Для решения задач с переменными границами, задач оптимального проектирования приходится применять приближенные методы. Переменная граница приводит к значительным трудностям. При использовании методов, связанных с дискретизацией области, например метода конечных элементов, возникает необходимость перестраивать разбиэние области, что, во — первых, приводит к увеличению времени вычислений и, во — вторых, может нарушить регулярность триангуляции. Аппроксимация решения при помощи. методов, связанных с переходом к граничным интегральным уравнениям (методы граничных элементов), оказывается так же недостаточно эффективной в связи с тем, что для нахождения значения приближенного решения в каждой точке области необходимо вычислять интегралы типа потенциала. Это обстоятельство существенно и при вычислении интегральных характеристик приближенного решения, например потенциальной энергии, когда значение подынтегральной функции и ее производных выражается через интегралы по границе области. Кроме того, в оптимальном проектировании возникают задачи, гладкость данных которых не допускает слабой (обобщенной) постановки задачи и, следовательно, не позволяет применять вариационные и вариационно-разностные методы, основанные на этих постановках.
Л.В. Петухов предложил разработать метод (в применении к задачам оптимального проектирования) аппроксимации решения граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений и систем, основанный на разложении приближенного решения в конечный ряд по функциям, тождественно удовлетворяющим однородному дифференциальному уравнению. При таком подходе приближенное решение удовлетворяет уравнению в области, а коэффициенты разложения находятся из аппроксимации граничных условий. Редукция на границу области существенно облегчает решение задач с изменяющейся границе^ В качестве базисных функций могут быть выбраны полиномы, тождественно удовлетворяющие однородному дифференциальному уравнению, что так же упрощает численную реализацию метода и, позволяет просто вычислить приближенное решение и значения функционалов на нем сразу для всей области. Центральным вопросом та/ кого метода, как и любого приближенного метода, является построение базисных функций и способа аппроксимации (в данном случае граничных условий), обеспечивающих сходимость и вычислительную устойчивость метода.
Вопрос построения полиномиальных решений эллиптических дифференциальных уравнений на примере уравнения Лапласа изучался математиками еще в прошлом веке. Альманси Е. в 1899 г. доказал возможность однозначного представления решения многомерного / полигармонического уравнения через гармонические функции. Первоначально построение полигармонических полиномов осуществлялось при помощи формулы Альманси, где в качестве гармонических полиномов трех переменных выбирались хорошо известные шаровые функции. Свойства шаровых функций подробно исследованы в работах Виленкина Н. Я. [27] и Гобсона Е. [28]. Затем осуществлялось преобразование шаровых функций к декартовым координатам (см. работу Барнеп-та М.П. и Отиса А. Б. [49]). Однако, оказалось, что при переходе к декартовым координатам получающиеся полиномы не обладают достаточно простыми свойствами, в частности имеют большой разброс значений коэффициентов. Обобщение шаровых функций на случай многих переменных приведено в книге [19]. Теодореску П. П. предложил [64] алгоритм непосредственного построения системы линейно независимых гармонических полиномов от трех переменных, который I оказался эффективнее преобразования шаровых функций к декартовым координатам. Построение бигармонических полиномов от двух переменных и их изучение проведено в книге Цвайлинга К. [67].
Большое развитие вопрос о построении полиномиальных решений дифференциальных уравнений получил в работах Бондарен-ко Б.А. [23−25]. Бондаренко Б. А. предложил операторный алгоритм постррения полиномиальных решений и нашел полиномиальные баI зисные системы многих практически важных дифференциальных уравнений. Доказано, что построенные системы являются линейно независимыми и базисными в классе всех полиномиальных решений однородных дифференциальных уравнений, т. е. любое полином, тождественно удовлетворяющий дифференциальному уравнению, является линейной комбинацией построенных полиномов. Кроме того, установлено, что для большинства из рассмотренных дифференциальных уравнений построенные системы полны в классе аналитических решений уравнения в смысле равномерного приближения по области. Вид получающихся полиномов допускает их простую алгоритмизацию. В работах Бондаренко Б. А. получены формулы дифференцирования и неопределенного интегрирования полиномиальных решений.
Вопрос о приближении решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами полиномиальными решениями этого же уравнения подробно исследован Мальгранжем Б. [38], Хёрмандером Л. [65].
Отметим, что приближенное решение граничных задач можно разыскивать в виде конечного ряда по неполиномиальным решениям однородного дифференциального уравнения. Например, в работах Купра^дзе В.Д. и Алексидзе М. А. [32], [33] на основе фундаментальных решений построены системы базисных функций для аппроксимации граничных задач для уравнения Лапласа и теории упругости. Выбирается некоторая кривая, охватывающая границу области и отстоящая от нее на конечное расстояние (для многосвязных областей— соответствующее число вспомогательных кривых). На этих кривых берется всюду плотное множество точек, т. е. такое множество, чтобы сколь угодно малый участок кривой содержал по крайней мере одну точку. В качестве фундаментальных решений выбирается ядро интегрального представления решения граничной задачи, вычисленное в этих точках. Доказано, что при определенных условиях система фундаментальных решений будет линейно независимой и полной. Для большого числа уравнений фундаментальные решения приведены в книге Алексидзе М. А. [1].
Таким образом, построение решений однородных дифференциальных уравнений хорошо изучено. Вопрос о способе аппроксимации граничных условий при разложении решения граничной задачи по функциям, тождественно удовлетворяющим однородному дифференциальному уравнению, для различных частных случаев решался многими авторами. В работах Михлина С. Г. [40], [41], [45] разработан метод наименьших квадратов для аппроксимации плоских задач Дирихле, Неймана и смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа, задач плоской теории упругости. Суть предлагаемого подхода состоит в представлении приближенного решения в виде конечного ряда по полиномам от двух переменных, построенных при помощи комплексного представления решения, и приближении граничных условий в среднеквадратичном по границе области. При доказательстве сходимости приближенного решения к точному существенно используется введение функции комплексного переменного и теорема Уолша о возможности приближения комплексной аналитической функции полиномом комплексного переменного. Доказывается равномерная сходимость приближенного решения к точному внутри области. В [40] для случая уравнения Лапласа отмечено, что повышение порядка аппроксимации на границе (аппроксимация в среднеквадратичном вместе с некоторым числом производных) влечет равномерную вместе с производными сходимость по замкнутой области. Метод обобщается на вышеперечисленные задачи в двухмерных многосвязных областях. В [41] доказано, что в случае задачи Дирихле для уравнения Лапласа в одно-связных и многосвязных областях с достаточно гладкой границей метод наименьших квадратов будет вычислительно устойчивым.
В работе Алексидзе М. А. [2] приближенное решение граничных задач представляется в виде конечного ряда по фундаментальным решениям, коэффициенты которого так же находятся из удовлетворения граничным условиям в среднеквадратичном. Равномерная сходимость внутри области устанавливается в предположении, что для решения задачи существует интегральное представление с ограниченными в среднеквадратичном по границе ядрами (ядрами интегрального представления являются, для соответствующих задач, функция Грина, матрица Сомилиана и т. п.). Разность приближенного и точного решений оценивается при помощи неравенства Коши-Буняковского.
Метод наименьших квадратов на границе для аппроксимации так называемого очень слабого решения двухмерной первой граничной задачи для бигармонического уравнения в односвязной области разработан в статье Ректориса К. и Заградника В. [55] и обобщен на случай многосвязных областей в работе Ректориса К. с соавторами [54]. Метод основан на определении очень слабого решения задачи, приведенном в книге Нечаса И. [47], (т.е. решения граничной задачи, данные которой не удовлетворяют условиям существования слабого решения) при помощи построения последовательности слабых решений граничных задач, следы которых образуют плотное множество в декартовом произведении пространств исходной задачи функций, заданных на границе области. Предел последовательности (доказывается что он существует и единственен) называется очень слабым решением. Основная идея состоит в представлении приближенного решения в виде конечного ряда по системе бигармонических полиномов (в случае односвязной области) и нахождении коэффициентов разложения из условия наименьших квадратов на границе по норме вышеупомянутого декартового произведения. Отметим, что для доказательства сходимости используется известное представление Гурса бигармонической функции двух переменных через аналитические функции комплексного переменного. Сходимость внутри области следует из известной оценки для разности приближенного и точного решений с учетом линейности задачи и того факта, что приближенное решение тождественно удовлетворяет уравнению в области.
Непосредственно на разложении решения по функциям, тождественно удовлетворяющим дифференциальному уравнению, основан и метод Трефтца1. Сам Е. Трефтц предложил свой метод в 1926 г. для аппроксимации решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа без доказательства сходимости. В работе Михлина С. Г. [40] дано обоснование метода Трефтца для этой задачи, получены достаточные условия сходимости. Для сходимости метода Трефтца достаточна полнота системы базисных функций в следующем смысле: любую гармоническую и квадратично суммируемую вместе с первыми производными в области функцию можно с любой^ степенью точности приблизить базисными функциями в смысле среднеквадратичного по первым производным. Общий подход к построению метода Трефца основан на построении некоторого функционала, областью определения которого.
1 В технической литературе, как правило, любой метод аппроксимации решения граничных задач, связанный с разложением приближенного решения по точным решениям дифференциального уравнения, называется методом Трефтца. являются решения дифференциального уравнения. Причем функционал строится так, чтобы он достигал минимума на решении граничной задачи. Построение функционала осуществляется при помощи так называемой обратной постановки граничных задач (например дифференциальное уравнение второго порядка домножается на пробную функцию и два раза интегрируется с учетом формул Грина). Сходимость внутри области приближенного по методу Трефтца решения к точному вместе с производными устанавливается посредством оценки интегрального представления решения при помощи неравенства Ко-ши-Буняковского. Для сходимости приближенного решения к точному необходимо, чтобы средние значения по границе приближенного и точного решений равнялись нулю. В работах Бирмана М. Ш. [20−22] построены функционалы метода Трефтца для граничных задач для уравнения Пуассона и бигармонического уравнения.
В статьях Рафальсона З. Х. [51], [52] разработан метод для аппроксимации первой граничной задачи для бигармонического уравнения, схожий с методом Трефтца. Метод основан на разложении пространства интегрируемых с квадратом по области функций в прямую сумму подпространства гармонических функций и подпространства, т. наз., негармонических остатков. В подпространстве гармонических функций выбирается полная система. С помощью этой системы находится лапласиан от искомого решения бигармонической задачи. Само решение восстанавливается при помощи выражения для объемного потенциала.
Отметим, что во всех вышеперечисленных методах способ аппроксимации граничных условий фиксирован—он не зависит ни от гладкости границы, ни от гладкости заданных на границе функций. Кроме того, как правило, устанавливается сходимость приближенного решения к точному лишь внутри области, т. е. в любой строго внутренней замкнутой подобласти. Сходимость по энергетической норме остается под вопросом, что затрудняет применение методов в задачах, где требуется минимизировать потенциальную энергию, или функционал от решения по всей области. Недостаточно изучена вычислительная устойчивость методов, что усложняет практическую реализацию.
В диссертации предложен следующий подход. Граничная задала для неоднородного дифференциального уравнения с неоднородными граничными условиями сводится (при помощи нахождения частного решения дифференциального уравнения) к граничной задаче для однородного дифференциального уравнения с соответствующим образом измененными граничными условиями. Записывается слабая постановка граничной задачи. Приближенное решение разыскивается в виде конечного ряда по функциям, тождественно удовлетворяющим однородному дифференциальному уравнению. Разность слабого и приближенного решений является (в силу линейности) слабым решением новой граничной задачи для однородного дифференциального уравнения. Коэффициенты разложения находятся из условия минимума правой части оценки слабого решения полученной граничной задачи. Оценка состоит из суммы квадратов норм (в функциональных пространствах по границе) разности заданных на границе функций и результатов действия граничных операторов на приближенное решение. Минимизируемый функционал является функционалом типа наименьших квадратов на границе. Условие его минимума приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно вектора искомых коэффициентов разложения.
Отметим причины, обусловившие выбор такого подхода. Теория граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений является хорошо разработанной и, в определенном смысле, замкнутой. Оказалось, что для эффективного описания решения граничных задач и построения прямых1 приближенных методов для аппроксимации их решения недостаточно понятия классического решения граничной задачи. Первой попыткой обобщения классического решения является принцип Дирихле для уравнения Лапласа, который через довольно продолжительное время получил развитие в работах Гильберта и Ритца. Подход, связанный с обобщенными постановками граничных задач, основанными на теореме о минимуме функционала энергии, исследовался в многими учеными. Большой вклад в изучение этого вопроса внесли Ладыженская O.A., Михлин С. Г., Соболев С. Л., Ураль-цева H.H., см. работы [35], [36], [40], [61].
Дальнейшим развитием обобщен-зго решения явилось понятие слабого решения, слабой постановки граничных задач. Теория слабого решения, основанная на теореме Лакса — Мильграма, получила развитие в работах Агмона, Браудера, Лионез Ладыженской, Нечаса, Фике-ра и многих других (Подробная библисгсафия приведена в [36], [47],). Получены условия существования и еди-ственности слабого решения, установлены свойства слабого решение в зависимости от гладкости данных граничной задачи, детальный анализ проведен с помощью теорем о вложениях и теорем о следах и получены соответствующие оценки слабого решения. Слабое решение граничной задачи имеет вполне определенный физический смысл. Так например, слабая постановка задач теории упругости оснс = зна на принципе виртуальных перемещений и, по-существу, является исходной постановкой, из которой уже получаются уравнения Ламе.
Разработанный в диссертации подход позволяет строить граничные аналоги метода наименьших <задратов для аппроксимации.
1 Прямые методы — приближенные методы (пс определению С. Л. Соболева [62]), которые сводят решение этих задач к конечном системам линейных алгебраических уравнений. слабого решения с учетом гладкости границы области и заданных на границе функций. Таким образом, можно сказать о том, что в диссертации построена шкала граничных аналогов метода наименьших квадратов в зависимости от гладкости данных задачи. Сходимость приближенного решения к точному устанавливается именно в том функциональном пространстве, которому принадлежит само слабое решение граничной задачи, откуда, в частности, следует сходимость по энергетической норме. Тип сходимости внутри области легко устанавливается при помощи локальных оценок слабого решения. Оказалось, что для сходимости граничного аналога метода наименьших квадратов достаточно, чтобы любое решение однородного дифференциального уравнения можно было приблизить с любой степенью точности линейной комбинацией базисных функций в среднеквадратичном по некоторой области, содержащей исходную. Этому условию, в частности, удовлетворяют полиномиальные базисные функции, построенные в [23−25].
Однозначная разрешимость получающейся системы линейных алгебраических уравнений является следствием линейной независимости системы базисных функций и единственности слабого решения граничной задачи. Матрица системы линейных алгебраических уравнений является матрицей Грама базисных функций в соответствующим образом определенных гильбертовых пространствах на границе. Отметим, что, как правило, система базисных функций является неортогональной (более того, даже если система базисных функций ортогональна во введенных гильбертовых пространствах на границе, то при изменении границы ортогональность нарушается), поэтому матрица системы линейных алгебраических уравнений является полностью заполненной. Следовательно, особую актуальность приобретает вопрос вычислительной устойчивости.
При исследовании вычислительной устойчивости используется тот факт, что граничный аналог метода наименьших квадратов является методом Ритца, примененным к соответствующим образом построенному функционалу на границе области. Это обстоятельство позволяет применить подход, связанный с изучением устойчивости метода Ритца, получивший развитие в работах [41−43]. Вычислительная устойчивость граничного аналога метода наименьших квадратов естественным образом вытекает из устойчивости слабого решения по отношению к граничным условиям. Причем получены простые с вычислительной точки зрения достаточные условия вычислительной устойчивости, особенно эффективные при решении граничных задач с изменяющейся границей.
В диссертации показано, что на основе «приближенной факторизации» матрицы системы граничного аналога метода наименьших квадратов может быть построен граничный аналог метода коллокации, обладающий хорошими вычислительными свойствами.
Приведем качественное сравнение предлагаемого метода с существующими методами аппроксимации решения граничных задач, выявим достоинства и недостатки предлагаемого метода и определим классы задач, для аппроксимации решения которых он является наиболее эффективным. В отличие от метода конечных элементов и конечно-разностного метода, граничный аналог метода наименьших квадратов не требует дискретизации области. Это обстоятельство, во-первых, облегчает алгоритмизацию метода (особенно для многомерных областей и областей сложной формы) и, во-вторых, дает преимущества при аппроксимации решения задач с переменной границей (т.к. при каждом изменении границы не требуется перестраивать сетку). Кроме того, для задач с переменной границей особенно эффективны достаточные условия вычислительной устойчивости метода, полученные в главе 3. Отметим, что при нахождении более точного решения (при увеличении числа базисных функций) часть элементов матрицы и вектора правой части системы линейных алгебраических уравнений оказывается вычисленной. Например, при увеличении вдвое числа глобальных базисных функций, ¼ часть матрицы и ½ часть вектора правой части уже найдены при предыдущей аппроксимации и остается вычислить ¾ элементов новой матрицы и ½ вектора правой части.
Приближенное по граничному аналогу метода наименьших квадратов решение сходится по норме в ]//2к{0.) к точному, а внутри области по всем производным (здесь к—половина порядка эллиптического дифференциального оператора). Метод конечных элементов обеспечивает сходимость по производным, не превосходящим порядок аппроксимации, т. к. производные более высоких порядков от базисных функций на конечных элементах будут равны нулю.
Особый интерес представляет сравнение предлагаемого метода с методом граничных элементов и методом Трефтца. Метод граничных элементов основан на переходе к граничным интегральным уравнениям с последующей аппроксимацией их решения. Нахождение значения приближенного решения в каждой точке области связано с вычислением некоторых интегралов типа потенциала. Таким образом, нахождение приближенного решения во всей области связано с большим объемом вычислений. Граничный аналог метода наименьших квадратов основан на разложении приближенного решения в конечный ряд по системе глобальных базисных функций. Соответствующим образом аппроксимируя граничные условия получаем значения коэффициентов разложения и явный вид приближенного решения для всей области.
Наиболее близко предлагаемый метод связан с методом Трефтца. Метод Трефтца строится при помощи так называемых обратных формулировок граничных задач и не дает возможности адаптации способа аппроксимации граничных условий к гладкости исходных данных задачи. Отметим, что даже на примере задачи Дирихле для уравнения Лапласа легко убедиться в том, что эти два метода отличаются друг от друга и приводят к различным системам линейных алгебраических уравнений, причем, в отличие от граничного аналога метода наименьших квадратов, метод Трефтца приводит к системе линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, что затрудняет исследование его вычислительной устойчивости. Вычислительная устойчивость граничного аналога метода наименьших квадратов получается естественным образом из свойства устойчивости слабого решения по отношению к данным задачи.
Выбор базисных функций является важнейшим аспектом любого численного метода. Использование в качестве глобальных базисных функций полиномиальных решений однородных дифференциальных уравнений позволяет существенно упростить реализацию граничного аналога метода наименьших квадратов во многих случаях. Для случая кусочно-полиномиального задания границы возможно вычислить элементы матрицы системы линейных алгебраических уравнений (скалярные произведения базисных функций в соответствующих гильбертовых пространствах на границе) в конечном виде. Причем, вычисления можно произвести для общего случая. Это позволяет уменьшить промежуточные погрешности, повысить точность метода и сократить время вычислений.
Отметим, что основным недостатком предлагаемого метода является, по-видимому, то, что область его применения ограничена граничными задачами для уравнений с постоянными коэффициентами, так как для таких задач возможно построение глобальных базисных функций, удовлетворяющих условиям сходимости.
Учитывая вышеизложенное, можно определить область применения предлагаемого метода, в которой он дает преимущества по сравнению с существующими методами. Это граничные задачи для эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в областях со сложной формой границы, в многомерных областях, задачи с переменной границей, задачи оптимального проектирования, задачи, требующие сходимости в области по производным высоких порядков и нахождения решения (и его производных) во всей области. Так же предлагаемый метод применим и в случае, когда гладкость данных задачи не позволяет записать вариационную постановку задачи и применить вариационные (вариационно-разностные методы). Некоторые такие случаи рассмотрены в первой главе.
Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на параграфы, и заключения.
Заключение
.
Диссертация посвящена разработке эффективных прямых методов для аппроксимации решения граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений с переменной границей (задач оптимального проектирования). Во введении к диссертации обсуждаются недостатки существующих методов при аппроксимации решения таких задач и отмечается преимущество методов, основанных на представлении приближенного решения в виде конечного ряда по системе базисных функций, которые удовлетворяют однородному уравнению в области.
Для нахождения коэффициентов разложения построена шкала граничного аналога метода наименьших квадратов. Под шкалой понимается адаптация способа построения граничного аналога метода наименьших квадратов к гладкости данных задачи (границе и заданным на границе функциям). Получены простые достаточные условия сходимости. Указанный подход, также, дает возможность выбора способа построения аппроксимации в соответствии с требуемым типом сходимости в области. Это обстоятельство позволяет применять метод в задачах, где требуется вычисление некоторого функционала от приближенного решения по всей области, зависящего от производных приближенного решения. Отметим, что в большинстве случаев сходимость приближенного решения к точному имеет место и по энергетической норме оператора граничной задачи.
В связи с неортогональностью базисных функций особую важность приобретает исследование вычислительная устойчивости. Получены простые, с вычислительной точки зрения, достаточные условия вычислительной устойчивости, особенно эффективные при аппроксимации решения задач с переменными границами. Вычислительная устойчивость позволяет получить хорошую аппроксимацию решения. Численные эксперименты, проведенные для ряда задач теории упругости, позволяют сделать вывод о хороших вычислительных характеристиках метода (сходимость и обусловленность матрицы системы линейных алгебраических уравнений).
Предложен способ построения граничного аналога метода коллокации для нахождения коэффициентов разложения приближенного решения, получающийся некоторым естественным образом из построенных граничных аналогов метода наименьших квадратов.
Выбор базисных функций является важнейшим аспектом любого численного метода. Использование в качестве глобальных базисных функций полиномиальных решений однородных дифференциальных уравнений позволяет существенно упростить реализацию граничного аналога метода наименьших квадратов во многих случаях. Для случая кусочно — полиномиального задания границы возможно вычислить элементы матрицы системы линейных алгебраических уравнений (скалярные произведения базисных функций в соответствующих гильбертовых пространствах на границе) в конечном виде. Причем вычисления можно произвести для общего случая. Это позволяет уменьшить промежуточные погрешности, повысить точность метода и сократить время вычислений.
Вопросы скорости сходимости метода и обусловленности матрицы получающейся системы линейных алгебраических уравнений изучались при помощи численных экспериментов для некоторых модельных задач теории упругости и оптимального проектирования, которые показали, что предлагаемый метод обладает хорошими вычислительными свойствами.
В диссертации выявлены достоинства и недостатки предлагаемого подхода и проведено качественное сравнение с существующими методами в приложении к задачам с переменной границей.
