интерполяции кривых. Среди них прежде всего стоит упомянуть статью В. А. Леуса [9], где рассматриваются С^-гладкие приближения плоских кривых, представляющие собой весовую сумму двух окружностей2. Как результат, предлагается алгоритм построения аппроксимирующих кривых такого рода со стандартными оценками порядка сходимости к исходной кривой. Но вопрос о соотношении длин исходной и аппроксимирующих кривых остается вне рассмотрения. В статье А. И. Курносенко [10] обсуждаются плоские кривые с монотонным изменением кривизны или так называемые спиральные кривые. Здесь автор не ставит своей целью построение конкретного алгоритма аппроксимации, а строит оценку детерминированности данной кривой при некоторых ограничениях на выбор узлов интерполяции. Как и в статье [9], вопрос о длинах кривых здесь не обсуждается.

В отличие от этих работ, во второй главе мы рассматриваем задачу о приближении плоских кривых круговыми сплайнами в классической постановке, где качественно новым требованием выступает условие равенства длин исходной и аппроксимирующих кривых. Мы приводим конкретный алгоритм интерполяции и получаем в некотором смысле неулучшае-мые оценки погрешности. При этом наш метод пригоден как для замкнутых, так и незамкнутых кривых, а также допускает наличие самопересечений у исходной кривой.

В третьей главе, которая посвящена методам аппроксимации в теории функций, мы изучаем орторекурсивные разложения элементов гильбертова пространства по неортогональным системам. Это обобщение классических рядов Фурье, наследующее такие свойства как тождество Бесселя, неравенство Бесселя, эквивалентность равенства Парсеваля и сходимости разложения и др., было предложено Т. П. Лукашенко в работе [11]. В отличие от классического определения, здесь очередной коэффициент Фурье зависит от предыдущих, а сам процесс разложения строится рекурсивным образом.

При таком подходе существует две принципиально разные возможно.

2 Стоит заметить, что полученная комбинация уже не будет дугой окружности. сти: система разложения либо фиксируется, либо меняется во время разложения и зависит от результатов, полученных на предыдущих шагах. Первый случай представлен в работах В. В. Галатенко [12] и Т. П. Лукашенко, В. А. Садовничего [13]- а второй, к которому относятся так называемые &bdquo-жадные алгоритмы", исследуется в статьях В. В. Галатенко [14] и В. Н. Темлякова [15]. Стоит также отметить, что, возможно-, впервые рекурсивный процесс разложения был рассмотрен Б. С. Стечкиным и С.Б. Стеч-киным в работе [16].

При изучении орторекурсивных методов приближения .^-функций, интересной задачей представляется построение в Т^-пространстве системы разложения, порожденной сжатиями и сдвигами некоторой одной функции. Если основным требованием в этой задаче является ./^-сходимость ор-торекурсивного ряда Фурье к разлагаемому элементу, то дополнительным условием может выступать его равномерная сходимость в случае непрерывных функций. Опираясь на работу [13], в третьей главе мы описываем пример такой системы разложения, используя при этом некоторые вспомогательные факты из теории фреймов, отдельные из которых представляют самостоятельный интерес.

Понятие абстрактного фрейма в гильбертовом пространстве впервые появилось в 1952 году в работе Р. Даффина и А. Шеффера [17] при рассмотрении последовательностей, обладающих равномерной плотностью. В современной литературе многие авторы используют это понятие в основном в теории всплесков, основы которой можно найти в книгах [18], [19], и многочисленных приложениях. К последним можно отнести работу [20], где, в частности, рассматриваются алгоритмы восстановления сигналов при наличии шума, и книгу [21] по обработке сигналов.

Системы элементов, образующие фрейм, можно рассматривать как в гильбертовых пространствах (пространствах бесконечного числа измерений), так и в конечномерных, евклидовых или унитарных. В обоих случаях одной из главных задач является построение или конструктивное описание фреймов общего вида. В гильбертовых пространствах конструктивный подход в решении этого вопроса обеспечивает теорема, истоки которой можно отнести к результатам М. А. Наймарка [22], полученными еще до появления работы [17]. Согласно этой теореме, любой фрейм Парсеваля можно понимать как образ ортонормированного базиса при ортогональном проектировании на подпространство. Аналогичное описание произвольных фреймов, но с использованием базисов Рисса, можно найти в работе Б. С. Кашина и Т. Ю. Куликовой [23]. Если говорить о фреймах в конечномерных пространствах, то здесь можно отметить работы Е. С. Драбковой и С. Я. Новикова [24] и монографию О. Христенсена [25]. В первой из них представлены необходимые и достаточные условия для системы векторов, при которых она является фреймом, а также показано существование равномерных (состоящих из векторов одинаковой длины) фреймов Парсеваля произвольных объемов.

В третьей главе мы строим алгоритм дополнения произвольного базиса евклидова пространства до жесткого фрейма, приводим оценки на его объем и используем полученные результаты при описании указанной выше системы орторекурсивного разложения.

Резюмируя сказанное, перечислим основные задачи, составляющие цель настоящей работы:

• Изучить вопросы об изгибаемости ленты Мебиуса с плоской метрикой и о сохранении регулярности ее асимптотической параметризации при вариации направляющей.

• Изучить предельное поведение интегрального кручения замкнутых аналитических пространственных кривых при сжатии их к плоскости.

• Построить алгоритм приближения плоских кривых круговыми сплайнами, отвечающий требованию сохранения длины исходной кривой и пригодный как для замкнутых, так и незамкнутых кривыхполучить оценки погрешности аппроксимации.

• Описать способ дополнения произвольного базиса конечномерного евклидова пространства до жесткого фрейма и исследовать вопрос о его объеме.

• Построить в гильбертовом пространстве интегрируемых по Лебегу функций систему орторекурсивного разложения, порожденного сжатиями и сдвигами одной функции, для которой орторекурсивный ряд Фурье непрерывных функций сходится к разлагаемому элементу в равномерной метрике.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• Установлено, что стандартная лента Мебиуса допускает нетривиальное изгибание скольжения. Показано, что регулярность асимптотической параметризации плоской ленты Мебиуса не обладает устойчивостью при вариации направляющей.

• Введено понятие предельного интегрального кручения (ПИК) замкнутой аналитической кривой при сжатии ее к плоскости и доказано, что все возможные значения ПИК исчерпываются числами, кратными 7 Г. Найдены достаточные условия на кривую и плоскость сжатия, при которых ПИК отлично от нуля.

• Описан алгоритм приближения плоских С3 -гладких кривых круговыми сплайнами, отвечающий требованию сохранения длины исходной кривой, с качественно неулучшаемыми оценками погрешности аппроксимации.

• Получен алгоритм дополнения произвольного базиса евклидова пространства до жесткого фрейма и показано, что в случае общего положения объем такого фрейма превышает объем исходной системы векторов как минимум вдвое.

• Построена система орторекурсивного разложения, действующая в пространстве интегрируемых по Лебегу функций и порожденная сжатиями и сдвигами одной функции. Доказано, что в случае непрерывных функций орторекурсивный ряд Фурье сходится к разлагаемому элементу равномерно, и приведены оценки нормы остатка разложения в равномерной метрике.

Методы исследования. Поставленные задачи в настоящей диссертации в основном решаются методами классического математического анализа, линейной алгебры и дифференциальной геометрии, а некоторые идеи заимствованы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты могут быть использованы в исследованиях развертывающихся поверхностей, в теории кривых и ее приложениях в инженерных задачах, в теории конформных отображений, вычислительной геометрии и теории приближений функций.

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по геометрии в целом под руководством проф. И. Х. Сабитова (2007 — 2010) — на семинаре &bdquo-Ортоподобные системы" под руководством проф. Т. П. Лукашенко, доц. Т. В. Родионова, доц. В.В. Гала-тенко (2009) — на семинаре &bdquo-Актуальные проблемы геометрии и механики" под руководством проф. Д. В. Георгиевского, ст.н.с. М. В. Шамолина, проф. С. А. Агафонова (2008, 2009) — на семинаре &bdquo-Ортогональные ряды" под руководством член-корр. РАН B.C. Кашина и проф. С. В. Конягина (2009) — на научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительной математики под руководством проф. Г. М. Кобелькова (2009) — а также на 15-й Саратовской зимней школе (2010).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [32]-[34] (одна из них в соавторство).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

В первой главе изучаются ленты Мебиуса с плоской метрикой и некоторые сопряженные с ними свойства пространственных кривых. Следуя работе [2], введем следующее.

Определение. Поверхность S нулевой гауссовой кривизны, диффео-морфную прямоугольному листу Мебиуса D, назовем лентой Мебиуса с плоской метрикой или плоской лентой Мебиуса. При дополнительном условии изометричности S прямоугольнику D в целом, соответствующую ленту Мебиуса будем называть стандартной.

В аналитическом классе плоская лента Мебиуса представляет собой развертывающуюся поверхность, на которой естественным образом возникает так называемая асимптотическая параметризация. В большинстве исследований плоских лент Мебиуса в качестве направляющей используется замкнутая линия, при обходе вдоль которой нормаль к поверхности поворачивается на 180°. Такую линию мы будем называть петлей. Поскольку направляющая на линейчатой поверхности определяется неоднозначно, возникает вопрос об устойчивости регулярности асимптотической параметризации при вариации петли. Ответ на поставленный вопрос оказывается отрицательным, а именно, справедлива.

Теорема 1.1. Пусть на аналитической плоской ленте Мебиуса выбрана какая-то петля, нигде не касающаяся образующих. Тогда в сколь угодно малой ее окрестности можно построить новую направляющую, которая, будучи петлей, в некоторой точке касается образующей.

Одним из основных в метрической теории поверхностей является вопрос об изгибаемости/неизгибаемости рассматриваемой поверхности. В случае стандартной ленты Мебиуса мы доказываем ее изгибаемость, построив так называемое изгибание скольжения.

Определение. Пусть аналитическая стандартная лента Мебиуса S, отвечающая прямоугольному листу Мебиуса D,.

D = {(ад, v) G R2 |0 < и < L, -h < v < h}, задается аналитическим отображением F: D —> М3. Продолжим это отображение в полосу ад, v)? М2 | - оо < и < +оо, —h < v < h} с помощью равенства F (u + L, v) = F (u, —v), которое изначально соответствует склейке вертикальных границ D. Зафиксируем число е > 0 и определим отображение Fe: D —> S формулой F?(u, v) = F (u + e, v). Тогда композицию g? = F? о F~y: S —> S назовем деформацией скольжения ленты Мебиуса S.

Мы доказываем, что такая деформация является изометрией, при этом для некоторого £о > 0 соответствующая композиция дЕ () не порождается движением всего пространства IR3- откуда следует.

Теорема 1.2. Любая аналитическая стандартная лента Мебиуса допускает нетривиальное изгибание.

При изучении плоских лент Мебиуса, в некоторых случаях возникает необходимостьв установлении существования аналитической замкнутой кривой с заданным значением интегрального кручения (см. [2], [6]). В положительном смысле этот вопрос решается в работах [2] и [26], однако без достаточно подробного изложения. Используя идеи указанных работ, мы. ~~ приводим полное доказательство аналогичного утверждения, усилив его требованием отсутствия самопересечений у искомой кривой. Имеет место.

Теорема 1.3. Для любого числа >cq существует замкнутая аналитическая кривая без самопересечений с интегральным кручением xq.

Сам факт существования, установленный в теореме 1.3, большого интереса не представляет, однако схема доказательства заслуживает внимания. Так, в процессе доказательства, некоторая замкнутая кривая подвергается сжатию к плоскости, а ее интегральное кручение при этом стремится к нулю. Такое поведение интегрального кручения вполне ожидаемо, однако оно имеет место лишь в частных случаях. Чтобы описать общий случай, нам потребуется следующее.

Определение. Рассмотрим пространственную замкнутую аналитическую кривую f (i), t Е [0,Т], и некоторую плоскость П с нормалью ё. Определим семейство кривых {гд (£), Л Е [0,1]} формулой rx (t) = f{t) — (1 — Лt Е [0,Т], а через обозначим интегральное кручение кривой f (t). Тогда предельным интегральным кручением (ПИК) кривой f (t) при сжатии к плоскости П назовем величину lim щпь (А).

А—>0+0.

Мы доказываем, что все возможные значения предельного интегрального кручения образуют дискретное множество, а именно, справедлива.

Теорема 1.4. Предельное интегральное кручение замкнутой аналитической кривой при сжатии к любой плоскости кратно числу тг.

Интересной задачей представляется нахождение каких-либо достаточных условий, при которых предельное интегральное кручение отлично от нуля. Для ее решения нам потребуется предложенное в работе [2] разбиение всех замкнутых аналитических кривых на два непересекающихся класса.

Определение. Пусть г — замкнутая аналитическая кривая с подвижным аналитическим репером Френе {г, Г>, j3}. Касательный вектор т, в силу замкнутости кривой, всегда является периодической функцией, а векторы главной нормали и бинормали, 9 и /3, могут быть как периодическими, так и антипериодическими. В первом случае кривую f назовем ориентируемой, а во втором — полуориентируемой.

Чтобы добиться ненулевого предельного интегрального кручения, мы ограничимся полуориентируемыми кривыми, а также исключим некоторые плоскости сжатия.

Определение. Плоскость П с нормалью ё, |ё| = 1, назовем регулярной ио отношению к кривой f (?), i? [0,Т], если ни один из векторов {r (i), t G [0,Т]} не коллинеарен ё.

Достаточные условия, при которых предельное интегральное кручения отлично от нуля, обеспечивает.

Теорема 1.5. Предельное интегральное кручение замкнутой аналитической кривой при сжатии к регулярной плоскости кратно числу 7 г с четным коэффициентом пропорциональности, если кривая ориентируемая, и кратно тт с нечетным коэффициентом пропорциональности, если кривая полуориентируемая.

Во второй главе рассматриваются плоские С3-гладкие кривые и решается задача о приближении данной кривой дугами сопряженных окружностей, в которой основным требованием выступает равенство длин исходной и аппроксимирующей кривых. Мы считаем, что кривая задана своей С1-гладкой функцией кривизны k (s), зависящей от натурального параметра 5 Е [О, L], и тем самым определена с точностью до движения. Сначала мы решаем поставленную задачу в частном случае, ограничившись монотонными функциями кривизны или, что-то же самое, выбирая в качестве аппроксимируемой некоторую спиральную кривую.

Теорема 2.1. Пусть функция кривизны k (s) кривой j, зависящая от натурального параметра s € [0,L], непрерывна, положительна, монотонно строго возрастает и 0 < Jq k (s)ds < Тогда существует С1-гладкая аппроксимирующая кривая 7, имеющая такую же длину L и состоящая из дуг двух окружностей, причем а) концы 7 и касательные векторы в них совпадают соответственно с концами и касательными векторами исходной кривой 7- б) радиусы окружностей, дуги которых составляют 7, можно выбрать таким образом, чтобы они подчинялись условию.

1 т> 1 <г< Л<—, к2 «1 где к = /с (0), к2 = к (Ь).

Мы показываем, что теорема 2.1 остается верной и при к = 0, а также в случае монотонной функции кривизны произвольного знака. Поэтому, предположив, что данная кривая Г разбивается на сииральные участки и участки постоянной кривизны (среди которых содержатся дуги окружностей и отрезки прямых линий), мы можем построить для Г аппроксимацию в целом:

Теорема 2.2. Произвольная С3-гладкая кривая Г, допускающая разбиение на конечное число участков, на каждом из которых кривизна постоянна или представляет собой строго монотонную знакопостоянную функцию, может быть аппроксимирована в целом дугами сопряженных окружностей с сохранением длины на каоюдом из участков.

За счет условия б) теоремы 2.1 нетрудно получить оценки погрешности аппроксимации:

Теорема 2.3. Пусть на С2,-гладкой кривой Г выбраны точки Pi,., Рп так, что на каждом участке PiPi+1, г = 1. п — 1, кривизна постоянна или представляет собой строго монотонную знакопостоянную функцию. Если кривая Г — приближение Гпостроетюе в соответствии с теоремой 2.1, то в точках, отличных от узлов Pi,., Рп, для координатных функций Г «Г справедливы неравенства max |a>}(s) — ?(n)(s)| < С • max (sfc+1 — skf~n, n = 0,1, 2,.

0,L] k где С — некоторая абсолютная постоянная.

В третьей главе изучаются орторекурсивные методы разложения интегрируемых по Лебегу функций и смежные вопросы теории фреймов в конечномерных пространствах. В частности, нас интересуют жесткие фреймы, для которых мы используем следующее.

Определение. Пусть V — n-мерное евклидово пространство. Система ненулевых векторов Ф = {v^, k = 1. 1} из V образует жесткий фрейм, если существует положительное число Л такое, что для любого вектора v 6 V выполняется равенство.

Число Л при этом называется границей фрейма.

Из фрейма, как следует из определения, всегда можно выделить подсистему векторов, образующую базис пространства V. В связи с этим интересной представляется в некотором смысле обратная задача о дополнении данного базиса до жесткого фрейма. Ее решение мы формулируем в виде теоремы, конструктивное доказательство которой по своей сути является алгоритмом.

Теорема 3.1. Любой базис Ф = {(fk, k = 1 .п} конечномерного евклидова пространства V моэюно дополнить до жесткого фрейма с некоторой границей Л > 0, добавив к нему систему Ф = {фь, k = 1. п}, состоящую из такого же числа векторов.

Мы показываем, что увеличение объема системы как минимум вдвое, при дополнении данного базиса до фрейма, соответствует случаю общего положенияпри этом существуют примеры, в которых это дополнение состоит из единственного вектора. Полученные результаты мы используем при изучении орторекурсивных методов разложения элементов гильбертова пространства по неортогональным системам, предложенного в [13].

Определение. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство над полем действительных или комплексных чисел с выделенной системой 1 замкнутых подпространств {Нп}&trade-=1, Нп С Н. Зафиксируем в каждом подпространстве Нп жесткий фрейм Фп = { ?, к = 1. Кп}л с границей 1 и определим орторекурсивное разложение элемента / € Н следующим образом:

1) пусть нулевой остаток приближения г° = /;

2) если задан остаток приближения г" -1, то полагаем. кп к=1.

При этом числа называются орторекурсивными коэффициентами Фурье, а выражения вида оо кп n кп.

ЕЕ/м и sw = EE/M =.

71=1 fc= 1 П= 1 fc=l орторекурсивным рядом Фурье и его частичными суммами соответственно.

Далее мы работаем с гильбертовым пространством ^[0,1], в котором рассматриваются орторекурсивные разложения по вложенным подпространствам {У7*}^, порожденным сжатиями и сдвигами одной функции. В качестве порождающей выбирается функция g°? С[—1,1], образованная индикатором некоторого отрезка, называемого основным, который по краям дополняется двумя канторовыми лестницами — восходящей и нисходящей. При этом длина оснований канторовых лестниц может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с длиной основного промежутка, поэтому порождающую функцию можно понимать как непрерывное продолжение индикатора.

Мы показываем, что д° раскладывается в линейную комбинацию четырех своих сжатий и сдвигов, и на этой основе строим в Z/2[0,1] цепочку {Уп}^1(выбирая в качестве базиса подпространства Vn сдвиги функции д°, сжатой в Зп раз. Указанный базис, согласно теореме 3.1, дополняется до жесткого фрейма с границей 1, поэтому мы вправе рассмотреть орторекурсивное разложение элементов / Е ^[0,1] по системе {V71}^. Здесь,.

З3десь кп может быть конечным числом или оо. помимо сходимости орторекурсивного ряда Фурье к разлагаемому элементу по норме ?2(0,1], справедлива также.

Теорема 3.2. Для любой функции f G Ci[0,1] = {/ G С[0,1] | /(0) = /(1)} ее орторекурсивный ряд Фурье по цепочке подпространств сходится к f равномерно.

При доказательстве теоремы 3.2 мы получаем оценку для С-нормы остатка разложения вида rn\c[o, i].

Автор выражает искреннюю и глубокую благодарность своим научным руководителям профессору Иджаду Хаковичу Сабитову и профессору Тарасу Павловичу Лукашенко за постановку задач, многочисленные консультации, полезные замечания и постоянный интерес к работе.

1. Mashke Н. Note on the unilateral surface of Moebius // Trans. Amer. Math. Soc., 1900, 1:1, 39.

2. Сабитов И. Х. Изометрические погружения и вложения плоского листа Мебиуса в евклидовы пространства // Изв. РАН, сер. мат., 2007, т. 71, № 5, с. 197−224.

3. Schwarz G. A pretender to the title «Canonical Moebius strip» // Pacific J. Math. Soc., 1990, 143:1, p. 195−200.

4. Wunderlich W. Uber ein abwickelbares Mobiusband // Monatsh. Math., 1962, 66:3, p. 276−289.

5. Chicone C., Kalton N.J. Flat Embeddings of the M5bius Strip in M3 (preprint) // Department of Mathematics, University of Missouri, Columbia, 1984.

6. Chicone C., Kalton N.J. Flat Embeddings of the Mobius Strip in M3 // Comm. Appl. Nonlinear Anal., 2002, 9:2, p. 31−50.

7. Randrup Т., Rogen P. Sides of the Mobius strip // Arch. Math. (Basel), 1996, 66:6, p. 511−521.

8. Сабитов И. Х. Локально-евклидовые метрики с данной геодезической кривизной края // Труды Математического института им. Стеклова, 2009, т. 266, с. 218−226.

9. Леус В. А. Гладкая окружностиая интерполяция кривых // Вычислительные системы, 1970, № 38, с. 102−127.

10. Курносенко А. И. Интерполяционные свойства плоских спиральных кривых // Фундаментальная и прикладная математика, 2001, т.7, № 2, с. 441−463.

11. Лукашенко Т. П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вести. МГУ, сер. 1, 2001, № 1, с. 6−10.

12. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций с ошибками при вычислении коэффициентов // Мат. сборник, 2004, т. 195, № 7, с. 21 36.

13. Лукашенко Т. П., Садовничий В. А. О рекурсивных разложениях по цепочке систем // Доклады АН, 2009, т. 425, № 6, с. 1−6.

14. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций // Изв. РАН, сер. мат., 2002, т. 66, № 1, с. 59 70.

15. Temlyakov V.N. Weak greedy algorithms // Adv. in Сотр. Math., 2000, v. 12, № 2−3, p. 193 208.

16. Стечкин B.C., Стечкин С. В. Среднее квадратическое и среднее арифметическое // Докл. АН СССР, 1961, т. 137, № 2, с. 287 290.

17. Duffin R.J., Schaeffer А.С. A class of nonharmonic Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc., 1952, 72, p. 341−366.

18. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ &bdquo-Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

19. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

20. Goyal V.K., Kovacevich J., Kelner J.A. Quantized Frame Expansions with Erasures // Appl. Сотр. Harm. Anal., 2001, v. 10, № 3, p. 203−233.

21. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: МИР, 2005.

22. Наймарк М. А. Спектральные функции симметрического оператора // Изв. АН СССР, 1940, т. 4, № 3, с. 277−318.

23. Кашин B.C., Куликова Т. Ю. Замечание об описании фреймов общего вида // Мат. заметки, 2002, т. 72, вып. 6, с. 941−945.

24. Драбкова Е. С., Новиков С. Я. Объем фрейма Парссваля // Вестник СамГУ, Естественнонаучная серия, 2007, № 9/1(59), с. 91−106.

25. Christensen О. Introduction to Frames and Riesz Bases. Boston: Birkhauser, 2002.

26. Hsiung C.-C. A first course in differential geometry. New York: Wiley, 1981.

27. Выгодский М. Я. Дифференциальная геометрия. M.: ГИТТЛ, 1949.

28. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. Москва-Ленинград: ОГИЗ, 1948.

29. Истомина М. Н., Певный А. Б. О расположении точек на сфере и фрейме Мерседес-Бенц // Математическое просвещение, сер. 1, 2007, вып. 11, с. 105−112.

30. Беллман Р.

Введение

в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

31. Освальд П. О норме в С ортопроекторов на подпространства ломаных // Мат. заметки, 1977, т. 21, № 4, с. 495−502.

32. Словеснов А. В. Ленты Мебиуса с плоской метрикой // Вестн. Моск. Ун-та, сер. 1, 2009, № 5, с. 7−10.

33. Сабитов И. Х. Словеснов А. В. Приближения плоских кривых круговыми дугами // Журнал выч. мат. и мат. физ., 2010, т. 50, № 8, с. 1347−1356.

34. Словеснов А. В. Рекурсивные разложения по цепочке подпространств // Фундаментальная и прикладная математика, 2010, т. 16, № 3, с. 197−215.

35. Словеснов А. В. Рекурсивное разложение по цепочке подпространств. Материалы 15-ой Саратовской зимней школы, 2010, Саратов: изд-во Саратовского университета, с. 162−163.