Теорема 3.
2. Если система {φi}, где φi — многочлен точной степени i, ортогонален на [a, b] относительно неотрицательного веса w (x), то φn имеет ровно n различных вещественных нулей в [a, b], для каждого n ≥ 0.Доказательство. (Например, Snyder, 1966, стр.
7). Предположим, что φn имеет меньше n вещественных нулей или что некоторые из его нулей совпадают. Тогда в [a, b] есть m точек t1, t2, …, tm, где 0 ≤ m <n, где φn (x) меняет знак. Пусть.
Тогда Πm является многочленом степени m <n и поэтому должен быть ортогонален φn. Нотак как это подынтегральное выражение w (x)Πm (x) φn (x) должно иметь один и тот же знак на всем протяжении интервала (за исключением m точек, где он обращается в нуль). Таким образом, получено противоречие. ••Так как интерполяция выборочно измеряет значения функции только в дискретном множестве точек, обычно требуется, чтобы функция находилась в C [a, b] (т. Е. Была непрерывной), даже если мы хотим измерить добротность приближение в более слабой норме, такой как L2. Некоторые основные факты полиномиальной интерполяции даются следующими леммами. Лемма 3.
3. Многочлен степени n, интерполирующий непрерывную функцию f (x) в n + 1 различных точках x1,., ,, xn + 1 можно записать в видегдеli (x) — обычные полиномы Лагранжа.
В частном случае многочленов Чебышева первого рода лемма дает следующий конкретный результат. Следствие 6.4A. Для полиномиальной интерполяции в нулях полинома Чебышева Tn + 1(x) полиномы Лагранжаили3.
1.3. Интерполяционные формулы Чебышева.
Как было показано выше полиномы Чебышева {Ti (x)} степеней до n ортогональны в дискретном смысле на множестве (3.3) нулей {xk} из Tn + 1 (x). Конкретно.
Это свойство дискретной ортогональности приводит к очень эффективной интерполяционной формуле. Запишем многочлен n-й степени pn (x), интерполируя f (x) в точках (3.3), в виде суммы полиномов Чебышева в виде.
Таким образом, интерполяция Чебышева имеет тот же эффект, что и частичная сумма приближенного расширения рядов Чебышева, полученная путем аппроксимации интегралов по коэффициентам точного расширения путем изменения независимой переменной от x до θ и применения правила трапеции — таким образом, эффективно заменяя преобразования Фурье cSi дискретными преобразованиями Фурье ci. Для практических математиков и инженеров хорошо известно, что дискретное преобразование Фурье является очень хорошей заменой непрерывному преобразованию Фурье для периодических функций, и поэтому это означает, что интерполяция Чебышева должна быть очень хорошей заменой (усеченного) расширения Чебышева.
3.2. Исследование операции умножения рядов в пространстве коэффициентов разложения по полиномам Чебышёва.
Многочлены Чебышева и некоторые их фундаментальные свойства играют важную роль в двух ключевых методах численного интегрирования.
• Гауссова квадратурная оценка интеграла путем объединения значений подынтегральной функции в нулях ортогональных многочленов. Рассматривается частный случай квадратуры Гаусса-Чебышева, где особенно простые процедуры следуют для соответственно взвешенных подынтегральных выражений.
• Можно приблизительно интегрировать функцию, разложив ее в ряд, а затем интегрируя частичную сумму ряда. Показано, что для чебышевских разложений этот процесс — по существу метод Кленшоу-Кертиса (Clenshaw-Curtis) — легко анализируется и снова обеспечивает естественную процедуру для правильно взвешенных подынтегральных функций. Многочлены Чебышева и некоторые их фундаментальные свойства играют важную роль в одном из ключевых методах численного интегрирования. Можно приблизительно интегрировать функцию, разложив ее в ряд, а затем интегрируя частичную сумму ряда. Для чебышевских разложений этот процесс — по существу метод Кленшоу-Кертиса — легко анализируется и снова обеспечивает естественную процедуру для правильно взвешенных подынтегральных функций. Если мы хотим аппроксимировать неопределенный интеграл, где -1 <X ≤ 1, можно сделать это, аппроксимируя f (x) на [-1, 1] полином n-й степени fn (x) и интегрируя w (x) fn (x) между -1 и X, получая аппроксимацию. (3.11)Предположим, в частности, что вес w (x) является одной из двух функций, 1 (3.12)и возьмем fn (x) как частичную сумму разложения f (x) в полиномах Чебышева соответствующего одного из двух видов Pk (x) = Tk (x), Uk (x). (8.13)Тогда мы можем использовать тот факт, что (исключая случай, когда Pk (x) = Tk (x) сk = 0) гдеQk (X) = Uk-1 (X), Tk + 1 (X), (3.14a)а такжесоответственно. (Заметим, что Ck (-1) = 0 в первом случае.) Этосразу следует из того, что если х = соsθ, то имеем.
В исключенном случае используетсядля Таким образом, для каждой весовой функции (3.2) можно интегрироватьвзвешенный полином и получить аппроксимацию hn (X) явно. Предполагается чтоили Тогда в первом случае.
Коэффициенты ak в (3.5) считались точно равными соответствующим коэффициентам Чебышева. На практике чаще всего их приближают соответствующими коэффициентами в интерполяционном многочлене Чебышева — эффективно оценивая интеграл, определяющий ak, тогда в первом случае е правило трапеции. В некоторых случаях может потребоваться более точное вычисление чебышевских коэффициентов. Указанный выше метод эквивалентен методам, хорошо известным в литературе. Для первого выбора (Pk = Tk) метод относится к методу Кленшоу и Кертиса (Clenshaw &Curtis), а для второго выбора (Pk = Uk) принадлежит Филиппи (Filippi). 3.
2.3 Квадратурный метод Clenshaw-CurtisКвадратурный метод Гаусса-Чебышева основан на непрерывных свойствах ортогональности многочленов Чебышева. Однако полиномы также обладают дискретными свойствами ортогональности, и именно этот вид свойства использовался в первоначальном квадратурном методе Кленшоу и Кертиса (Clenshaw-Curtis). Их метод был разработан многими авторами (Piessens & Branders 1983, Adam 1987, Adam & Nobile 1991); особенно удачное представление дается Sloan & Smith (1978), которые предоставляют версию, основанную на общей весовой функции, вместе с вычислением оценок ошибок. Изложение здесь основано на формулировках и методах Sloan & Smith, которые можно распространить на полиномы Чебышева. Основная идея состоит в том, чтобы заменить подынтегральное выражение на интерполяционный многочлен, а затем интегрировать его между требуемыми пределами. Предположим, что нужно определить интегралтогда заменяется f (x) полиномом Jnf (x) степени n, который интерполирует f по абсциссам {xk: k = 1,., ,, n + 1}, и, следовательно, получаем приближениедля оценки, точной или приблизительной. Пока это повторяет только то, что говорилось ранее. Однако, если в качестве точек интерполяции будут приняты полиномиальные абсциссы Чебышева, то, свойства дискретной ортогональности приводят к очень экономичным интерполяционным формулам, выражающим многочлен Jnf (x) в формах, которые легко интегрируются — во многих случаях точно. Есть несколько важных случаев, когда квадратура Гаусса-Чебышева и Кленшоу-Кертиса приводит к тем же формулам, хотя они вообще различаются. Предположим, чтоинтерполирует f (x) в нулях {xk} из Tn+1(x). Тогда, используя результаты дискретной ортогональности, имеема такжеCледовательнои такгде.
Эти формулы дают квадратурное правило.
Следовательно, In легко определяется, если интегралы, определяющие aj, легко вычислить.
• Для конкретного весау нас естьдающийследовательно.
Таким образом, получается формула Гаусса-Чебышева первого рода. Альтернативную формулу Кленшоу-Кертиса можно получить, определив Jnf (x) как полином, интерполирующий значения f (x) на абсциссахкоторые являются нулями (1 — x2) Un-1 (x). В этом случае используются результаты дискретной ортогональности, чтобы датьатакже.
Легко выводится, чтогде в этом случаеи чтогде aj задаются по той же формуле, что и раньше. Это дает нам правило Для w (x) = это сводится к формуле.
Это почти эквивалентно формуле Гаусса-Чебышева второго рода, примененной к функции, за исключением того, что учитываются значения f (x) в конечных точках x = ± 1, Это может лучше отражать особенности обратного квадратного корня подынтегрального выражения в этих точках.
4. Аппроксимация решений интегральных уравнений Фредгольма в виде разложения по полиномам Чебышёва.
Рассмотрим применение полиномиальных методов Чебышева к решению фредгольмовых (линейных) интегральных уравнений. Интегральные уравнения Фредгольма классифицируются на три рода, принимающие следующие общие формы. Первый род: заданы функции K (x, y) и g (x), найти функцию f (y) на [a, b] такую, что для всех x ∈ [a, b]Второй род: заданы функции K (x, y) и g (x), а константа λ, найти функцию f (y) на [a, b] такую, что для всех x ∈ [a, b]Третий род: для функции K (x, y) находим значения (собственные значения) константы λ, для которых существует функция (собственная функция) f (y), не обращающаяся тождественно на [a, b], такая, что для всех x ∈ [a, b] Уравнения этих трех видов могут быть как функциональные уравнения следующим образомf = g, (4.4)f — λf = g, (4.5)f — λf = 0, (4.6)где представляет собой линейное отображение (интегральное преобразование) из некоторого функционального пространства F в себя или, возможно, (для уравнения первого рода) в другое функциональное пространство G, g представляет собой заданный элемент F или G, если это необходимо, и f элемент F можно найти. Однако, в целом справедливо (для большинства функций ядра K (x, y), которые, вероятно, будут встречаться) утверждение, что уравнения второго и третьего видов имеют хорошо определенные и хорошо обоснованные решения. Уравнения первого рода — совсем другое дело — здесь проблема очень часто будет ошибочной математически в том смысле, что она не имеет решения, имеет бесконечно много решений или имеет решение f, которое весьма чувствительно к вариациям функции g.
4.1. Уравнения Фредгольма второго рода.
В работе Эллиотта (1961) изучалось использование полиномов Чебышева для решения неособых уравнений второго родаи эта работа была позже обновлена им (Elliott 1979). Здесь K (x, y) ограничена в а≤ x, y ≤ b, и мы считаем, что λ не является собственным значением (4.3). (Если λ было бы таким собственным значением, соответствующим собственной функции φ(y), то любое решение f (y) из (4.7) породило бы множество решений вида f (y) + αφ (y), где α - произвольная постоянная.)Для простоты положим a = -1 и b = 1. Предположим, что f (x) можно аппроксимировать конечной суммой вида.
Тогда можно заменить (4.8) на (4.7) так, чтобы последнее стало приближенным уравнением.
Нужно выбрать коэффициенты ajтак, чтобы (4.9) выполнялось, как и возможно, на интервале -1 ≤ x ≤ 1. Достаточно хорошим способом достижения этого является коллокация, требующая равенства (4.9) как точное равенство в N + 1 точек (экстремумы TN (x) на интервале).
так чтогде.
Таким образом, мы имеем N + 1 линейных уравнений для решения N+1 неизвестных aj. В качестве альтернативы коллокации мы можем выбрать коэффициенты bi, k, так что KM (yi, N, y) дает наименьшее квадратичное или минимаксное приближение к K (yi, N, y). Если невозможно точно оценить интегралы в (4.11), можно сделать это приблизительно, например, заменяя каждый K (yi, N, y) полиномомдля некоторого M> 0, с коэффициентами Чебышева, заданными формулойгде.
Тогда можно показать, что так что для каждого i, KM (yi, N, y) является многочленом степени M по y, интерполируя K (yi, N, y) в точках ym, M. Легко показать, что.
Следовательнодавая приближенные интегралы, которые нам нужны. Другой подход, основанный на «чередующихся многочленах» (равные экстремумы которых встречаются среди точек данных), предложен Брутманом (1993). Он приводит к решению в виде суммы полиномов Чебышева с оценками ошибок.
4.2. Примеры численного решения уравнения Фредгольма второго рода с использованием полиномов Чебышева.
Рассмотрим на следующем двух простых примерах описанную выше процедуру численного решения интегрального уравнения Фредгольма второго родас использованием полиномов Чебышева. Решения были получены в пакете Matlab, для оценки интеграла использовалось правило Симпсона с адаптивным размером шага.
1) Первый пример
Численное решение этого уравнения показано на рисунке 1. хРисунок 1. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1): точное решение — синяя линия; аппроксимация с использованием полиномов Чебышева — красная линия2) Второй примерK (x, y) = (x — y)3.Его численное решение показано на рисунке 2. Рисунок 2. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2): точное решение — синяя линия; аппроксимация с использованием полиномов Чебышева — красная линия.
Как показано на рисунках, полиномы Чебышева могут быть использованы для решения интегральных уравнений на примере уравнений Фредгольма второго рода с высокой точностью и эффективностью. Эксперименты с численными решениями уравнений Фредгольма показали, что в то время как многочлены Чебышева могут эффективно использоваться для оценки гладких функций, когда истинное решение является сингулярным, рассчитанное решение потребует большого количества членов. Это, в свою очередь, когда вычисление выполняется с фиксированной двойной точностью, делает инверсию плохо обусловленной матрицы крайне неточной. Фактически, когда число точек коллокации N достаточно велико, число условий матрицы растет экспоненциально с N. Хотя большинство языков программирования имеют библиотеки или средства для использования арифметики произвольной точности, на данный момент они доступны только для центральных процессоров. Однако, если эта проблема будет устранена в будущем, внедрение этого метода решения на графическом процессоре или графическом процессоре вместо центрального процессора приведет к значительному ускорению. Предложенный метод обеспечивает хорошую эффективность.
Заключение
.
Интегральные уравнения являются одним из основных инструментов в различных областях прикладной математики, физики и техники. Вычислительный подход к решению интегрального уравнения является важной областью научного исследования. Интегральные уравнения, как правило, трудно решить аналитически, и точные решения очень немногочисленны. Поэтому интегральные уравнения были предметом интереса многих исследований. Вычислительный подход решения интегральных уравнений является важной областью научного исследования. Действительно, для решения интегральных уравнений было разработано много методов, таких как метод вейвлет-подобных оснований, параллельные итерационные методы, метод коллокации, метод декомпозиции, гибридный метод серии Тейлора, метод Петрова-Галеркина, метод разложения Адомяна. В принципе, аналитическое решение является наиболее желательным результатом в теории, но оно недоступно для большинства практических задач. Хотя численные методы могут справиться с большинством сложных задач, связанных с системой интегральных уравнений, полученные результаты не могут быть выражены в простой форме. По сравнению с численными методами одно из преимуществ приближенных методов заключается в том, что оно может дать решение в аналитической форме с допустимой ошибкой.
В результате, современные аппроксимационные методы по-прежнему представляют большой интерес, несмотря на современные численные методы с помощью быстродействующих компьютеров. С начала 1994 методы полиномов Чебышева также были использованы исследователями, поскольку этот подход приводит к приближенному решению интегрального уравнения, которое может быть явно выражено в простой замкнутой форме и которое может быть эффективно вычислено с использованием символических вычислительных кодов на любом современном персональном компьютере. Чтобы получить лучшее приближенное решение уравнения, берется больше форм из чебышёвского разложения функций, т. е. предел отсечения N может быть достаточно большим. Кроме того, интересной особенностью этого метода является поиск аналитических решений, если уравнение имеет точное решение, являющееся полиномиальными функциями. В результате этого исследования подтверждается мощность и универсальность используемого метода. Метод также можно распространить на систему линейных интегральных уравнений Фредгольма, но требуются некоторые модификации. В настоящей работе решалось интегральное уравнение Фредгольма второго рода, в котором применяются полиномы Чебышева для приближения решения для неизвестной функции интегрального уравнения Фредгольма и преобразования этого уравнения в систему линейных уравнений.
Также приведены сходимость и скорость сходимости. Точность этого метода проверяется с помощью некоторых численных примеров, и результаты сравниваются с предыдущим результирующим набором для исследования эффектов выбора полиномов Чебышева. Таким образом, полиномы Чебышева могут быть использованы для решения интегральных уравнений на примере уравнений Фредгольма второго рода с высокой точностью и эффективностью. Список использованной литературы.
Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. − М.: Мир, 1972. Abramowitz, M. & amp; Stegun, I. A., E.
ds. (1964), Handbook of MathematicalFunctions, number 55 in Applied Mathematics Series, National Bureau of Standards, Washington. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. − М., 1954.
Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.:Наука, 1979Achieser, N. I. (1956), Theory of Approximation, Ungar, New York.
Никифоров А.Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. − М.: Наука, 1978. Adam, G. (1987), Alternative formulation of the extended Clenshaw-Curtis quadrature rules for oscillating integrals, Rev. R.
oumaine de Physique 32, 813−826.Dedus F.F., Dedus A.F., Ustinin M.N. A new data processing technology for pattern recognition and image analysis problems. P attern Recognition and Image Analysis, vol.2, pp.195−207, 1992. Dedus A.F., Dedus F.F., Makhortykh S.A., Ustinin M.N. Analytical description of multidimensional signals for solving problems of pattern recognition and image analysis. Pattern Recognition and Image Analysis, vol.3, pp.459−469, 1993.
Толстов Г. П. Ряды Фурье. − М., 1960. Adam, G. & amp; Nobile, A. (1991), Product integration rules at Clenshaw-Curtis and related points — a robust implementation, IMA J.
N umer. A nalysis 11, 271−296.Фарлоу C. Уравнения с частными производными. − М.: Мир, 1985. Anderson, I.
J., C ox, M. G. & amp; Mason, J.
C. (1995), Tensor-product spline interpolation to data near a family of lines, Numerical Algorithms 5, 193−204.Волощенко A.M., Журавлев В. И. Вычисление весов и узлов квадратурных формул Гаусса с весовыми функциями классических ортогональных полиномов непрерывного и дискретного переменного// Препринт № 89 М.: ИПМ АН СССР, 1977Grafov B.M., Grafova I.B. Theory of the wavelet analysis for electrochemical noise by use of Laguerre functions// Electrochemistry Communications, v.2, 2000, p.386−389Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976.
Сонин.
Н.Я. Об определении максимальных и минимальных свойств плоских кривых// Варшавские университетские известия, 1986, № 1−2, с.1−68Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задачМ.: Наука, 1974Atkinson, K. E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis, 2nd ed., John Wiley, New York. Дедус Ф. Ф., Воронцов В. Б. Диагностика непрерывных систем с использованием ортогональных фильтров// Труды I Всесоюзного совещания по технической диагностике. М.: Наука, 1972, с.103−108Паплаускас А. Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. − М., 1966.
Дедус Ф. Ф. Автоматизация аналитического представления и обработки результатов экспериментальных исследований. // Материалы I Международной школы по автоматизации научных исследований. − Пущино, 1985, с.96−112.Baltensprenger, R. & amp; Berrut, J.-P. (1999), The errors in calculating the pseudospectral differentiation matrices for Chebyshev-Gauss-Lobatto points, Comput.
M ath. A ppl. 37, 41−48.Bayliss, A., Class, A. &.
amp; Matkowsky, B. J. (1994), Roundoff error in computing derivatives using the Chebyshev differentiation matrix, J. C omput. P.
hys. 116, 380−383.Бесекерский В. А., Дедус Ф. Ф., Ройтберг М. А. Сжатие информации и идентификация на основе ортогональных разложений // Труды Ленинградского ИАП, 1977.
Гальченко А.А., Дедус Ф. Ф. Идентификация экспоненциальных сигналов методом взвешенных моментов. Автометрия. № 4, 1983. Bennell, R. P. (1996), Continuous Approximation Methods for Data Smoothing and Fredholm Integral Equations of the First Kind when the Data are Noisy, Ph.D. thesis, Cranfield University (RMCS).Bennell, R.
P. & amp; Mason, J. C. (1989), Continuous approximation methods for the regularisation and smoothing of integral transforms, Rocky Mountain J. M ath.
19, 51−66.Дедус Ф. Ф. Комбинированные цифро-аналитические методы обработки данных экспериментов //Материалы III Международной школы по автоматизации научных исследований. − Пущино, 1990, с. 52−77.Джерри А.Дж. Теория отсчетов Шеннона, ее различные приложения и обобщения. Обзор. ТИИЭР, т.65, N 11, 1977, с. 53 — 89. Bennell, R.
P. & amp; Mason, J. C. (1991), Bivariate orthogonal polynomial approximation to curves of data, in C.
B rezinski et al., Eds., Orthogonal Polynomials and their Applications, IMACS, Baltzer, Bussum, Netherlands, pp. 177−183.Bernardi, C. & amp; Maday, Y. (1992), Approximations spectrales de probl`emes aux limites elliptiques, Springer-Verlag, Berlin. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т.
2. − М.: Наука, 1975.
Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. − М: Наука, 1968. Mason, J. C. (1965), Some new Approximations for the Solution of Differential Equations, D.phil. thesis, Oxford University. Mason, J. C. (1967), Chebyshev polynomial approximations for the Lmembrane eigenvalue problem, SIAM J.
A ppl. M ath.
15, 171−186.Chen H. T he Quadrature Discretization Method and Its Applications// Thesis, The University of British Columbia, 1998Broucke R. C.
onstruction of Rational and Negative Powers of a Formal Series// Communications of the ACM, v.14, 1971, JV®1, p.32Mason, J. C. (1969), Chebyshev methods for separable partial differential equations, in Information Processing 68, Vol. 1, North-Holland, Amsterdam, pp. 164−169.Mason, J. C. (.
1970), Orthogonal polynomial approximation methods in numerical analysis, in A. T albot, Ed., Approximation Theory (Lancaster, 1969), Academic Press, New York, pp. 17−33.Broucke R. A 446 Ten Subroutines for the Manipulation of Chebyshev Series// Communications of the ACM, v.16, 1973, JV"4, p.254Mason, J.
C. (1978), Near-best L∞ and L1 approximations to analytic functions on two-dimensional regions, in D. C. H andscomb, Ed., Multivariate Approximation, Academic Press, New York, pp.
115−135.Mason, J. C. (1980), Near-best multivariate approximation by Fourier series, Chebyshev series and Chebyshev interpolation, J. A pprox. T heory 28, 349−358.Mason, J. C. (.
1982), Minimal projections and near-best approximations by multivariate polynomial expansion and interpolation, in W. S chempp & K. Z eller, Eds., Multivariate Approximation 2, number 17 in ISNM, BirkhЁauser, Basel, pp.
241−254. Сеге Г. Ортогональные многочлены. Физматгиз, 1962.Ф. Ф. Дедус, С. А. Махортых, М. Н. Устинин, А. Ф. Дедус.
Обобщенный спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. М.: Машиностроение, 1999, 356 с. Панкратов А. Н., Дедус Ф. Ф. Аппроксимация оригинала и изображения в интегральном преобразовании Лапласа// 5-я Пущинская конференция молодых ученых, (Пущино, 16−20 апреля 2001 г.) Тула: ЗАО «Гриф и К», 2001, с.334Gil A., Segura J., Temme N. M. N umerical methods for special functions.
Society for Industrial and Applied Mathematics, 2007.
Панкратов А.Н., Дедус Ф. Ф. Идентификация математических моделей спектрально-аналитическим методом// Доклады X Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», Москва, 2001, с. 107Pankratov A.N., Dedus F.F. Adaptive Approximation of Arbitrary Signals// 5th International congress of mathematical modelling (Sep 30 Oct 6, 2002, Dubna Moscow Region), Book of abstracts, M.:" JANUS-K", 2002, v.2, p.72.
